Теорема Пика

Решение заданий В5

площади многоугольников

по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года

Теорема ПикаПусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S = L + B/2 – 1

Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

1см

Теорема Пика

Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтомуS = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

1см

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.

Тогда справедливы формулы:

21

S = ab

a

b

21

S = ch

c

h

Площадь произвольного треугольника

Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

21

S = aha

a

ha

a

ha

Площадь параллелограмма

Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

S = aha

a

ha

haa

Площадь трапеции

Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции.

Тогда справедлива формула:

b

h

2a + b

S = h

a

b

h

a

Площадь четырехугольника

Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.

Тогда справедлива формула:

21

S = d1d2 sin

α

d2

d1 α

d2

d1

α

Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 10,5.

Решение: abS

21

7

3

1см

.,S 5107321

Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

Решение:

aahS21

8

4

1см

.S 168421

ha

Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS21

.S 128321

81см

ha3

Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS21

.S 126421

4

6

1см

ha

Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12.

Решение:

aahS21

.S 128321

3

8

1см

ha

Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 33.

Решение: п/уΔ SS

.33827472

1см

18

9

8

6

8

2

1ΔS

2ΔS3ΔS

98ΔS 1821

6921

2821

Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 15,5.

Решение: п/уΔ SS

.,, 515452143672

1см

7

9

8

1

5

1ΔS2ΔS

3ΔS

98ΔS 9821

4721

1521

4

14

1у/пS

Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на

клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 50.

Решение: 2aS

1см

17

5014917 222 а

по теореме Пифагора:

а

а

50S

Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 20.

Решение: abS

1см

2

6

4043626 222 а

по теореме Пифагора:

а

204001040 S

b

1

3101913 222 b

40а

10b

Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

Решение:

1см

2121

ddS

4

8

164821

S

Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 17,5.

Решение:

1см

5

517235

34521

,S

43

121

ahS

S 1ΔS

2ΔS

2121

hhaS

221

ah

Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 8.

Решение:

1см

6

846821

S

121

ahS

S 1ΔS

2ΔS

2121

hhaS

221

ah4

8

Задания открытого банка задач13. Найдите площадь трапеции, изображенной

на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 30.

Решение:

1см

hba

S

2

5

4

305248

S

8

Задания открытого банка задач

Ответ: 36.

Решение:

1см

hba

S

2

7

2

368227

S

8

14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 28.

Решение:

1см

72874 S

4

aahS

Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 25,5.

Решение: п/уΔ SS

.,, 52552851372

1см

5

9

8

3

7

1ΔS

2ΔS3ΔS

98ΔS 9321

8721

2521

2

Задания открытого банка задач

Ответ: 13,5.

Решение: (1 способ)

1см

7

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2

3

513227

27321

,S

121

ahS

S 1ΔS

2ΔS

2121

hhaS

221

ah

Задания открытого банка задач

Ответ: 13,5.

Решение: (2 способ)

1см

hba

Sтрапеции

2

7

5387229

1 ,S

9

18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4

2

1

2224

229

2

S

22221

3 S

11221

4 S

51312225384321 ,,SSSSS

S2

S3

S4

Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 51.

Решение: п/уSS

.5166972

1см

6

9

8

2

3

1ΔS

2ΔS у/пS

98S 6321

2621

23

6

Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 31.

Решение: п/уSS

.3153672

1см

9

8

2

1ΔS

2ΔS

98S 9821 25

21

5

Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 33,5.

Решение:

п/уSS

.,, 533785756

1см

7

8

2

1ΔS 2ΔS

78S 3521

2821

5

3ΔS

3

2721

2

Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 24.

Решение:

кв.б.SS

.24251564

1см

8

8

3ΔS2 .кв.мS

88S 3521

2 55

5

5 3

Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 14,5. 1см

7

8

3

4

53

Решение:

п/уSS

.,, 514151651056

1ΔS

2ΔS

78S 3721

4821

у/пS

35

Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 18. 1см

7

8

Решение:

S

.181028

ΔS

7821

S

2273

3

трапецииS

2

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16.

1см 4

4

4

4

Решение: (1 способ)Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.

4√2

4√2

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 16. 1см

Решение: (2 способ)

L = 15 (красные точки),

B = 4 (синие точки),

тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19,5. 1см

Решение: (1 способ)

9

9

54

5

3

5

4

6

кв.SS

.,, 51916512181581

1ΔS

2ΔS

99S 6521

4921

3ΔS

5521

4253

.трапS

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника,

изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19,5. 1см

Решение: (2 способ)L = 16 (красные точки),

B = 9 (синие точки),

тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5