This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
(α) Συστήματα με μεγάλο πλήθος εξισώσεων (103-106) και πολύ μεγάλο ποσοστό μηδενικών στοιχείων (~90%), αραιά – Sparse Systems - συστήματα.
(β) Στόχος, ο ταχύς προσδιορισμός μιάς ορισμένης ακρίβειας λύσης , του Γ.Σ..
ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΜΕΘΟΔΩΝ
Παρόμοια της γενικής επαναληπτικής, των εξισώσεων. Δηλαδή, υποκατάσταση του αρχικού συστήματος μ’ ένα άλλο που να επιλύεται εύκολα. Έτσι, αντί του ,
επιλύεται το: , με το επαναληπτικό σχήμα , όπου Τ=Μ-1(Μ – Α) και .
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ του Μ , όταν ο πίνακας Α αναλυθεί σε :
A = D–B–C
(α)Διαγώνιος πίνακας M ( = D – Μέθοδος Jacobi )
(β)Τριγωνικός πίνακας Μ ( = D-B » Gauss-Seidel )
(γ) Συνδυασμοί των δύο M( =D-ωB » S. O. R. ) .
Ax ( )Mx M A x
1 *v vx x T -1= M*β
4
Οι τρεις βασικές επαναληπτικές μέθοδοι :
3 1 0
0.2 0.5 0
x x
x x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙΠΙΝΑΚΕΣ
ΤΩΝ 3 ΜΕΘΟΔΩΝ:
(α) Jacobi : Τj=D-1(B+C)
(β) G-S : ΤG-S=(D-B)-1C
(γ) Relaxation: ΤR=(D-ωB)-1{(1-ω)D+ωC) .
Παράδειγμα 1ο: Στο Γ.Σ. που ακολουθεί, οι αντίστοιχοι πίνακες είναι:
Τα 3 επαναληπτικά σχήματα
για το Γ.Σ. (1) είναι :
(Μέθοδος - Jacobi)
( » - Gauss-Seidel)
( » - Relaxation)
Έτσι, από τα (2) και (3), με . λαμβάνουμε τον ακόλουθο πίνακα των αριθμητικών αποτελεσμάτων ,για τις τρείς μεθόδους :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 12 10 1 1 12
(1) 10 12 1 10 1 , και 12
10 12 1 1 10 12
10 0 0 0 0 1 1
10 , 1 0 0 , 0 1 .
10 1 1 0 0
x x x
x x x A
x x x
D B C
1 11(2) ( )v vx D B C x D
1 11(3) ( ) ( )v vx D B Cx D B
1 11(4) ( ) {(1 ) } ( )v vx D B D C x D B
0 (0,0,0,...,0)x
5
3 1 0
0.2 0.5 0
x x
x x
Η λύση του συστήματος είναι : .
Ερώτημα: Ποια είναι η βασική διαφορά μεταξύ των επαναληπτικών σχημάτων
(2), (3) και (4);
x\k 0 1 2 3
J G-S SOR J G-S SOR J G-S SOR
x1 0 1.2 1.2 0.96 0.9948 1.008 0.99965
X2 0 1.2 1.08 0.96 1.0033 1.008 1.000016
x3 0 1.2 0.972 0.96 1.0002 1.008 1.000033
4 5 6
J J J
x1 0.9984
1.00032
0.999936
x2 0.9984
1.0032 0.999936
x3 0.9984
1.00032
0.999936
Αριθμητικά αποτελέσματα με : Jacobi, Gauss-Seidel & SOR
(1.,1.,1.)Tx
6
ΜΕΛΕΤΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ
3 1 0
0.2 0.5 0
x x
x x
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΤΡΕΧΟΥΣΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
Η γενική μορφή του επαναληπτικού σχήματος είναι :
,και στο όριο εφόσον συγκλίνει :
οπότε το σφάλμα θα είναι :
με : Τ=Τj ή TG-S ή TR .
