第四章非线性电阻电路

“ 十一五”规划教材—电路基础

第四章非线性电阻电路 4.1 非线性电阻元件的特性 4.2 非线性电阻电路的方程 4.3 图解分析法 4.4 小信号分析法 4.5 分段线性分析法 4.6 数值分析法 4.7 应用实例：温度测量与控制电路


4.1 非线性电阻元件的特性非线性电阻元件的特性

本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法，分析非线性电阻电路的一些常用方法，如图解分析法、小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。

一、非线性电阻元件一、非线性电阻元件定义：在 ui 平面或 iu 平面上的伏安特性曲线不是通过原点的直线。

非线性电阻的电路符号

+ -u

i

非线性电阻不满足欧姆定律

u=f(i) 或 i=g(u)1. 伏安关系


3. 既非压控又非流控电阻

可看出方程既无法把 u 表达成 i 的单值函数，也无法把 i 表达成 u 的单值函数。注意：与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电阻。例如 PN结二极管，就必须明确地用标记将其两个端钮区别开来，在使用时必须按标记正确接到电路中。

其电压电流关系不能表达为一个变量的单值函数

0 0( , )

0 0

i uf u i

u i

对所有

对所有

如：理想二极管 i

uO

u

i


4.2 非线性电阻电路的方程从列写电路方程的两个基本依据来看：

2.不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元件的电压电流关系不是线性的，所以得到的方程将是非线性的。

1. 基尔霍夫电流定律（ KCL）、基尔霍夫电压定律（ KVL）只与电路的结构有关，而与元件的性质无关。因此就列写 KCL和 KVL本身方程，非线性电阻电路与线性电阻电路无区别。


1

53 350u i

例 4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中 R1 、 R2 为线性电阻， R3 为非线性电阻，其电压电流关系为

试列出其电路方程求出相应的变量

1 2 1 2 3

2 1 2 3 3

( ) SR R i R i u

R i R i u

解：方法 1 ：网孔法

1

53 350u i

消去 i1 、 u3 ，可得 1

1 2 53 3

1 1 2

50Su R Ri i

R R R

①

2R

1R

Su3R 3u3i

1i

3i1i


1

53 350u i

例 4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中 R1 、 R2 为线性电阻， R3 为非线性电阻，其电压电流关系为

试列出其电路方程求出相应的变量

解：方法 2 ：节点电压法

3 31 2 1

1 1( ) Suu iR R R

53

3 550

ui

532 1 2

3 51 2 1 2 50S

uR R Ru u

R R R R

消去 i3 ，可得

①

2R

1R

Su3R 3u3i

1i

3i1i


由上面的分析可知，建立非线性电阻电路方程时，非线性电阻的处理与受控电源的处理类似，只是非线性电阻的控制量是电阻本身所在支路上的变量（电压或电流）而已。

2. 对电压控制型非线性电阻，采用节点法或割集法进行分析比较简单，因为用电压变量（节点电压或割集电压）容易表示电压控制型非线性电阻上的电流。

1. 对电流控制型非线性电阻，采用网孔法或回路法进行分析比较简单，因为用电流变量（网孔电流或回路电流）容易表示电流控制型非线性电阻上的电压。


4.3 图解分析法

图解分析法的原理一、图解法的基本原理：将非线性电路拆分为两个一端口电路 N1 和 N2 ，如图所示。拆分的方式可以是任意的，为了列写电路方程的方便，一般拆分成线性电路部分和非线性电路部分，也可以拆分成两个非线性电路部分。设 N1 和 N2 的电压电流关系为：

图解分析方法的思路：因为每个方程代表一条特性曲线，图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的交点，即静态工作点 (quiescent operating point) 。

2u

2i

1N1u 2N

1i


图解分析法的原理 1 1 1

2 2 2

( , ) 0

( , ) 0

f u i

f u i

1 2

1 2

u u

i i

根据 KVL和 KCL，有

2u

2i

1N1u 2N

1i


或

1 1 1

2 1 1

( , ) 0

( , ) 0

f u i

f u i

1 2 2

2 2 2

( , ) 0

( , ) 0

f u i

f u i

由上两式，可得

(4.3.3a)

