线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分

线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分

第二章 连续系统的时域分析

2.1 线性连续系统的描述及其响应

2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线

性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。

1. 元件约束 VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1) 电阻 R ， uR(t)=R·iR(t) ；

(2) 电感 L ，

(3) 电容 C ，

(4) 互感 ( 同、异名端连接 ) 、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。

00

( ) 1( ) , ( ) ( )

tL

L L L Lt

di tu t L i i t u d

dt L

00

( ) 1( ) , ( ) ( ) ( )

tC

C C C Ct

du ti t C u t u t i d

dt C

2. 结构约束 KCL 与 KVL 下面举例说明。 例 2―1 图 2.1 所示电路，输入激励是电流源 iS

(t), 试列出电流 iL(t) 及 R1 上电压 u1(t) 为输出响应变量的方程式。

iS

( t )

iC

( t )

u1

( t )

iL

( t )

R2

R1

L

£«

£

解 由 KVL ，列出电压方程

1 2

2

21

1 221

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 ( ) ( ) ( )( )

C L L

LL

L L

u t u t u t R i t

di tL R i t

dt

di t di t di tu t L R

R C dt dt dt

对上式求导，考虑到 1 1

( )( ) ( ) ( )C

C C

du ti t C R i t u t

dt

根据 KCL ，有 iC(t)=iS(t)-iL(t) ，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))

2

1 22

21 2 1

2

1 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( )

S L L LS L

L L SL S

di t di t d i t di ti t i t R L R

C dt dt dt dt

d i t R R di t R di ti t i t

dt L dt LC L dt LC

整理上式后，可得

2 21 1 2 1 1 2

1 12 2

( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) S Sd i t R R di t d i t R R di t

i t Rdt L dt LC dt L dt

从上面例子可得到两点结论：

(1) 解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数 ( 即独立动态元件的个数 ) 是一致的。

(2) 输出响应无论是 iL(t) 、 u1(t) ，或是 uC(t) 、 i1(t) ，还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。

这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。

2.1.2 微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性非时

变的激励为 f(t) ，其全响应为 y(t) ，则描述线性非时变系统的激励 f(t) 与响应 y(t) 之间关系的是 n 阶常系数线性微分方程，它可写为

y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1

f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) 式中 an-1 ，…， a1 ， a0 和 bm ，

bm-1 ，…， b1 ， b0 均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用 yh(t) 表示。非齐次方程的特解用 yp(t) 表示。即有

y(t)=yh(t)+yp(t)

1. 齐次解

齐次解满足齐次微分方程

y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征

方程为 λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0

(1) 特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同( 即无重根 ) ，则微分方程的齐次解

(2) 特征根有重根。若 λ1 是特征方程的 γ 重根，即有 λ1=λ2=λ3=…=λγ ，而其余 (n-γ) 个根 λγ+1 ，λγ+2 ，…， λn 都是单根，则微分方程的齐次解

1

( ) i

nt

h ii

y t c e

1

( ) j

nti

h ii

y t c t e

(3) 特征根有一对单复根。即 λ1, 　 2=a±jb ，则微分方程的齐次解

yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4) 特征根有一对 m 重复根。即共有 m 重 λ1,2=

a±jb 的复根，则微分方程的齐次解

11 2

11 2

( ) cos cos cos

sin sin sin

at m ath m

at at m atm

y t c dt c te dt c t e dt

d e bt d te bt d t e dt

2. 特解

特解的函数形式与激励函数的形式有关。下表列出了几种类型的激励函数 f(t) 及其所对应的特征解 yp(t) 。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数 Pi ，就可得出特解。

激励函数及所对应的解

3. 完全解

根据上节所讲，完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为

1

( ) ( )i

nt

i pi

y t c e y t

当特征根中 λ1 为 γ 重根，而其余 (n-γ)个根均为单根时，方程的全解为

1

1 1

( ) ( )i

nt t

i i pi j

y t c t e c e j y t

如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为上式，将给定的初始条件分别代入到式上及其各阶导数，可得方程组

y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)

y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)

…

y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)

2.1.3 零输入响应和零状态响应

线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {x(0)} 所引起的响应，用 yx(t) 表示；零状态响应是系统的初始状态为零 ( 即系统的初始储能为零 ) 时，仅由输入信号所引起的响应，用 yf(t) 表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即

y(t)=yx(t)+yf(t)

