Решение заданий В5 площади многоугольников по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года
Jan 12, 2016
Решение заданий В5
площади многоугольников
по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года
Теорема ПикаПусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
S = L + B/2 – 1
Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
1см
Теорема Пика
Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтомуS = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.
1см
Площадь прямоугольного треугольника
Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.
Тогда справедливы формулы:
21
S = ab
a
b
21
S = ch
c
h
Площадь произвольного треугольника
Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
21
S = aha
a
ha
a
ha
Площадь параллелограмма
Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
S = aha
a
ha
haa
Площадь трапеции
Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции.
Тогда справедлива формула:
b
h
2a + b
S = h
a
b
h
a
Площадь четырехугольника
Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
21
S = d1d2 sin
α
d2
d1 α
d2
d1
α
Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5.
Решение: abS
21
7
3
1см
.,S 5107321
Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
aahS21
8
4
1см
.S 168421
ha
Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS21
.S 128321
81см
ha3
Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS21
.S 126421
4
6
1см
ha
Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS21
.S 128321
3
8
1см
ha
Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33.
Решение: п/уΔ SS
.33827472
1см
18
9
8
6
8
2
1ΔS
2ΔS3ΔS
98ΔS 1821
6921
2821
Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15,5.
Решение: п/уΔ SS
.,, 515452143672
1см
7
9
8
1
5
1ΔS2ΔS
3ΔS
98ΔS 9821
4721
1521
4
14
1у/пS
Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 50.
Решение: 2aS
1см
17
5014917 222 а
по теореме Пифагора:
а
а
50S
Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 20.
Решение: abS
1см
2
6
4043626 222 а
по теореме Пифагора:
а
204001040 S
b
1
3101913 222 b
40а
10b
Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
1см
2121
ddS
4
8
164821
S
Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17,5.
Решение:
1см
5
517235
34521
,S
43
121
ahS
S 1ΔS
2ΔS
2121
hhaS
221
ah
Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 8.
Решение:
1см
6
846821
S
121
ahS
S 1ΔS
2ΔS
2121
hhaS
221
ah4
8
Задания открытого банка задач13. Найдите площадь трапеции, изображенной
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 30.
Решение:
1см
hba
S
2
5
4
305248
S
8
Задания открытого банка задач
Ответ: 36.
Решение:
1см
hba
S
2
7
2
368227
S
8
14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 28.
Решение:
1см
72874 S
4
aahS
Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 25,5.
Решение: п/уΔ SS
.,, 52552851372
1см
5
9
8
3
7
1ΔS
2ΔS3ΔS
98ΔS 9321
8721
2521
2
Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (1 способ)
1см
7
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2
3
513227
27321
,S
121
ahS
S 1ΔS
2ΔS
2121
hhaS
221
ah
Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (2 способ)
1см
hba
Sтрапеции
2
7
5387229
1 ,S
9
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
2
1
2224
229
2
S
22221
3 S
11221
4 S
51312225384321 ,,SSSSS
S2
S3
S4
Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 51.
Решение: п/уSS
.5166972
1см
6
9
8
2
3
1ΔS
2ΔS у/пS
98S 6321
2621
23
6
Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 31.
Решение: п/уSS
.3153672
1см
9
8
2
1ΔS
2ΔS
98S 9821 25
21
5
Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33,5.
Решение:
п/уSS
.,, 533785756
1см
7
8
2
1ΔS 2ΔS
78S 3521
2821
5
3ΔS
3
2721
2
Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24.
Решение:
кв.б.SS
.24251564
1см
8
8
3ΔS2 .кв.мS
88S 3521
2 55
5
5 3
Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14,5. 1см
7
8
3
4
53
Решение:
п/уSS
.,, 514151651056
1ΔS
2ΔS
78S 3721
4821
у/пS
35
Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18. 1см
7
8
Решение:
S
.181028
ΔS
7821
S
2273
3
трапецииS
2
Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
1см 4
4
4
4
Решение: (1 способ)Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.
4√2
4√2
Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16. 1см
Решение: (2 способ)
L = 15 (красные точки),
B = 4 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 15 + 4/2 – 1 = 16
Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5. 1см
Решение: (1 способ)
9
9
54
5
3
5
4
6
кв.SS
.,, 51916512181581
1ΔS
2ΔS
99S 6521
4921
3ΔS
5521
4253
.трапS
Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5. 1см
Решение: (2 способ)L = 16 (красные точки),
B = 9 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5