Законы логики

Законы логики

I. Законы формальной логики

• Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства


1. Закон тождества: в процессе определённого рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

Аристотель


2. Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.



3. Закон исключённого третьего: из двух противоречащих суждения одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.


Закон достаточного Закон достаточного основания:основания:

всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.


4. Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

Г. ЛейбницДругими словами, доказательство чего-либо предполагает

обоснование истинных и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя.

«Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу».

латинская пословица

Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, цифровой материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, теоремы.

Законы алгебры высказываний

• В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул.

• Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.

ЗаконЗакон тождестватождества::

в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

А = А

Основные законы алгебры высказываний:

1. Закон тождества: А = А.

• Всякая мысль тождественна самой себе.• Данный закон означает, что в процессе

рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

Закон непротиворечия:Закон непротиворечия:

невозможно, чтобы одно и тоже в одно и тоже время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-то одновременно утверждать и отрицать.

А & Ā = 0


А

Закон исключения Закон исключения третьего:третьего:

из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

А + Ā = 1


Закон исключённого третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жёстко ситуацией: «либо – либо», «истина – ложь». Там же, где встречается неопределённость (например, в рассуждениях о будущем), закон исключённого третьего часто не может быть применён.

Рассмотрим следующее высказывание:Это предложение ложно.Оно не может быть истинным, потому что в нём утверждается, что

оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключённого третьего.

Парадокс (с греч. paradoxos – неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя.

Другим известным парадоксом является задача о парикмахере:В одном городе парикмахер стрижёт волосы всем жителям, кроме

тех, кто стрижёт себя сам. Кто стрижёт волосы парикмахеру?

В логике из-за её формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Таким образом, с помощью логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы.

Закон двойного Закон двойного отрицания:отрицания:

если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.

А = А


Свойства констант:Свойства констант:

отрицание лжи есть истина.

0 = 1

А v 0 = А

А v 1 = 1

отрицание истины

есть ложь.

1 = 0

А & 0 = 0

А & 1 = A

Закон идемпотентности:Закон идемпотентности:

А v А = А

А & А = A

Например, сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен….значение высказывания не изменится.

Законы коммутативности Законы коммутативности (сочетательные законы):(сочетательные законы):

операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

А v В = В v А

А & В = В & А

Законы ассоциативности Законы ассоциативности (распределительные законы):(распределительные законы):

если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

А v (В v C) = (А v В) v C

А & (В & C) = (А & В) & C

Законы дистрибутивности:Законы дистрибутивности:

А v (В & C) = (А v В) & (А v C)

А & (В v C) = (А & В) v (А & C)

Внимание:

Закон ассоциативности аналогичен закону алгебры чисел, а закон дистрибутивности справедлив только в алгебре логики.

Законы поглощения:Законы поглощения:

А & (В v B) = А или

А & (А v В) = А или

(А v B) & B = А & B

А v В & B = А или

А v (А & В) = А или

(А & B) v B = А v B

Законы де Моргана:Законы де Моргана:

отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний.

А v В = А & В или А v B = А & B

А & В = А v В или

А & B = А v B

Правило замены операции Правило замены операции импликации:импликации:

А В = А v В

Правило замены операции Правило замены операции эквивалентности:эквивалентности:

А В = В А

А В = (А v В) & (А v B)

А В = (А & В) v (А & B)

А В = (А В) & (B A)

Тождества

логического сложения1) А + 0 = А2) А + 1 = 13) А + А = А4) А + А = 1(ИЗ ДВУХ ИЗ ДВУХ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ХОТЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ХОТЯ БЫ ОДНО ИСТИННО)БЫ ОДНО ИСТИННО)

логического умножения

1. А · 0 = 02. А · 1 = А3. А · А = А4. А · А = 0(НЕВОЗМОЖНО, ЧТОБЫ (НЕВОЗМОЖНО, ЧТОБЫ ОДНОВРЕМЕННО ДВА ОДНОВРЕМЕННО ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЯ БЫЛИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ БЫЛИ ИСТИННЫ)ИСТИННЫ)

А = А (ДВОЙНОЕ ОТРИЦАНИЕ)А = А (ДВОЙНОЕ ОТРИЦАНИЕ)

31

Законы алгебры логики

Переместительный закон

А + В = В + А А · В = В · А

Сочетательный закон

(А + В) + С = А + (В + С) (А · В) · С = А · (В · С)

Распределительный закон

(А + В)·С = А·С + В·С А·В + С = (А + С)·(В + С)

Закон де Моргана (закон отрицания)

A + B = A • B A • B = A + B

A → B = B → A = A + B

A ↔ B = AB + AB = (A + B) ( A + B) 32

Доказательство логических Доказательство логических законовзаконов

• построить таблицу истинности для правой и левой частей равенства;

• выполнить эквивалентные преобразования над правой и левой частями равенства для приведения их к одному виду;

• с помощью диаграмм Эйлера - Венна;• путем правильных логических рассуждений.

