第二十二章 曲面积分

第二十二章 曲面积分

主讲教师 胡鹏彦教授授课对象 05 级数学系

第二十二章 曲 面 积 分基本内容 : 平面图形面积、重积分的概念 , 重积分的性质 , 重积分的计算及其应用 , 格林公

式 .基本要求 : 理解平面图形面积及重积分的概念 , 掌握重积分的性质、计算、应用及格林公式 , 曲线积分与路径的无关性 .重点难点 : 重积分的计算及格林公式 , 曲线积分与路径的无关性 .

§1 第一型曲面积分§2 第二型曲面积分§3 高斯公式与斯托克斯公式

第二十二章 曲 面 积 分

§1 第一型曲面积分基本内容 : 平面图形面积、二重积分的概念 , 平面图形可求面积的条件 , 二元函数可积的条件 , 二重积分的性质 .

基本要求 : 了解平面图形可求面积的条件 , 理解平面图形面积及二重积分的概念 , 掌握二元函数可积的条件及二重积分的性质 .重点难点 : 二元函数的可积性 , 二重积分的性质 .

第一型曲面积分的概念背景 曲面物体质量的计算

设有一曲面块 S, 密度函数为 (x, y, z), 其质量为

|| || 0 1

lim , ,n

i i i iT i

S

分割 近似求和 取极限

定义定义 11 设 S 是空间中可求面积的曲面 , f 是定义在 S 上的函数 . 对 S 作分割 T, 把 S 分成 n 个小曲面块 Si, 以 Si 记 Si 的面积 , ||T || 为 T 的细度 ,在 Si 上任取一点 (i, i, i), 若极限

存在 , 且与分割 T 和 (i, i, i) 的取法无关 , 则称此极限为 f 在 S 上的第一型曲面积分第一型曲面积分 , 记作

( , , )d .S

f x y z S

第一型曲面积分的概念

|| || 0 1

lim , ,n

i i i iT i

f S

当 f (x, y, z)1 时 , 曲面积分

就是曲面块 S 的面积 .

dS

S

第一型曲面积分的概念

第一型曲面积分的计算定理定理 22.122.1 设有光滑曲面

: ( , ), ( , ) ,S z z x y x y D

f (x, y, z) 为 S 上的连续函数 , 则2 2d ( , , ( , )) 1 d d .x y

S D

f S f x y z x y z z x y

第一型曲面积分的计算例例 11 计算 其中 S 是球面d ,

S

Sz 2 2 2 2x y z a

被平面 (0 )z h h a 所截的顶部 .

§2 第二型曲面积分基本内容 : 平面图形面积、二重积分的概念 , 平面图形可求面积的条件 , 二元函数可积的条件 , 二重积分的性质 .

基本要求 : 了解平面图形可求面积的条件 , 理解平面图形面积及二重积分的概念 , 掌握二元函数可积的条件及二重积分的性质 .重点难点 : 二元函数的可积性 , 二重积分的性质 .

曲面的侧默比乌斯 (Möbius) 带

通常由 z z (x, y) 表示的曲面都是双侧曲面 .当以其法线方向与 z 轴正向的夹角成锐角

双侧曲面双侧曲面

的一侧 ( 也称为上侧 ) 为正侧正侧时 , 则另一侧

单侧曲面单侧曲面

( 也称为下侧 ) 为负侧负侧 . 当 S 为封闭曲面时 ,通常规定曲面的外侧为正侧正侧 , 内侧为负侧负侧 .

第二型曲面积分概念背景 流量问题

设某流体以一定的流速从给定的曲面 S 的负侧流向正侧 , 其中

分割 近似求和 取极限

( , , ), ( , , ), ( , , )v P x y z Q x y z R x y z

P, Q, R 为所讨论范围上的连续函数 , 求单位时间内流经曲面 S 的总流量 E.

第二型曲面积分概念曲面 S 的正侧上点 (x, y, z) 处的单位法

向量为单位时间内流经小曲面 S 的的流量

(cos ,cos ,cos )n

, , , , , , cosi i i i i i i i i i iv n S P

, , cos , , cosi i i i i i i i iQ R S

, , , , , ,yz zx xyi i i i i i i i i i i iP S Q S R S

第二型曲面积分概念总流量

|| || 0 1

lim , ,

, , , ,

yz

zx xy

n

i i i iT i

i i i i i i i i

E P S

Q S R S

定义定义 11 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数 . 在 S 所指定的一侧作分割 T, 把 S 分成 n 个小曲面块 Si, 以 Siyz, Sizx

, Sixy分别记 Si 在三个

坐标平面上的投影区域的面积 , 其符号由 Si 的

第二型曲面积分概念

方向来确定 .

若 Si 的法线正向与 z 轴正向成锐角时 , Sixy为正 . 反之 , 若 Si 的法线正向与 z 轴正向成

第二型曲面积分概念

钝角时 , Sixy为负 .

