利利利利利利利利利利利利 一、 利 利利利利利利利利利利利 、 利 利利 、
Jan 03, 2016
一、利用直角坐标计算二重积分二、 利用极坐标计算二重积分三、 小结
如果 D由 x=a、 x=b、 y=1(x) 、 y=2(x) 围成,即:D ).()( 21 xyx
一、利用直角坐标计算
称为 X 型。)(2 xy
a b
D
)(1 xy
,bxa —— 上下型,
dxdyyxfdyxfD
b
a
x
x
xy
)),((),()(
)(
2
1
后先
b
a
x
xdydxyxf
)(
)(
2
1
),(
b
a
x
xdyyxfdx
)(
)(
2
1
.),(
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz
)(1 xy )(2 xy
(左右型):D
).()( 21 yxy
Y 型域
)(2 yx )(1 yx D
c
d
c
d
)(2 yx
)(1 yx D
dydxyxfdyxfD
d
c
y
y
yx
)),((),()(
)(
2
1
后先
c
c
y
ydxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
d
c
y
ydxyxfdy
)(
)(
2
1
.),(
,dyc
非 X 型非 Y 型域
3D
2D1D可用直角坐标线分割为若干个 X 型或
Y 型域。
例 1 改变积分
xxx
dyyxfdxdyyxfdx2
0
2
1
2
0
1
0),(),(
2
的次序.
解 画积分区域如图xy 2
22 xxy 原 式
1
0
2
11 2 ),(y
ydxyxfdy .
问:从积分域的形状看,此域上的积分应选什么样
的积分顺序?
例 2 改变积分 )0(),(2
0
2
2 2 adyyxfdx
a ax
xax
的次序.
解
= a yaa
ay
dxyxfdy0
2
22
2 ),( 原式
a a
yaadxyxfdy
0
2
22 ),( .),(2 2
2
2 a
a
a
a
y dxyxfdy
22 xaxy 22 yaax a2a
a2
a
axy 2
例 3 求 D
dxdyyx )( 2 ,其中D是由抛物线
2xy 和 2yx 所围平面闭区域.
解两曲线的交点 ),1,1(,)0,0(2
2
yx
xy
D
dxdyyx )( 2 1
0
22 )(x
xdyyxdx
dxxxxxx )](21
)([ 421
0
2 .14033
2xy
2yx
另解 D
dxdyyx )( 2 DD
ydxdydxdyx 2
1
0
22
x
xdyxdx
1
0 2
y
yydxdy L
例 4 计算 y
x
y
dxedyI21
21
41
y
y
x
y
dxedy1
21
.
解(y
xe dxQ 不能用初等函数表示)
先改变积分次序.
x
x
x
y
dyedxI2
21
1
1
21
)( dxeex x
.21
83
ee 2xy
xy
从域的形状看,同样)
例 5 求
1|||:|
)||||(yxD
dxdyyx解 原式
0 0, ,1||||:1
)||||(4yxyxD
dxdyyx对称性
)(41 1
D D
dxdyyxdxdy去绝对值号,加法
1
8Dxdxdy
轮换对称性
1
0
1
08
xxy
dyxdx后先
1
0)1(8 dxxx .
Dx
y
O 1
1
1
1
例 6 求由下列曲面所围成的立体体积,yxz , xyz , 1 yx , 0x , 0y .
解 画图 .所求体积
D
dxyyxV )(
1
0
1
0)(
xdyxyyxdx
1
0
3 ])1(21
)1([ dxxxx
.247
所围立体在xoy面上的投影D如图所示。
Ao
D
22
1
.)sin,cos(
),(
D
D
ddf
dxdyyxf
二、利用极坐标计算
. ddd
22 )2
1(
2
1)
2
1(
2
1
2
1
2
1
极坐标下的面积元素
极坐标下的表达式:
.)sin,cos()(
)(
2
1
dfdθ后先
A
D
o
D
ddf )sin,cos(
型域 D:
).()( 21
, )(1 )(2
Ao
D
Ao
D
, ).(0
D
o A
,20).(0
特别)(1
)(2
)( )(
例7 写出D
dxdyyxf ),( 的极坐标二次积分形式,其
中 ,11|),{( 2xyxyxD }10 x .
1 yx
122 yx解在极坐标系下
sin
cos
y
x
圆方程为 =1,
直线方程为
cossin
1
,
D
dxdyyxf ),(
.)sin,cos(2
0
1
cossin
1
dfd
13/20
例 8 计算 dxdyyxD
)( 22 , D由 yyx 222 ,
yyx 422 及 yx 3 0 , 03 xy 所围成。
解32
61
sin4
sin2dxdyyx
D
)( 22
3
6
sin4
sin2
2
dd ).3
2(15
yyx 422
yyx 222 03 yx
03 xy
对称性
例 9 计算
D
dxdyyx
yx22
22 )sin( ,
}41|),{( 22 yxyxD .
解
D
dxdyyx
yx22
22 )sin(
4
1
22
22 )sin(
D
dxdyyx
yx
2
10
sin4 2
dd .4
1D
例 10 求双纽线 )(2)( 222222 yxayx 所围图形 和 222 ayx 的共同部分的面积.
解根据对称性有 |D|=4|D1|.
在极坐标系下)(2)( 222222 yxayx
,2cos2 a
,222 aayx 1D
a
a
2cos2由
,
得交点 )6,(aA ,
所求面积 D
dxdy 1
4D
dxdy
2cos2
0
64a
add ).
33(2 a
关于(二)重积分计算的说明:一、基本方法——化为累次积分(降维数)。二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。根据: 1 )积分域的形状(分块少,表达简便) 曲边梯形、边界主要为直角坐标线——直角坐标, 曲边扇形、边界主要为极坐标线——极坐标; 2 )被积函数的形式(各层积分中的原函数易求) 含 x2+y2 —— 极坐标。三、利用对称性、轮换对等性化简计算。四、利用几何意义化简计算。五、化为二次积分后,各层积分都有:上限 > 下限。
1 、直角坐标下的计算三、小结
D
dyxf ),( D
dxdyyxf ),(都用直角坐标表示
b
a
xd
xc
bxaxdyxc
xydyyxfdx
)(
)(
),()(:X
),(型域
后先{
d
c
yb
ya
dycybxya
yxdxyxfdy
)(
)(
),()(:Y
),(型域
后先
2 、极坐标下的计算D
dyxf ),( D
ddf )sin,cos(都用极坐标表示
)(
)(
),()(:
)sin,cos(b
a
ba
dfd型域
后先
设 )(xf 在 ]1,0[ 上连续, Adxxf 1
0)( ,
求 11
0)()(
xdyyfxfdx .
思考题
1( )
xf y dyQ 不能直接积出,
令 11
0)()(
xdyyfxfdxI ,
思考题解答
则原式 y
dxyfxfdy0
1
0)()( .
,)()(0
1
0 x
dyyfdxxf x
y
o
故 11
0)()(2
xdyyfdxxfI
xdyyfdxxf
0
1
0)()(
])()[()(1
0
1
0dyyfdxxf
x
x
.)()( 21
0
1
0Adyyfdxxf
.2
1 2AI