第第第 第 第 第 一、第第第第第 第 第第第第 、 第 第第第第 、
Jan 05, 2016
第三章 习 题 课
一、重点与难点
二、主要内容
三、典型例题
一、重点与难点
1. 重点二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性
2. 难点条件概率分布
随机变量函数的分布
定 义
联 合 分 布 函 数
联 合 分 布 律
联 合 概 率 密 度
边 缘 分 布
条 件 分 布
两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布
随 机 变 量 的 相 互 独 立 性
定义
性质
二维随机变量
推 广
二、主要内容
.
),,(
,)()(
},{,
或二维随机变量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量上的随机变量是定义在和设
它的样本空间是是一个随机试验 设
YX
SeYYeXX
eSE
二维随机变量
e)(eY
S
)(eX
(1) 定义
.
,),(
},{)}(){(),(
:,
,,),(
的联合分布函数和机变量或称为随的分布函数称为二维随机变量
二元函数对于任意实数是二维随机变量设
YX
YX
yYxXPyYxXPyxF
y
xYX
二维随机变量的分布函数
);,(),(,
,),(1
1212
0
yxFyxFxxy
yxyxF
时当意固定的即对于任的不减函数和是变量
).,(),(, 1212 yxFyxFyyx 时当对于任意固定的
,1),(020 yxF
,y对于任意固定的 ;0),(lim),(
yxFyFx
且有
,x对于任意固定的 ;0),(lim),(
yxFxFy
;0),(lim),(
yxFF
y
x
(2) 性质
.1),(lim),(
yxFFy
x
.,),(
),0,(),(),,0(),(30
也右连续关于右连续关于即 yxyxF
yxFyxFyxFyxF
,,),,(),,(4 212122110 yyxxyxyx 对于任意
.0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有
.),,,(
,
),(,),(),(
},{,
21
2211
维随机变量维随机向量或叫做维向量由它们构成的一个上的随机变量在
是定义设它的样本空间是是一个随机试验 设
nnXXX
nS
eXXeXXeXX
eSE
n
nn
元函数个实数对于任意 nxxxn n ,,,, 21
},,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
.),,,( 21 联合分布函数的称为随机变量 nXXX
(3) n 维随机变量的概念
.
,),(
,,2,1,,},{
,,2,1,),,(
),(
的联合分布律和随机变量或的分布律变量称此为二维离散型随机
记值为所有可能取的设二维离散型随机变量
YX
YX
jipyYxXP
jiyx
YX
ijji
ji
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为 :
二维离散型随机变量的分布律
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为
.,, 求和的其中和式是对一切满足 jiyyxx ji
XY 21 ixxx
jy
y
y
2
1 12111 ippp
22212 ippp
21 ijjj ppp
.
,),(
),(,),(
dd),(),(
,),(
),,(),(
的联合概率密度和机变量或称为随的概率密度称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称
有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量
YX
YX
yxfYX
vuvufyxF
yxyxf
yxFYX
y x
二维连续型随机变量的概率密度(1) 定义
.1),(dd),(20
Fyxyxf
.dd),(}),{( G
yxyxfGYXP
.0),(10 yxf
(2) 性质
).,(),(
,),(),(32
0 yxfyx
yxFyxyxf
则有连续在若
的概率是内落在点平面上的一个区域是设 GYXxoyG ),(,40
表示介于 f (x, y) 和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于 1.
G
yxyxfGYXP dd),(}),{(
1dd),(
yxyxf
.
),(,}),{(
为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以 yxfzGGYXP
.),(, 表示空间的一个曲面几何上 yxfz
(3) 说明
.,0
,),(,1
),(其它
DyxSyxf
(4) 两个常用的分布
设 D 是平面上的有界区域 , 其面积为 S, 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
则称 ( X,Y ) 在 D 上服从均匀分布 .
221 1π2
1),(
ρσσyxf
,11,0,0,,,,, 212121 ρσσρσσμμ 为常数其中),( yx
).,,,,(~),( 22
2121 ρσσμμNYX
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
])())((2)(
[)1(2
122
22
21
2121
21
2
e σ
μy
σσ
μyμxρ
σ
μx
ρ
记为布的二维正态分服从参数为则称
.
