Jan 14, 2016
平面向量教学建议 (二)
福建省厦门双十中学 张瑞炳
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
建议六 : 把握向量在平面几何中的应用
(一)向量有关知识( 1 )向量共线 : 若 a b 与 共线 a b R
( 2 )向量垂直: 0,00 bababa
( 3 )两向量相等: ,baba 且方向相同。
1 1 2 2 1 2 2 1( , ) ( , ) // 0a x y b x y a b x y x y
, ,
1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0a x y b x y a b x x y y
, ,
1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ,a x y b x y a b x x y y
, ,
( 4 )平面向量基本定理
1 2 1 2a e e e e
,其中 ,不共线, , 为唯一确定的常数
0b 则
( 5 )两个非零向量夹角公式:
)1800(||
cos 00
ba
ba
( 1 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中
① 若 ADAB , 则 0)()( ADABADAB ,即 。
② 若 ADAB , 则 ADABADAB ,
即 。
A B
D C
A B
D C
四边形 ABCD 是菱形
四边形 ABCD 是矩形
(2)在 ABC 中
①222
OCOBOA ,O是 ABC 的 ;
② ACAB 一定过边BC的中点;通过 ABC 的 ;
③ 0 OCOBOA ,O是 ABC 的 ;
A B
C
O
A B
C D
M
A B
C
O
M
外心
重心
重心
OA OB OB OC OC OA ������������������������������������������������������������������������������������
O 是三角形 ABC 的 ______ 。垂心
( )( )| | | |
AB ACR
AB AC
����������������������������
���������������������������� 通过三角形 ABC的 _________内心
④
⑤
已知非零向量 AB与 AC满足(AB
AB
��������������
�������������� +AC
AC
��������������
�������������� ) · BC =0且AB
AB
��������������
�������������� ·AC
AC
��������������
�������������� =2
1,
则△ ABC为 ( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
分析:由(AB
AB
��������������
�������������� +AC
AC
��������������
�������������� ) · BC =0可知,AB、AC的角
平分线 AD垂直 BC于 D. ①
由AB
AB
��������������
�������������� ·AC
AC
��������������
�������������� =2
1,知 cos∠BAC=
2
1,所以∠BAC=60°. ②
由①②及平面几何知识可知△ ABC为等边三角形. 故选 D.
案例 11 :
( 1 )建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
( 2 )通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
( 3 )把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形
A B
C
O
如图所示,已知⊙如图所示,已知⊙ OO ,, ABAB 为直径,为直径, CC
为⊙为⊙ OO 上任意一点。求证上任意一点。求证 ∠∠ ACB=90ACB=90°°分析:要证∠ ACB=90° ,只须证向量 ,即 .AC CB
����������������������������0AC CB
����������������������������
解:解:设 则 ,由此可得:
,AO a OC b ��������������������������������������������������������
,AC a b CB a b ������������������������������������������������������������������������������������
AC CB a b a b ������������������������������������������������������������������������������������
2 22 2| | | |a b a b
0
即 ,∠ ACB=90°0CBAC
(一)应用向量知识证明平面几何结论
案例 12 :用向量方法证明:直径所对的圆周角为直角。
案例 13 、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A B
D C已知:平行四边形 ABCD 。求证: 222222 BDACDACDBCAB
bADaAB ,解:设 ,则
baDBbaACaDAbBC ;,,
分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设 其它线段对应向量用它们表示。
bADaAB ,
)(222
2222 baDACDBCAB
2222 babaBDAC
2 22 2 2 2 2 22 2 2 2a a b b a a b b a b a b
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������
∴ 222222 BDACDACDBCAB
设 l是过点 A、B的一条直线,O为 l 外一点,则点P在 l上(或 A, B, P共线)的充要条件是:存在实数 t,使OP
��������������=(1- t)OA
��������������+ tOB
��������������.
(二)应用向量解决三线共点、三点共线问题
(二)应用向量解决三线共点、三点共线问题案例 14 、如图已知△ ABC 两边 AB 、 AC 的中点分别为 M 、 N ,在 BN 延长线上取点 P ,使 NP=BN ,在 CM 延长线上取点 Q ,使 MQ=CM. 求证: P 、 A 、 Q 三点共线
A B
C
N
M
Q
P解:设 bACaAB ,
则 aAMbAN2
1,
2
1
由此可得 abNPBN 2
1
baMQCM 2
1
baabPANPANPA )(,
baabAQMQAMAQ )(,
AQPA 即 故有 ,且它们有公共点 A ,所以 P 、 A 、 Q 三点共线
AQPA //
案例 15:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若
AD =2 DB , CD =3
1CA +λ CB , 则
A.2
3 B.
1
3 C.
1
3 D.
2
3
分 析 1 : 因 为 AD =2 DB , 所 以
CD - CA =2( CB - CD ).整理得 3 CD = CA +2 CB .
即CD =3
1CA +
3
2CB .所以 λ=
3
2. 故选 A.
AD B
C
分析 2:因为 D是 AB边上一点,即 A、D、B共线,
所以不妨设 AD =k AB .
