第一章 离散时间信号与离散时间系统

第一章 离散时间信号与离散时间系统第一章 离散时间信号与离散时间系统

Chapter 1 Discrete Time Signal and Systems

2008.9

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

1. 概念：时间离散的信号，又可称序列，记作：

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

2. 表示法：

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

3. 常用的典型序列 （单位取样、单位脉冲、单位函数）

性质：

jk

jkjk

,1

,0)()1

)(),()2 jkAkA

0)()0()()( fkfkkf

)()()()()( mfmkmfmkkf

推广：

利用单位序列利用单位序列 (k)(k) 表示任意序列表示任意序列

m

mkmfkf )()()( 例：

注意：注意：

,0,0,3,0,5.1,1,0,

0k

kf

235.11 kkk

(t) 用面积（强度）表示， ( 幅度为 , 但强度为面积 )(k) 的值就是 k=0 时的瞬时值（不是面积）

00

0)(

t

tt

1)(

dtt

0,1

0,0)(

k

kk

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

0,0

0,1)(

k

kkU

0

)()3()2()1()()(i

ikkkkkkU

)1()()( kUkUk

U(k) 可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。

推广：

jk

jkjkU

,1

,0)()1

)(),()2 jkAUkAU

性质：

00

0)()()(

k

kkfkUkf

U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k) ：非奇异信号，可实现信号。

可见， U(k) 作用类似于 U(t) ，但二者有较大差别：

关系：与 )()( kUk

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

3. 常用典型序列

e. 正弦序列 sin(ωn)

x(n) = sin(ωn)如果正弦序列是由模拟信号

Xa(t) =sin(Ωt ) 采样得到的，那么Xa(t)|t=nTs=sin(ΩnTs) Ts 为采样周期

x(n)=sin(ωn)

ω=ΩTs= Ω/fs

Ω = 2π ×10rad / s

f =100 Hzs ω = 2π /10rad / s

由采样得到的正弦序列 x(n) = sin(ωn)

模拟正弦信号 Xa(t) =sin(Ωt )

ω ：数字角频率

Ω ：模拟角频率

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4. 序列的周期性

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

正弦序列周期性的讨论

N=(2π/ω0)k= (2π /ΩTs)k= (2π /ΩTs)k=(T/Ts)k

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

正弦序列周期性的讨论

102

,2.00

0 N 20

2,1.0

00

N

)2(112

,11

4

00 kkN

无周期,4.00

习题习题

例 1 ：判断是否为周期序列，如果是，周期是多少？

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

5. 序列的基本运算

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

5. 序列的基本运算

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

5. 序列的基本运算

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

5. 序列的基本运算

1-1 1-1 离散时间信号的基本概念离散时间信号的基本概念

5. 序列的基本运算

习题习题

例 2 ：

习题习题

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

1. 离散时间系统一种变换，或一种映射，把输入序列（激励）变换为输

出序列（响应）；可以是一种硬件装置，或是一个数学表达式

2. 线性时不变离散时间系统 (LTI)

线性：满足叠加原理时不变：系统响应与输入信号加入系统的时间无关

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

2. 线性时不变离散时间系统

线性

时不变

习题习题

例 3 ：判断系统是否为线性系统

习题习题

例 4 判断系统是否为时不变系统？

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

3. 因果性和稳定性

系统的因果性是指系统的可实现性

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

4.LTI系统输入输出关系

(n) h(n)

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

-m

m)-(nx(m)

(n-m) h(n-m)

x(m)(n-m) x(m)h(n-m)

-m

m)-x(m)h(n

称此为 x(n) 与 h(n) 的卷积和 (Convolution)

由 LTI 系统的性质有以下：

即： x(n) y(n)

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

例例 55 ：：用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和 y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k) 。。

)(*)()( khkfky 解：

01.0,04.0,09.0,16.0,21.0,20.0,17.0,12.0)(

0k

ky

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

4) 卷积的性质交换率：

结合率：

分配律：

此外：此外：

卷积应用举例——连续卷积卷积应用举例——连续卷积

卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积

核矩阵

积阵列

　　　 设当前的待处理像素为 f(i,j) , 给出一个处理模板如下所示。

(i-1, j-1) (i-1, j) (i-1, j+1)

(i , j-1) (i, j) (i, j+1)

(i+1, j-1) (i+1, j) (i+1, j+1)

卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积

19

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , )

m n

m n

m n

g i j f m n h i m j n

h m n f i m j n

f i m j n

则有：

111

111

111

91H即：

卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积

111

121

111

101

1H

121

242

121

161

2H

111

101

111

81

3H

00

1

00

41

41

41

41

21

4H

将以上的均值滤波器加以修正，得到加权平均滤波器：

卷积应用举例——离散卷积卷积应用举例——离散卷积

1-2 1-2 离散时间系统的基本概念离散时间系统的基本概念

5.LTI 系统的频率响应令系统输入 x(n) 为一个特殊的复正弦信号则系统的输出为：

定义

为系统的频率响应。

-m

-m

)(

-m-m

)(

)()()()()()(

mjnj

mnj

emhe

emhn-mxmhn-mhmxny

njenx )(

-m

)()( mjj emheH 注意： 1. 该式实际上是序列 h(m)的傅里叶变换（ DTFT——Discrete Time Fourier Transform ）；2. 周期连续复值函数；

)()()( jjj eeHeH

幅频响应 相频响应

1 、差分方程描述：

例 6 ： y(k) 表示一个国家在第 k 年的人口数， a 、 b 分别代表出生率和死亡率，是常数。设 f(k) 是国外移民的净增数，则该国在第 k+1 年的人口总数 y(k+1) 为多少？

y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k)

所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)

例 7 ：某人每月初均存入银行固定款 f(k) ，月息为 a ，每月本息不取，试求第 k 个月的初存入款时的本息和 y(k) 为多少？

有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)

1-3 1-3 离散时间系统模型离散时间系统模型

例例 88 ：：

T

kyky

dt

tdy 1

kykTyty

kfkTftf

kfkayT

kyky

1

kfaT

Tky

aTky

11

1

1

tftaydt

tdy

例例 99 ：：图示电路，写出节点电压关系。图示电路，写出节点电压关系。

0)(112

2

kukua

aku

讨论：讨论：（（ 11 ）差分方程：）差分方程：由激励序列、响应序列以及其移序序列组成的方程。由激励序列、响应序列以及其移序序列组成的方程。含含 y(k) ， y(k-1) ，…的差分方程的差分方程 : : 后向差分方程后向差分方程含含 y(k) ， y(k+1) ，…的差分方程的差分方程 : : 前向差分方程前向差分方程（（ 22 ）差分方程 阶数：）差分方程 阶数：响应最高序号与最低序号的差值。响应最高序号与最低序号的差值。（（ 33 ）离散自变量）离散自变量 kk 不一定限于时间。不一定限于时间。（（ 44 ）） NN 阶线性常系数差分方程：阶线性常系数差分方程：

1-3 1-3 离散时间系统模型离散时间系统模型

1-3 1-3 离散时间系统模型离散时间系统模型

2 、差分方程求解

习题习题

例 10 ：

小结小结时域特性与频域特性h(n) 、 H(ejw)

线性、时不变性、因果性、 稳定性低通、高通、带通、带阻、线性相位离散系统研究的两方面： 系统分析：给定系统，研究其特性 系统综合：给定特性指标，设计系统