Презентация Презентация по по геометрии. геометрии. Подготовили ученики Подготовили ученики 9 9 б б класса класса Лунин Александр Лунин Александр Горемыкин Олег Горемыкин Олег
Jan 15, 2016
Презентация Презентация попогеометрии.геометрии.
Подготовили ученики Подготовили ученики 99б классаб классаЛунин АлександрЛунин АлександрГоремыкин ОлегГоремыкин Олег
Бенефис одной задачи.Бенефис одной задачи.
(В одной задаче – почти вся (В одной задаче – почти вся планиметрия!)планиметрия!)
Задача.Задача. В трапеции диагонали В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно длиной 6 см и 8 см взаимно
перпендикулярны.перпендикулярны. Найдите длину средней линии Найдите длину средней линии
трапеции.трапеции.
Способ №1Способ №1 1. Продолжим 1. Продолжим BC BC
вправо. вправо. Проведем Проведем DKDK || || ACAC.. Так как Так как ACKDACKD – – параллелограмм, то параллелограмм, то DKDK=6 см.=6 см.
2. 2. BDBD┴┴DKDK,, так как так как BDBD ┴ ┴ ACAC.. Δ Δ BDKBDK – – прямоугольный.прямоугольный.
BKBK= ;= ; BKBK= =10(см).= =10(см). 3. 3. BK=BC+AD.BK=BC+AD.
Средняя линия равна Средняя линия равна половине половине BKBK, то есть 5 , то есть 5 см.см.
Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.
В С
А D
K
О
DKBD22
6822
Способ №2Способ №2 ( (похож на похож на 1)1)• Проведем Проведем СЕ СЕ || || BDBD до до
пересечения с пересечения с продолжением продолжением ADAD. . DEDE = = BCBC, так как , так как DBCEDBCE – – параллелограмм. параллелограмм. AEAE вычислим по теореме вычислим по теореме Пифагора из ΔПифагора из ΔACEACE ((CECE || || BDBD, но , но BDBD ┴ ┴ ACAC, , следовательно,следовательно,CECE ┴┴ACAC):):
• AEAE = ; = ; AEAE = = 10(см). = = 10(см).
• AEAE = = aa++bb. Но средняя . Но средняя линия равна (линия равна (a+b)/2a+b)/2 , ,
• т.е. равна 5 см.т.е. равна 5 см.• Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.
A
B C
D Ea
b
6
8
CEAC22
8622
Способ №3 MN – средняя линия
трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и K.NK – средняя линия ΔACD, следовательно NK=0,5 AC; NK = 3(см).MK – средняя линия ΔABD, следовательно MK=0,5 BD; MK=4(см).Угол MKN равен углу AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.ΔMKN – прямоугольный. MN = = =5(см).Ответ: 5 см.
432222 NKMK
A
B C
D
OM N
K
Способ №4Способ №4► 1.Продолжим 1.Продолжим CACA на на
расстояние расстояние AMAM = = CCО. О. Через точку Через точку М М проведем проведем MNMN || || ADAD. . BDBD ∩ ∩ MNMN = = NN..
► 2. 2. ΔΔOMNOMN – прямоугольный, – прямоугольный, OMOM = 6 см, = 6 см, ONON = 8 см. = 8 см. Следовательно, Следовательно, MNMN = 10 = 10 ccм м (теорема Пифагора).(теорема Пифагора).
► 3. Проведем 3. Проведем MKMK || || NDND. . Продолжим Продолжим ADAD до до пересечения с пересечения с MKMK. Δ. ΔMAKMAK = = ΔΔBOCBOC (по (по II признаку), признаку), следовательно следовательно AKAK = = = = BCBC. .
► 4. 4. MKDNMKDN – параллелограмм, – параллелограмм, DKDK== MNMN = 10 см. Но = 10 см. Но
► DKDK = = ADAD++BCBC. Значит, . Значит, средняя линия равна 5 см.средняя линия равна 5 см.
► Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.
A
B C
D
M
K
O
N
Способ №5Способ №5 Соединим середины Соединим середины
сторон трапеции. Легко сторон трапеции. Легко доказать, что доказать, что MPNQMPNQ – –
параллелограмм с прямым параллелограмм с прямым углом, т.е. прямоугольник углом, т.е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его Диагонали его MN MN == PQ PQ== 5 5
см (египетский см (египетский треугольниктреугольник).).
Ответ: Ответ: MNMN = 5 c = 5 cм.м.
В С
А D
P
M
Q
N
34
Способ №6Способ №6Продолжим Продолжим ACAC за точку за точку AA так, так, что что АМАМ = = ОСОС. Продолжим . Продолжим BDBD за за точку точку DD так, что так, что DNDN = = BOBO. Итак, . Итак,
ΔΔOMNOMN – прямоугольный с – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По катетами 6 см и 8 см. По
теореме Пифагора теореме Пифагора MNMN = 10 см. = 10 см. Проведем Проведем AEAE ┴ ┴ MNMN, , DFDF ┴ ┴ MNMN, ,
OKOK ┴ ┴ BCBC..
ΔΔAMEAME = Δ = ΔKOCKOC и Δ и ΔDFNDFN = = ΔΔBKOBKO по по стороне и двум прилежащим к стороне и двум прилежащим к
ней углам.ней углам.
Следовательно, Следовательно, MEME = = KCKC и и FHFH = = BKBK, т.е. , т.е. MNMN = = ADAD + + BCBC = 10 (см). = 10 (см).
