גלגול, פיתול ותנע זוויתי

זוויתי, ותנע פיתול זוויתי, גלגול ותנע פיתול גלגול

לוליין אירופאי ביצע 1897בשנת בפעם ראשונה סלטה משולשת,

מנדנדה לידי שותפו .במשך שנים ניסו לוליינים לבצע סלטה

1982, ורק בשנת מרובעתהצליח מיגל וזקז מקרקס

Barnum & Bailey להתגלגל שותפו ארבע פעמים באוויר לידי

ושניהם נדהמו.-

, הסוד ומהו מרובעת סלטה לבצע קשה כך כל מדוע? לביצוע הפיסיקלי

גלגולגלגול

שלו מהירות מרכז המסה, R הוא אם רדיוס הגלגלאזי , שלו היא ומהירות הסיבוב הזוויתיתv0היא

הינו הנקודה העתק

, המסה מרכז של קווית תנועה של שילוב הוא גלגול כל. המסה מרכז סביב וסיבוב

גלגל היקף על נקודהעקומה מציירת מתגלגל

. ציקלואידה הנקראת

)ωtcos1(Ry

Rsin(ωstvx 0

ωtRsin t vx 0

. והחלקה סיבוב של צרוף הוא גלגול

סיבוב + החלקה = גלגול

בין הגלגל והמשטח Pאפשר להיווכח שנקודת המגע נעה Tנמצאת במנוחה רגעית ואילו הנקודה העליונה

ממהירות מרכז המסה.2במהירות גדולה פי

: כך נראה אופניים גלגל תנועת של תצלום ולכן

עם הגלגל של המגע נקודתבמנוחה נמצאת המשטח

מבט. נקודת שיש כך רגעיתסביב: מסתובב הגלגול משלימה

. המגע בנקודת העובר ציר

מהירות מרכז המסה

vcm= R

מהירות נקודה בקצה העליון v = (2R) = 2vcm

2cm

2cm Mv

2

1ωI

2

1K

גלגול של קינטית גלגול אנרגיה של קינטית אנרגיה

2PωI

2

1K

האנרגיה , Pביחס לנקודה היאגלגלה שלהקינטית

2cmP MRII

הוא מומנט ההתמד IPכאשר . ולפי משפט P הנקודביחס ל

הצירים הקבילים,222

cm ωMR2

1ωI

2

1K

של הקינטית האנרגיהמרכז סביב סיבוב

המסה

קינטית אנרגיהתנועת של

מרכזהמסה

גלגל על חיכוך גלגל כוח על חיכוך כוח

. כוח עליו לפעול חייב סיבובו מהירות את יגדיל שגלגל כדי , אם אבל להאיץ כדי הדוושות את מסובב האופניים רוכב

. , האופניים את יאיץ לא הסיבוב קרח על יסתובב הגלגל

בין: חיכוך כוח דרוש מסקנה ! להיות חייב כיוונו למשטח הגלגל

. המסה מרכז תאוצת בכיוון

נמצאת במנוחה נמצאת במנוחה PPכיון שהנקודה כיון שהנקודה רגעית, החיכוך הוא כוח חיכוך רגעית, החיכוך הוא כוח חיכוך

..סטטיסטטי

מתגלגל במורד מישור משופע R ורדיוסו Mל שמסתו ליג?. מהי תאוצת מרכז המסהזווית ב

acmאילו הגוף היה מחליק ולא מתגלגל תאוצתו הייתה )= g sin).

, הגוף משקל הם הפועלים הכוחותוהמישור הגלגל בין הנורמלי הכוח

: החיכוך וכוח

cms Masinθ Mgf

: המסה מרכז לגבי הפיתול

αIRf cms

acm שלילית )שמאלה( ואילו התאוצה הזוויתית היא את חיובית )גלגול נגד כיוון השעון(. לכן מציבים במקום

–acm / R :

2cm

cmsR

aIf

2cm

cmMRI1

gsinθa

שהגוף כדי החיכוך מקדם להיות צריך מה לחשב ניתן : החלקה ללא יתגלגל

cosθ MgμNμR

aIf ss2

cmcms

scm

2μ

/IMR1

θtan

ופותרים

מתגלגלות על הרצפה ,B ו- A ,שתי דיסקות זהותל מישור ע עלות מתחילה לAבאותה מהירות. דיסקה

אותו על עולה B. דיסקה hמשופע ומגיעה לגובה הגיעמ ללא חיכוך. האם הגובה אליו משופע אךמישור

B ל-גדול, קטן או שווההוא h?

