發 票 機 率

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目錄目錄

※※ 研究動機研究動機※※ 誰發明機率？誰發明機率？※※ 機率的定義機率的定義※※ 為何發票中獎機率愈來愈小？為何發票中獎機率愈來愈小？※※ 例題實作例題實作

研究動機研究動機 現在日常生活中，大家發票都想中獎，現在日常生活中，大家發票都想中獎，

但卻不知道其中獎機率到底有多小，但卻不知道其中獎機率到底有多小，藉由此次的報告機會，讓我們能夠探藉由此次的報告機會，讓我們能夠探討發票中獎的機率討發票中獎的機率。。

誰發明機率？誰發明機率？ (( 上上 ))

機率是由法國數學家布萊茲機率是由法國數學家布萊茲 ·· 帕帕斯卡所發明的，他在斯卡所發明的，他在 16531653 年由年由算數三角找出二項式係數，每個算數三角找出二項式係數，每個數都等於其上方兩數的和，因此數都等於其上方兩數的和，因此被稱作帕斯卡三角形。被稱作帕斯卡三角形。

誰發明機率？誰發明機率？ (( 下下 ))

16541654 年，在一個喜歡賭博的朋年，在一個喜歡賭博的朋友影響下，誕生了數學理論機友影響下，誕生了數學理論機率論。率論。

帕斯卡三角形帕斯卡三角形

帕斯卡三角形又稱為巴斯卡帕斯卡三角形又稱為巴斯卡三角形三角形 ,, 最早是由北宋的賈最早是由北宋的賈憲所發現的憲所發現的 ,, 但在西元但在西元 16541654年巴斯卡也發現同樣的原理年巴斯卡也發現同樣的原理 ,,比賈憲晚約六百年比賈憲晚約六百年。。

帕斯卡三角形

機率機率

機率機率 (Probability)(Probability) 就是對就是對事情發生所發生可能性，又事情發生所發生可能性，又稱然率、機會率或概率。稱然率、機會率或概率。

機率機率

機率可分為兩類機率可分為兩類，，分別是分別是 ::

1.1. 古典機率古典機率

2.2. 條件機率條件機率

古典機率定義古典機率定義

設樣本空間設樣本空間 UU 有有 nn 個元素個元素 ,, 事件事件AA 有有 kk 個元素個元素 ,, 若若 UU 中每個元素出中每個元素出現的機會均等現的機會均等 ,, 則事件則事件 AA 發生的機發生的機率率 ,, 就是就是 k/n,k/n, 記成記成 P(A)=k/n=nP(A)=k/n=n(A)/n(B)(A)/n(B)

條件機率定義條件機率定義 (1)(1) 已知一事件發生已知一事件發生 ,, 求另一事件求另一事件 AA 發生的發生的

機率稱為條件機率機率稱為條件機率 ,, 以符號以符號 P(A|B)P(A|B) 表示表示 ,, 讀讀作「已知事件作「已知事件 BB 發生時發生時 ,, 事件事件 AA 發生機率」。發生機率」。

(2)(2) 設設 A,BA,B 為樣本空間為樣本空間 UU 中的兩事件中的兩事件 ,, 且且 PP(B) (B) ＞＞ 0,0, 若已知事件若已知事件 BB 發生發生 ,, 則事件則事件 AA 發發生的條件機率生的條件機率 P(A|B)P(A|B) 是事件是事件 A∩BA∩B 在事件在事件BB 中所佔的比率中所佔的比率 ,, 即即 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

為何發票中獎機率愈來愈小？為何發票中獎機率愈來愈小？

發票真的越來越難中了，以前每發票真的越來越難中了，以前每個月都開出不同的開獎號碼，一共個月都開出不同的開獎號碼，一共開出開出 66 組頭獎組頭獎，而現在則是，而現在則是每兩個每兩個月月開獎一次，現在頭獎竟然只開獎一次，現在頭獎竟然只開出開出33 組組，中獎機率從，中獎機率從 6/1000 6/1000 變成只變成只有 有 3/1000 3/1000 。。

基本題基本題

假設開獎號碼特獎假設開獎號碼特獎 9999999999999999 ，，頭獎第一組 頭獎第一組 0000000000000000 ，，頭獎第頭獎第二組二組 1111111111111111 ，頭獎第三組，頭獎第三組 2222222222222222 ，，請問現在發票的中獎機請問現在發票的中獎機率到底有多大？率到底有多大？

基本題 解答 基本題 解答 ((11))

中獎條件為 中獎條件為 XXXXX00XXXXX00 ，， XX可為可為 0~0~99，又頭獎號碼有，又頭獎號碼有 33 組，再加上 特組，再加上 特獎 獎 1 1 個號碼。同樣可以得出，個號碼。同樣可以得出，中獎中獎率為 率為 300001 / 1300001 / 1 億億 =0.300001 %=0.300001 %

基本題 解答基本題 解答 2 (2 ( 上上 )) 特獎特獎 200200萬元八碼全中特獎碼萬元八碼全中特獎碼 ==11 個個

號碼號碼、、頭獎頭獎 2020萬元八碼全中頭獎碼萬元八碼全中頭獎碼 ==33 個號碼個號碼、、二獎二獎 44萬元頭獎末七碼萬元頭獎末七碼 X0X0000000000000 ，， XX可以是 可以是 1~91~9，，則總共則總共 9x9x33 組頭獎組頭獎 ==2727個號碼個號碼、、三獎三獎 11萬元頭萬元頭獎末六碼獎末六碼 YX000000YX000000 ，， YY可以是可以是0~90~9，， XX可以是可以是 1~91~9，，則總共則總共 10x9x10x9x33 組組 ==270270 個號碼個號碼