所以CD = CA + AD = CA + k AB
= CA + k( CB - CA )=(1- k) CA + k CB .
根据向量基本定理知(1- k),k是使上式成立唯一存在的实数,
所以若 1- k=3
1,则 k=3
2.即 λ=
3
2.故选 A.
AD B
C
案例 16: △如图,在 ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O
的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若
AB =m AM��������������
, AC = n AN��������������,则 m+n的值为 .
A
B C O
N
M
分析:因为点 O是 BC的中点,
所以��������������AO=
1
2( AB + AC ).
因为 AB =m AM��������������
, AC = n AN��������������,
所以��������������AO=
1
2( m AM
��������������+ n AN
��������������)=
2
mAM��������������
+2
nAN��������������
.
因为M、O、N三点共线,
所以2
m+
2
n=1. 即 m+n =2.
建议七 : 提升综合应用向量解决问题的能力
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标, 体现了数形结合的思想。
1, ,
, ( )
, , , ( ),
, ( ), , ( ) ( ),
t R
a te a e
A a e B a a e
C e a e D a e a e
案例17:已知向量a e, e 对任意
恒有 则
2 2
2 2
2
2
2
2
: , ,
( ) ( ) , 1,
2 2 1 0 ,
( 2 ) 4(2 1) 0
( 1) 0, 1,
( ) 0. .
a te a e a te a e
a te a e
t a et a e t R
a e a e
a e a e
e a e a e e C
解一
e
对 恒成立
故选
1, ,
, ( )
, , , ( ),
, ( ), , ( ) ( ),
t R
a te a e
A a e B a a e
C e a e D a e a e
案例17:已知向量a e, e 对任意
恒有 则
a - ea
et e
解二:
解三:当然本题也可用建立坐标系求解
1, ,
, ( )
, , , ( ),
, ( ), , ( ) ( ),
t R
a te a e
A a e B a a e
C e a e D a e a e
案例17:已知向量a e, e 对任意
恒有 则
2 2 2 2 2 2
2
2
2
= = , )
, ) ( 1)
2 2 1 0 ,
(2 ) 4(2 1) 0,
( 1) 0, 1,
.
a x y
a te a e x t y x y
t xt x t R
x x
x x
C
解三:设e (1,0), (
则由 可得(
即 对 恒成立
故选
案例 18 : PQ 过△ OAB 的重心 G ,且 OP=mOA,OQ=nOB
求证: 311
nm
O A
B
G·P
Q证:如图建立坐标系, 设 ),(),0,(),()0,( 221 cbBaAyxQxP
所以重心 G 的坐标为 )3
,3
(cba
由 PO=mOA, QO=nOB 可知:OBnQOOAmPO , 求得 ),()0,( ncnbQmaP
由向量 可得:GQPG //
)3
,3
(c
maba
PG
)3
,3
(c
ncba
nbGQ
0)3
(3
)3
)(3
(
ba
nbcc
ncmaba
化简得: 311
nm
B
A
C
O
案例 19:给定两个长度为 1的平面向量OA��������������和OB
��������������,它们的夹角为120 ,如图所示,
点C在以O为圆心的圆弧 AB上变动,若OC xOA yOB ������������������������������������������
,其中 ,x y R ,则 x y
的最大值是
B
A
C
O
y
x
解法 1:建立如图所示的直角坐标系,则 (1,0)A , 1 3( , )
2 2B .
设 )1200( 00 AOC ,则 (cos ,sin )C .
又OC xOA yOB ������������������������������������������
1 3
( , )2 2
C x y y ,
所以
1cos
2
3sin
2
x y
y
,从而
sincos
32sin
3
x
y
.
因此 2)30sin(2cossin3 0 yx
即 x y 的最大值是 2(当且仅当 60 时取得等号)
B
A
C
O
y
x
解法 2:建立如图所示的直角坐标系,则 (1,0)A , 1 3( , )
2 2B ,且 1 3
( , )2 2
C x y y ,
又 | | 1OC ��������������
,所以 2 2 1x y xy .而2
22
2
)( yxyx
, 2)
2(
yxxy
,
所以4
)()
2(
2
)(1
22
222 yxyxyx
xyyx
,即 2 yx
(当且仅当 1x y 时取等号) , 所以 x y 的最大值是 2
解法 3:根据题意,显然 0x , 0y ,由OC xOA yOB ������������������������������������������
,
两边取模的平方得 2 2 1x y xy ,以下与方法二同.
B
A
C
O
解法 4:设 AOC ,则
,
,
OC OA xOA OA yOB OA
OC OB xOA OB yOB OB
���������������������������������������������������������������������� ��������������
���������������������������������������������������������������������� �������������� ,即0
1cos
21
cos(120 )2
x y
x y
∴ 02[cos cos(120 )] cos 3 sin 2sin( ) 26
x y
当且仅当 α= π3 ∴时取等号, x y 的最大值是 2
(案例 20:浙江高考题)
若非零向量 ,a b满足 a b b ,则 ( C )
A. 2 a a b B. 2 2 a a b
C. 2 b a b D. 2 2 b a b
分析 1:因为|a+b|=|b|,所以(a+b)2= b2.
