מי מפחד מגאוס ?. קרל פרידריך גאוס. קרל פרידריך גאוס חיי במאות 18 19. נולד בגרמניה , היה מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים. גאוס עסק באלגברה, תורת המספרים, גאומטריה דיפרנציאלית, תורת הכבידה, תורת החשמל ומגנטיות, אסטרונומיה ועוד. גאוס הגדיר מושג הנקרא: שטף חשמלי. ננסה להבין מושג זה. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
קובץ זה נועד אך ורק לשימושם האישי של מורי הפיזיקה ולהוראה בכיתותיהם אין לעשות שימוש כלשהו בקובץ זה לכל מטרה אחרת ובכלל זה שימוש מסחרי פרסום באתר אחר )למעט אתר בית הספר בו מלמד המורה( העמדה
לרשות הציבור או הפצה בדרך אחרת כלשהי של קובץ זה או כל חלק ממנו
קרל פרידריך גאוסקרל פרידריך גאוס
19 18קרל פרידריך גאוס חיי במאות
היה מגדולי נולד בגרמניההמתמטיקאים של כל הזמנים
גאוס עסק באלגברה תורת המספרים גאומטריה דיפרנציאלית תורת
הכבידה תורת החשמל ומגנטיות אסטרונומיה ועוד
גאוס הגדיר מושג הנקרא
שטף חשמלישטף חשמלי
ננסה להבין מושג זה
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
קרל פרידריך גאוסקרל פרידריך גאוס
19 18קרל פרידריך גאוס חיי במאות
היה מגדולי נולד בגרמניההמתמטיקאים של כל הזמנים
גאוס עסק באלגברה תורת המספרים גאומטריה דיפרנציאלית תורת
הכבידה תורת החשמל ומגנטיות אסטרונומיה ועוד
גאוס הגדיר מושג הנקרא
שטף חשמלישטף חשמלי
ננסה להבין מושג זה
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
גאוס הגדיר מושג הנקרא
שטף חשמלישטף חשמלי
ננסה להבין מושג זה
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו
Slide 64
Slide 65
Slide 66
Slide 67
Slide 68
Slide 69
Slide 70
Slide 71
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
PowerPoint Presentation
קרל פרידריך גאוס
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם יגדל אבל השדה על פניה יקטן
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפת
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זו