) שני ) ביקור פיתול

ובב סביב תסה עבור גוף קשיח שיכול לו פיתול דרנהגה:הגדרהציר נתון. נרחיב את

תנקוד ביחס לr בנקודה חלקיקהפיתול הפועל על הואמסוימת ייחוס

Frτ O

r F

.Fעל החלקיק פועל כוח כאשר

זוויתי תנע

גם גוף הנע בקו ישר ,תנע זוויתי כל גוף יכול להיותלבמהירות קבועה.

. pתנע ו mמסה נמצא גוף שיש לו rבנקודה

מוגדר הזוויתי vrm(prl(התנע

mv

rr sin

נע בקו ישר mחלקיק בעל מסה התנע הזוויתי של . vבמהירות

l=mrv הוא Oהחלקיק ביחס לנקודהsin .

O

r

p

l

o

l = rmv sin = rp sin

l = r(p sin) = rp

O

r

pp

Or

pr

l = p(r sin ) = pr

זהים נעים על מסלולים לפי שני חלקיקיםחמישהלמעגל השרטוטים. לכל חלקיק אותו גודל מהירות.

החיצוני רדיוס כפול הרדיוס של הפנימי.

? שלילי זוויתי תנע מהם למי

התנע הזוויתי סווג את החלקיקים לפי סדר יורד של גודל. Oשלהם סביב

של ניוטון בצורה זוויתיתIIחוק

. מתאפסת זהים וקטורים של הוקטורית המכפלה

netFramrarmdt

ld

- ל בהשוואהdt

pdFnet

vrml

)vdt

rd

dt

vdr(m

dt

ld

dt

ldτnet

dt

Ld

dt

ldτnet

כסכום כל הטנעים הזוויתיים ואז Lנגדיר אל

כסכום כל הפיתולים, אזיnetאו אם נפרש את

dt

Ldτnet

כאשר פיתולים פנימיים מתקזזים.

קבוע ציר סביב קשיח גוף של זוויתי קבוע תנע ציר סביב קשיח גוף של זוויתי תנע

מסתובב סביב ציר קבוע Mגוף בעל מסה .במהירות זוויתית

x

y

z

mi

pi

ri

ri

i

חלק את נכדי לחשב את התנע הזוויתי שכל m i סות מבעלי גוץ לחלקיקיםה

במסלול מעגלי z סביב ציר אחד מהם נע. riשרדיוסו הוא

הינו החלקיקים כל של הזוויתי התנע

Iωrmω)rr(ωmrvmlL 2i

iiii

iiii

ii

iizz

נתונים כדור חישוק ודיסקה בעלי אותו רדיוס ואותה חבל הכרוך בגלל ומסובב סביב צירכל אחד .מסה הפועל על כולםF. החבל יוצר אותו כוח משיקי וסביב

. לאותו פרק זמן

חישוקכדור

FFF

דיסקה

הגופים את דרג

. המרכזי. הציר סביב הזוויתי התנע לפי א

. שלהם. הזוויתית המהירות ב

2

5

2mRI 2mRI 2

2

1mRI

חישוקכדור

FFF

דיסקה

הזוויתי התנע שימור הזוויתי חוק התנע שימור חוק

גם קיים התנע שימור וחוק האנרגיה שימור לחוק בנוסף. הזוויתי התנע שימור חוק

dtLdτ הגוף על פיתול פועל לא 0ואם

dt

Ld

ffii ωIωI

if

if ω

I

Iω המתנדב

המסתובב

, מרכז וחצי סיבוב מבצעת למים כשקופצת . בנוסף פרבולית בתנועה נע שלה המסה

. התנע המסה מרכז סביב זוויתי תנע לה יש. עליה פיתול שום שאין כיון נשמר הזוויתי

, המסה" למרכז וקירובם והידיים הרגליים קיפול י עאת מגדילה ולכן ההתמד מומנט את הקופצת מקטינה

, . למים הכניסה לפני המסה מרכז סביב סיבובה מהירות ; חלקה כניסה לה מאפשר זה דבר מחדש מתיישרת היא

למים.

