第三章 航天器姿态运动学和动力学

第三章 航天器姿态运动学和动力学3.1 航天器的姿态运动学3.2 航天器的姿态动力学3.3 航天器的一般运动方程3.4 姿态干扰力矩

航天器的姿态运动学是从几何学的观点来研究航天器的运动，它只讨论航天器运动的几何性质，不涉及产生运动和改变运动的原因；而航天器的姿态动力学则是研究航天器绕其质心运动的状态和性质。所以航天器姿态的运动方程须由两部分组成，一部分为通过坐标变换关系得出的运动学方程，另一部分则是以牛顿动力学定律( 如动量矩定律 ) 为基础的动力学方程。 本章中将航天器视作刚体。

第三章 天器的姿态运动学和动力学

3.1.1 常用参考坐标系 坐标系形式很多，每种坐标系都有其自己的特点，因此也就只适用于一定的范围，所以根据具体情况选择坐标系是必要的。一般来说，讨论航天器姿态运动常用的坐标系，主要有 4 种。

3.1 航天器的姿态运动学

1 ．惯性坐标系 所有的运动都要参照的基本坐标系是惯性坐标系， 2 ．质心平动坐标系 这是一个与惯性坐标系密切相关的坐标系。原点 O位于航天器质心， OX ， OY ， OZ 轴分别与某一惯性坐标系的坐标轴保持平行。 3 ．质心轨道坐标系 简称轨道坐标系。这是一个以航天器质心为原点的正交坐标系，如图 3 ． 1 所示。

O XYZ

质心轨道坐标系

4 ．本体坐标系 Oxyz 又称为星体坐标系。在此坐标系中，原点 0 在航天器质心， Ox ， Oy ， Oz 三轴固定在航天器本体上。若Ox ， Oy ， Oz 三轴为航天器的惯量主轴，则该坐标系称为主轴坐标系。

3.1.2 航天器的姿态运动学方程 在坐标系确定以后，航天器上任何一点的位置就可以在固联于星体的本体坐标系 Oxyz 中表示；若要描述三轴稳定航天器的对地定向运动，则要借助于质心轨道坐标系 ；若要讨论自旋卫星的章动运动时，就必须运用质心平动坐标系 OXYZ 。而各种坐标系之间的关系可以通过一系列旋转角来表示，这些旋转角称为欧拉角。具体地说可以通过 3 个欧拉角 , , 来确定本体坐标系 Oxyz 相对于其他坐标系的位置。

0 0 0Ox y z

以坐标系 Oxyz 和 OXYZ 为例，星体轴的位置可通过 3 次旋转达到 OXYZ 坐标轴的位置。旋转顺序具有多种形式，但不能绕一个轴连续旋转两次，因为连续两次旋转等同于绕这个轴的一次旋转。为此可以得出两类 12种可能的旋转顺序如下： 一类： 1-2-3 ， l-3-2 ， 2-3-1 ， 2-1-3 ， 3-1-2 ， 3-2-1 ； 二类： 3-1-3 ， 2-l-2 ， 1-2-1 ， 3-2-3 ， 2-3-2 ， 1-3-1 。显然，一类是每轴仅旋转一次，二类是某一轴不连续地旋转两次。下面详细介绍被称为经典欧拉转动顺序的“ 3-1-3” 旋转和“ 1-2-3” 旋转。

1 ．“ 3-1-3” 旋转 (1)OXYZ 一绕 OZ (“3”) 轴转 角 ：如图 3 ．2 所示，这两个坐标系之间的变换矩阵为

(3.1)

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

X X

Y Y

Z Z

O

(2) 绕 (“1”) 轴转 角 ：如图 3 ．3 所示，这两个坐标系之间的变换矩阵为

(3.2)

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

O O O

(3) 绕 (“3”) 轴转 角 ：如图 3 ． 4所示，这是最后一次旋转，此时已达到了航天器的本体坐标系 Oxyz 。两者的变换矩阵可推导为

(3.3)

O O Oxyz

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x

y

z

综合以上变换，坐标系 OXYZ 与 Oxyz 之间的直接转换关系即为

Z

Y

X

z

y

x

αβγαβα

若令 , 则通过 A 可以把质心平动坐标系 OXYZ 中表示的矢量分量变换成为本体坐标系 Oxyz 中表示的分量，即

(3.4)