Средняя линия равнаСредняя линия равна
(AD+BC)/2(AD+BC)/2== =MN/2 =MN/2==10/2 10/2 = 5.= 5.
Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.
В С
А D
O
M E F N
Способ №7Способ №7 Пусть Пусть OCOC = = xx, , BOBO = = yy; тогда ; тогда АОАО = 6 – х, = 6 – х, DODO = 8 – = 8 – yy. . MNMN
– средняя линия.– средняя линия.
1.Из подобия Δ1.Из подобия ΔBOCBOC и и ΔΔAODAOD имеем: имеем: х/(6-х) = у/(8-у), х/(6-х) = у/(8-у),8х – ху = 6у – ху,8х – ху = 6у – ху,8х = 6у, у = 4/3х.8х = 6у, у = 4/3х.
2. Из прямоугольного треугольника Δ2. Из прямоугольного треугольника ΔBOCBOC имеем: имеем:ВСВС == √√ x x²+ (4/3²+ (4/3xx)² )² = √ x= √ x² + 16/9² + 16/9xx² ² = √= √ 25/9 25/9xx² = 5/3² = 5/3xx..
3.Из подобия Δ3.Из подобия ΔBOCBOC и Δ и ΔAODAOD имеем: имеем: BC BC//ADAD = = OCOC//AOAO, (5/3x)/, (5/3x)/ADAD = x/(6-x), = x/(6-x),
AD = 5/3(6-x) = 10-5/3x.AD = 5/3(6-x) = 10-5/3x.
4. 4. MNMN = ( = (ADAD + + BCBC) = (5/3x+10-5/3x)/2 = 5 () = (5/3x+10-5/3x)/2 = 5 (смсм). ). Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.
Способ №8Способ №8 1.Из подобия Δ 1.Из подобия ΔBOCBOC и и ΔΔAODAOD::
xx/(6-/(6-xx) = ) = yy/(8-/(8-yy), ), yy=4/3=4/3xx.. 2.Продолжим диагонали на отрезки, 2.Продолжим диагонали на отрезки,
равные равные COCO и и BOBO.. 3.3.Из ΔИз ΔMONMON: : MNMN = 10 = 10 см.см. 4. 4. AODAOD подобен подобен ΔΔMONMON;;
MN = 4/3 AD, AD = 3/4MN = =3/4*10 =MN = 4/3 AD, AD = 3/4MN = =3/4*10 == 7,5 (= 7,5 (смсм).).
5.В Δ 5.В ΔBOCBOC: : BC BC = = xx²+(4/3²+(4/3xx)² = 5/√3)² = 5/√3xx..
6.Δ 6.ΔBOCBOC подобен подобен ΔAOD.ΔAOD.BCBC//ADAD = = OCOC//AOAO, (5/3x²)/7,5 = x/(6-x);, (5/3x²)/7,5 = x/(6-x);10x-5/3x² = 7,5x; 2,5x = 5/3x²; 7,5 = 10x-5/3x² = 7,5x; 2,5x = 5/3x²; 7,5 =
5x; x = 1,5 (c5x; x = 1,5 (cмм).). 7. 7. BCBC = 5/3 = 5/3xx = 5/3*1,5 = 2,5 (см). = 5/3*1,5 = 2,5 (см).
8. Средняя линия равна8. Средняя линия равна((ADAD++BCBC)/2 = (7,5+2,5)/2 = 5.)/2 = (7,5+2,5)/2 = 5.
Ответ: 5 см.Ответ: 5 см.
M N
y x
6-x8-y
O
В С
А D
Способ №9 ТригонометрическийСпособ №9 Тригонометрический• 1. Из подобия ΔBOC и ΔAOD:X/(6-x) = y/(8-y) , y =4/3 х.• 2. Δ BOC – прямоугольный.tg α =y/x =4/3x : x = у =4/3 .• 3. Найдем cos α либо по формуле:1+tg²α = 1/cos a,либо методом треугольника: cos α = 3/5. 4. Из ΔBOC:OC/BC = cos α, BC = OC/cos α =4*5/3 = 5/3 x.• 5. Из ΔAOD: AO/OD = cos α, AD = AO/ cos α = (6-x)/3/5 = 5(6-x)/3 .• 6. Средняя линия равна (AD+BC)/2 = 5 (см).
cos²á
1
Способ №10 Способ №10 (тригонометрический)(тригонометрический)1. Из подобия треугольников 1. Из подобия треугольников BOCBOC и и AODAOD::x/(6-x) = y/(8-y), y =4/3x. x/(6-x) = b/a.x/(6-x) = y/(8-y), y =4/3x. x/(6-x) = b/a. 2. 2. ax = 6b – bx, (a+b)x = 6b, ax = 6b – bx, (a+b)x = 6b, (a+b)/2 = 3b/x, (a+b)/2 = 3/sin α.(a+b)/2 = 3b/x, (a+b)/2 = 3/sin α.tgtg αα = x/y = x/(4/3x) = 3/4, α = = x/y = x/(4/3x) = 3/4, α = arctgarctg 3/4. 3/4.
3.3. (a+b)/2 = 3/(a+b)/2 = 3/sinsin((arctgarctg 3/4) = 3 / 3/5 = 5. 3/4) = 3 / 3/5 = 5. 4. 4. tg αtg α = 3/4 = 3/4 sin α = sin α = ?? sin αsin α = 3/5 = 3/5
53
4
α