第八章反常积分

华中科技大学数学系

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第八章反常积分

8.1 反常积分的概念和计算

DEPARTMENT OF MATHEMATICS HUST

临沂师范学院数学系


一、无穷限积分定义1 设函数)(xf在区间),[a上连续，取

adxxf )(

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在

ab，如果极限b

abdxxf )(lim 存在，则称此极

限为函数)(xf在无穷区间),[a上的广义积

分，记作

adxxf )( .

时，称广义积分发散.




类似地，设函数)(xf在区间],( b上连续，取

b

dxxf )(

b

aadxxf )(lim

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在

ba，如果极限b

aadxxf )(lim 存在，则称此极

限为函数)(xf在无穷区间],( b上的广义积

分，记作bdxxf )( .

时，称广义积分发散.




设函数)(xf 在区间 ),( 上连续,如果

dxxf )(

0)( dxxf

0)( dxxf

0)(lim

aadxxf

b

bdxxf

0)(lim

极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.

广义积分0

)( dxxf 和

0)( dxxf 都收敛，则称

上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间

),( 上的广义积分，记作

dxxf )( .




例1 证明广义积分

1

1dxxp当 1p 时收敛，

当 1p 时发散.

证 ,1)1( p

1

1dx

x p

1

1dxx

1ln x ,

,1)2( p

1

1dx

x p

1

1

1 px p

1,1

1

1,

pp

p

因此当 1p 时广义积分收敛，其值为1

1p；

当 1p 时广义积分发散.




例 2 计算广义积分 .1 2

xdx

解

21 xdx

0

21 xdx

0 21 xdx

0

211

limaa

dxx

b

bdx

x0 211

lim

0arctanlim aa

x

bb

x 0arctanlim

aa

arctanlim

bb

arctanlim

.22




二、无界函数的积分定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在

点 a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限

b

adxxf

)(lim

0存在，则称此极限为函数 )( xf

在区间 ],( ba 上的广义积分，记作b

adxxf )( .

b

adxxf )(

b

adxxf

)(lim

0

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.




类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，

而在点 b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限

b

adxxf )(lim

0存在，则称此极限为函数 )( xf

在区间 ),[ ba 上的广义积分，

记作 b

adxxf )(

b

adxxf )(lim

0.

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.




设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac 外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分

c

adxxf )( 和

b

cdxxf )( 都收敛，则定义

b

adxxf )( c

adxxf )( b

cdxxf )(

c

adxxf )(lim

0

b

cdxxf

)(lim

0

否则，就称广义积分b

adxxf)(发散.

注 : 定义中 C 为瑕点，以上积分称为瑕积分 .




例3 证明广义积分1

0

1dxxq当1q 时收敛，当

1q 时发散.

证 ,1)1( q 1

0

1dxx

10ln x ,

,1)2( q 1

0

1dx

xq

1

0

1

1

qx q

1,1

1

1,

qq

q

因此当1q 时广义积分收敛，其值为q1

1；

当1q 时广义积分发散.

1

0

1dx

xq




注：无穷区间广义积分与无界函数的广义

积分可以相互转换，因而在许多情况下，只

讨论前者。

adxxf )(例如）（作代换

tx

1

0

1 2 )1

(1

a

dtt

ft ）令（ )