A

Z

Y

X

z

y

x

A

若坐标系 Ozyz 中的分量已知，需要确定坐标系 OXYZ 中的分量，则利用两个坐标系之间正交变换的逆矩阵就等于它的转置矩阵这一性质，即

得到 （ 3.5 ）

1 T A A

z

y

x

Z

Y

XTA

其中

（ 3.6 ）

(3.7)

coscossinsinsin

sincoscoscoscossinsinsincoscoscossin

sinsincoscossinsincossincossincoscos

A

cossincossinsin

cossincoscoscossinsincoscossinsincos

sinsinsincoscoscossinsincossincoscosTA

这样，利用经典欧拉转动，通过 3 个欧拉角就将航天器的本体坐标系 Oxyz 和质心平动坐标系相互联系起来了。 基于欧拉转动顺序” 3-1-3” ，可以进一步将航天器的空间转动角速度 ω 在本体坐标系中的分量 用欧拉角表示，从而推导出航天器的姿态运动学方程。

,,

zyx ,,

中国新一代通信卫星---东方红三号

如图 3 ． 5 所示。将角速度 沿 和 轴分解，则 , 和 在正交坐标系 中的分量分别为：轴为 ， 轴为 ， 轴为 。再将 轴和 轴分量按 Ox 和 Oy 轴分解，其结果表示如下：

(3.8)

O

O

O

O

sin cos

cos

sincossin

cossinsin

z

y

x

O O

O O

或者以逆形式表示，即

（ 3.9 ）

式 (3 ． 8) 或 (3 ． 9) 即为航天器的一组姿态运动学方程。

csc)cossin(

sincos

cot)cossin(

yx

yx

yxz

2.“1-2-3” 旋转 类似地，也可以通过欧拉“ 1-2-3” 旋转将航天器的不同坐标系相互联系起来。例如从 出发，进行以下 3 次旋转： (1) 绕 (“l”) 转 角 (2) 绕 (“2”) 转 角 (3) 绕 (“3”) 转 角于是坐标系 Oxyz 和 之间的坐标变换关系即为

(3.10)

000 zyOx 0Ox O

O

000 zyOx

O OO

O

O Oxyz

000 zyOx

0

0

0

z

y

x

z

y

x

B

(3.11) 式中

(3.12)

z

y

x

z

y

xTB

0

0

0

coscoscossinsinsincossinsinsincoscos

cossincoscossinsinsinsincoscossinsin

sinsincoscos

coscoscossinsin

cossinsinsincoscoscossinsinsinsincos

sinsinsincoscossincoscossinsincoscos

osTB

B

同样可得按照 2-3-1 ， 3-1-2 ， 1-3-2 ， 2-1-3 ，3-2-1 等不同转动顺序的变换关系。当 时，即在小角度变化情况下， 可近似为 (3 ． 13)

其中欧拉角 分别称为俯仰角、偏航角和滚动角，而 Oz ， oy ， Oz 轴分别称为航天器的滚动轴、俯仰轴和偏航轴。

rad1,, B

1

1

1

B

,,

相应地，利用“ l-2-3” 姿态角也可以将 的分量表示出来，得到另一组航天器的姿态运动学方程，即

(3 ． 14)

或者以逆形式表示为 (3 ． 15)

ω zyx ,,

tan)sincos(

cossin

cos/)sincos(

yxz

yx

yx

sin

coscossin

sincoscos

z

y

x

卫星的动画

作为刚体的航天器的姿态动力学是以刚体的动量矩定理为基础的。因此在确定了描述航天器姿态运动的各种坐标系和运动学之后，了解刚体的动量矩定理就成为研究航天器姿态动力学的一个重要条件。

3.2 航天器的姿态动力学

3.2.1 动量矩定理 首先考察质点，如图 3 ． 6 所示，力 对点 的矩 (3 ． 16)其中矢径 ，且 A 在力的作用线上。因此，力矩矢量 ，垂直于由 和 作用线组成的平面 ,并且的指向按右手规则来确定。类似地，质点的动量 对点0 的矩可表示成 (3 ． 17)

