第第第 第第 第第第 第第第第第第第第第 、、 第第第 第 1 第第 、 2 第第 、 3 第第第第 、 4 第第第 、 5 第第第 、 6 第第第 、
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容 1 、柱面 2 、锥面 3 、旋转曲面 4 、椭球面 5 、双曲面 6 、抛物面
第一节 柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所
形成的曲面称为柱面 .C L
这条定曲线 C 叫柱面的准线,动直线 L 叫柱面的母线 .
设柱面的准线为 )1(0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
母线的方向数为 X,Y,Z 。如果 M1(x1,y1,z1) 为准线上一点,则过点 M1 的母线方程为
)2(111
Z
zz
Y
yy
X
xx
且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)
从( 2 )( 3 )中消去 x1,y1,z1 得
F(x,y,z)=0
这就是以( 1 )为准线,母线的方向数为 X, Y, Z 的柱面的方程。
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22
抛物柱面xy
平面
从柱面方程看柱面的特征:
(其他类推)
实 例 12
2
2
2
cz
by
椭圆柱面 母线 // 轴
x
12
2
2
2
by
ax
双曲柱面母线 // 轴z
pzx 22 抛物柱面母线 // 轴y
只含 yx, 而缺z 的方程 0),( yxF ,在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面,其准线为xoy面上曲线C .
例 1 、柱面的准线方程为
222
1222
222
zyx
zyx
而母线的方向数为 -1, 0 , 1 ,求这柱面的方程。
例 2 、已知圆柱面的轴为
2
1
2
1
1
zyx
点( 1,-2,1) 在此圆柱面上,求这个柱面的方程。
第二节 锥面
)1(0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
一、锥面1 、定义 在空间,通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面,这些直线都称为锥面的母线,定点称为锥面的顶点,定曲线称为锥面的准线。2 、锥面的方程
设锥面的准线为
顶点为 A(x0,y0,z0) ,如果 M1(x1,y1,z1) 为准线上任一点,则锥面过点 M1 的母线为:
)2(01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
且有 F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0 ( 3 )
从( 2 )( 3 )中消去参数 x1,y1,z1 得三元方程F(x,y,z)=0
这就是以( 1 )为准线,以 A 为顶点的锥面方程。例 1 、求顶点在原点,准线为
czb
y
a
x1
2
2
2
2
的锥面的方程。答: 0
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x (二次锥面)
定理 一个关于 x,y,z 的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。
齐次方程:设 λ 为实数,对于函数 f(x,y,z) ,如果有
f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)
则称 f(x,y,z)为 λ 的齐次函数, f(x,y,z)=0 称为齐次方程。
例如,方程 x2+y2-z2=0 圆锥面
又如,方程 x2+y2+z2=0 原点(虚锥面)
第三节 旋转曲面一、 . 旋转曲面
1 、 定义 : 以一条平面曲线 C 绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的轴 .
曲线 C 称为放置曲面的母线
o
C
纬线
经线
二、旋转曲面的方程在空间坐标系中,设旋转曲面的母线为:
)1(0),,(
0),,(:
2
1
zyxF
zyxFC
旋转直线为:
)2(: 000
Z
zz
Y
yy
X
xxL
其中 P0(x0,y0,z0) 为轴 L 上一定点, X, Y, Z 为旋转轴L 的方向数。设M1(x1,y1,z1) 为母线 C 上的任意点,则 M1 的纬圆总可以看成是过 M1 且垂直于旋转轴 L 的平面与以 P0 为中心, |P0M1| 为半径的球面的交线。
所以过 M1 的纬圆的方程为:
2
012
012
012
02
02
0
000
)()()()()()(
)3(0)()()(
zzyyxxzzyyxx
zzZyyYxxX
当点 M1 跑遍整个母线 C 时,就得到所有的纬圆,这些纬圆就生成旋转曲面。又由于 M1 在母线上,所以又有:
)4(0),,(
0),,(:
1112
1111
zyxF
zyxFC
从( 3 )( 4 )的四个等式中消去参数 x1,y1,z1, 得到一个三元方程: F(x,y,z)=0
这就是以 C 为母线, L 为旋转轴的旋转曲面的方程。
例 1 、求直线0
1
12
zyx
绕直线 x=y=z 旋转所得旋转曲面的方程。
解:设 M1(x1,y1,z1) 是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过 M1 的纬圆方程是:
2
12
12
1222
111 0)()()(
zyxzyx
zzyyxx
又由于 M1 在母线上,所以又有:
0
1
12111
zyx
即 x1=2y1,z1=1, 消去 x1,y1,z1 得所求旋转曲面的方程:2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0 。
三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面: 已知 yoz 面上一条曲线 C, 方程为 f (y, z) = 0,
曲线 C 绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面 .设M1(0, y1`, z1)是 C 上任意一点 , 则有 f( y1, z1) =
0 当 C 绕 z 轴旋转而M1 随之转到 M (x, y, z)
时 , 有
|| 122
1
yyx
zz
221 yxy 将 z1 = z, 代入
方程 F( y1, z1) = 0, x
o
z
y
0),( zyf
),,0( 111 zyMMd
yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理:yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf
绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为
.0, 22 zxyf
得旋转曲面的方程 : 0) ,( 22 zyxF
即
规律:
当坐标平面上的曲线 C 绕此坐标平面的一个坐标旋转时,要求该旋转曲面的方程,只要将曲线 C 在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。
例 1 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角
20 叫圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转
轴为z轴,半顶角为 的圆锥面方程.
x
o
z
y
解 yoz面上直线方程为
cotyz ),,0( 111 zyM
),,( zyxM
圆锥面方程
cot22 yxz o
x
z
y
例 2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程 .
z
x
y
z = ay
解 : 将 y 用 代入直线方程 , 得
22 yx
)( 22 yxaz
平方得 :
z2 = a2 ( x2 + y2 )
该旋转曲面叫做圆锥面 , 其顶点在原点 .