所以 a2+2a·b= 0.
所以 a·(a+2b) = 0.
所以 a⊥ (a+2b).
因为 2b+a =(a+2b),
所以 2b是由 a、2b、a+2b构成的直角三角形的斜边.
所以|2b|>|a+2b|.
a b
2b
a
分析 2:同分析 1得 a2+2a·b= 0. 所以 a2=-2a·b.
因为|2b|>|a+2b| 4b2 >a2+4a·b+4b2 - a2<0.
故选 C.
故选 C.
(案例 21:上海高考题)
直角坐标系 xOy中,i,j分别是与 x,y轴正方向同向的单位向量.
在直角三角形 ABC中,若 AB =2i+j, AC =3i+kj,则 k的可能值
个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:因为 AB =2i+j, AC =3i+kj,
所以BC = AC - AB = i+(k- 1) j.
当 AB ⊥ BC时, 有(2i+j)·( i+(k-1) j) =0.
所以 2i 2+2(k- 1)i·j+i·j+(k-1) j
2=0. 即 2+(k- 1)=0.解得 k=-1.
当 AB ⊥ AC时,有(2i+j)·(3i+kj)=0.
所以 6i 2+2ki·j+3i·j+kj
2=0. 即 6+k=0. 解得 k=-6.
当 AC ⊥ BC时,有(3i+kj)·( i+(k- 1)j)=0.
所以 3i 2+3(k- 1)i·j+ki·j+k(k- 1)j
2=0. 即 3+k(k- 1)=0. 无解.
综上,k的可能值个数是 2.
故选 B.
将数轴 Ox,Oy的原点放在一点,且使∠xOy=45°,则得到一个
平面斜坐标系.设 P为坐标平面内的一点,其斜坐标定义如下:
OP��������������
=xe1+ye2 (e1、e2分别为与 x轴、y轴同向的单位向量),则
点 P的坐标为(x,y).设 F1(-1,0)、F2(1,0),则线段 F1F2的中
垂线在该坐标系下的方程为 .
分析:依条件得 1F P
��������������=(x+1,y), 2F P
��������������=(x-1,y).
因为 1F P��������������
=(x+1)e1+ ye2,
所以| 1F P��������������
|2=[(x+1)e1+ ye2]·[(x+1)e1+ ye2]
=(x+1)2+ y2+2(x+1)y×1×1×cos45°
案例 22 :
即| 1F P��������������
|2=(x+1)2+ y2+ 2 (x+1)y.
同理| 2F P��������������
|2=(x-1)2+ y2+ 2 (x-1)y.
由| 1F P��������������
|=| 2F P��������������
|,
得(x+1)2+ y2+ 2 (x+1)y =(x-1)2+ y2+ 2 (x-1)y.
化简整理得 2x+ 2 y =-2x- 2 y.
即 2x+ 2 y =0.
案例 23 :湖南高考题如图,OM∥ AB,点 P在由射线 OM、线段
OB及 AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)
运动,且OP��������������
=xOA��������������
+yOB��������������,则 x的取值范围是
;当 x=-1
2时,y的取值范围是 .
依题意易知 x <0才能满足已知条件.
当 x=-2
1时,OP
��������������=xOA
��������������+ yOB
��������������= (-
2
1+ y)OB
��������������+
2
1AB, 则 0<-
2
1+ y<1.
所以2
1<y<
3
2.
向量知识、向量观点在数学、物理等学科向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。在高中数学体系中,有合,形成知识交汇点。在高中数学体系中,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。过程。
搞好课堂教学设计的搞好课堂教学设计的““ 321321”” ———— 章建跃章建跃
三个基本点:三个基本点: 理解数学,理解学生,理解教学理解数学,理解学生,理解教学两个关键:提好的问题,设计自然的两个关键:提好的问题,设计自然的 过 程过 程一个核心:概括一个核心:概括
思考:三角形四心的向量表示
1. 已知 O是△ ABC所在平面上的一点,若点 O满足(AC
AC
��������������
�������������� -AB
AB
��������������
�������������� ) ·��������������AO= 0,
(BA
BA
��������������
�������������� -BC
BC
��������������
�������������� )·��������������BO =0,(
CB
CB
��������������
�������������� -CA
CA
��������������
�������������� )·��������������CO =0 (3 个中选 2 个即可),则 O △是 ABC
的 心.
2. 已知 O 是△ ABC 所在平面上的一点,若点 O 满足OA��������������
2=OB��������������
2= OC��������������
2,则 O △是ABC的 心.
3. 已知 O是△ ABC所在平面上的一点,若点 O满足OA��������������
+OB��������������
+ OC��������������
= 0,则 O △是ABC的 心.
4. 已知O是△ ABC所在平面上的一点,若点O满足OA��������������
·OB��������������
=OB��������������
·OC��������������
=OC��������������
·OA��������������,
则 O △是 ABC的 心.
5. 已知 O是△ ABC所在平面上的一点,若点 O满足|OA��������������
| 2+| BC |2=|OB��������������
|2+| CA |2=
| OC��������������
|2+| AB |2,则 O △是 ABC的 心.
谢谢 !