基本題 解答基本題 解答 2 2 (( 下下 )) 四獎四獎 44千元頭獎末五碼千元頭獎末五碼 YYX00000YYX00000 ，， YY可以可以

是是 0~90~9，， XX可以是可以是 1~91~9，則總共，則總共 10x10x9x10x10x9x33 組組 ==27002700 個號碼個號碼、、五獎五獎 11千元頭獎末四碼千元頭獎末四碼YYYX0000YYYX0000 ，， YY可以是可以是 0~90~9，， XX可以是可以是1~9 1~9 ，，則總共則總共 10x10x10x9x310x10x10x9x3 組組 ==2700027000個號碼個號碼、、六獎六獎 22 百元頭獎末三碼百元頭獎末三碼YYYYX000YYYYX000 ，， YY可以是可以是 0~90~9，， XX可以是可以是1~91~9，，則總共 則總共 10x10x10x10x9x310x10x10x10x9x3 組組 ==270027000000 個號碼，以上獎項共個號碼，以上獎項共 300001300001 個中獎號碼，個中獎號碼，得證中獎率為得證中獎率為 300001 / 1300001 / 1億億 =0.300001 %=0.300001 %

進階挑戰題 進階挑戰題 ((易易 )) 某種發票的號碼為六位數，每兩個月開一某種發票的號碼為六位數，每兩個月開一

次獎，每次 開出五組六位數的號碼，發票次獎，每次 開出五組六位數的號碼，發票號碼的末三位數若與五組六位數號碼之任何號碼的末三位數若與五組六位數號碼之任何一組的末三位數相同，即可得獎金一組的末三位數相同，即可得獎金 200200 元。元。請問下列敘述何者正確？請問下列敘述何者正確？

(A)(A) 每張發票中獎的機率是每張發票中獎的機率是 1/2000001/200000 (B)(B) 每張發票中獎的機率是每張發票中獎的機率是 1/2001/200 (C)(C) 每張發票中獎的期望值是每張發票中獎的期望值是 55 角角

挑戰題詳解 挑戰題詳解 ((易易 ))

只要末三碼相同就有獎金，跟前三只要末三碼相同就有獎金，跟前三碼沒有關係，所以只需考慮末三碼碼沒有關係，所以只需考慮末三碼就好，三個號碼每個都有就好，三個號碼每個都有 00 到到 99 總總共共 1010 個選擇，個選擇，所有的可能三碼組合所有的可能三碼組合一共有一共有 1010××1010××10 = 100010 = 1000 種種，，而開而開獎開出五組號碼，則中獎的機率就獎開出五組號碼，則中獎的機率就是是 5/1000 = 1/2005/1000 = 1/200 ，，而期望值是機而期望值是機率乘以獎金 率乘以獎金 = 200= 200××1/200 = 1 1/200 = 1 元元

進階挑戰題 進階挑戰題 (( 難難 )) 某市為了籌措經費而開始使用發票。於某市為了籌措經費而開始使用發票。於

是該市決定用每張買了養樂多是該市決定用每張買了養樂多 1010塊錢的塊錢的發票；且每售出一百萬張發票，即附有發票；且每售出一百萬張發票，即附有壹佰萬元獎壹佰萬元獎 11張，拾萬元獎張，拾萬元獎 99 張，壹萬張，壹萬元獎元獎 9090張，壹仟元獎張，壹仟元獎 900900張。假設某次張。假設某次發票共售出三百萬張。發票共售出三百萬張。請問當你購買請問當你購買東東西時，得到西時，得到一張發票，你預期會損失幾一張發票，你預期會損失幾元？元？

挑戰題詳解 挑戰題詳解 (( 難難 )) 題目說的售出三百萬張是多餘的條件，不題目說的售出三百萬張是多餘的條件，不管發行了幾張你買發票的期望值都不會變，管發行了幾張你買發票的期望值都不會變，假設每一百萬張發票只有一張獎金假設每一百萬張發票只有一張獎金 100100萬，萬，所以中所以中 100100萬機率為萬機率為 1/10000001/1000000 ，其他以，其他以此類推，此類推，所以一張發票獎金期望值為 所以一張發票獎金期望值為 (100(100萬萬 ××1/1000000)+(101/1000000)+(10 萬萬 ××9/1000000)+9/1000000)+(1(1 萬萬 ××90/1000000)+(190/1000000)+(1 千千 ××900/100000900/1000000) = 1+9/10+9/10+9/10 = 37/10 = 3.70) = 1+9/10+9/10+9/10 = 37/10 = 3.7元，元，但一張發票售價但一張發票售價 1010 元，所以預期會賠元，所以預期會賠 10-10-3.7 = 6.33.7 = 6.3 元 元

參考文獻參考文獻1.1.http://zh.wikipedia.org/http://zh.wikipedia.org/2.2.http://tw.knowledge.yahoo.com/http://tw.knowledge.yahoo.com/3.3.http://image.search.yahoo.com/http://image.search.yahoo.com/4.4. 南一版數學點線面講義南一版數學點線面講義 Ch2-2Ch2-25.http://tw.knowledge.yahoo.com/questi5.http://tw.knowledge.yahoo.com/questi

on/question?qid=1509052204120on/question?qid=1509052204120

參考文獻參考文獻6.http://www.facebook.com/messages/?6.http://www.facebook.com/messages/?action=read&tid=id.29884896353106action=read&tid=id.2988489635310655

7.http://tw.knowledge.yahoo.com/que7.http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1106110708288stion/question?qid=1106110708288

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