,,,,),( 2121 ρσσμμYX
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 .
}{},{),()( yYPyYXPyFyFY
},,{),(
,),(),(
yYxXPyxF
YXyxF
则的分布函数为随机变量设
).,()( xFxFX记为
边缘分布函数
,x同理令
为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 .
.),(
),,(},{}{
,
的边缘分布函数关于为随机变量
称令
XYX
xFYxXPxXP
y
.
),(),2,1(),2,1(
,,2,1},{
,,2,1},{
.,2,1,,},{
),(
1
1
的边缘分布律和关于关于
为和分别称
记
的联合分布律为量 设二维离散随机变
YX
YXjpip
jyYPpp
ixXPpp
jipyYxXP
YX
ji
ji
ijj
ij
iji
ijji
离散型随机变量的边缘分布
,),()(1
xx j
ijX
i
pxFxF
.),()(1
yy i
ijY
j
pyFyF
随机变量关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为
联合分布 边缘分布
.),(
d),()(
,d]d),([),()(
),,(
),,(
的的边缘概率密度关于称为随机变量
记
由于度为设它的概率密对于连续型随机变量
XYX
yyxfxf
xyyxfxFxF
yxf
YX
X
x
X
连续型随机变量的边缘分布
同理得 Y 的边缘概率密度 .d),()(
xyxfyfY
.
,2,1
,}{
},{}{
,0}{,
,),(
的条件分布律条件下随机变量为在
则称若对于固定的是二维离散型随机变量设
XyY
i
p
p
yYP
yYxXPyYxXP
jYPj
YX
j
j
ij
j
jiji
(1) 离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布
.
,2,1
,}{
},{}{
,0}{,
的条件分布律条件下随机变量为在
则称对于固定的
YxX
j
p
p
xXP
yYxXPxXyYP
xXPi
i
i
ij
i
jiij
i
同理可定义
.)(),(
)(
,
)(),(
,0)(,
).(),(
),,( ),(
yfyxf
yxf
X
yYyfyxf
yfy
yfYYX
yxfYX
Y
YY
Y
YX
记为的条件概率密度
的条件下为在则称的
若对于固定的边缘概率密度为关于的概率密度为 设二维随机变量
(2) 连续型随机变量的条件分布
联合分布、边缘分布、条件分布的关系
)(),(
)(xfyxf
xyf
YxX
XXY
的条件概率密度为的条件下在给定
联合分布边缘分布
条件分布联合分布
.
),()(),(
},{}{},{
,
.),(
)(),(),(
的是和则称随机变量
即
有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量
分别是二维随机变及 设
相互独立YX
yFxFyxF
yYPxXPyYxXP
yx
YX
yFxFyxF
YX
YX
随机变量的相互独立性
则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量
),(),(),,(
),()2(
yfxfyxf
YX
YX
).()(),( yfxfyxf YX
}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP 相互独立和YX
.)()(,)3( 也相互独立和则相互独立和 YgXfYX
相互独立和YX
说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律为
.,2,1,,},{ jipjYiXP ij
.jiij ppp 即
为的维随机变量 分布函数),,,()1( 21 nXXXn
.,,, 21 为任意实数其中 nxxx
概率密度函数的维随机变量 ),,,()2( 21 nXXXn
二维随机变量的推广
},,,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
.ddd),,,(
),,,(
11
2121
21
n nx x
nn
x
n
xxxxxxf
xxxF
.
),,,( 121
分布函数边缘的关于维随机变量称为 XXXXn n
.
),(),,,( 2121
边缘分布函数的关于维随机变量称为 XXXXXn n
其它依次类推 .
分布函数的边缘维随机变量 ),,,()3( 21 nXXXn
),,,,()( 111 xFxFX
),,,,,()( 211, 21 xxFxF XX
边缘概率密度分别为
的关于关于则 ),(,),,,( 21121 XXXXXX n
,ddd),,,()( 322111 nnX xxxxxxfxf
,ddd),,,(),( 432121, 21 nnXX xxxxxxfxxf
.