Доказательство закона де Моргана с помощью

логического рассуждения:

Доказательство закона поглощения с помощью

диаграмм Эйлера- Венна:

Значения сложных высказываний в третьем и восьмом столбцах совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, значит, формула верна.

Доказательство с помощью таблицы истинности

одного из законов замены операции эквивалентности

Доказательство закона исключения

с помощью эквивалентных преобразований.

Применим к левой части закон коммутативности и дистрибутивности (т.е. вынесем общий множитель В за скобки), затем применим закон исключённого третьего и свойство констант:

Дополнительное задание

• Докажите самостоятельно правила замены операции эквивалентности

Упрощение сложных Упрощение сложных высказыванийвысказываний

Логические законы и правила преобразования логических

выражений

A & A=0

(A&B)v(A&C)=A&(BvC)

X = X & 1

X = X v 0

1 = А v A

0 = Z & Z

B = B v B = B v B v B v B

C = C & C = C & C & C & C

E = E

- по свойствам констант;

- по закону исключения третьего;

- по закону исключения третьего;

- по законам идемпотентности;

- по закону двойного отрицания.

Пример 3

Требуется упростить: А & B v A & B

По закону дистрибутивности вынесем А за скобки:

А & B v A & B = А & (B v B) = А & 1 = A

Пример 4

Требуется упростить: (А v B) & (A v B)

Способ 1. Применим закон дистрибутивности:

(А v B) & (A v B) = А v (B & B) = А v 0 = A

Способ 2. Перемножим скобки на основании того же закона дистрибутивности:

(А v B) & (A v B) = А & А v А & B v B & А v B & B =

= А v А & (B v B) v 0 = А v A & 1 = А v А = A

Пример 5

Требуется упростить: X v X & Y

Представим Х как Х & 1, а 1 распишем по закону исключения третьего как Y v Y, далее раскроем скобки:

X v X & Y = X & 1 v X & Y = X & (Y v Y) v X & Y= X & Y v v X & Y v X & Y.

Закон имподентности позволяет добавить в выражение любое из имеющихся в нем слагаемых. Добавим к полученному выражению X & Y и сгруппируем слагаемые:

X & Y v X & Y v X & Y = X & Y v X & Y v X & Y v X & Y = = (X & Y v X & Y) v (X & Y v X & Y) = X & (Y v Y) v Y & & (X v X) = X & 1 v Y & 1 = X v Y.

Пример 6

Требуется упростить: А & C v B & C v А & B

Добавим к последнему слагаемому С. Это делается стандартным способом: умножим А & B на 1, а 1 распишем как С v С:

A & C v B & C v A & B = A & C v B & C v A & B & 1 = A & C v v B & C v А & B & (C v C) = A & C v B & C v A & B & C v A & & B & C = A & C v A & B & C v B & C v A & B & C = = A & C & (1 v B) v B & C & (1 v А) = A & C v B & C

Пример 7

Требуется упростить: X v Y

Применим закон де Моргана:

X v Y = X & Y = X & Y

Пример 8Требуется упростить: X & Y v X & Y v X & Z

В данном случае воспользуемся законом двойного отрицания:

X & Y v X & Y v X & Z = X & Y v X & Y v X & Z =

{раскроем одно отрицание}= (X & Y) & (X & Y) & (X & Z) =

= (X v Y) & (X v Y) & (X v Z) = {перемножим первую и вторую скобки, упростим, а третью скобку оставим без

изменения}= (X & X v X & Y v X & Y v Y & Y) & (X v Z) =

= (X & Y v X & Y) & (X v Z) = {перемножим скобки,

упростим}= X & X & Y v X & Y & Z v X & Y v X & Y & Z =

= X & Y & Z v X & Y = {применим закон де Моргана}= = X & Y & Z & (X v Y) = (X v Y v Z) & (X v Y)

Домашнее задание

• Разобрать конспект урока.

• Выписать все законы алгебры логики.

Законы логики

Documents