Δι΄αφαιρέσεως της (5) από την (6) έχουμε ( την σχέση των διαδοχικών σφαλμάτων):
Στη συνέχεια θεωρούμε ότι ο επαναληπτικός πίνακας Τ έχει ένα πλήρες σύστημα ιδιοδιανυσμάτων και και ότι το αρχικό σφάλμα αναλύεται στον ιδιόχωρο του T
( με τα ιδιοδιανύσματά και οι ιδιοτιμές του Τ) ως εξής :
Οπότε η σχέση (7), λόγω της (8) γίνεται:
Έτσι αν αξιοποιήσουμε την ιδιότητα των ιδιοτιμών τότε η (9) γράφεται :
( ) 1 *(5) v vx x T* * *(6) ,x x T
( ) * ( ) * ( 1) * ( 1) ( 1) ( 1) (0).(7) ( ) ( ) .v v v v v ve x x Tx Tx T x x Te T e
(0)e
, , 1, 2,...,k ku k v (0)
1
(8) , με σταθερές v
k k kk
e a u a
( ) ( 1) (0) ( 1) ( 1)
1 1
(9) .v v
v v v vk k k k
k k
e T e T a u a T u
,Tu u( ) ( 2) 1
1 1
(10) ... .v v
v v vk k k k k k
k k
e a T u a u
* ( )v ve x x
7
Παρατηρήσεις - Εφαρμογή
3 1 0
0.2 0.5 0
x x
x x
Από την (10) είναι σαφές, ότι σε κάθε επανάληψη του σχήματος , οι τιμές του αρχικού σφάλματος, ως προς τις κύριες κατευθύνσεις του ιδιόχωρου του Τ πολλαπλασιάζονται με την αντίστοιχη ιδιοτιμή λk. Έτσι,εάν ρ(Τ)<1,δηλ. οι ιδιο- τιμές του επαναληπτικού πίνακα Τ είναι απολύτως μικρότερες της μονάδας, τότε από την (10) προκύπτει ότι έχουμε συνεχή συρρίκνωση του σφάλματος και το αντίστοιχο επαναληπτικό σχήμα θα συγκλίνει στη λύση του Γ.Σ.
Παράδειγμα 2ο: Στο γραμμικό σύστημα:
Οι επαναληπτικοί πίνακες TJ, ΤG-S και TR με τις
αντίστοιχες ιδιοτιμές είναι:
Ασκηση : Εύρατε για τον 3-διαγώνιο πίνακα που ακολουθεί τους 3 επαναλη-πτικούς πίνακες TJ, ΤG-S και TR και στην συνέχεια υπολογίσατε τις φασματικές ακτινες των:
1 2 1
1 2 2
2
2
x x
x x
1 2 1 2
21 2 1 22
21 2
0 1/ 2 2 0 0 1 0 2 / 4, , 0.5, , , 0,0.25
1/ 2 0 1 2 0 0 0 0
1 (1/ 2), (1 ) , 1
(1/ 2) (1 ) 1 (1/ 4)
2(1 ) 2(1 ) 0.25 4(2 3) 1.07, , 0.07 1/16.
J G S
R
T T
T
2 1
1 2 1 .
1 2
8
3 1 0
0.2 0.5 0
x x
x x
Δηλαδή, οι ιδιοτιμές των R είναι τα τετράγωνα των G-S , που είναι τα τετράγωνα των J, όλες δε είναι μικρότερες της μονάδας.
Σημειώσεις:
(1) Ο D. Young απέδειξε για την ειδική κατηγορία των Γ.Σ. που ο πίνακας
των συντελεστών του αγνώστου έχει τη δομή που καλείται «Property A», ότι οι
ιδιοτιμές μ του TJ και οι ιδιοτιμές λ του TR συνδέονται με τη σχέση:
Εάν εφαρμόσουμε την (11) για ω=1 (δηλαδή G-S) τότε έχουμε την ιδιότητα:
όπως συνέβη στο προηγούμενο παράδειγμά μας.
(2) Το βέλτιστο ω συνδέεται με την ισότητα των δύο ριζών λ1 και λ2 (που η
συνθήκη αυτή συνεπάγεται τον μηδενισμό της διακρίνουσας στη δευτεροβάθμια
εξίσωση) που σημαίνει: απ’ όπου λαμβάνουμε:
ή, με πολλαπλασιασμό του β’ μέλους με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή
τελικά έχουμε:
2 2 2(11) ( 1) .
2 2 2. και άρα 0, ,
2 22.( 1) 2.(1 ) .ω , 2
2
1 12 ,
2 2
2 2.