. תנופה גלגל עם יחד חלל ספינת בציורהם התנופה גלגל וגם החלל ספינת כאשר

. אפס, הוא הזוויתי התנע במנוחה

מסובב כאשר התנופה שמאלה, גלגלפונה שהתנע הספינה כך הפוך בכיוון

. אפס נשאר הכללי הזוויתי

שנשלחה Voyager 2ניתן לכוון ספינת חלל כך, אבל רצוי כל פעם שהופעל אלאורנוס נכנסה לסיבוב ל

רשמקול. צוות הקרקע נאלף להפעיל את מנועי הדחף כל הפעלה של הרשמקול.לקזז

מתכווץ כוכב

, הגרעיני הדלק חומר את לכלות מתחילה כוכב של כשליבה . לכווץ יכולה ההתמוטטות פנימה להתמוטט מתחיל הכוכב

לכמה עד השמש רדיוס של גודל מסדר הרדיוס אתצפיפות. בעל נויטרונים לכוכב הופך הכוכב קילומטרים

. נויטרונים של גז של עצומה

זה התמוטטות . נשמרבתהליך ההתמד מומנט הזוויתי התנע , עצומה במהירות מסתובב והכוכב עצומה בכמות 600קטן

, 800עד . צירה סביב השמש סיבוב להשוואה לשניה סיבובים. לחודש אחד סיבוב הוא

.Lwh-הסטודנט הופך את הגלגל. התנע הזוויתי הוא כעת ההיפוך גורם לסטודנט, לשרפרף ולגלגל להסתובב ביחד

מהי . Ibסביב ציר הסיבוב של השרפרף עם מומנט התמד מהירות הסיבוב הזוויתית של השרפרף ובאיזה כיוון הוא

מסתובב?

גלגל אופניים אופקי בעל מומנט גלגל לסביב מרכזו. Iwhהתמד

התנע הזוויתי .whמהירות זוויתית מכוון כלפי מעלה.Lwhשל הגלגל

סטודנט יושב במנוחה על שרפרף היכול להסתובב על הסטודנט מחזיק בידוצירו.

הזוויתי התנע שימור

Lwh

= +

-Lwh

Lb

bwhwhLLL

whbL2L

wh

b

wh

b I

I2

ציר סיבוב

i

כדור60º

Mארבעה מוטות שמסת כל אחד מחוברים לציר אנכי dואורכו

ומסתובבים סביבו בכיוון השעון . iבמהירות זוויתית

ומהירותו M / 3כדור בוץ שמסתו vi במסלול שיוצר זווית בת נעº60

לאחת הזרועות ונדבק לקצה מהי המהירותהזרוע.

לאחר ההתנגשות? fהזוויתית הסופית

d

אין שימור תנע קווי. . אין שימור אנרגיה קינטית

22

2rod Md

3

1

2

dMMd

12

1I

60 cos vd

3

MωMd

3

4ω d

3

MMd

3

4ii

2f

22

/35Md

)/360 cosMdvω(4Mdω

2ii

2

f

f יכולה להיות חיובית או שלילית (i< 0) .

2rodts Md

3

44II

( . יוצר אינו הציר על הכוח זוויתי תנע של שימור ישלכן.( פיתול

ball,its,ifball,fts, LLLL

:Itsיש לחשב את

תיחס נ :מהצד יחתי בה נפגעת מכונית נהשחזור של תאונל משטח ע במנוחה l ואורכו Mלמכונית כמוט שמסתו

פועלFtמתקף חסר חיכוך. במאונך למכונית

מקצה l/3במרחק המכונית. מה תהיה

תנועת המכונית?

תנועת המכונית מפורקת לתנועת מרכז המסה והסיבוב סביב :תנועת מרכז המסהמרכז המסה.

M

tFv

f

ltl

6

Fω

12

Mf

2

lf

f

v2

סיבוב סביב מרכז המסה:

/6)F(32

FIωLΔL ff ltll

t

ומסתובבת סביב מרכז vfהמכונית נעה ימינה במהירות .2vf/lהמסה במהירות זוויתית

פיתול על גלגל

הוא L = Iω התנע הזוויתי t = 0בזמן פועל Mg כובד. כוח הxלאורך ציר

במרכז המסה.

lMg הפיתול על הגלגל כתוצאה מכוח הכובד הוא

N

.yתוספת התנע הזוויתי היא בכיוון ציר ו

מסתובב Iגלגל בעל מומנט התמד ציר שאורכו בקצה ωבמהירות זוויתית

lעל של הציר נשען ו השני. קצה .תמיכה

התנע הזוויתי של הגלגל אחרי יהיהtפרק זמן

j Mgi IωL tl

הוא קצר, tאם זווית הנקיפה תהיה

I

tMgl

המהירות הזוויתית של הנקיפה:

חלק מתנועת הסביבון מתואר ע"י תופעת הנקיפה.

מהירות הסיבוב של הגלגל סביב צירו נשארת קבועה.

Iω

Mg

Δt

ΔθωP

l