在零输入条件下，式 (2―7) 等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应

式中 cxi 为待定常数。

若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式 (2―7)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应

1

( ) i

nt

x xii

y t c e

1

( ) ( )i

nt

f fi pi

y t c e y t

式中 cfi 为待定常数。

系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为：

1 1 1

( ) ( ) ( )i i i

n n nt t t

i p xi fi pi i i

y t c e y t c e c e y t

式中

1 1 1

i i i

n n nt t t

i xi fii i i

c e c e c e

在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在 t=t0 时刻，有

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )C C

C L

u t u t

i t i t

2.2 冲激响应和阶跃响应

2.2.1 冲激响应

一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号 δ(t) 所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 h(t) 表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号 δ(t) 时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。

冲激响应示意图

0 t

( t )

(1)ÏßÐÔ·Çʱ±äϵͳ

( t ) h ( t )

{¡Á(0)}£½{0}

t

h ( t )

0

1. 冲激平衡法

冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应 h(t) 。

例： 已知某线性非时变系统的动态方程式为

( )3 ( ) 2 ( ) ( 0)

dy ty t f t t

dt

试求系统的冲激响应 h(t) 。

解 根据系统冲激响应 h(t) 的定义，当 f(t)=δ(t)时，即为 h(t) ，即原动态方程式为

由于动态方程式右侧存在冲激信号 δ(t) ，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有 δ(t) 。这样冲激响应 h(t)必为 Aeλtu(t) 的形式。考虑到该动态方程的特征方程为

( )3 ( ) 2 ( ) ( 0)

dh th t t t

dt

3 0

特征根 λ1=-3 ，因此可设 h(t)=Ae-3tu(t) ，式中 A为待定系数，将 h(t) 代入原方程式有

3 3

3 3 3

[ ( )] 3 ( ) 2 ( )

( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )

( ) 2 ( )

t t

t t t

dAe u t Ae u t t

dt

Ae t Ae u t Ae u t t

A t t

即

解得 A=2 ，因此，系统的冲激响应为3( ) 2 ( )th t e u t

求导后，对含有 δ(t) 的项利用冲激信号 δ(t) 的取

样特性进行化简，即

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) ( )

df t g t f t g t f t g t

dt

f t g t f t

2. 等效初始条件法

系统冲激响应 h(t) 的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应 h(t) 是系统在零状态条件下，受单位冲激信号 δ(t) 激励所产生的响应，它属于零状态响应。

例： 已知某线性非时变 (LTI) 系统的动态方程式为

y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0

试求系统的冲激响应 h(t) 。

解 冲激响应 h(t) 满足动态方程式 h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0

由于动态方程式右边最高次为 δ(t) ，故方程左边的最高次 h′(t) 中必含有 δ(t) ，故设

h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)

因而有 h(t)=Au(t) 将 h′(t) 与 h(t) 分别代入原动态方程有

Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t) Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) 解得

A=2 ， B=-6

3. 其它方法

系统的冲激响应 h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应 h(t) 可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应 h(t) 的过程中，都是已知系统的动态方程。

2.2.2 阶跃响应

一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 g(t) 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 u(t) 时，系统的零状态响应，如图 2.17 所示。

ÏßÐÔ·Çʱ±äϵͳ

g ( t ){¡Á(0)}£½{0}

0

1

t

u ( t )

g ( t )

0 t

u ( t )

阶跃响应示意图

如果描述系统的微分方程是式

y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1

f (m-1)(t)+… +b 1f(1)(t)+b0f(t) ，

将 f(t)=u(t) 代入，可求得其特解

上的特征根 λi(i=1 ， 2 ，…， n) 均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式 (n≥m) 为

0

0

( )b

u ta

0

1 0

( ) ( ) ( )i

nt

ii

bg t c e u t

a

2.3 卷积积分

2.3.1 信号分解为冲激信号序列

在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。

信号分解为冲激序列

从上图可见，将任意信号 f(t) 分解成许多小矩形，间隔为 Δτ，各矩形的高度就是信号 f(t) 在该点的函数值。根据函数积分原理，当 Δτ很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号 f(t) ；而当 Δτ→0 时，可以用这些小矩形来精确表达信号 f(t) 。即

( ) (0)( ( ) ( )) ( ) ( ) ( 2 ))

( )( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ) ( 2 )(0) ( )

( ( ) ( ))( )