它垂直于质点的矢径 和动量 所组成的平面，且 的指向也由右手规则确定。

F O

FrFm )(o

OAr)(Fmo r F

vm

)(Fmo

vrvm mmo )(

)( vm mor vm

静力学里曾指出，力对于通过点 O 的任一轴，例如 Oz轴的矩，等于它对点 O 的矩在该轴上的投影，并且可以写成 =该动量矩具有量纲

在国际单位制中，动量矩的常用单位是 。

12 时间长度质量时间长度

质量长度动量矩

)1212 smkg（秒米千克

zo )(Fm)(Fm z

设坐标系 Ozyz 是固定直角坐标系，以矢径 r 与牛顿第二定律的方程作叉乘，有

等号右端就是力 F 对原点 O 的矩 ，左端可以改造为

但 ，所以上式等号右端第二项等于零 ( 两个平行矢量的叉积等于零 ) ，而第一项就是质点对点 O 的动量矩矢量 对时间的导数。于是得

Frvr )(mdt

d

)(Fmo

vr

vrvr mdt

dm

dt

dm

dt

d )()(

vr

dt

d

)( vm mo

(3 ． 18)

即质点对任意固定点的动量矩对时间的导数，等于该质点所受的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。若 =O ，则 = 常矢量。即若质点所受的合力对某固定点的矩恒等于零，则质点对同一点的动量矩守恒。该结论说明了质点动量矩守恒的条件。 动量矩定理很容易由质点推广到质点系。按式 (3 ．18) 对质点系内每个质点写出动量矩方程，然后相加，得

)()( Fmvm oo mdt

d

)(Fmo)( vm mo

)()()( Fmmvmdt

dmvm

dt

dooo

其中末等号左端方括号中就是整个质点系对固定点 O 的动量矩，用 Ho代表，即 等号右端等于质点系所受合外力对点 O 之矩的矢量和，用 Mo 代表。内力成对地出现，它们对任一点之矩的矢量和恒等于零。于是有 (3 ． 19)

可见，质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于该质点系所受全体外力对同一点之矩的矢量代数和。这就是质点系动量矩定理。 特殊情况：若 ，则 Ho = 常矢量。

)(mvmHoo

oo

o MFmdt

dH )(

0)( Fmo

3.2.2 姿态动力学方程 设航天器在空间以角速度 旋转，其动量矩为 Ho 。为了方便起见，基准点选航天器本体坐标系 Oxyz 的原点，也即航天器质心 0 ， M 是作用在航天器相对于质心0 的合外力矩，所以航天器的动量矩即为 (3 ． 20)

式中，矢量 r 是刚体内相对于质心的矢径； dr/dt 是质量元 dm 在空间相对于质心的速度矢量； m 为航天器的总质量。于是在本体坐标系中，刚体的 和 M 可以分别表示成

dmdt

drrH

m

rHω ,,

(3.21) (3.22)

(3.23)

(3.24)

式中， 是航天器本体坐标系各轴的单位矢量，上两式右端的系数则是相应矢量沿各坐标轴的分量。将式（ 3.21 ）对时间 t求取导数，求动量矩 H 在空间的变化率，即 (3.25)

由于刚体在空间中以的角速度进行旋转，所以与其固连的本体坐标系各轴方向也在相应变化。

kjiω zyx

kjiH zyx hhh kjir zyx kjiM zyx mmm

kj,i,

dt

dh

dt

dh

dt

dhhhh

dt

dzyxzyx

kjikji

H

以知坐标轴单位矢量的导数公式是

(3.26)

代入式 (3.25),并根据动量矩定理得 (3.27)

因

所以式（ 3.27 ）在航天器本体坐标系中可以展开为

iωi

dt

djω

j

dt

dkω

k

dt

d

HωHH

M dt

d

kjiHω )()()( xyyxzxxzyzzy hhhhhh

kjikjiM )()()( xyyxzzxxzyyzzyxzyx hhhhhhhhhMMM

其在各轴的分量表示为

(3.29a)

或表示成矩阵矢量形式，即

(3.29b)

式 (3.29a) 或 (3.29b) 称为欧拉力矩方程式。

xyyxzz

zxxzyy

yzzyxx

hhhM

hhhM

hhhM

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

z

y

x

h

h

h

h

h

h

M

M

M

0

0

0

同理，对式 (3.23)求导也可得

若刚体内各质点相对于质心的位置不变，式 (3.20) 描述的动量矩即为 (3.30)

利用矢量叉乘公式，有

代入 (3.30) ，并考虑到式 (3.22), 则 

rωrr

dt

d

dmm r)(ωrH

jir)(ωr )()()()()()( 2222 yzzxxyxzxyzy zyxzyx

k)()()( 22 yxyzxy zyx

（ 3.31a ）

即 (3.13b)

