第一章 有理数

第一章 有理数

知识回顾

问题一：我们在小学学过哪些数？你能按照某一标准将它们分类？

自然数： 0 、 1 、 2 、 3……

分数（小数）： 1/2 、 0.36 、 5%……

数的产生和发展离不开生活和生产的需要

随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要 。

观察章前图再讨论问题：

1 、在图中你发现你还不很熟悉的数字了吗？2 、凭你的经验，你能解释这些陌生数字的意义吗？3 、请体验陌生的数字的用处，再思考一下生活中哪些地方还见过这些陌生的数字。

生活再现

问题背景11 、天气预报、天气预报 20052005 年年 33 月某天北京的温度为月某天北京的温度为 -3-3 ～～ 3℃3℃ ，，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？

-3 ～～ 3 ℃℃

2 2 如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？

问题背景

红队 黄队 蓝队 积分 净胜球红队 4:1 0:1 3 2

黄队 1:4 1:0 3 -2

蓝队 1:0 0:1 3 0

第一课时第一课时

这里出现了一种新数：-3 表示零下 3 摄氏度，-2 表示净输 2 球，

而：3 表示零上 3 摄氏度，2 表示净胜 2 球，

概念引入

我们把以前学过的数大于零叫做 我们把以前学过的数大于零叫做 正数。正数。有时在正数前面也加上“有时在正数前面也加上“ +”+” （正）号。（正）号。 如 如 +0.5+0.5 、、 +3+3 、、 +1/2……“+1/2……“ ＋”号可以省略。＋”号可以省略。

我们把在以前学过的数（我们把在以前学过的数（ 00 除外除外））前面加上负号“前面加上负号“ -”-” 的数叫做的数叫做负数。负数。如－３、如－３、－０－０ .. ５、５、 -2/3…… -2/3……

概念引入

一个数前面的“ +” 、“ -” 号叫做它的符号。 “－”号读“－”号读着“负”，如：“－５”读着“负５”；“＋”号读着“正”，着“负”，如：“－５”读着“负５”；“＋”号读着“正”，如：“＋３”读着“正３”。如：“＋３”读着“正３”。“＋”号可以省略。“＋”号可以省略。

练习

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1.1. 读下列各数，指出下列各数中的正数、读下列各数，指出下列各数中的正数、负数：负数：

＋７、－９、＋７、－９、 4/34/3 、－４、－４ .5.5 、、 998998 、、

解解：： +7+7 、、 4/34/3 、、 988988 是正数，是正数， -9-9 、、 --4.5 4.5 是负数是负数

“ 月有阴晴圆缺，人有悲欢离合”，这是宋代词人苏东坡写下的被人们广为传诵的佳句，其中，阴与晴、悲与欢、离与合，都是自然世界、人类生活中截然相反的状态的真实描绘，这些矛盾的东西融为一体，营造出了和谐而真实的氛围。　　在数学世界里，一对对具有相反意义的量也是这个大家庭的成员，它们彼此矛盾而又各平相处，为数学世界增添了无穷的魅力。

为什么要引入负数

（ 2 ）与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升 2m 成相反意义的量就很多，如：下降 1m ，下降 0.2m,……

（ 1 ）相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。如前进8m 与前进 5m ，上升与下降，都不是相反意义的量；因为前者意义相同，后者缺少数量。

怎样理解具有相反意义的量

说明

在同一问题中，用正、负数表示具有相反意义的量。收入 300 元和支出 200 元，零上 6℃ 和零下 4℃ ，向东 30米和向西 50米等等，如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然。

对于两个具有相反意义的量，把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把向东、上升、盈利、运进、增加、收入等规定为正，把它们的相反量规定为负的。

怎样理解具有相反意义的量

1.如果 80m表示向东走 80m，那么 -60m表示 。

2.如果水位升高 3m时水位变化记作 +3m，那么水位下降 3m时的水位变化记作 m。

3.月球表面的白天平均温度是零上 126℃ ，记作 ℃，夜间平均温度是零下 150℃ ，记作 ℃。

用正负数表示相反用正负数表示相反意义的量意义的量

向西走向西走 60m60m

-3-3

+126+126

-150-150

一个数不是正数就是负数，对吗？

思考

00 既不是正数也不是负数。既不是正数也不是负数。 00是正负是正负数的分界。数的分界。

观察下图，试着说明它们的海拔高度．

珠穆朗玛峰的海拔高度为 8844米，鲁番盆地的海拔高度为 -155米．

0

8844

-155

观察下图，试着说明它们的海拔高度．

海平面的高度如何表示？

0

8844

-155

解释图中的正数和负数的含义

10℃ 表示白天温度为零上 10℃ ， -5℃ 表示晚上温度为零下 5℃。

它们以什么为基准？

0只表示没有吗 ?

