第八章 多元函数微分法 及其应用

第八章第八章

多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用

返回返回

高等数学（ XAUAT）

练习题解答练习题解答

重点难点重点难点

基本概念基本概念

计算方法计算方法 练习题

典型例题

定理结论

习题课结构

高等数学（ XAUAT）

一 . 本章的重点、难点、此次习题课达到的目的

重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元 函数求极值。

难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。

习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全微分的概念，熟练掌 握偏导函数的计算方法。

高等数学（ XAUAT）

2.二元函数偏导数

0 0 0 00 0 0 0

, ,, lim limx

x x x

f x x y f x yzf x y

x x

记

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

, ,

, lim , ,

, , .

x xy y

f x y D P x y D

P D f x y f x y

f x y P x y

设函数 在区域 内有定义， 是 的内点

或边界点，且 如果 则称函数

在点 连续

0 0 0

0 0 0 00 0

0 0

, , .

, ,lim ,

,

x

z f x y P x y y

f x x y f x yy z f x y

xx y x

设函数 在点 的某一邻域内有定义当 固定在

而极限 存在，称 在

关于 的偏导数存在.

1.二元函数连续.二基本概念

高等数学（ XAUAT）

0 0 0 00 0

0 0

, ,, lim limy

yy y

z f x y y f x yf x y

y y

0 0 0 00 0

0

, ,, lim x x

xyy

f x y y f x yf x y

y

二元函数偏导数的几何意义。

同理有

轴 0 0 0 0. , ,x y f x y x 0 0,xf x y 是曲线 在点 的切线与

tan x正向夹角的正切 （即切线对

0

,{z f x yy y

轴的斜率）

3. 全微分 若函数 ,z f x y 在点 ,x y 的全增量 z 可表为

( , ) ( , ) ( )z f x x y y f x y A x B y o

其中,A B 与 ,x y 无关，仅与 有关，,x y 2 2x y

高等数学（ XAUAT）

'

0

2

0

'

2

( , ) ( , ) ( ) (lim l

( , ) ( , ) ( )

,

( , )

imf x x y y f

z f x y P x y p

p l x l

p x x

x y f p f p

y y l

x y

设函数 在点 的某一邻域U

内有定义。自点 引射线 设 轴正向到射线的转角

为 ，并设 为上另一点

若

存在

）

，（ = ）

( , ) , )z f x y x y x B y 在点（ 的微分 dz=Ay z

dz dx dyx y

全微分公式:

4.方向导数

称函数 .f

f x y P ll

（ ， ）在 点沿方向的方向导数存在,记为

, )x y称函数在点（ 可微，而函数

高等数学（ XAUAT）

x

y

y

x

'p

p

l

0

0

'lim

f p f pf

l

既

cos si

, ,

nf f f

l x

z f y y

y

x p x

方向导数计算公式： 若 在 是可微的

则

,

1 2

1 2

, , . ,

{1,0}, {0,1}

' { 1,0} ' {0, 1}

x yf x y p x y f f f x y p

x e y e x

e y e

若 在点 的偏导 存在则 在点

沿 轴正向 轴正向 ， 轴负方向

， 轴负方向 的方向导数存在

1 1

2 2

x x

y

f ff f

e e

f ff f

e e

且

高等数学（ XAUAT）

( , ) D

( , ) ( , )

z f x y

f fi j z f x y p x y

x y

设函数 在平面区域 内具有一阶连续偏导

数,称 为函数 在点 的梯度.

22

( , )f f

f x yx y

梯度的模：grad

( , )f f

f x y i jx y

gra d 记

5.梯度

22

max

( , )f f f

f x yl x y

grad

梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值，

即

tan

fxx f

y

梯度与 轴正向转角的正切为

高等数学（ XAUAT）

z f u f v f w

x u x v x w x

Z W y v U x

三.计算方法

,z f x y1.多元显函数 偏导数的计算

2.多元复合函数求偏导

注意：分段表示的函数求偏导数时，各段上用公式求， 分段点 一般而言，分段函数的偏 导数仍为

处用定义求.