式中， I 为惯性矩阵； Ix,Iy,Iz 分别为刚体绕坐标轴 Ox,Oy,Oz 的转动惯量； 称为惯量积。它们分别为

zzyyzxxzz

zyzyyzxyy

zxzyxyxxx

IIIh

IIIh

IIIh

z

y

xdef

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

z

y

x

III

III

III

h

h

h

I

xzyzxy III ,,

2 2( )x mI y z dm 2 2( )y m

I x z dm 2 2( )z m

I y x dm mxy dmxyI )(

myz dmyzI )( mxz dmxzI )(

惯量积的数值可正可负，它们与坐标系的选取密切有关。如果在某一坐标系中， ，则该坐标系称为主轴坐标系， OX,Oy,Oz 轴就是刚体的主惯量轴。因此，如果取航天器的本体坐标系为主轴坐标系，则有 （ 3.32 ）

把它们代人欧拉力矩方程 (3 ． 29) ，并忽略质量变化就可以以得到 (3 ． 33)

这就是基于本体坐标系的航天器的姿态动力学方程组，也称为欧拉动力学方程。

0 xzyzxy III

zzz

yyy

xxx

Ih

Ih

Ih

zxyyxz

z

yzxzxy

y

xyzzyx

x

MIIdt

dI

MIIdt

dI

MIIdt

dI

)(

)(

)(

3.3.1 六自由度运动方程 设作为刚体的航天器质量为 m ，质心为 O ，坐标系是质心轨道坐标系，坐标系 Oxyz 是本体坐标系，且坐标轴 Ox ， Oy ， Oz取为航天器主惯量轴，坐标系是惯性坐标系， F 是所有作用在航天器上的合外力矢量，M 是所有作用在航天器上相对于 O 点的合外力矩矢量。 根据牛顿第二定律，相对于质心 O 的动力学方程在惯性坐标系中的投影式为 (3.34)

式中， 为 F 在坐标系 各轴上的投影分量。

3.3 航天器的一般运动方程

z

y

x

Fzm

Fym

Fxm

zyx FFF ,, XYZO

实际上，式 (3 ． 34) 当中的由式 (2 ． 7) 、 (2 ． 8) 和(2 ． 9) 表示，即 (2 ． 8)

(2 ． 7)

(2 ． 9)而在第二章中讨论的二体轨道运动方程式 (2 ． 21) 正是式 (3 ． 34) 在以下特殊条件下的极坐标形式： (1) 式 (2 ． 7) 中 n=2 ； (2) 式 (2 ． 8) 中 = 0 。

其他FFF g

)(1

3 ji

n

ijj ji

jig r

mGm rF

干扰太阳压力阻力推力其他 FFFFF

其他F

又根据对质心的动量矩定理，航天器绕质心 O 运动的姿态动力学方程在本体坐标系 Oxyz 中的投影式为

(3.33)

zxyyxz

z

yzxzxy

y

xyzzyx

x

MIIdt

dI

MIIdt

dI

MIIdt

dI

)(

)(

)(

式中， 是 M 沿航天器主惯量轴的分量； 是航天器空间转动角速度 沿主惯量轴的分量，它们与欧拉角 的关系是

（ 3.15 ）

联立式 (3 ． 34) 、 (3 ． 15) 和 (3 ． 33) 三组方程就得到了刚性航天器一般运动的全部运动

zyx MMM ,, zyx ,,

sin

coscossin

sincoscos

z

y

x

,,

3.3.2 六自由度线性化运动方程 根据刚体复合运动关系知道，航天器的空间旋转角速度 等于航天器本体坐标系 相对于质心轨道坐标系 的旋转角速度矢量 与质心轨道坐标系 对于惯性坐标系 的牵连角速度 之和，即

(3.35)

ω Oxyz 000 zyOx

rω 000 zyOx

XYZO eω

er ωωω

将该式投影至航天器本体坐标系上则有

(3.36a)

(3.36b)

(3.36c)

(3.36d)

式中，变换矩阵 B 由式 (3.12) 描述； 为航天器绕中心引力体旋转的轨道角速度。

er Bωωω

Tzyx ω

Tr ω

Te 00 0ω

0

考虑到若两个角 α 和 β均满足 ，则以下近似关系成立： 所以，航天器姿态在小范围变化时，当 时，式 (3.12) 描述的矩阵 B 即可简化为式 (3.13) 的形式。

rad1,

sincossin

0sinsin

sin 1cos

rad1,,

将 ɯ ， ɯr, ɯe 和 B均代入式 (3.36) ，便有

即

(3.37)

0

0

1

1

1

0

z

y

x

0

0

0

z

y

x

将式 (3.37)代入航天器的姿态欧拉动力学方程 (3.33)就可以得航天器的线性化姿态动力学方程，即 (3.38)