( (( )

k

f t f u t u t f u t u t

f k u t k u t k

u t u t u t u tf f

u t k u t kf k

u tf k

) ( ))k u t k

上式只是近似表示信号 f(t),且Δτ越小，其误差越小。当 Δτ→0 时，可以用上式精确地表示信号 f(t) 。由于当 Δτ→0 时， kΔτ→τ， Δτ→dτ，且

0

0

( ( ) ( ))( )

( ( ) ( ))( ) lim ( )

lim ( ) ( )

( ) ( )

k

k

u t k u t kt

u t k u t kf t f k

f k t k

f t t d

故式在 Δτ→0 时，有

2.3.2 卷积积分法求解零状态响应

在求解系统的零状态响应 yf(t) 时，将任意信号 f(t)都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性非时变系统的特性，从而解得系统在任意信号 f(t) 激励下的零状态响应 yf(t) 。

由上式可得

0( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

k

f t f t t d f k t k

上式表明 ,任意信号 f(t) 可以分解为无限多个冲激序列的叠加。不同的信号 f(t)只是冲激信号 δ(t-kΔτ)前的系数 f(kΔτ) 不同 ( 系数亦即是该冲激信号的强度 ) 。这样，任一信号 f(t)作用于系统产生的响应 yf(t) 可由诸 δ(t-kΔτ) 产生的响应叠加而成。 对于线性非时变系统，若系

统的冲激响应为 h(t) ，则有下列关系式成立。

0

0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )

( ) lim ( ) ( )

k k

k

fk

t h t

t k h t k

f k t k f k h t k

f k t k f k h t k

f t f k t k f t t d

y t f k h t k

( ) ( )f t h t d

系统的零状态响应 yf(t) 为输入激励 f(t) 与系统的冲激响应 h(t) 的卷积积分，为

( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t

2.3.3 卷积积分的性质

1. 卷积积分的代数性质

卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。

1)交换律( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f t h t h t f t

f h t d f h t d

由上式说明两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信号 f(t) 与系统的冲激响应 h(t) 可以互相调换，其零状态响应不变。

系统级联满足交换律

h 1 ( t ) h 2 ( t )

h 1 ( t )h 2 ( t )

( t )

( t )

h ( t )£½h 1 ( t ) h 2 ( t )*

h ( t )£½h2

( t ) h1

( t )*

2) 分配律 (f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)

上式的实际意义如下图所示，表明两个信号 f1(t) 与 f2(t)叠加后通过某系统 h(t) 将等于两个信号分别通过此系统 h(t) 后再叠加。

卷积分配律示意图

h ( t )¡Æ

h ( t )

h ( t )

¡Æ

f1 ( t )

f2

( t )

f1 ( t )

f2

( t )

y ( t )

y ( t )

3) 结合律

设有 u(t) ， v(t) ，w(t)三函数，则有 u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)

由于 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )

u t t v t d

u t v t t u v t d d

此时积分变量为 τ

此时积分变量为 λ ，而从上式来看，对变量 τ而言， λ 无异于一常数。可引入新积分变量 x=λ+τ，则有 τ=x-λ,dτ=dx 。将这些关系代入上式右边括号内，则有

( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )u t v t t u v t d d

交换积分次序，并根据卷积定义，即可得

( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )

( ( ) ( )) ( )

( ( ) ( )) ( )

u t v t t u v t d d

u t v t t x dx

u t v t t

4) 卷积的微分特性

设

y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)

则

y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)

证明 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d dy t f h t d

dt dt

f h t d

f t h t

5) 卷积的积分特性

设

y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)

则

y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t)

式中 y(-1)(t) ， f(-1)(t) 及 h(-1)(t) 分别表示 y(t) ，f(t) 及 h(t) 对时间 t 的一次积分。

6) 卷积的等效特性

设

y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)

则

y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)

证明卷积微分特性，有 y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)

将上式对时间 t 积分，即可证明式 y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)

上式说明，通过激励信号 f(t) 的导数与冲激响应 h(t) 的积分的卷积，或激励信号 f(t) 的积分与冲激响应 h(t) 的导数的卷积，同样可以求得系统的零状态响应。这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径。

上述性质 4) 、 5) 、 6) 可以进一步推广，其一般形式如下：

设

y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)

则

y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t)

7) 卷积的延时特性

若

f(t)*h(t)=y(t)

则有

f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2)

2. 奇异信号的卷积特性

含奇异信号的卷积积分具有以下特性。

1)延时特性

f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0)

