Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники Соловова Светлана Алексеевна Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85 г. Ульяновск, 2014 г.
Подготовка к ГИА модуль «Геометрия»
Треугольники
Соловова Светлана Алексеевна
Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85
г. Ульяновск, 2014 г.
Высота, медиана, биссектриса треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противопо-ложной стороны, называется медианой
А
М
АМ – медиана
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника
А
А1
АА1 – биссектриса
Перпендикуляр, проведенный из вершины треуголь-ника к прямой, содержащей противоположную сторону,называется перпендикуляром
Н
А
АН - высота
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
К М
КМ – средняя линияСредняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
А
В
С
АВКМ
АВКМ2
1
Cерединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и перпендикулярна к нему
а
А В
а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему
М
А ВО
m
m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВМ Є mАМ = ВМ
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке
А
В
С
mn
p
O
ACp
BCn
ABm
,
,
m, n, p пересекаются в точке О
Точка пересечения биссектрис треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
А В
С
К
СК – биссектриса <С
М
АМ – биссектриса <А
ВР – биссектриса <В
Р О
О – точка пересечения биссектрис
Точка пересечения высот треугольника
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке
А С
В
К
М
Р
О
ВСАМ
АВСР
АСВК
О – точка пересечения высот
Точка пересечения медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1,
считая от вершины
А В
С
К
МРО
ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВСО – точка пересечения медиан
СО : КО = 2 : 1АО : МО = 2 :1ВО : РО = 2 : 1
Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если две его
стороны равны
Треугольник, все стороны которого равны, называется
равносторонним
АВ = ВС
А
В
СА
В
С
АВ = АС = ВС
Свойства равнобедренного треугольника
А
С
В
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
<А = <ВВ равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой
АС = ВС
СК - биссектрисаК
АК = КВ, СК АВ
1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Прямоугольный треугольник
Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным
АВ и АС – катетыВС - гипотенуза
А
В
С
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов
ВС² = АВ² + АС²
Свойства прямоугольного треугольника
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
С А
В
<A + < B = 90°
< A = 30°CB = AB2
1
30°
Если CB = AB, то <A = 30°2
1
Признаки равенства треугольников
I признакПо двум сторонам и
углу между ними
II признакПо стороне и
прилежащим к ней углам
III признакПо трем сторонам
А N
М
КС
В
Если <A = <K, AB = KM, AC = KN,
то ∆ABC = ∆KMN
А C
B P
NК
Если <B = <PAB = KP, BC = PK,то ∆ABC = ∆KPN
А C
B M
K N
Если АВ = КМ, АС = KN, BC = MN,то ∆АВС = ∆KNM
Признаки равенства прямоугольных треугольников
По двум катетамЕсли АВ = КМ,
АС = KN, то ∆АВС = ∆KMN
А N
М
КС
В
По катету и прилежащему острому углу
Если AB = KM, <B = <M, то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и острому углу
Если ВС = MN, <B = <M,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и катетуЕсли ВС = МN, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
А
В
С
АВ < ВС + АСАС < АВ + ВСВС < АВ + АС
Сумма углов треугольника равна 180°
A
BC
<A + <B + <C = 180°
16
Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника,
называется внешним
О
<АВО – внешний
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
<3 смежный с <4
<4 + <3 = 180°
(<1 + <2) + <3 = 180°
<1 + <2 = <4
1
2
3 4
17
Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;2) обратно, против большего угла лежит большая сторона
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого
А С
ВВ1
А1 С1
<A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1, kАС
СА
СВ
ВС
ВА
АВ
111111k – коэффициент подобия
∆АВС ∞ ∆ A1 B1 C1
Признаки подобия треугольников1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
А
В
С К М
РЕсли <A = <K, <B = <M,то ∆АВС ∞ ∆КРМ
Если АВ : КР = АС : КМ, <А = <К,то ∆АВС ∞ ∆КРМ РМ
ВС
КМ
АС
КР
АВ
∆АВС ∞ ∆КРМ
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°
С А
ВСинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе
AB
BCA sin
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе
AB
ACA cos
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему
AC
BCtgA
Основное тригонометрическое тождество
sin² x + cos² x = 1
Теорема о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними
CabS sin2
1
a
bC
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
а b
c
C
B A
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
а b
c
C
B A
Cabbaс cos2222
Решение задач по готовым чертежам
1. В треугольнике АВС угол А равен 38°. Найдите угол С.
2. В треугольнике АВС угол С равен 118°. Найдите
угол А.
3. В треугольнике АВС угол С равен 52°. Найдите внешний угол СВD.
4. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 122°. Найдите
угол С.
5. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3. Найдите наибольший из них.
6. В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 70°. Найдите разность углов АСН и ВСН.
7. В треугольнике АВС угол С равен 50°, АD – биссектриса, угол САD равен 28°. Найдите угол В.
8. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на
9. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное
на
10. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на
11. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на
12. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на
13. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на
14. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АС =10, АН =8. Найдите cos B.
15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.
16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.
15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.
16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.
17. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 16. Найдите tgА.
18. В треугольнике АВС, АС = ВС, АВ =10, высота АН равна 8. Найдите sin А.
19. В треугольнике АВС, АС = ВС, АН –высота, sin А = 0,8. Найдите косинус
угла ВАН.
20. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АС = 5, СН – высота, АН = 4. Найдите . sin АСВ.
21. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АВ = 10, высота СН = 8. Найдите косинус угла АВС.
22. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение синуса, умноженное на
23. Найдите медиану треугольника АВС, прове-денную из вершины С, если стороны квадратных клеток равны 1.
24. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную на сторону ВС, если стороны квадратных клеток равны .