分段函数.

. . . , . , . ,

[ , , , , , ]

z f u v w u u x y v v x y w w x y

xz f u x y v x y w x y

若 其中

那么. 的偏导公式为

x y y x对（或 ）求偏导.把（或 ）看成常量。

高等数学（ XAUAT）

（1） 先画出复合函数的连锁图（如上页图）

3

d

dx x

（ ） 公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时.

求导记号用 ，多于一个时用 。

求多元复合函数的偏导数时，可用连锁规则：具体做法

（2） 连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条， 公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几 个偏导数（或导数）因子相乘。

高等数学（ XAUAT）

' ' ', , ,x y zF F F x y z求 、 、 时，将 看作注意： 相互独立的。

3. 隐函数求导

( ) ( ) ( )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

u v w

u x y v x y w x y

dz f du f dv f dw

f u dx u dy f v dx v dy f w dx w dy

g x y dx h x y dy

u ug x y h x y

x y

则

（4） 利用一阶全微分形式的不变性质

''

' '

yx

z z

FFz z

x F y F

( , , ) 0

( , , ) 0 , ( , )

F x y z

F x y z z x y z f x y

a. 如果方程 满足隐函数存在定理的条件 可由方程 确定 是 的函数：

高等数学（ XAUAT）

( , ) 0

( , ) 0 x

y

F x y

FdyF x y

dx F

b. 方程 满足隐函数存在定理的条件

确定函数 y=f（x）且

F X Y z X

Y

以上公式可利用复合函数求导推得

{ , , ( , )} 0 ,

'' ' ' 0 '

'

'' ' ' 0 '

'

xx z x x

z

xy z y y

y

F x y f x y x y

FzF F f f

x F

FzF F f f

y F

方程 两边分别对 求偏导

有 得

得

''

'

.

xxy x

z

xy

Ff f y

F

z y f

2.求二阶偏导数 时，方程 继续对

求偏导， 是x, 的函数，解出 其他同理。

1. , , .x y z x y注意：方程两边求导时， 相互独立， 是 的函数

高等数学（ XAUAT）

0 0 0 0

1 , ,

( , , )

x t y t z w t

t t M x y z

（）若向量曲线 由方程 给出

则曲线 上对应于 的点 的切向量为

, ,

( , )0

( , )u v

u v

u v x y

F FF GG GU V

F（x，y，u，v）=0c. 如果方程组 满足隐函数存

G（x，y，u，v）=0

在定理条件则方程组可确定 是 的函数，这时，

若 J =

, ,

x

u v u v

x x y y

则：方程组中的每个方程两边对 求偏导数，

得到新方程组，解出 同理可得

4. 空间曲线的切线和法平面方程

高等数学（ XAUAT）

0{ }T t ��������������

0 0（t）， （t）， （ ）

0 0

0 0) ( ) 0

y y z z

t z z

0

0 0 0

0 0 0

x-x切线方程：

（t） （t） （t）法平面方程：（ )(x-x）+ (t )(y-y

( , , ) 0

( , , ) 0

F x y z

G x y z

若曲线 为

曲线 的切向量为

, ,y z x yz x

y z x yz x MM M

F F F FF FT

G G G GG G

高等数学（ XAUAT）

5. 曲面的切平面与法线

0 0 0

z xy z x y

z xy z x yMM M

x x y y z zF FF F F F

G GG G G G

切线：

0 0

0 0

0 0

0

( , , ) 0 ( , ,

, ,

)

x y zn F M F

F x y z M x y z

M F M

若曲面 由方程 给出，则曲面 在点

法向量为 处的

0 0 0 0y z x yz x

y z x yz x MM M

F F F FF Fx x y y z z

G G G GG G 法平面：

高等数学（ XAUAT）

0 0 00 0 0( , ) , , , , 1x yn f x y f x yM x y 在点 处的法向量:

0 0 0 0 0 0x y zF M x x F M y y F M z z 切平面：

0 0 0

0 0x y z

x x y y z z

F M F M F M

法 线：

0 0( , ) ( , )z f x y M x y 特殊：若 由 给出，则 在点 处

0 0 0

0 0 0 0, , 1x y

x x y y z z

f x y f x y

法 线 ：

0 0 0 0 0 0 0, , 0x yf x y x x f x y y y z z 切平面：

高等数学（ XAUAT）

+ +注意：根号前要取“ ” 号都取“ ” 号，表示法线的一个方向。 根号前要取“ -” 号都取“ -” 号，表示法线的另一个方向。

0 0 0 0 0

0 0

0

0

0

( , ) ,

, ( , )

, , , , ,xx xy yy

z f x y x y

x y f x

f x y B f x f x y

y

y C

1 设 在点 的某邻域内存在直到二阶连续偏导，

且 为 的驻点

A= 记

2 2 2 2

2 2 2

2 2

cos ,cos1 1

1cos cos cos cos 1

1

yx

x y x y

x y

ff

f f f f

r rf f

有

法向量的方向余弦为

6. 求多元函数极值

高等数学（ XAUAT）

该驻点处的函数值即为所求的最值。

2) 0ACi i Bi 时,不能判断。

20 0) 0 ,AC B fii x y 时, 处不取极值。

20 00 ,

0

)i AC B f x y

A

时, 在点 处取极限。且A< 0时为极大

值, 时为极小值。

,

D

f x y D D

f

注：把函数 在定义 内所有驻点处的函数值与 的边

界上的最值进行比较，可得 在 上的最值。

Df D

在实际问题中，可根据该问题的实际意义判断,若已知目标函数 的最值一定再 内取得，又 内的驻点唯一,

则可直接下结论：

高等数学（ XAUAT）

0 0) ,iii x y f判断 是否为 的极值点。一般实际问题中往往由

问题本身性质来判断

,) , ,F x y x y x yi f 作辅助函数

, , 0y f x y x y 用拉格朗日数乘法求函数 在条件

限制下的极值。

（2）求条件极值

0 0

0

, 0

,0)

x x

y y

Ff

xF

ii x yfy

Fx y

解方程组 求出可能的极值点

高等数学（ XAUAT）

. 四 定理及结论：

连续

可微

可偏导 偏导连续

二重极限存在

0 0, ,f x y x y在点 处

高等数学（ XAUAT）1

22 2 3 2 2 2

(2, )

cos 2 2 sin 2u

e e ex y

1sin cos .x xu x x

e ex y y y

解：

2 1sin . 2x x u

u ey x y

1. 设 求 在点 ， 处的

. 五 典型例题

2

2 2 2

2 3 2

2 3

1 1cos . sin . . cos

cos sin cos

1 cos sin

x x x

x x x

x x

u x x x x xe e e

x y y y y y y y y

xe x xe x e x

y y y y y y

e x xe xx

y y y y

=

=

高等数学（ XAUAT）

2

2

2

1 1( ) ( ) ( )

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

zf xy f xy y y x y

x x x

zf xy x f xy f xy x y x y

x y x x x

y x y

yf xy x y y x y

解：

sin sin

sin

cos cos

cos

xy xy

xy

z zdz dx dy

x y

e xy y dx e xy x dy

e xy y dx x dy

解：

sin2. ,xyz e dz设 求

213. ( ) ( ), .

zz f xy y x y f

x x y

设 具有二阶连续导数，求

高等数学（ XAUAT）

2 2 2( , , ) 2 0F x y z xyz x y z 解：令

2 2 2

2 2 2

( )

)(

2 2

yxz

z zx y zxyy x y z

z z zdz dx dy dx dy

x x y

(1, 0, -1)

由轮换对称性知:

2 2 2 2 ( , )xyz x y z z z x y 4. 由方程 所确定的函数

在点(1, 0, -1)处的全微分。

1z

x

(1, 0, -1)

2 2 2

2 2 2

( )

)(x

z

xyz

Fz zx y zxyx F x y z

高等数学（ XAUAT）

2 '

0,1, 1

2

2

0,1, 1

: , , , 0,1, 1

2

, , 0

11

2 1

1

1

xx

x x

x

z

xx

uu f x y z e yz f

x

u f f z ze yz yze

x x z x xF x y z x y z xyz

Fz yzxyx F

yze yzue yz

x xy

u

x

解 令 则 即为

令

uf

x

y

zx

y

=

2

'

, , , ,

0 , 0,1, 1 .

x

x

f x y z e yz z z x y

x y z xyz f

5. 设 其中 是由方程

确定的隐函数 求

高等数学（ XAUAT）

2

1 2

1 2

1 2

y

z

vcz v y

u vy a bu z v z

ac bcz za b c

x y a b

u

v

x

z

z

y

, ,

, .

u v cx az cy bz

z zz f x y a b c

x y

6. 设 具有连续偏导数,证明方程 =0

所确定的函数 满足

1 1

1 2 1 2

x

z

uz u x

u vxu z v zc c

a b a b

, , ,x y z cx az cy bz 解： =0

高等数学（ XAUAT）

, ,x y t

y x

y x t x

分析：题目中两个方程组成的方程组中含有三个未知量 而两个方程只能确定两个未知量. 因此，这两个未知量 是第三未知量的函数，而题目的证明结论中出现了 对 的导数，说明应确定方程组 是 的函数，是 的函数.

, , , , 0 , ,

, ,

y f x t t F x y t x y

f F

f F f Fdy x t t x

f F Fdxt y t

7. 设 而是由 所确定的 的函数

其中 都具有一阶连续偏导数 试证明

高等数学（ XAUAT）

F f Fdt x x y

f F Fdxt y t

也可得：

,dy dt

dx dx 将 看成未知量

0

0

y x t x

x

dy f f dt f F f Fdydx x t dx x t t x

f F FF F dy F dt dxt y tx y dx t dx

y- f (x, t)=0 方程组 确定了 、 ，方程

F(x, y, t)=0

两端对 求导

- 得

解：

高等数学（ XAUAT）

1 1

1

z y x

z y x

x edz dx dy

xe

所以

, 0

.

z y xz f x y z y x xe

dz

8. 设 是由方程 所确定的

二元函数，求

0z y x z y xdz dy dx dxe xe dz dy dx

将方程两端取微分,得：

解:

1 1 1z y x z y x z y x z y xxe dz xe e dx xe dy

整理后得:

高等数学（ XAUAT）

2

12 2 222 2

2 12 222 2 3

1 1cos sin

1cos sin

z x xxy yx xy

x y y y y y

x xxy xy xy

y y y

2

9. sin , ,

.

x zz xy x u v

y x y

设 ，求 ，其中

有二阶偏导数

11 2cos y

zy xy

x

解：

高等数学（ XAUAT）

3 2

4 3 6 20

y z

x

法线为:

2

0

2 1210.

0

, 2

yy

z

M

23x求由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面

在 0, 3 处的法线方程.

0 0

2 2 2

0

3 2 3 12 0

6 ,4 ,6 0,4 3,6 2M M

x y z

M

n x y z

旋转曲面的方程为 曲面在 点的法向量为

解：

高等数学（ XAUAT）

1

2

1 1 1:

1 2 31 11

3 1 9 1 27 13 274:2 11 1 6 93 3

x y zl

x zy x y zl

即

2 311. , , 2 4x t y t z t x y z 曲线 的所有切线中，与平面 平行的切线有几条？写出这几条切线的方程.