1 1 1 1 ( )opt
jT
9
Προσδιορισμός του βέλτιστου ω, όταν το σύστημα κέκτηται την «Property A»
Άρα, όταν το σύστημα πληροί την «Property A», τότε ο προσδιορισμός του ω :
έχει ανάγκη μόνο την φασματική ακτίνα του πίνακα Jacobi. Το ενδιαφέρον είναι ότι στις εφαρμογές και ιδιαίτερα στις α-ριθμητικές επιλύσεις των διαφορικών εξισώσεων τα Γ. Σ. πουπαρουσιάζονται ικανοποιούν την «Property A», πράγμα που βοηθάστην αξιοποίηση της Relaxation για την ταχεία εύρεση της λύσεως του Γ.Σ.Η «Property A»,σχετίζεται με τον τρόπο κατανομής των μη-διαγώ-νιων στοιχείων του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, σετελική δε μορφή διαχωρίζει τους αγνώστους σε δύο ομάδες, που κάθε άγνωστος της μιάς ομάδας συνδέεται μόνον με ομοίους του
2
2(12) .
1 1 ( )opt
jT
10
«Property A» (συνέχεια )
της άλλης ομάδας.(4) Ο τρόπος ελέγχου της «Property A» επιτυγχάνεται με τον διαχωρισμό του συνόλου των δεικτών των μη μηδενικών συντελεστών σε δύο υποσύνο-λα ξένα μεταξύ τους ,με ένωση το σύνολο των δεικτών , όπως θα δώσουμε στο παράδειγμα που ακολουθεί , για τον πίνακα Β :
Βήμα 1ο: Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της πρώ- της γραμμής. Αυτά έχουν δείκτες (1,2)και (1,3),που σημαίνει ότι ο δείκτης 1 θα ανήκει στο πρώτο υποσύνολο, έστω αυτό το Σ, ενώ οι δύο άλλοι πρέπει να ανή-κουν στο άλλο υποσύνολο, έστω αυτό το Τ.Βήμα 2ο : Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της 2ηςγραμμής. Αυτά είναι τα : (2,1) και (2,4). Εξ αυτών, οι δείκτες 1 και 2 έχουν ήδη
4 1 1 0
1 4 0 1(13) .
1 0 4 1
0 1 1 4
11
Διαδικασία ελέγχου της «Property A»
καταταγεί, ενώ ο δείκτης 4 σαφώς πρέπει να καταταγεί στο Σ.
Βήμα 3ο : Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της 3ης
γραμμής. Αυτά είναι τα (3,1) και (3,4), που οι δείκτες τους ανήκουν σε δια-
φορετικά υποσύνολα, ως ώφειλαν για την ελεγχόμενη ιδιότητα.
Βήμα 4ο : Εξετάζουμε τα μη-μηδενικά (και μη-διαγώνιο ) στοιχεία της 4ης
γραμμής. Αυτά είναι τα (4,2) και (4,3), με δείκτες που έχουν ήδη καταταγεί.
Έτσι έχουμε για τους δείκτες {1.4}εΣ και {2,3}εΤ, με ΣUT={1,2,3,4} και
το κενό σύνολο, πράγμα που υποδηλώνει ότι ο πίνακας Β πληροί την
ιδιότητα Α.
Τέλος, με εναλλαγή της 2ης και 4ης γραμμής του πίνακα μαζί με την εναλλαγή
και των αντίστοιχων στηλών ο Β μετασχηματίζεται σε πίνακα «con-
sistently ordered» - συνεπώς διατεταγμένο - που είναι ο :
*
4 0 1 1
0 4 1 1(14) .
1 1 4 0
1 1 0 4
12
Διαδικασία ελέγχου της «Property A»
Παρατηρήσατε στον συνεπώς διατεταγμένο πίνακα (14) ότι οι 2 πρώτες μετα-
Βλητές συνδέονται μόνον η κάθε μία τους, με τις 2 τελευταίες μεταβλητές, και
αντίστροφα.
(5) Οι τριδιαγώνιοι πίνακες πληρούν την «Property A» .
(6) Οι block 3-διαγώνιοι πίνακες με διαγώνια στοιχεία διαγώνιους πίνακες πλη- ρουν την «Property A» .
(7) Στον τριδιαγώνιο πίνακα ν-τάξεως :
αποδεικνύεται, γενικώτερα, ότι οι 3 φασματικές ακτίνες είναι :