忽略轨道角速度耦合作用时（或 很小，例如同步轨道），则式（ 3.38 ）可以简化为 （ 3.39 ）

显然，这是一组航天器姿态的解耦动力学方程。

200

200

)()(

)()(

xyxzyzz

yy

zyxzyxx

IIIIIIM

IM

IIIIIIM

0

zz

yy

xx

IM

IM

IM

对于式（ 3.38 ）进行拉普拉斯变换，就得到航天器姿态控制的被控对象传递函数，其结构框图如图 3.7 所示。

同步卫星

在轨道上运动的航天器受各种力 ( 通过航天器质心 )和力矩 ( 不通过航天器质心 ) 的作用，其中这些力矩使航天器的姿态产生扰动。 作用于航天器的扰动力矩有气动力矩、重力梯度力矩、太阳辐射力矩，以及空间微粒碰撞产生的力矩等。扰动力矩是相对的，在有些情况下可把上述扰动力矩作 为姿态稳定力矩，如重力梯度稳定、磁稳定等。 下面简要介绍几种主要的扰动力矩。

3.4 姿态干扰力矩

3.4.1 气动力矩 飞行经验表明气动力矩能显著地干扰航天器姿态，特别是影响自旋卫星的自旋速度。因而在航天器姿态控制系统设计中， 1 000 km 以下的轨道，气动力矩必须予以考虑，特别是 500 km 以下的轨道，气动力矩是主要的空间环境干扰力矩。当轨道高度在 120 ～ 1 000 km时，气动力矩可以用自由分子流理论来计算，也就是认为大气分子的平均自由行程大于航天器的特征尺寸 。 在设计航天器姿态控制系统时，气动力矩可表示为 (3 ． 40)式中， D 为气动力矢量，其值由式 (2 ． 59) 表示； L为压心相对于航天器质心的矢径。

LDM d

bfgfc

3.4.2 重力梯度力矩 重力梯度力矩是因航天器各部分质量具有不同重力而产生的。航天器由重力梯度所引起的最大力矩的保守值在本体坐标系三个轴上的投影估计为 (3 ． 41a) (3 ． 41b) (3 ． 41c)式中， r 为轨道半径或航天器质心到引力体中心的距离。

)(3

3 yzgx IIr

M

)(3

3 xzgy IIr

M

)(3

3 yxgz IIr

M

3.4.3 磁干扰力矩 磁干扰力矩是由航天器的磁特性和环境磁场相互作用而产生的。确定这个力矩需要知道环境磁场 ( 如地磁场 )的强度和方向、航天器的磁矩，以及这个磁矩相对于当地磁场向量的方向。它可以粗略地表示如下：

式中， P 为航天器的剩余磁矩， P 为其数值； B 为航天器所在高度的环境磁场强度， B 为其数值； β 为环境磁场与磁矩的夹角。

sinPBBPMM MM

3.4.4 辐射力矩 辐射力矩主要是由于太阳的直接照射以及航天器质心和压心不重合所引起的。对于在地球轨道上的航天器，还存在着另外两种辐射源，即地球反射的太阳光和地球及其大气层的红外辐射。航天器上的电磁能 (典型的有红外线或无线电讯号 ) 的不对称辐射也应看作是一种辐射源。

决定辐射力矩的主要因素是：

(1) 入射辐射或反射辐射的强度、频谱及方向。

(2) 表面形状及太阳面相对于航天器质心的位置。

(3) 辐射入射表面或辐射发射表面的光学性质。

辐射力矩可表示为

式中， f为辐射压力矢量，其数值由式 (2 ． 61) 计算；． L 为辐射压心相对于航天器质心的矢径。

LfM f

为了具体比较上述 4 种扰动力矩大小，图 3 ． 8 显示出这些扰动力矩的计算值。 一般来说，占优势的力矩在低高度轨道是气动力矩，在高轨道 ( 在 1 000 km 以上 ) 是太阳辐射力矩，当高度降至 700 km 时，太阳辐射力矩和气动力矩是同数量级的。在中高度的轨道 (1 000 km左右 ) 主要扰动力矩是重力梯度力矩和磁力矩。 姿态扰动力矩在绝对值上不一定很大，特别对于高轨道航天器，但是由于它们作用于航天器的时间长，成为影响航天器姿态精度的重要因素，所以姿态控制成为航天控制技术的又一重要方面。

3.4.5 小结