(4.3.3b)

用图解法在同一坐标系中画出式 (4.3.3a)或式(4.3.3b)中两个方程的特性曲线，其交点为电路方程的解。


例 4.3.1 如图 4.3.2(a)所示，设非线性电阻 R 的电压电流关系为，其中 u 为非线性电阻两端的电压 (单位为 V)。试求非线性电阻 R 的静态工作点。

6 4010 ( 1)Aui e

(a)

解：将非线性电阻 R 左边的线性电路部分用戴维南电路等效，如图 (b)所示，其中

0.52 1V

0.5 0.5OCu 0

0.5 0.50.75 1

0.5 0.5R

i0.750.5

0.52V R u

(b)

uui

i0R

OCu


则线性电路部分的电压电流关系为：1i u

非线性电路部分的电压电流关系为 6 4010 ( 1)Aui e

在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线，如图(c) 所示，其交点为 Q ，即为非线性电阻 R 的静态工作点，对应的坐标为

0.34V 0.66Au i ， Q

O

1i u

0.2 u

i

0.4

0.8

0.4

6 4010 ( 1)ui e

( C )


4.4 小信号分析法上节图解法是在直流激励下，确定静态工作点，如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信号（小信号），如何处理呢？

小信号分析法的基本思路：是在静态工作点确定的基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，得到相应的小信号等效电路或增量等效电路（线性电阻电路）。利用分析线性电路的方法进行分析计算。


4.4 小信号分析法0R i

u( )i f u0U

( )Su t R

任意时刻 t 都有 )(0 tuU s

图示电路中，直流电压源为U0 ，电阻 R0 为线性电阻，非线性电阻 R 是电压控制型的，其伏安特性i=f(u) ，其伏安特性曲线如图 4.4.1 (b)所示

图4.4.1 （ a)

O u

i

( )i f u

图4.4.1 （ b)

小信号时变电压为 uS(t)

1. 首先按照 KVL列出电路方程分析方法：

0( )S SU u t R i u (4.4.1)


Q

O 0U u

i

A ( )i f u

B

QU

QI

0

0

U

R

2. 当 uS(t)0 时

0S Q QU R I U

( )Q QI f U

Q(UQ ， IQ) ，即静态工作点

3. 当 uS(t) 加入时

u1 、 i1 是由于小信号 uS(t) 的作用而引起的偏差在

(4.4.2)

(4.4.3)

1

1

Q

Q

u U u

i I i

(4.4.4)


在任何时刻 t ， u1 、 i1 相对 (UQ ， IQ) 都是很小的量。

)(0 tuU s 的条件下，

由 if(u) 可得：

1 1[ ]Q QI i f U u (4.4.5 ）

1 1( )Q

Q QU

dfI i f U u

du

又由于 u1 很小，可以将上式右边在 UQ 点附近用泰勒级数展开，取级数前面两项而略去一次项以上的高次项，上式可写为

(4.4.6)

1 1

QU

dfi u

du

由式 (4.4.3) ，可得 (4.4.7)


1

1

1

Q

dU d

i dfG

u du R

因此有 (4.4.8)

Gd 为非线性电阻在工作点 (UQ ， IQ) 处的动态电导(dynamic conductance)， Rd 为相应的动态电阻(dynamic resistance) 。由于 Gd 1/Rd 在工作点 (UQ ， IQ) 处是一个常量，所以从上式可以看出，小信号电压 uS(t) 产生的电压 u1 和电流 i1 之间的关系是线性的。

0 1 1( ) [ ]S S Q QU u t R I i U u (4.4.10)所以

0 1 1( )S du t R i R i (4.4.11)


由此可以作出给定非线性电阻在工作点 (UQ ， IQ) 处的小信号等效电路，如图 4.4.2 所示。

( )Su t

0R 1( )i t

1( )u tdR

图 4.4.2 小信号模型

0 1 1( )S du t R i R i

由小信号电路可得

10

10

( )

( )

S

d

d S

d

u ti

R R

R u tu

R R

(4.4.12)