• 1. 空罐中的金币数量 ;• 2. 温度中的 0 ;℃• 3. 海平面的高度 ;• 4. 标准水位 ;• 5. 身高比较的基准 ;• 6. 正数和负数的界点 ;

……引入正负数后， 0 不再简简单单的只表示没有 .

它具有丰富的意义 , 是正负数的基准。

1 、某大楼地面上共有 20 层，地面下共有 5 层，若用正数、负数表示这栋楼房每层的楼层号，则地面上的最高层表示为　　　，地面下的最低层表示为　　　，某人乘电梯从地下最低层升至地上 6 层，电梯一共运行了　　　

层。

探究活动

3 、若将 28计为 0 ，则可将 27计为－ 1 ，试猜想若将 27计为 0 ， 28应计为　　　　。

探究活动

2 、东、西为两个相反方向，如果 - 4米表示一个物体向西运动 4米，那么 +2米表示什么？物体原地不动记为什么？

第二课时第二课时

知识回顾1.如果收入 2000元，记为 +2000元，那么支出 5000元，记为　　 -5000 　元　　。 2.“ 如果一个数不是正数，那么它就是负数”这个说法对吗？为什么？答：不对， 0 既不是正数也不是负数。

3. 海拔 +300 米表示高于海平面 300 米，则海拔 -600 米表示

　低于海平面 600 米。　　　　　　　　

5. 你认为负数的引入有什么作用？

6. 向东走 200 米，记为 +200, 那么向西走 200 米，记为 ；向东走 -200 米实际表示　　　　

可以表示具有相反意义的量了 .

说明：这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子， 通常向指定方向变化用正数表示；向指定方向的相反方向变化用负数表示。即负数表示向指定方向的相反方向变化。

知识回顾

例 1 ：一个月内 , 小明体重增加 2kg, 小华体重减少 1kg, 小强体重无变化 , 写出他们这个月的体重增长值 ;

探索 思考探索 思考

解 : 这个月小明体重增长 2kg ，

小华体重增长－ 1kg ，

小强体重增长 0kg.

例 2 ： 2001 年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是 :美国减少 6.4%, 德国增长 1.3%,　 法国减少 2.4%, 英国减少 3.5%,　 意大利增长 0.2%, 中国增长 7.5%.写出这些国家 2001 年商品进出口总额的增长率 .

探索 思考探索 思考

解：六个国家 2001 年商品进出口额的增长率 ： 美国 － 6.4% ， 德国 1.3% ，法国 － 2.4% ， 英国－ 3.5% ，意大利 ＋ 0.2% ， 中国 ＋ 7.5%.

“ 负”与“正”相对，增长－ 1就是减少 1 ；增长－ 6.4％，是什么意思？什么情况下增长率是 0 ？

增长－ 6.4％，就是减少 6.

4％

既没有增加又没有减少的情况下增长率为 0

• 引入负数以后，“增长”就有了普遍的含义：如果增长量为正数，那么就是我们以前所说的真正的增长，如果增长为负数，这就是我们以前所说的减少，但可以理解为负增长。所以，以后遇到增长时，其增长量可正也可负。

在同一个问题中 , 分别用正数与负数表示的量具有 _____ 的意义 .相反

1990 ～ 1995 年下列国家年平均森林面积（单位：千米2 ）的变化情况是：中国减少 866 ，印度增长 72 ，韩国减少 130 ，新西兰增长 434 ，泰国减少 3294 ，孟加拉减少 88.

（ 1 ）用正数和负数表示这六国 1990~1995 年年平均森林面积增长量；

解：中国－ 866 ，印度 72 ，韩国－ 130 ， 新西兰 434 ，泰国－ 3294 ，孟加拉－ 88.解：中国 866 ，印度－ 72 ，韩国 130 ，新西兰－ 434 ，泰国 3294 ，孟加拉 88 ；所得结果与增长量符号相反 .

（ 2 ）如何表示森林面积减少量，所得结果与增长量有什么关系？

练习 拓展练习 拓展

1. 如果收入 15元记作＋ 15元，那么支出 20元记作 元 .2.海面上的高度为正，海面下的高度为负，那么海面上 982米记作 米，－ 1190米的意义是——。3.若下降 8米记作－ 8米，那么＋ 12米表示 ，不升不降记作 .4. 下表是某周周一至周五每日某一股票的涨跌情况（单位：元）

则该股票上涨的是星期 ，下跌的是星期 .

星期 一 二 三 四 五涨跌 ＋ 0.4 ＋ 0.55 － 0.2 ＋ 0.34 － 0.5