)1(),,,( 21
率密度
维边缘概的同理可得 nkkXXX n
,
),,,(),,,( 2121
密度的概率是若 nn XXXxxxf
边缘概率密度的维随机变量 ),,,()4( 21 nXXXn
(5) 随机变量相互独立的定义的推广
有若对于所有的 nxxx ,,, 21
)()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxFn
.,,, 21 是相互独立的则称 nXXX
有若对于所有的 nm yyyxxx ,,,,,,, 2121
),,,(),,,(
),,,,,,,(
212211
2121
nm
nm
yyyFxxxF
yyyxxxF
.
),,,(),,,(.
,.),,2,1(),,2,1(
.),,,(),,,(
2121
2121
相互独立
和则是连续函数
又若相互独立和则
相互独立和设定理
nm
ji
nm
YYYgXXXhg
hnjYmX
YYYXXX
.),,,(
),,,(,
),,,,,,,(),,,(
),,,(,,
21
21
212121
2121
是相互独立的
与则称随机变量的分布函数
和依次为随机变量其中
n
m
nmn
m
YYY
XXX
YYYXXXYYY
XXXFFF
随机变量函数的分布 (1) 离散型随机变量函数的分布
.,2,1
,}),({}{
),(
,2,1,,},{
),(
k
pzYXgPzZP
YXgZ
jipyYxXP
jik yxgzijkk
ijji
的分布律为则随机变量函数
变量的联合分布律为 若二维离散型随机
的分布YXZ
的密度函数为则的概率密度为 设 YXZyxfYX ),,(),(
.d),(d),()( yyyzfxxzxfzfZ
当 X, Y 独立时 , 也可表示为)(zfZ
.d)()(
yyfyzf YX
xxzfxfzf YXZ d)()()(
(2) 连续型随机变量函数的分布
密度函数为
则的概率密度为 设
XYZYX
ZyxfYX
,),,(),(
当 X, Y 独立时 ,
的分布的分布、 XYZYX
Z
)(zf XY ,d),(
xxzxfx
)(zf XY .d)()( xxzfxfx YX
)(zf XY .d),(1
xx
zxf
x
)(zf XY .d)()(1
x
x
zfxf
x YX
的分布及 ),min(),max( YXNYXM
则有
),()(
,,
yFxF
YX
YX 和分布函数分别为它们的变量是两个相互独立的随机设
),()()(max zFzFzF YX
)].(1)][(1[1)(min zFzFzF YX
推广
的分布函数分别为及则 ),,,min(),,,max( 2121 nn XXXNXXXM
),()()()(21max zFzFzFzF
nXXX
),,2,1(),(,
,,,, 21
nixF
nXXX
iX
n
i
它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设
)].(1[)](1)][(1[1)(21min zFzFzFzF
nXXX
则函数分布相互独立且具有相同的 若
,)(
,,, 21
xF
XXX n
,)]([)(maxnzFzF .)](1[1)(min
nzFzF
三、典型例题
.,0)4(
;)3(
;,)2(
;),()1(
:.,
,310,
7,210
的条件分布律的条件下在是否独立和
的边缘分布律的联合分布律
求表示其中的二等品数示其中的一等品数表用件件产品中不放回地抽取从件次品
件二等品和一件一等品件产品中有在
YX
YX
YX
YX
Y
X
例 1
有时或当 ,32 jiji
.0},{ jYiXP
由古典概率知时当 ,32 ji
,3
10
3
172},{
jijijYiXP
解 只能取由题设知 X ,2,1,0
只能取Y .3,2,1,0
).3,2,1,0,2,1,0( ji
YX 3210
2
1
012035
12021
00
012042
12014
0
00120
7121
1
12042
的分布律为因此的 ),( YX
的边缘分布律为YX ,)2(
YX 3210
2
1
012035
12021
00
012042
12014
0
00120
7120
1
