第七节 方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度

一、方向导数

二、梯度

一、问题的提出一块长方形的金属板，受热

产生如图温度分布场 . 设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，

才能最快到达凉快的地点？处，

问题的实质： 应沿由热变冷变化最剧烈的

方向爬行．

需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，

从而确定出温度下降的最快方向

引入两个概念：方向导数和梯度

方向导数问题

梯度问题

讨论函数 在一点 P 沿某一方向的

变化率问题．

),( yxfz 二、方向导数

o

y

x

l

．引射线内有定义，自点的某一邻域

在点设函数

lP

PUyxP

yxfz

)(),(

),(

, ( , )

( ).

x l

P x x y y

l P U P

设 轴正向到射线 的转角为 并设为 上的另一点且

P

P

x

y

|| PP ,)()( 22 yx

),,(),( yxfyyxxfz 且

当 沿着 趋于 时，P Pl

),(),(lim

0

yxfyyxxf

,z考虑

是否存在？

o

y

x

l

P

P

x

y

.),(),(

lim0

yxfyyxxflf

2 2

( , ) ( , )

( ) ( )

f x x y y f x y

PP x y

P l P

P l

定义 函数的增量

与 两点间的距离 之比值，

当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向 的方向导数．

记为 o

y

x

l

P

P

.),(),(

lim0

yxfyyxxflf

沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是 yxff , .

{1,0}i

.yf

的方向导数为

0

( , ) ( , )lim

f f x x y y f x y

l

x

0xf

x

f

}1,0{2 e同理 ,沿 y轴正向 的方向导数分别为

xx 此时

x

在点 沿着 轴正向x 若偏导 存在 ,则 ),( yxf Pxf

.导数未必存在若方向导数存在，则偏

2 2 0,0z x y O l i

例如， 在 处沿 方向的

0 01

f

l

，方向导数 ， .0,0 不存在而偏导数x

z

)0,0(),(lim

0)0,0(

fyxflz

1)()(

)()(lim

22

22

0

yx

yx

.偏导数存在 沿任意方向的方向导数存在

方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限 .

原因：

证明 由于函数可微，则增量可表示为

)(),(),( oyyf

xxf

yxfyyxxf

方向导数的存在及计算公式

那末函数在该点沿任意方向 l的方向导数都存在，

),( yxfz ),( yxP定理 如果函数 在点 可微分，

且有 sincos

yf

xf

lf

为 x轴到方向 l的转角．其中

计算公式

)(),(),( oy

yfx

xfyxfyyxxf

故有方向导数

),(),(lim

0

yxfyyxxf

.sincos yf

xf

lf

)(),(),( oyyf

xxf

yxfyyxxf

两边同除以 , 得到

x

y

l

cos sin

故 x轴到方向 l 的转角

例1 求函数 yxez 2 在点 )0,1(P 处沿从点 )0,1(P

到点 )1,2( Q 的方向的方向导数.

解

;1)0,1(

2

)0,1(

yexz

,22)0,1(

2

)0,1(

yxeyz

所求方向导数

)4

sin(2)4

cos(

lz

.22

}1,1{ PQ方向 l 即为

4

解

sin)1,1(cos)1,1()1,1(

yx fflf

由方向导数的计算公式知

,sin)2(cos)2()1,1()1,1(

xyyx

（ 1 ）最大值 ; （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？

22),( yxyxyxf 例 2 求函数 l

在点 (1,1)沿与x轴方向夹角为 的方向射线的方向导数 .

并问在怎样的方向上此方向导数有

sincos ),4

sin(2

故

（1）当4时，方向导数达到最大值2;

（2）当45 时，方向导数达到最小值2 ;

（3）当43和

47时，方向导数等于 0.

sin)1,1(cos)1,1()1,1(

yx fflf

,),,(),,(

lim0

zyxfzzyyxxflf

推广 : 三元函数方向导数的定义

（ 其中 222 )()()( zyx ）

),,( zyxfu

),,( zyxP

对于三元函数

它在空间一点 沿着方向 l 的方向导数，可定义为

同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 l的方向导数都存在，且有

.coscoscos zf

yf

xf

lf

设方向 l的方向角为 ,,

,cosx ,cosy

,cosz

方向导数的计算公式

x y

zl

o

解 令 ,632),,( 222 zyxzyxF

,44 PPx xF ,66

PPy yF ,22 PPz zF

故 ( , , )x y zn F F F

(4, 6, 2),

,142264 222 n 方向余弦为

21

22 )86(1

yxz

u 求函数n在此处沿方向 的方向导数 .

是曲面n

632 222 zyx )1,1,1(P例 3 设 在点处的指向外侧的法向量 ,

,142

cos ,143

cos .141

cos

,142

cos ,143

cos .141

cos

2 2

1,1,1

6

6 8PP

u x

x z x y

;

146

2 2

1,1,1

8

6 8P P

u y

y z x y

;

148

2 2

2(1,1,1)

6 8

PP

x yu

z z

.14

PP zu

yu

xu

nu

)coscoscos(

.