例 4.4.1 在如图 4.4.3(a) 所示非线性电阻电路中，非线性电阻的伏安特性为，现已知当 uS(t)0 时，回路中的电流 i 为 1A 。如果 uS(t)costV 时，试用小信号分析法求回路中的电流 i 。

32u i i

2 i

uSu

5V

解由题意可知，此电路中的静态工作点在 I0=1A处，工作点处的动态电阻为

0

2

12 3 5d i

i I

duR i

di

作出小信号等效电路

2 1i

1uSu dR


1

1cos A

2 5 7Sui t

1(1 cos )A

7i t

故总电流为

可得：2 1i

1uSu dR


4.5 分段线性分析法分段线性分析法 (piecewise linearization analysis)是一种实用的近似方法，即用一条折线来分段逼近特性曲线，所以有时也称之为折线法 (polygon method) 。

思路：就是用若干段斜率不同的折线近似代替非线性电阻的实际特性曲线，从而将非线性电阻电路转化为几个线性电路求解，每个线性电路对应一个相应的区间。

“ 十一五”规划教材—电路基础4.5 分段线性分析法

O 2U u

i

B

3U

1

32

A

C

3I

2I

图 4.5.1 所示为流控型非线性电阻的特性曲线，可以将非线性电阻的特性分作三段，分别用 OA 、 AB、和BC三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自变量，其一般表达式为

k dku U R i

图 4.5.1 分段线性逼近


其中 Uk 是第 k 段直线与 u 轴交点的坐标。显然，图 4.5.1 中的 U1=0 ， U20 ， U30 。 Rdk 为动态电阻，等于第 k 段直线的斜率，即

dkk

duR

di

k dku U R i

O 2U u

i

B

3U

1

32

A

C

3I

2I图中三条线段上，有三个动态电阻OA段是通过原点的直线

Rd1=RD1>0

AB段是下降的直线段 Rd20 RD2<0 Rd2 RD2

BC段是上升的直线段 Rd3>0 RD3>0 Rd3 RD3


由上式可知，第 k 段非线性电阻 Rk 的特性可以用电压源串联线性电阻来等效，如图 (b)所示，称为分段戴维南电路。或电流源并联电导来等效如图 (c)所示，称为分段诺顿电路。

k dku U R i

k dki I G u 或

kIdkG

dkR

kU

i

udkR

i

u

i

u

图 4.5.2 非线性电阻及其线性化等效电路 (a) (b) (c)


例 4.5.1 试用分段线性分析法求解图 4.5.3(a)所示电路，其中非线性电阻的伏安特性曲线如图 (b)所示。

i5

12V u

O 3

(A)i

Q B

1

2

A

(V)u41 2 5 6 7 8 9 10

8V

1V

0.8A

0.2A

(a) (b)图 4.5.3

0 1.5Vu 1.5Vu

解现在按电压分为两段，分别用OA （）、 AB （）两条直线分段逼近。取 u 为自变量，直线方程是

k dki I G u


O 3

(A)i

Q B

1

2

A

(V)u41 2 5 6 7 8 9 10

8V

1V

0.8A

0.2A对 OA段，可测得Ik=0A ， Gdk

=0.8S ，

对 AB段，可测得 Ik=1.0A ， Gdk =0.025S

显然，这是一个虚假解，应该舍弃。

2.4 2.4 02.4V 1.5V

0.2 0.2 0.8k

dk

Iu

G

2.4 2.4 16.22V

0.2 0.2 0.025k

dk

Iu

G


O 3

(A)i

Q B

1

2

A

(V)u41 2 5 6 7 8 9 10

8V

1V

0.8A

0.2A

此时正好在 AB段的范围内，代入直线方程得到

1 0.025 6.22 1.16Ak dki I G u

注意：对每个线性电路计算后，要根据电压和电流的等效范围进行校验，仅当工作点在其有关段的等效范围时，其解才是正确的。否则便是虚假工作点，应予以舍弃。


4.6 数值分析法数值分析法 (numerical analysis)一般采用逼近的方法，使用迭代的点序列逐步逼近非线性方程的解。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本节主要介绍牛顿法。含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结为一个一元非线性方程，假设电路方程的形式为