定义定义 11 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数 . 在 S 所指定的一侧作分割 T, 把 S 分成 n 个小曲面块 Si, 以 Siyz

, Sizx, Sixy

分别记 Si 在三个坐标平面上的投影区域的面积 , 其符号由 Si 的方向来确定 .

|| || 0 1

lim , ,yz

n

i i i iTi

P S

第二型曲面积分概念

在 Si 上任取 (i, i, i), 若极限

|| || 0 1

lim , ,zx

n

i i i iT i

Q S

|| || 0 1

lim , ,xy

n

i i i iT i

R S

存在 , 且与分割 T 和 (i, i, i) 的取法无关 , 则称此极限为 P, Q, R 在 S 所指定侧上的第二型曲面积分第二型曲面积分 ,

记作( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d

S

P x y z y z Q x y z z x R x y z x y

或

第二型曲面积分概念

( , , )d d ( , , )d d ( , , )d dS S S

P x y z y z Q x y z z x R x y z x y

由定义 , 若以 S 表示曲面 S 的另一侧 , 则( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d

S

P x y z y z Q x y z z x R x y z x y

第二型曲面积分概念

( , , )d d ( , , )d d ( , , )d dS

P x y z y z Q x y z z x R x y z x y

第二型曲面积分的性质d d d d d d ( 1, 2, , )i i i

S

P y z Q z x R x y i k

第二型曲面积分概念1. 若 存在 , 则

1 1 1

d d d d d dk k k

i i i i i ii i iS

c P y z c Q z x c R x y

1

d d d d d dk

i i i ii S

c P y z Q z x R x y

其中 ci (i 1, 2, , k) 是常数 .

d d d d d d ( 1, 2, , )iS

P y z Q z x R x y i k

第二型曲面积分概念2. 若曲面 S 是由两两无公共内点的曲面块

存在 , 则d d d d d d

S

P y z Q z x R x y

1

d d d d d d .i

k

i S

P y z Q z x R x y

S1, S2, , Si 所组成 , 且

第二型曲面积分的计算定理定理 22.222.2 设 R 是光滑曲面

: ( , ), ( , ) xyS z z x y x y D 上的连续函数 , 以 S 的上侧为正侧 , 则

d d , , ( , ) d d .xyS D

R x y R x y z x y x y

例例 11 计算d d ,

S

xyz x y其中 S 是球面部分并取球面外侧 .

第二型曲面积分的计算

2 2 2 1x y z 在 0, 0x y

§3 高斯公式与斯托克斯公式基本内容 : 格林公式，曲线积分与路线的 无关性，原函数

基本要求 : 掌握格林公式及其应用，掌握曲线积分与路线无关的等价条件，会求原函数

重点难点 : 格林公式

高斯公式 高斯 (Gauss) 公式给出了沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的关系 , 这种关系有似于格林公式所建立的沿封闭曲线的曲线积分与二重积分之间的关系 .

定理定理 22.322.3 设空间区域 V 由分片光滑的双侧

d d dV

P Q R x y zx y z

封闭曲面 S 围成 . 若函数 P, Q, R 在 V 上连续 ,

其中 S 取外侧 . (1) 式称为高斯公式 .

(1)

且有一阶连续偏导数 , 则

d d d d d d ,S

P y z Q z x R x y

高斯公式

例例 11 计算

高斯公式

其中 S 是边长为 a 的正方体表面并取外侧 .

2 2( )d d d d d d ,S

y x z y z x z x y xz x y

, , P x Q y R z

1 d d d d d d .3 S

V x y z y z x z x y

高斯公式

斯托克斯公式 斯托克斯 (Stokes) 公式建立了沿空间双侧

曲面 S 的积分与沿 S 的边界曲线 L 的积分之间的关系 .

斯托克斯公式 双侧曲面的侧与其边界曲线的方向 :

设有人站在 S 上指定的一侧 , 沿 L 行走时 ,指定的侧总在人的左方 , 则人前进的方向

为边界线 L 的正向 , 反之为负向 , 这个规定方法也称为右手法则 .

定理定理 22.422.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑

d d d dP R Q Pz x x yz x x y

的连续曲线 . 若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L) 上

其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定 .

(2)

连续 , 且有一阶连续偏导数 , 则d d d d d

LS

R QP x Q y R z y zy z

斯托克斯公式

(2) 式称为斯托克斯公式 .

d d d d d d

d d dL

S

y z z x x y

P x Q y R zx y z

P Q R

斯托克斯公式

d d d d d d dL

S

P x Q y R z P x Q y R z

例例 22 计算其中 L 为平面 x y z 1 与各坐标面的

(2 )d ( )d ( )d ,L

y z x x z y y x z

斯托克斯公式

交线 , 取逆时针方向为正向 .

空间曲线积分与路线的无关性定义定义 若对于 V 内任一封闭曲线皆可以不经

过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的某一点 , 则称此区域为单连通区域单连通区域 ; 否则称为复连通区域复连通区域 .

单连通区域单连通区域 , 复连通区域复连通区域

定理定理 22.522.5 设 2 为空间单连通区域 . 若

d d d 0;L

P x Q y R z

函数 P, Q, R 在 内连续 , 且有一阶连续偏导数 , 则以下四个条件是等价的 :(i) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L 有

d d dL

P x Q y R z (ii) 对 内任一按段光滑曲线 L, 曲线积分

与路线无关 ;

空间曲线积分与路线的无关性

d d d d ;u P x Q y R z

(iii) Pdx Qdy Rdz 是 内某一函数 u 的

,P Qy x

(iv) 在 内处处成立全微分 , 即

,Q Rz y

.R P

x z

空间曲线积分与路线的无关性

满足性质

0 0 0

( , , )

( , , )d d d

B x y z

A x y zu P x Q y R z

的函数 u 称为 Pdx Qdy Rdz 的一个原函数原函数 .

若 P, Q, R 满足定理 22.5 的条件 , 则函数

就是 Pdx Qdy Rdz 的一个原函数 .

空间曲线积分与路线的无关性d d d d ;u P x Q y R z

例例 33 验证曲线积分( )d ( )d ( )d

Ly z x z x y x y z

与路线无关 , 并求被积表达式的原

空间曲线积分与路线的无关性

函数 u(x, y, z).