Теоретическая механика

Теоретическая механика

Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭАЧубенко Елена Филипповна

Владивостокский Государственный Университет Экономики и Сервиса

Кафедра Сервиса и Технической Эксплуатации Автомобилей

2009

2

Тема 7

Кинематика точки

3

План занятия

• 1. Кинематика точки• 2. Способы задания движения точки. Траектория• 3. Вектор скорости точки• 4. Вектор ускорения точки• 5. Определение скорости и ускорения точки при координатном

способе задания движения• 6. Определение скорости и ускорения точки при естественном

способе задания движения• 7. Касательное и нормальное ускорения точки

4

Введение

• Целью занятия является определение основных кинематических характеристик движения материальной точки при координатном, естественном и векторном способах задания движения.

• Материал занятия содержит основные определения и расчетные формулы для определения скоростей и ускорений материальной точки при различных способах задания ее движения

5

Ключевые понятия

• 1. Координатный способ задания движения• 2. Естественный способ задания движения• 3. Векторный способ задания движения• 4. Скорость материальной точки• 5. Ускорение материальной точки• 6. Нормальное и касательное ускорения• 7. Траектория движения

6

Способы задания движения точки. Траектория

Чтобы задать движение точки, надо задать ее положение по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени. Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:

1) естественный 2) координатный 3) векторный

7

1) Естественный способ задания движения. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Естественным (или натуральным) способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть точка М движется относительно системы отсчета OX1Y1Z1 вдоль некоторой траектории АВ

8

При движении точка М будет перемещаться в положения М1, М2,…,следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории, в любой момент времени надо знать зависимость

S=f(t) (54)

Уравнение (54) выражает закон движения точки М вдоль траектории.

9

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать:

1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием

положительного и отрицательного направлений отсчета, 3) закон движения, точки вдоль траектории в виде S=f(t)

10

Например, если точка движется из начала отсчета О вдоль некоторой кривой так, что ее расстояние от этого начала растет пропорционально квадрату времени, то закон движения точки будет

S=at2

где а — коэффициент, численно равный расстоянию, проходимому точкой за первую секунду. В момент t2=2 сек расстояние точки от начала отсчета будет численно равно 4а и т. д.

Следовательно, зная уравнение (54), мы действительно можем определить положение движущейся точки в любой момент времени.

11

Заметим, что величина S в уравнении (54) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь. Например, если точка, двигаясь из начала О, доходит до положения М1, а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положение М, то в этот момент ее координата S=OM, а пройденный за время движения путь будет равен ОМ1+М1М, т.е. не равен S.

В случае прямолинейного движения, если направить ось Ох вдоль траектории точки, будем иметь S=x и закон прямолинейного движения точки будет

S=f(t) (55)

12

2) Координатный способ задания движения. Естественный способ задания движения весьма нагляден. Однако траектория точки заранее бывает известна далеко не всегда. Поэтому на практике чаще пользуются другим способом задания движения точки—координатным.Положение точки по отношению к данной системе отсчета Охуz можно определить ее декартовыми координатами x, y, z .При движении все эти три координаты будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

x=f1(t), y= f2(t), z= f3(t ). (61)

Уравнения (61) представляют собой уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

13

При движении все эти три координаты будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

x=f1(t), y= f2(t), z= f3(t ) (56)

Уравнения (56) представляют собой уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

14

Вектор скорости точкиОдной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки.

Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в моментвремени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а

в момент t1 приходит в положение М1 определяемое вектором .

r

1r

15

Тогда перемещение точки за промежуток времени t1-t определяется вектором MM1, который мы будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (рис. а), и вдоль самой траектории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. б).

16

Из треугольника ОММ1 видно, что следовательно,

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени

t1-t =t

(57)

11 rMMr

rrMM 11

tMM

V ср

1

17

Модуль средней скорости, определяемой формулой (57), равен

Направлен вектор так же, как и вектор , т. е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ1, в сторону движения точки, а при прямолинейном движении—вдоль самой траектории

tMM

Vср 1

срV 1MM

18

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени t = t1-t, для

которого вычислена средняя скорость, тем величина будет точнее характеризовать движение точки.

Чтобы получить характеристику движения, не зависящую от выбора промежутка времени t , вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.

срV

19

Скоростью точки в данный момент t называется векторная величина , к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени t к нулю

Предел отношения при t→ 0 представляет собою первую производную от вектора по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом . Окончательно получаем

(58)

V срV

trVV ср

lim)lim(

tr

r

dtrd

dtrdV

20

Итак, вектор скорости точки в данный момент, времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

21

При прямолинейном движении вектор скорости все время

направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по численной величине; при криволинейном движении кроме численной величины все время изменяется и направление вектора скорости точки.

Размерность скорости—длина/время; в качестве единиц измерения применяются обычно м/сек или км/час.

V

22

Вектор ускорения точкиУскорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки

23

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость , а в момент t1 приходит в

положение M1 и имеет скорость .Тогда за промежуток времени

t = t1-t скорость точки получает приращение .

V

1V

VVV 1

24

Для построения вектора V отложим от точки М вектор, равный , и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , а

одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет

изображать вектор . Заметим, что вектор всегда

направлен в сторону вогнутости траектории.