( ) 0f x (4.6.1)

式中 x 为待求的电路变量，一般为电压或电流。


牛顿法：是基于围绕某一近似解对函数进行泰勒展开给出的，即

( )kx ( )f x

( ) ( )

2( ) ( ) ( ) 2

2

1( ) ( ) ( ) ( )

2k k

k k k

x x x x

df d ff x f x x x x x

dx dx

如果很小，则可取一阶近似，得到( )kx x

( )

( ) ( )( ) 0 ( ) ( )k

k k

x x

dff x f x x x

dx

这是一个线性方程，记其解为，则有 ( 1)kx

( )

( 1) ( ) ( )( )k

k k k

x x

dfx x f x

dx

(4.6.3)

(4.6.2)


O

( )f x

*x

y

x

kP

( 1)kx

( )kx

牛顿法的几何意义图 4.6.1

f(x)=0 的解 x 可解释为曲线y=f(x) 与 x 轴的交点的横坐标，见图 4.6.1 。设 x(k) 是 x 的某个近似值，过曲线 y=f(x) 上横坐标为 x(k) 的点 Pk 作切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x(k+1) 作为 x 的新的近似值。注意到切线方程为

( )

( ) ( )( ) ( )k

k k

x x

dfy f x x x

dx

由于这种几何含义，牛顿法也称为切线法

(4.6.4)


例 4.6.1 用牛顿法求解图 4.6.2 所示电路的电压和电流，其中 iS=0.673A ，二极管的电压电流关系为

2u

2i2

2400.1( )A1ui e

解由电路可得 KCL方程

1 2Si i i 1 2

1

0.4i u 2

2400.1( 1)ui e 2u将和代入上式并整理，得到以

为变量的非线性电路方程

22 2

40 1( ) 0.1( 1) 0.673 0

0.4uf u e u

图 4.6.2

对 f(u2) 求导，得

22

2

40( )4 2.5udf ue

du

2u1i 2iSi

0.4


2 0.047Vu

将 u2 的数值代入式，可得22

400.1( 1)Aui e

2 0.555Ai

因此，牛顿法的迭代公式为( )2

( )2

( )( 1) ( ) 2

2 2

40

40

0.1 2.5 0.773

4 2.5

k

k

kk k

u

u

e uu u

e

其中上标表示迭代次数。取初始值 u2=0 时的迭代结果为


对于含有多个非线性电阻电路的方程，最终可归结为一个多元非线性方程组，将一元牛顿法进行推广，可以得到求解多元非线性方程组的牛顿迭代法。假设电路方程的形式为

1

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0n

f

f

f

x

x

x

(4.6.5)

与求解一元非线性方程类似，设是第 k 次迭代值，将式(4.6.5)在近似解处进行泰勒展开，并只取一阶近似，得到

T1 2[ , , , ]nx x x x式中为待求的电路变量，一般为电压或电流。

( ) ( ) ( ) ( ) T1 2[ , , , ]k k k k

nx x x x

( )kx


这是一个线性方程组，写出矩阵形式有

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 2

( )

( ) 0 ( ) ( ) ( )

( ) ( 1, 2, , )

k k

k

k k ki ii i

kin n

n

f ff f x x x x

x x

fx x i n

x

x x x x

x x

x x

(4.6.6)

( )

1 1 1

1 2 ( )1

2 2 2 ( )( 1) ( ) 2

1 2

( )

1 2

( )

( )( )

( )

k

n k

kk k

n

kn

n n n

n

f f f

x x xf

f f ff

x x x

ff f f

x x x

x x

x

xx x

x

(4.6.7a)


( ) ( 1) ( ) ( )'( )( ) ( )k k k k f x x x f x

简写成

其中系数矩阵称为雅可比矩阵 (Jacobian matrix) ，为非线性方程组在处的函数值向量。如果雅可比矩阵是非奇异的，由式 (4.6.7b)解出得

( )'( )kf x

( )( )kf x( )kx

( )'( )kf x

( 1)kx

( 1) ( ) ( ) 1 ( )[ '( )] ( )k k k k x x f x f x

上式可看成牛顿法的迭代公式 (4.6.2)的直接推广。(4.6.8)

