ک ی ف را گ ی ض ا م ری ی ه ا ف مComputer Graphics I SAFAEI ه گان ی ش خ ب ی! ست ه د داوی ام خ ه ی ن هارم) چ سه ل خ
Jan 15, 2016
مفاهیم ریاضی گرافیک
Computer Graphics I
SAFAEI
به نام خداوند هستی بخش یگانه جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
ادامه مفاهیم ریاضی در گرافیک
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
ان8دازه • ب8ه مب8دا ح8ول دوران همگن مختص8ات در
عبارت است از :θزاویه
ه8ای • عقرب8ه خالف جهت در دوران مثبت زاوی8ه
ساعت می باشد، بنابراین:
دوران حول مبداء مختصات
جلسه چهارم
cos (θ) sin (θ) 0
- sin (θ)
cos (θ) 0
0 0 1
جلسه چهارم Iگرافیک کامپیوتری
ماتریس دوران در جهت خالف عقرب8ه ه8ای س8اعت ب8ه ان8دازه •
(، 2و1(، )1و1 روی مرب8ع واح8د ب8ه مختص8ات ) درج8ه90زاوی8ه
( تعیین نمایید.1و2( و )2و2)
سوال
Iگرافیک کامپیوتری
روي • تب8ديل خطي دو اعم8ال همگن مختص8ات در ب8ا متن8اظر ش8كل ه8اي ي8ك م8اتريس حاصلض8رب
تبديل آنهاست.
ان8دازه • ب8ه خ8واهیم ابت8دا می : را θمث8ال ش8کلی واح8د mح8ول مب8دا دوران دهیم و س8پس ب8ه ان8دازه
انتقال دهیم .xدر راستای محور
می توانیم از ماتریس تبدیل زیر استفاده کنیم :•
اعمال دو تبديل خطي روي يك شكل
جلسه چهارم
cos (θ) sin (θ) 0
- sin (θ)
cos (θ) 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
m 0 1
cos (θ) sin (θ) 0
- sin (θ)
cos (θ) 0
m 0 1
=
Iگرافیک کامپیوتری
X’ =R (π/2)
X’’= s(1/2)x’
X’’’= T(5, 4)x”
یا
X’’’= Mx
M=T(5,4) S(1/2) R (π/2)
تبدیالت متوالی
جلسه چهارم
این امک8ان وج8ود دارد ک8ه نتیج8ه تب8دیالت مت8والی را بص8ورت •
اس8ت تب8دیالت هم8ه تلفی8ق ک8ه واح8د تب8دیل م8اتریس ی8ک
نمایش داد.
Iگرافیک کامپیوتری
X’’= R(30) T (2, 3) X
ترتیب تبدیالت
جلسه چهارم
ضرب م8اتریس ه8ا خاص8یت جابج8ائی ندارن8د، ل8ذا ت8رتیب ه8ای •
متفاوت نتیجه متفاوت خواهند داشت.
X’’= T (2,3) R (30) X
Iگرافیک کامپیوتری
دوران حول نقطه دلخواه
جلسه چهارم
ح8ول نقط8ه دلخ8واه θتب8دیل خطی دوران ب8ه ان8دازه زاوی8ه •(X0, Y0 : از سه تبدیل زیر تشکیل شده است )
( را به مبدا انتقال می دهیم.X0, Y0نقطه )•
را انجام می دهیم.θدوران به اندازه زاویه •
بازگرداندن نقطه•cos (θ) sin (θ) 0
- sin (θ) cos (θ) 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
-x0 -y0 1
cos (θ) sin (θ) 0
- sin (θ) cos (θ) 0
-x0 cos θ + y0 sin θ + x0 -x0 sin θ + y0 cos θ + y0 1
=1 0 0
0 1 0
x0 y0 1
Iگرافیک کامپیوتری
دوران حول نقطه دلخواه
جلسه چهارم
مختص8ات • ب8ا م8ربعی خ8واهیم می کنی8د ف8رض : تم8رین
را ب8ه ان8دازه D (1,2) و A(1,1) ، B(2,1) ، C(2,2)رئ8وس
دوران دهیم. B درجه حول نقطه 45
ابت�دا • ب�رای بدس�ت آوردن مختص�ات چهارض�لی حاص�ل حل تم�رین : درج�ه 45 را ب�ه مب�دا منتق�ل ک�رده و س�پس ب�ه ان�داره Bبای�د نقط�ه
ب�ازگردانیم، بن�ابراین م�اتریس Bدوران داده و مج�ددا مب�دا را ب�ه نقط�ه بصورت زیر خواهد بود.Bدوران نقطه
Iگرافیک کامپیوتری
دوران حول نقطه دلخواه
جلسه چهارم
ادامه حل تمرین •
با ضرب مختصات رئوس در ماتریس حاصل داریم:•
Bدر نتیج8ه مختص8ات چهارض8لعی دوران یافت8ه ح8ول مب8دا •برابر با ماتریس حاصل می باشد.
Iگرافیک کامپیوتری
دوران حول نقطه دلخواه
جلسه چهارم
ادامه حل تمرین •
Iگرافیک کامپیوتری
انعکاس نسبت به یک خط دلخواه
جلسه چهارم
ه8ای • مح8وره ب8ه نس8بت و Xانعک8اس Y بدس8ت قبال را آوردیم.
ب8ه ص8ورت زی8ر ax+by+c=0انعک8اس نس8بت ب8ه خ8ط دلخ8واه •می باشد.
تبدیل خط مذکور به یکی از محورها•
انعکاس نسبت به آن محور•
تبدیل معکوس تبدل اول•
نقط8ه yمح8ل تق8اطع این خ8ط ب8ا مح8ور b≠0 فرض کنی8د •(0-,c/b.خواهد بود )
ابتدا نقطه فوق را به مبدا منتقل می کنیم .•
خط حاص8ل از مب8دا می گ8ذرد و ب8ا هم8ان ش8یب خ8ط اص8لی •(tan θ = -a/b)
•θ زاوبه بین خط و محور x.ها میباشد
Iگرافیک کامپیوتری
انعکاس نسبت به یک خط دلخواه- ادامه
جلسه چهارم
نگاش8ته Xبا دوران ب8ه ان8دازه خ8ط مربوط8ه ب8ه روی مح8ور •
می شود.
انجام می شود.Xحال تبدیل انعکاس نسبت به محور •
معک8وس دوران را انج8ام می دهیم ک8ه دوران ب8ه ان8دازه •
می باشد.
( می بریم.c/b,-0مبداء را به نقطه )•
Iگرافیک کامپیوتری
انعکاس نسبت به یک خط دلخواه- ادامه
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
3Dتبدیالت سه بعدی
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 تبدیالت سه بعدیD)
مقیاس بدون تغییر
انتقال Y/Zانعکاس نسبت به صفحه
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 دوران سه بعدیD)
X’ = x cos θ – y sin θ
Y’ = x sin θ + y cos θ
Z = Z’
Zدوران حول محور
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 دوران سه بعدیD)
y’ = y cos θ – z sin θ
z’ = y sin θ + z cos θ
x = x’
Xدوران حول محور
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 دوران سه بعدیD)
z’ = z cos θ – x sin θ
x’ = z sin θ + x cos θ
y = y’
Yدوران حول محور
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
دوران در سه جهت مثبت
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 تبدیالت سه بعدیD)
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 تبدیالت سه بعدیD)
جلسه چهارم
Iگرافیک کامپیوتری
( 3 تبدیالت سه بعدیD)
جلسه چهارم
Any Question
????
Iگرافیک کامپیوتری