25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.
26. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.
№1. Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 15см. Найдите периметр этого треугольника.
№2. Периметр равностороннего треугольника АВС равен 90см. Найти длину средней линии этого треугольника.
№3. В равностороннем треугольнике АВС проведены средние линии. Найти периметр получившегося треугольника, если АВ=12см.
№4. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите основание треугольника.
№5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20º. Найдите градусную меру угла при вершине. Ответ укажите в градусах.
№6. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 96º? Ответ укажите в градусах.
№7. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите площадь этого треугольника.
№8. Основание равнобедренного треугольника равно 8, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника
№9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника.
№10. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине В равен 110º. Найдите величину угла А. Ответ дайте в градусах.
№11. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине С равен 117º. Найдите величину угла В. Ответ дайте в градусах.
№12. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ=8, а СН= 5. Найдите площадь этого треугольника.
№13. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8√2. Найдите катет.
№14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6. Найдите площадь этого треугольника.
№15. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота равна 3. Найдите площадь треугольника.
№16. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу.
№17. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
№18. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 его больше. Найдите площадь треугольника.
№19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите площадь треугольника.
№20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.
Тестовые задания из КИМов части 1и части 2
1.В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна . Найдите меньшую высоту.2. В прямоугольном треугольнике АВС высота, проведенная из вершины прямого угла равна 3, медиана, проведенная к гипотенузе равна 5. Найдите площадь фигуры, образованной вписанным и описанным кругами.3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.4.Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4, 5.5.Найдите площадь треугольника, медианы которого 10, 10 и 16.
6. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что угол ВАС равен 60°, АВ =20, а медиана АМ равна 14.7.Найдите площадь треугольника две стороны, которого равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 5.8.треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 10. Найдите третью сторону.9. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8, АС = 6, угол ВАС равен 60°. Найдите биссектрису АМ.10.треугольнике АВС известно, что АВ = х, АС = у, угол ВАС равен 120°. Найдите биссектрису АМ.
11. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности. Если АМ = 6 и ВМ = 24.12. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12.13. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на части, равные 6 см и 4 см. Найдите радиус этой окружности14. В прямоугольном треугольнике с углом 60° вписана окружность радиуса .Найдите площадь этого треугольника.
16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.17. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24, а радиус описанной около него окружности 13. Найдите боковую сторону треугольника..
15. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины противолежащей стороны основанию, равно 5. Боковая сторона равна 10. Найдите длину радиуса.
18.Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и углом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной окружности
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин.1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? Решение:
Пусть мальчик находится в точке пересечения осей направлений.По т. Пифагора х=√(1202 +502) = √16900 = 130 Ответ: 130
2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 240 м. Затем повернула на север и прошла 480 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 240 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 42 минут?1 час 42 мин = 1,7 часа4*1,7 = 6,8 км - прошел мальчик3*1,7 = 5,1 км - прошла девочка√(6,82+5,12)=√72,25 = 8,5 км - расстояние между ними
4. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 30 минут?1 час 30 мин = 1,5 часа4*1,5 = 6,0 км - прошел мальчик3*1,5 = 4,5 км - прошла девочка√(6,02+4,52)=√56,25 = 7,5 км - расстояние между ними
8. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 9 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
Решение. Из подобия большого и маленького треугольников:х : (9+3) = 1,8 : 3х : 12 = 0,6х = 0,6*12= 7,2 Ответ: 7,2
9. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
10. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,2 м. Найдите длину тени человека в метрах.Пусть х - длина тени.Из подобия маленького и большого треугольников следует:х / 1,7 = (х+15) / 10,210,2х = 1,7 (х+15)8,5 х = 25,511. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.
№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение:
<A + <B = 90°
Пусть <A = x, тогда
<B = 2х
х + 2х = 90°
х = 30°
Ответ: 30°
А С
В
№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г)В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
<BAC = <BCA
<BCA = 180° – 123° = 57°
<ABC = 180° – 2·57° = 66°
Ответ: 66°123°
А С
В
№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Решение:
<A + <B + <C = 180°
<CAD = <BAD = 28°
<A = 2·28° = 56°
<B = 180° - 56° - 50° = 74°
Ответ: 74°
А
D
С
В
№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г)В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника
Решение:
С В
А
К
564362
1
2
1
2
1 22 ВСАСАВСК
Ответ: 5
№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А.Решение: I способ:
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно
<A + <C = 68°
<A = 68° – 28° = 40°
Ответ: 40°
А В
С
28
68
II способ:<ABC = 180° - 68° = 112°Сумма углов треугольника равна 180°.Следовательно <A + <B + <C = 180°<A = 180° – 28° – 112° = 40°.Ответ: 40°
№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.
Решение:∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу
между ними) AO = OB, DO = OC по условию,<DOB = <AOС как вертикальные,следовательно
DB = AC
А
D
С
В
О
Достроим треугольники АВС и ВАD.
∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и углу между ними)AO = OB, DO = OC по условию,<DOА = <СOB как вертикальные,следовательно АD = ВC
Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.
№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.
Решение:
Так как MN || АС,
то <ACB = <MNB (как соответственные),
<ABC – общий,
А В
С
М
N
Так как М и N середины сторон АВ и ВС, то MN – средняя линия ∆АВС
следовательно MN || АС.
следовательно ∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)
Что и требовалось доказать
№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.
Решение: ∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам
(<K – общий, <KLM = <KPL = 90°).
∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам
(<M – общий, <KLM = <MPL = 90°).
∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам
(углы при вершине P прямые, <K = <MLP).
Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то
L
M
K
P
MPKPLPKP
LP
LP
MP 2
Что и требовалось доказать.