0

0

2 20 01, 2 ,3 1, 2 ,3

t t

t

T t t t t

曲线对应于 处的切线的方向向量为

解:

2 4

1,2,1

x y z

T n

因为切线与平面 平行

所以 与该平面的法向量 垂直

20 0 0 0

10 4 3 1

3t n t t t t 有 即1 =0 解出 或

故，与平面平行的切线有两条，方程分别为：

高等数学（ XAUAT）

2212. 4 1

4

xx y y 求直线 与椭圆 之间的最短距离.

22 1

4

xy

1

1

4x y

2o x

y

2 2 1 1 4 14 1 , ,

5 5 5 5y y y y x y （ 舍去）得：

2 02 4

x xyy y

y

解一:先求椭圆各点的切线斜率:

1 4 .4

xx y

y

直线 x+y=4 的斜率为-1，椭圆上与该直线距离最短的点处的切线必与该直线平行.因而有：

即： 代入椭圆方程得

4 14

55 5 2 222

d

由几何图形可以看出这是椭圆与直线最近的一点，最短

距离为：

高等数学（ XAUAT）

2

2 2

2

, , 4 14

(

xx y x y y

d

d

作拉格朗日函数:

为了计算方便，将求 的取得最大值的点转化为求

2 的取得最大值的点.）

,

22

4, 4

2

4

2

14

x y

x yx y x y d

x yd

xy

解二：点 到直线 的距离为：

问题转化为求直线 在条件

下的条件极值.

高等数学（ XAUAT）

2 2

2 4

1 14 1

5 5

x y

y y y y

由 1 得 代入 3 得

（ 舍去）

2

2

, , .

2 4 0 12

2 4 2 0 2

1 0 34

x y

xx y

x y y

xy

求出 并令它们皆为零

（）

得 （ ）

（ ）

4 14

4 55 5 2 225 2

x d

得:

高等数学（ XAUAT）

六 . 练 习 题

2 2 2 2

2 2

2 2

4 1z= ln arcsin

x +y x +y

0f(x,y)=

0 0

0 0 f(x) 0 0

U=sinxsinysinz x+y+z=2

x y

x y

2 22 2

3 3

1. 求二元函数 的定义域。

1(x +y )si n

x +y2. 求函数

在（ ，）点的两个偏导数，并判断 在（ ，）点 的连续性。

3. 求二元函数 z=3(x+y)-x -y 的极值。

4. 求函数 满足条件 （x>0, y>0

z>0)的条件极值。 极值。

高等数学（ XAUAT）

2

u

1 2 ( , )

dU.

, f

.

=e cos , sin , , , .

13 4 5

u

x y

z

x y

z zv y e v z uv

x y

x y z

l ny

y

5. 求下列函数的一阶偏导数

（） z=x （ ）U=f (x, xy, xyz), z=

6. 设 U=f (x, z), z(x, y)是有方程z=x+y (z)确定 的隐函数，求

7. z=f (u, x, y), u=xe 其中 具有连续的二阶偏导

数，求

8. 设 x 求

9. 求平面 和 2 2柱面 X +Y =1的交线上

到 XOY平面距离最短的点。

高等数学（ XAUAT）

七 . 练习题答案

2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

ln 1 ln

1 2 3

2 3

1.1 4

1 2 12 sin cos 0

2. ( , )

0 0

( , ) 0

14.

8ln

5. (1) (ln )

(2) ( )

( )

y yx y

x x

y y

x y

xx x y

x y x y x yf x y

x y

f x y

xz y x z x

y

U f yf yz xyz f

U f xz xyz f

在（ ，0）点连续.

3. z(1, 2)=0

高等数学（ XAUAT）

2 21

22

( )6. ( )

( ) 1 ( ) 1

7.

8. ( cos sin )

( cos sin )

4 3 359.( , , )

5 5 12

y y y yuu uy xu u

u

u

f f zdu f dx dy

y z y z

zxe f e f xe f e f

x y

zv v u v e

xz

u v v v ey