例 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.
(1)双曲线 12
2
2
2
cz
ax
分别绕x轴和z轴;
绕x轴旋转
绕z轴旋转
12
22
2
2
c
zyax
12
2
2
22
cz
ayx
旋转双曲面
(单叶)
(双叶)
例 4 、将圆
0
)0()( 222
x
abazby
绕 Z 轴旋转,求所得旋转曲面的方程。解:所求旋转曲面的方程为:
22222 )( azbyx
即: (x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
(2)椭圆
0
12
2
2
2
xcz
ay
绕 y轴和z轴;
绕y轴旋转
绕z轴旋转
12
22
2
2
c
zxay
12
2
2
22
cz
ayx
旋转椭球面
(3)抛物线
0
22
x
pzy绕z轴;
pzyx 222 旋转抛物面
(长形)
(短形)
第四节 二次曲面
二次曲面的定义:三元二次方程
相应地平面被称为一次曲面.讨论二次曲面性状的平面截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.
一、基本内容
所表示的曲面称之为二次曲面.ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
z
o
x
y
O
2 用平面 z = k 去截割 ( 要求 |k | c), 得椭圆
kzc
k
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
1
当 |k | c 时 , |k | 越大 , 椭圆越小 ;当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .
二 . 几种常见二次曲面 .
(一) 椭球面
1 用平面 z = 0 去截割 , 得椭圆
0
12
2
2
2
zb
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3 类似地 , 依次用平面 x = 0, 平面 y = 0 截割 , 得椭圆 :
,
0
12
2
2
2
xc
z
b
y.
0
12
2
2
2
yc
z
a
x
特别 : 当 a=b=c 时 , 方程 x2 + y2 + z2 = a2 ,
表示球心在原点 o, 半径为 a 的球面 .
(二)双曲面
单叶双曲面12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
( 1 )用坐标面 与曲面相截)0( zxoy
截得中心在原点 的椭圆 .)0,0,0(O
0
12
2
2
2
zby
ax
与平面 的交线为椭圆 .1zz
当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上 .
1zz
1
2
21
2
2
2
2
1
zzcz
by
ax
( 2 )用坐标面 与曲面相截)0( yxoz
截得中心在原点的双曲线 .
0
12
2
2
2
ycz
ax 实轴与 轴相合,
虚轴与 轴相合 .xz
1
2
21
2
2
2
2
1
yyby
cz
ax
双曲线的中心都在 轴上 .y
与平面 的交线为双曲线 .1yy )( 1 by
,)1( 221 by x实轴与 轴平行 , z虚轴与 轴平行 .
,)2( 221 by z实轴与 轴平行 , x虚轴与 轴平行 .
,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线 .)0,,0( b
,0
byc
z
a
x
.0
byc
z
a
x
,)4( 1 by
截痕为一对相交于点 的直线 .)0,,0( b
,0
byc
z
a
x.
0
byc
z
a
x
( 3 )用坐标面 , 与曲面相截)0( xyoz 1xx
均可得双曲线 .
单叶双曲面图形
x
yo
z
平面 的截痕是两对相交直线 .ax
双叶双曲面12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
x
yo
(三)抛物面
zq
yp
x
22
22
( 与 同号)p q
椭圆抛物面用截痕法讨论:
( 1 )用坐标面 与曲面相截)0( zxoy
截得一点,即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 qp
原点也叫椭圆抛物面的顶点 .
与平面 的交线为椭圆 .1zz
1
1
2
1
2
122
zz
qzy
pzx
当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上 .
1zz
)0( 1 z
与平面 不相交 .1zz )0( 1 z
( 2 )用坐标面 与曲面相截)0( yxoz
0
22
y
pzx截得抛物线
与平面 的交线为抛物线 .1yy
1
212
22
yy
qy
zpx 它的轴平行于 轴z
顶点
q
yy
2,,0
21
1
( 3 )用坐标面 , 与曲面相截)0( xyoz 1xx
均可得抛物线 .
同理当 时可类似讨论 .0,0 qp
z
xy
o
xy
z
o
椭圆抛物面的图形如下:
0,0 qp 0,0 qp
特殊地:当 时,方程变为qp
zp
yp
x
22
22
旋转抛物面)0( p
(由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的)
xoz pzx 22
1
122 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆 .1zz )0( 1 z
当 变动时,这种圆的中心都在 轴上 .
1zz
zq
yp
x
22
22
( 与 同号)p q
双曲抛物面(马鞍面)用截痕法讨论:设 0,0 qp
图形如下:
x
y
z
o