(4.6.7b)


例 4.6.2 用牛顿法求解图 4.6.3 所示电路各支路电流。电路中各非线性电阻的电压电流关系分别为， 3

1 1i u 22 2i u

3/ 23 3i u

1i 2i

2u

1u 1l

①

3u4A12A

②

3i

图 4.6.3

解 : 列节点①、②的KCL方程得

1 2

2 3

12

4

i i

i i

3 21 2

2 3/ 22 3

12

4

u u

u u

代入非线性电阻的电压电流关系，得到


将上式代入前面两式中，得到3 21 1 3

3/ 2 23 1 3

( ) 12

4 ( )

u u u

u u u

2 1 3u u u 列出回路 l1 的 KVL方程得

1i 2i

2u

1u 1l

①

3u4A12A

②

3i

由上式得到关于 u1 ， u3 的非线性电路方程组3 2

1 1 3 1 1 3

2 3/ 22 1 3 1 3 3

( , ) ( ) 12 0

( , ) ( ) 4 0

f u u u u u

f u u u u u


得到雅可比矩阵为

1 1 21 1 3 1 3

1 3

1/ 22 2 1 3 1 3 3

1 3

3 2( ) 2( )'( ) 3

2( ) 2( )2

f fu u u u uu u

f f u u u u uu x

f x

由式 (4.6.8) 得到迭代公式为

( )1( )3

( )1( )3

12( 1) ( ) 1 1 3 1 31 1

1/ 2( 1) ( )1 3 1 3 33 3

3 21 1 3

2 3/ 21 3 3

3 2( ) 2( )

32( ) 2( )

2

( ) 12

( ) 4

k

k

k

k

k k

k k

uu

uu

u u u u uu u

u u u u uu u

u u u

u u u


对非线性方程组，可能会出现许多组解的情况，必须取不同的初始值进行迭代试运算。通过不同初始值的迭代运算，得到两组结果

1

3

2.0000

4.0000

u

u

1

3

2.2850

2.5490

u

u

和

经过验算，它们都是电路方程的解。

3 2 3/ 21 1 2 2 3 38A 4A 8Ai u i u i u ，，

3 2 3/ 21 1 2 2 3 311.9303A 0.0697A 4.0697Ai u i u i u ，，

由第二组解，得到 u2=u1u3= 0.2641V ，从而各支路电流为

由第一组解，得到 u2=u1u3 = 2V ，从而各支路电流为


4.7 应用实例：温度测量与控制电路

1.1k

5V

1k

1k

1k 100k

5V

5V1u

Lu

Hu

tR

REFHu

REFLu

HR

LR

tu

1k

1k

tu

1N

2N

3N

图 4.7.1 温度测量与控制电路

(100 0.39 )tR T


例对图 4.7.1 所示电路，设计电阻 RL 、 RH ，使温度稳定在 85 ～ 100℃。解如图 4.7.1 所示，注意到理想运算放大器的“虚断”特性（同相输入端电流为零）， N1 的同相端输入电压为

应用叠加定理，同时注意到理想运算放大器的“虚断”特性（反相输入端电流为零），可求出 N1 的反相端电压 ut–

1000 5 50005 V

1000 1100 2100t t

tt t

R Ru

R R

1

1 15

1 1 1 100tu u


由理想运算放大器的“虚短”特性，得到于是得到

t t tu u u

1 101( 2.5)tu u

将电阻 Rt 的电阻值随温度 T （℃）变化的关系代入上式，得出 u1 随温度 T 变化的关系式为

1

5(100 0.39 ) 5000101 ( 2.5)

0.39 2200

Tu

T

1 3.75Vu 当 T=85℃ 时，算得，该电压值应该等于电压下限值 uREFL ，于是有

得出L 3kR

L

L

5 3.751

R

R


当 T=100℃时，算得，该电压值应该等于电压上限值 uREFH ，

1 4.40Vu

H

15 4.4

1 R

H 136R 得出

于是有

第四章 非线性电阻电路

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