iP
12056
12056
1208
jP 1201
12021
12063
12035
1
,0}0,0{)3( YXP因为
,0120
112056
}0{}0{ YPXP
.不相互独立与所以 YX
的条件概率为的条件下在 YX ,0)4(
.3,2,1,0,}0{
},0{}0{
jXP
jYXPXjYP
的条件分布律为因此Y
0 XjY
P
32
83
85
..0
,0)2(
;)1(:
.4,3,2,1,4.0}1{,6.0}0{
,,,,
2413
2211
43
21
4321
只有零解的概率方程组
的概率分布行列式求
且独立同分布设
xξxξ
xξxξ
ξξ
ξξξ
iξPξP
ξξξξ
ii
例 2
.0,
,
,
的概率列式而第二问就是求系数行出来些值的概率计算然后利用独立性将取这能值找到
的所有可先要将的分布律 要求行列式
ξ
ξξ[ 思路 ]
解 ,,)1( 321411 ξξηξξη 记
,213241 ηηξξξξξ 则
,,,,,, 214321 也相互独立故相互独立由于 ηηξξξξ
,1,0, 21 两个值都只能取且 ηη
}1,1{}1{}1{ 3221 ξξPηPηP而
,16.0}1{}1{ 32 ξPξP
.84.016.01}0{}0{ 21 ηPηP
.1,0,1321 个可能取值有随机变量 ηηξ
}1,0{}1{ 21 ηηPξP }1{}0{ 21 ηPηP
,1344.016.084.0
}0,1{}1{ 21 ηηPξP
}0{}1{ 21 ηPηP
,1344.084.016.0
}1{}1{1}0{ ξPξPξP .7312.0
的分布律为于是行列式 ξ
ξ
P
101
1344.0 7312.0 1344.0
由于齐次方程)2(
等价于系数行列式不为只有零解的充要条件是 ,0
.0
,0
2413
2211
xξxξ
xξxξ
}0{ ξP }0{1 ξP .2688.07312.01
}.0{,),(
.3,1
,3,0
.,2
,0,1
,0,0
,
,}1,0:),{(
),(22
UVPVU
YX
YXV
YX
YX
X
U
VU
yxyyxD
YX
并计算的联合概率分布求
如下随机变量定义上的均匀分布
服从设随机变量
.
,),(
概率布的特征计算其取值的并利用均匀分的所有可能取值 写出 VU
例 3
[ 思路 ]
解 的联合密度函数为由题设知 ),( YX
.),(,0
,),(,π2
),(Dyx
Dyxyxf
:6),( 个可能取值有VU
)1,2()0,2()1,1()0,1()1,0()0,0(
,0)(}0,0{ PVUP
,0)(}0,1{ PVUP
}3,0{}1,1{ YXYXPVUP
yxyxfYXPyx
dd),(}0{0
yxyx
ddπ2
0
.41
BCE
AOC
S
S扇
}3,0{}1,0{ YXXPVUP
}0{ XP ,21
BCE
COE
S
S扇
}3,{}0,2{ YXXYPVUP
}3{ YXP ,61
BCE
BOF
S
S扇
}3,{}1,2{ YXXYPVUP
}3{ YXYP .121
BCE
AOF
S
S扇
的联合概率分布为所以 ),( VU
VU 210
1
061
00
121
41
21
从而
}0{ UVP
}1,2{}1,1{ VUPVUP
121
41
.31
..0
,0,),(
),(
其它
的联合概率密度为设随机变量
yxcxeyxf
YXy
例 4
}.1),{min()8(};1{)7(
;)6(
;),()5(
};21{},21{)4(
);(),()3(
??)2(
;)1(
YXPYXP
YXZ
YX
YXPYXP
xyfyxf
YX
c
XYYX
求求的密度函数求
的联合分布函数求
求
求为什么是否独立与
求常数
解 得由 ,1dd),()1(
yxyxf
xcxyy y ded1
00 ,)3(
2de
2 0
2 cc
yyc y
.1 c
yyxfxfX d),()()2(
.0,0
0,de
x
xyxx
y
.0,0
,0,e
x
xx x
xyxfyfY d),()(
.0,0
0,de0
y
yxxy y
.0,0
,0,e21 2
y
yy y
),()(),(,0 yfxfyxfyx YX 上由于在