V

1V

1V

V V

25

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

(59)

Вектор среднего ускорения имеет, очевидно, то же направление, что

и вектор , т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

V

tVa ср

V

26

Ускорением точки в данный момент времени t называется

векторная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени t к нулю:

или

(60)

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения—длина/(время); в качестве единицы измерения применяется обычно м/сек2.

a

dtVd

dtVda lim

2

2

dtrd

dtVda

27

При прямолинейном движении вектор направлен, очевидно, вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ускорения будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке M1 .

В пределе, когда точка M1 стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости

кривой.

a

a

28

Определение скорости и ускорения точки при

координатном способе задания движения

1) Определение скорости точки.2) Вектор скорости точки . Отсюда , учитывая, что rx=х, ry=y , rz=z , будем иметь:

(61)

Таким образом, проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

dtrdV

dtdzV

dtdy

VdtdxV zyx ;;

29

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е. углы α , β , γ , которые вектор образует с осями координат) по формулам:

(62)

V

222zyx VVVV

V

VCos

V

VCos

VV

Cos zyx ,,

30

2) Определение ускорения точки. Вектор ускорения точки

Отсюда на основании теоремы о проекции производной получаем:

(63)

или

т. е. проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

2

2

dtrd

dtVda

dtdV

adt

dVa

dtdV

a zz

yy

xx ,,

2

2

2

2

2

2,,

dtzda

dtyd

adtxda zyx

31

Модуль и направление ускорения найдутся из формул:

(64)

где α1, β1, γ1-углы, образуемые вектором ускорения с осями координат.

222zyx aaaa

aa

Cosa

aCos

aa

Cos zyx 111 ,,

32

Определение скорости точки при естественном способе

задания движения

Пусть даны траектория точки и закон движения вдоль этой траектории в виде S=f(t) (65)

Рассмотрим, как в этом случае определяется скорость точки. Если за промежуток времени t = t1-t точка переходит из положения М в положение M1, совершая вдоль дуги траектории перемещение S = S1-S, то численная величина ее средней скорости будет равна

(66)t

SttSS

Vср

1

1

33

Переходя к пределу, найдем численную величину скорости точки в данный момент времени t:

(67)

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) S точки по времени.Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна.

dtds

tSV

lim

34

Касательное и нормальное ускорения точки

При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси М , имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею

an

35

Оси естественного трехгранника (или скоростные оси), направлены следующим образом: ось Мτ — вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s, ось Мn — по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории: ось Mb — перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Мn, лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb — бинормалью.

36

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости Mτn, следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю.

Вычислим проекции на две другие оси. Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость , a в момент t1= t+ t приходит в положение M1 и имеет скорость .

Тогда по определению

(68)

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Мτ и Мn, проведенные в точке М. Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

aa

aV1V

tVV

tVa

1limlim

tVV

atVV

a nnn

11 lim,lim

37

Учитывая, что проекции вектора па параллельные оси одинаковы, проведем через точку M1 оси Мτ ', Мn', параллельные Мτ , Мn, и обозначим угол между направлением вектора и касательной Мτ через φ . Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности φ к длине дуги S определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны r в точке М. Таким образом

1V

rkS

1lim

38

Теперь находим, что проекции векторов и на оси Мτ и Мn будут равны :

где и — численные величины скорости точки в моменты t и t1. Следовательно,

Заметим, что при t → 0 точка M1 неограниченно приближается к М и одновременно φ →0, S→0, V1→V.

Тогда, учитывая, что в пределе lim(Сos φ)=1, получим для выражение

V 1V

0, nVVV

SinVVCosVV n 1111 ,

V 1V

tSinV

at

VCosVa n

11 lim,lim

a

dtdVa

39

Правую часть выражения аn преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на φ S. Тогда будем иметь

аn=lim(V1sin φ φ S)/( φ S t)=V2/r , (74)

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при t→ 0 равны:

limV1=V, lim(sin φ / φ )=1, lim( φ/ s)=1/r , lim( S/ t)=V

Окончательно получаем:

аt =dV/dt=d2S/dt2; an=V2/r .

40

Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) S no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю (ав=0)

41

Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих аt и аn.Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а и угол μ его отклонения от нормали Мn определятся формулами:

a2= а2t + а2

n=(dV/dt)2+(V 2/r )2, tgμ =| аt |/ аn (75)

Таким образом, если движение точки задано естественным способом, то, зная траекторию (а следовательно, и ее радиус кривизны r в любой точке) и закон движения , мы можем определить модуль и направление векторов скорости и ускорения точки в любой момент времени.

42

Заключение

• В материалах данного занятия рассмотрены основные расчетные зависимости, позволяющие определять скорости и ускорения материальных точек при различных способах задания движения

43

Вопросы для самопроверки

• Как определяется скорость при векторном способе задания движения?

• По какой формуле можно рассчитать значение полного ускорения при координатном способе задания движения?

• Что такое касательное ускорение?• Как определяется нормальное ускорение?

44

Задания для самопроверки

• Выполнить в интегрированной обучающей среде АВАНТА задание Кинематика точки

• Решить задачи 14.6 – 14. 21

45

Рекомендуемая литература• Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., Высшая

школа, 2004• Гернет М.М. Курс теоретической механики. СПб, Питер-пресс,

2007• Никитин Н.Н. Теоретическая механика. М., ВШ, 2007• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., ИВОН,

2006 • Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.,

ВШ, 2006