1(

1)( 2 t

ft

tg

a dttg1

0)(




9.2 无穷积分的性质与收敛判别




一、无穷积分的 Cauchy 收敛原理定理 1 收敛的充分必要条件是无穷积分 dxxf

a

)(

有使对 00 ,,,0 AAAaA

A

Adxxf .|)(|




二、绝对收敛与条件收敛

收敛，且

adxxf |)(|

adxxf )(则称

定义 1 上在任意有限区间设 ),[],[)( aAaxf

可积， .绝对收敛

收敛而非绝对收敛，若

adxxf )(

adxxf )(则称

.条件收敛




绝对收敛定理 : 绝对收敛一定收敛

证明：收敛，即

adxxf |)(|

adxxf 绝对收敛，设 )(

,0原理，由Cauchy 有使对 00 ,, AAAaA

A

Adxxf .|)(|

,|)(||)(| A

A

A

Adxxfdxxf而

adxxf 收敛。故 )(




三、非负函数无穷积分的收敛判别法（一）比较判别法

定理 1 ,0)()(),[ xfxKa 上恒有设在

为任意正常数，K 收敛时，则当

adxx)(

也收敛；

adxxf )( 发散时，当

adxxf )(

发散。也

adxx)(




例１ .11 3 4的收敛性判别广义积分

xdx

解 ,11

1

10 3/43 43 4 xxx

,134p

根据比较判别法得，

.11 3 4收敛广义积分

xdx




推论 ,0)(0)(),[ xxfa 和上恒有设在

为任意正常数，K

收敛时，则当

adxx)(

也收敛；

adxxf )(

发散时，当

adxx)(

发散。也

adxxf )(

且

,)(

)(lim l

x

xfx

则 ,01 l）若（

,02 l）若（




例２ .11 2

的收敛性判别广义积分

xx

dx

解 ,11

1lim

2

2

xxx

x

所以 , 所给广义积分收敛．

收敛，而积分

1 2x

dx




例 3 .arctan

1的收敛性判别广义积分 dx

xx

解 xxx

xxx

arctanlimarctan

lim

,2

根据极限比较判别法，所给广义积分发散．

发散，而积分

1 x

dx




（二） Cauchy 判别法

定理 2 ,0)(),0(),[ xfa 上恒有设在


收敛；，则，且）若（

ap dxxfp

x

Kxf )(1)(1

发散。，则，且）若（

ap dxxfp

x

Kxf )(1)(2




推论


收敛；则

adxxf )(

，且 1p

发散。则

adxxf )(

且

,)(lim lxfx px

,101 pl ，且）若（

,02 l）若（

,0)(),0(),[ xfa 上恒有设在




例 4 .11 2

2/3

的收敛性判别广义积分 dxx

x

解2

2

2

2/3

1lim

1lim

xxx

xx

xxx

,

根据极限收敛法，所给广义积分发散．




四、一般函数无穷积分的收敛判别法（一）积分第二中值定理

定理 3 上在上可积，而在设 ],[)(],[)( baxgbaxf

，使上单调，则在 ],[ ba

dxxfbgdxxfagdxxgxfb

a

b

a

)()()()()()( (1

)使则且单调递增如特别 ],,[,0)(,)(, baxgxg

dxxfbgdxxgxfbb

a

)()()()( (2)使则且单调递减如 ],,[,0)(,)( baxgxg

。dxxfagdxxgxfa

b

a

)()()()( (3)




（二）Abel-Dirichlet判别法

定理 4 足，若下列两个条件之一满

(1)(Abel 判别法 )

(2)(Dirichlet 判别法 )

:)()( 收敛

adxxgxf

都有

,)( 收敛

adxxf 在)(xg

上单调有界；),[ a

A

adxxfAF )()(

上有界，在 ),[ a 上单调且在 ),[)( axg

.0)(lim

xgx




例 5 .sin


x

x

解显然有界，AdxxA

cos1cossin1

,01

lim1

xx x

单调且

判别法得，由Dirichlet 收敛。dxx

x

1

sin




例 6 .arctansin


x

xx

解 ,sin

51

收敛，由例 dxx

x

单调有解，在又 ),1[arctan x

判别法得，由Abel .arctansin

1收敛dx

x

xx




无界函数的反常积分（瑕积分）b

adxxf )(

9.3 暇积分的性质与收敛判别




一、无界函数反常积分的 Cauchy 收敛原理

收敛的充分必要条件是无界函数反常积分 dxxfb

a )(

有使对 ),,0(,,0,0

b

bdxxf .|)(|

，则上只有一个奇点在设 bxbaxf ],[)(定理 1




二、 Cauchy 判别法,0)(),[ xfba 上恒有设在

，存在正常数K

收敛；，则，且）若（

b

ap dxxfpxb

Kxf )(1

)()(1

发散。，则，且）若（

ap dxxfp

xb

Kxf )(1

)()(2

属于若当x

时，的某个左邻域 ),[ 0 bbb

使得

定理 2




三、 Abel-Dirichlet 判别法足，若下列两个条件之一满

(1)(Abel 判别法 )

(2)(Dirichlet 判别法 )

:)()( 收敛b

adxxgxf

都有

,)( 收敛b

adxxf 在)(xg

上单调有界；),[ ba

b

adxxfF )()(

上有界，在 ),[ ba 上单调且在 ),[)( baxg

.0)(lim xg

bx

定理 3




例 1 判别下列反常积分的收敛性

;23

.4;)(ln

.3

;1

sin.2;1

.1

2

1 3 2

2

1 3

1 20 24

2

xx

dx

x

dx

dxx

dxxx

x

1 、收敛； 2 、收敛； 3 、发散； 4 、收敛

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