.不独立与故 YX
)(),(
)()3(yfyxf
yxfY
YX
.,0
,0,2
2
其它
yxyx
)(),(
)(xfyxf
xyfX
XY
.,0
,0,e
其它yxyx
}21{)4( YXP}2{
}2,1{
YP
YXP
2
1 2
d)(
dd),(
yyf
yxyxf
Y
2
0
2
1
0
2
de21
ded
yy
yxx
y
x
y
.e51
e21
e21
2
21
又由条件密度的性质知
,d)2(}21{1
xxfYXP YX
.,0
,20,2)2(其它
而x
xxf YX
从而有
xx
YXP d2
}21{1
0 .41
:},,{),()5( 故有由于 yYxXPyxF
.0),(,00 yxFyx 有时或当
有时当 ,0 xy
},{),( yYxXPyxF
uuvv vy
ded00
y v vv0
2 de21
.e)12
(12
yyy
有时当 ,0 yx
},{),( yYxXPyxF vuuy
u
vxded
0
x yu uu
0d)ee(
.e21
e)1(1 2 yx xx
故得
.0,e21
e)1(1
,0,e)12
(1
,00,0
),(
2
2
yxxx
xyyy
yx
yxF
yx
y
或
,d),()()6( xxzxfzfZ根据
,2
0,0
,),(
时即
只有当非零由于要被积函数z
xxzx
xzxf
从而有 :
;0)(,0 zfz Z时当
,0时当 z 2
0
)( de)(z
xzZ xxzf
2
0dee
zxz xx
;e)12
(e 2
zz z
因此
.0,0
,0e)12
(e)(
2
z
zz
zf
zz
Z
1
d)(}1{)7( zzfYXP Z
zz z
z d]e)12
(e[1
0
2 .ee1 12
1
}1),{min()8( YXP }1),{min(1 YXP
}1,1{1 YXP
uuvv v ded101
vv v de21
11
2
.e25
1 1
,}{
},{}{
,
)2,1,(,),(.1
j
ij
j
jiji
j
ij
p
p
yYP
yYxXPyYxXP
XyY
jipYX
的条件分布律为
条件下随机变量在给定为其联合分布律
是二维离散型随机变量设
.,2,1, ji其中,
}{
},{}{
i
ij
i
jiij
i
p
p
xXP
yYxXPxXyYP
YxX 的条件分布律为条件下随机变量在给定
小 结
则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量
),(),(),,(
),(.3
yfxfyxf
YX
YX
)()(),( yfxfyxf YX
}.{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP 相互独立和YX
.)()(,.4 也相互独立和则相互独立和 YgXfYX
相互独立和YX
2. 若离散型随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律为 .,2,1,,},{ jipjYiXP ij
.d])(),([
d)()(
x
Y
x
YXYX
xyfyxf
xyxfyxF
.d])(),([
d)()(
y
X
y
XYXY
yxfyxf
yxyfxyF
则有是二维连续型随机变量设 ,),(.5 YX
6. 离散型随机变量函数的分布律
的联合分布律为若二维离散型随机变量
,2,1,,},{ jipyYxXP ijji
的分布律为则随机变量函数 ),( YXgZ
}),({}{ kk zYXgPzZP
.,2,1 )(
kpjik yxgzij
7. 连续型随机变量函数的分布
的分布YXZ )1(
的分布及 ),min(),max()3( YXNYXM
的分布YX
Z )2(
课后作业
教材 107 页习题第 23 , 24 , 25 题
参考资料
《概率论与数理统计典型题解析及自测试题》第 2 版 西北工业大学, P54-84.
《概率论与数理统计》第三版 浙江大学编, P74 - 83.
思 考 题
设随机变量 在矩形域上
服从上的均匀分布,试求边长为 和 的矩形面积
的概率密度 .
),( YX
}10,20),{( yxyxG
X Y S
)(sf