Df ( t ) y ( t )£½f ( t £ t0

)

0 tt 0

(1)

h ( t )

(a ) (b )

理想延时器及其冲激响应

同理，如果一个系统的冲激响应 h(t) 为 δ(t) ，则此系统称为理想放大器，其中 k 称为放大器的增益或放大系数，如图所示。当信号 f(t)通过该放大器时，其输出为

y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t)

即输出是输入信号 f(t) 的 k倍。

理想放大器及其冲激响应

f ( t ) y ( t )£½k f ( t )

0 t

(k )

h ( t )

(a ) (b )

2) 微分特性

f(t)*δ′(t)=f′(t)

即，任意信号 f(t) 与冲激偶信号 δ′(t) 卷积，其结果为信号 f(t) 的一阶导数。

如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号 δ′(t) ，则此系统称为微分器，如下图所示。

微分器及其冲激响应

f ( t ) y ( t )£½f ( t )

0 t

(1 )

h ( t )

(a ) (b )

¡ätd

d

(£ 1 )

3) 积分特性

即，任意信号 f(t) 与阶跃信号 u(t) 卷积，其结果为信号 f(t) 本身对时间的积分。如果一个系统的冲激响应为阶跃信号 u(t) ，则此系统称为积分器，如下图所示。

( 1)( ) ( ) ( ) ( )t

f t u t f t f d

积分器及其冲激响应

f ( t ) y ( t )£½f (£ 1) ( t )

0 t

h ( t )

(a ) (b )

1

2.3.4 卷积积分的计算

1. 解析计算

参与卷积的两个信号 f1(t) 与 f2(t) 都可以用解析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行计算。

例：

已知 f1(t)=e-3t u(t) ，

f2(t)=e-5t u(t) ，试计算两信号的卷积 f1(t)*f2(t) 。

解 根据卷积积分的定义，可得

1 2 1 2

3 5( )

3 5( )

3 5

3 5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1( )

21

( ) ( )2

t

t

t t

t t

f t f t f f t d

e u e u t d

e e d

e e

e e u t

在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时，对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到，避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如下表所示。当然，在利用解析式进行求解信号卷积时，可以利用卷积的一些特性来简化运算。

卷积积分常用公式表

2. 图解计算

对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。

例： 已知

分别如下图 (a) ， (b) 所示。试用图解法求两信号的卷积 y(t)=f(t)*h(t) 。

1 0 0( ) , ( )

0 0, 0 0,

t T t t Tf t h t

t t T t t T

0 T 2 T 3 T

1

f ()

(a )

0 T 2 T 3 T

1

h ( t £ )

tt £ 2 T

( t £¼0)

(c )

0 T 2 T 3 T

1

(d )

h ( t £ )

t £ 2 T t

(0 £¼t £¼T )

0 T 2 T 3 T

1

t

t £ 2 T

(T £¼t £¼2T )

(e )

h ( t £ )

0 T 2 T 3 T

1

( f )

h ( t £ )

t £ 2 T

(2 T £¼t £¼3T )

2 T0 T 2 T 3 T

1

t

t £ 2 T

( t £¾3T )

(g )

h ( t £ )

0 T 2 T 3 T

(h )

y ( t )

2

2

3t

t

0 T 2 T 3 T

1

h ()

(b )

综合各段结果，有：

2

2

2 3

0 ( 0)

1(0 )

21

( ) ( ) ( ) ( 2 )2

1 3(2 3 )

2 20 ( 3 )

t

t t T

y t f t h t Tt t T t T

t Tt T T t T

t T

3. 数值近似计算

卷积积分实际上是一个定积分，是计算 f(τ)·h(t-τ) 的面积，如果两卷积信号的函数形式复杂，我们在具体计算时又会遇到数学上的困难。有时激励信号不能用基本函数来表示，可能只是一条曲线或者一组测试数据。因此有必要在时域中进行近似的数值计算。

若两个信号 f(t) 与 h(t) 都是有始单边信号，则有

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ty t f t h t f h t d

卷积的数值计算示意图

卷积积分值可以近似地用两块矩形面积 (f0h2+f1h1)T来表示。按此过程，随着参变量 t 的不断增加， f(τ) 与h(t-τ) 的重叠面积随之而不断变化，用相应的矩形面积近似代表 f(τ)·h(t-τ) 的积分。

上述数值近似计算的卷积积分可写成一般表达式，为

1

0

( )n

m n mm

y nT T f h