711

故

定义 设函数 ),( yxfz 在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP ),( ，

都可定出一个向量 jyf

ixf

，这向量称为函数

),( yxfz 在点 ),( yxP 的梯度，记为

),( yxgradf jyf

ixf

.

三、梯度:

?P

问题函数在点 沿哪一方向增加的速度最快

sincosyf

xf

lf

}sin,{cos},{

yf

xf

eyxgradf ),( ,cos|),(| yxgradf

其中 )),(( ,eyxgradf

当 1)),,(cos( eyxgradf

时，lf有最大值.

由方向导数公式知

jie sincos l

设 是方向 上的单位向量，

结论

gradf

gradf

P22

|),(|

yf

xf

yxgradf

当xf

不为零时，

xfyf

tanx 轴到梯度的转角的正切为

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致 ,

而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为

l

在几何上 表示一个曲面),( yxfz

曲面被平面 所截 , 得曲线cz ,),(

cz

yxfz

它在 xoy 面上投影方程：

o

y

x

2),( cyxf

1),( cyxf cyxf ),( 等高线

( , )f x y c 称为等值线 .

等值线

几何上，称为等高线 .

图形及其等高线图形．函数 xyz sin例如 ,

( , )f x y c等值线 上任一点处的一个法向量为),( yx ffn

fgrad

表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等

梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数 .

0nn

f

gradf

fn

o

y

x

2),( cyxf

1),( cyxf

P

n

cyxf ),(

21 ccc

=grad ( , )f x y

值线，

问题：

上山时，如何选择最快的方向？

计算方法课程中的一种计算策略：

“ 瞎子下山法”

三元函数 ),,( zyxfu 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ),,( ，都可定义一个向量(梯度)

.),,( kzf

jyf

ixf

zyxgradf

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值 .

梯度的概念可以推广到三元函数

解 由梯度计算公式得

kzu

jyu

ixu

zyxgradu

),,(

,6)24()32( kzjyix

故 .1225)2,1,1( kjigradu

grad (2 3) (4 2) 6 0,f x i y j zk

令

则在 )0,21

,23

(0 P 处梯度为 .0

yxzyxu 2332 222 )2,1,1(

例 4 求函数 在点 处的梯度，并问在何处梯度为零？

一、方向导数（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）

小结

.),(),(

lim0

yxfyyxxflf

1. 定义

2. 计算公式 sincosyf

xf

lf

.coscoscos zf

yf

xf

lf

二、梯度 （注意梯度是一个向量）

grad ( , )f x y jyf

ixf

定义

22

|),(|

yf

xf

yxgradf

xfyf

tan方向： x 轴到梯度的转角的正切　

模：

三、方向导数与梯度的关系

方向与取得最大方向导数的方向一致 ,

模为方向导数的最大值 .

梯度：

sincosyf

xf

lf

,cos|),(| yxgradf

其中 ,( ( , ) )gradf x y l

( , )

.

f x y某点梯度的方向就是函数 在这点增长最快的方向

思考题问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？

2 (1, 1,2)

.

u xy z P 求函数 在点 处方向导数的最大值

答：梯度方向

答： 21grad 222 Pzyx ffff

作 业

P.51 习题 8-7

1; 4; 7; 8; 10.

一 、 填 空 题 :1 、 函 数 22 yxz 在 点 )2,1( 处 沿 从 点 )2,1( 到 点 )32,2( 的 方 向 的 方 向 导 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .2 、 设 xyzyxzyxf 222 32),,( zyx 623 ,

则 )0,0,0(gradf _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

3 、 已 知 场 ,),,(2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xzyxu 沿则 u 场 的 梯 度

方 向 的 方 向 导 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

4 、 称 向 量 场

a 为 有 势 场 , 是 指 向 量

a 与 某 个 函 数 ),,( zyxu 的 梯 度 有 关 系 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

练 习 题

三、 设 vu, 都是 zyx ,, 的函数, vu, 的各偏导数都存在且连续,证明: ugradvvgraduuvgrad )(

四、 求 2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu 在点 ),,( 000 zyxM 处沿点的向

径 0r的方向导数,问 cba ,, 具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?

二、求函数 )(12

2

2

2

b

y

a

xz 在点 )

2,

2(

ba处沿曲线

12

2

2

2

b

y

a

x在这点的内法线方向的方向导数.

一 、 1 、 321 ； 2 、

kji 623 ；

3 、 graduc

z

b

y

a

x 2

22

22

2)

2()

2()

2( ；

4 、 gradua

.

二 、 )(21 22 ba

ab .

四 、 cbazyx

zyxu

r

uM

;),,(22

02

02

0

000

0

.

练习题答案