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第九章 平面解析几何 第九章 平面解析几何
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第九章 第九章 ·· 第第 11 课时课时
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第一课时 直线方程
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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素.3.掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式 ),了解斜截式与一次函数的关系 .
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直线是解析几何中最基本的内容,对直线的考查一是在选择、填空中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识,二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查 .
请注意 !
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课前自助餐 课本导读 1.直线的有关概念
(1)直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°.
(2)P1(x1, y1), P2(x2, y2)是直线 l上两点,则 l的方向向量的坐标为 (x
2- x1, y2- y1);若 l的斜率为 k,则方向向量的坐标为 (1, k).
2.斜率公式
(1)直线 l的倾斜角为 α≠90°,则斜率 k= tanα.
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(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠ x2,则l的斜率
为y2-y1
x2-x1
.
3.直线方程的几种基本形式
(1)点斜式:y-y1=k(x-x1),注意斜率k是存在的.
(2)斜截式:y=kx+b,其中b是直线l在y轴上的截距.
(3)两点式:y-y1
y2-y1
=x-x1
x2-x1
(x1≠ x2且y1≠ y2),当方程变形
为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0时,对于一切情
况都成立.
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(4)截距式:xa+
yb=1,其中a· b≠ 0,a为l在x轴上的截
距,b是l在y轴上的截距.
(5)一般式:Ax+By+C=0,其中A、B不同时为0.
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1.下列四个命题中真命题的是( )
A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.
B.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线可以用方程:(y-y1)(x2-x1)-
(x-x1)(y2-y1)=0表示.
C.不过原点的直线都可以用xa+yb=1表示.
D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.
答案 B
教材回归
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2.直线xsinπ
7+ycos
π
7=0的倾斜角是( )
A.-π
7 B.
π
7
C.5π
7 D.
6π
7
解析 由题意得:直线方程为 y=-tanπ
7· x,
∴ k=-tanπ
7=tan
67π ,
∵ 0≤ α <π ,∴ α =67π .
答案 D
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3.若ab<0,则过点P
0,-1b与Q
1
a,0 的直线PQ的倾
斜角的取值范围是( )
A.
0,π2
B.
π
2π,
C.
π- ,-π2
D.
-π2,0
解析 kPQ=-1b-0
0-1a
=ab<0,又倾斜角的取值范围为
[0 π, ),故直线PQ的倾斜角的取值范围为
π
2π, .
答案 B
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4.(07· 北京)若A(2,2),B(a,0),C(0,b)共线(a,b≠ 0)则1a+
1b=________.
5.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程
为________.
解析 由题意可设直线方程为xa+yb=1.
则
a+b=6,
2a +
1b=1,
解得a=b=3,或a=4,b=2.
答案 12
答案 x+ y- 3= 0或 x+ 2y -4= 0
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例1 (1)设直线2x+my=1 α的倾斜角为 ,若m∈ (-∞ ,-2 3 )∪ [2,+∞ ),则
α角 的取值范围是________.
【解析】 据题意知tanα =-2m,∵ m<-2 3或m≥ 2.
∴ 0<tanα <33或-1≤ tanα <0.
∴ α ∈ (0,π
6)∪ [
3π
4π, ).
【答案】 α∈(0, )∪[, π).
题型一 直线的斜率
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(2)直线l过点M(-1,2)且与以点P(-2,-3)、
Q(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率范围是
________
【解析】 本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的
单调性.
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如图,过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP=5,kMQ=-25.
当直线l从MP开始绕M逆时针方向旋转到MN时,倾斜
角在增大,斜率也在增大,这时,k≥ 5,当直线l从MN开
始逆时针旋转到MQ时,∵ 正切函数在(π
2,π )上仍为增
函数,
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∴ 斜率从-∞ 开始增加,增大到kMQ=-25,故直线l的斜率范
围是(-∞ ,-25]∪ [5,+∞ ).
探究1 处理斜率范围和倾斜角范围时,由于涉及到正切函
数的单调性,因此常常借助正切函数图象,将角分为[0,
π
2)、(
π
2π, )两部分分别对应斜率中的非负值和负值.
【答案】 (-∞,- ]∪[5 ,+∞ )
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思考题1 已知两点A(-1,2),B(m,3),求:
(1)求直线AB的斜率;
(2)求直线AB的方程;
(3)已知实数m∈ [-33-1, 3-1],求直线AB的倾
斜角α 的范围.
【解析】 (1)当m=-1时,直线AB的斜率不存在,
当m≠ -1时,k=1
m+1.
(2)当m=-1时,AB的方程为x=-1;
当m≠ -1时,AB的方程为y-2=1
m+1(x+1)
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(3)①当m=-1 α时, =π2
②当m≠ -1时,∵ k=1
m+1∈ (-∞ ,- 3]∪ [
33,+∞ ),
∴ α ∈ [π6,π2)∪ (
π2,2π3]
综合①②知直线AB α的倾斜角 为[π6,23π ].
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题型二 求直线方程
例 2 求适合下列条件的直线的方程:
(1)在 y轴上的截距为-5,倾斜角的正弦值是35;
(2)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
(3)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x的倾斜角的 2倍.
【解析】 (1) α设直线的倾斜角为 ,则 sinα =35,
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∴ cosα ±=45,直线的斜率k=tanα ±=
34.
又直线在y轴上的截距是-5,
由斜截式得直线方程为y ±=34x-5.
(2)设直线l在x、y轴上的截距均为a,若a=0,
即l过点(0,0)和(3,2),
∴ l的方程为y=23x,
即2x-3y=0.
若a≠ 0,则设l的方程为xa+ya=1,
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∵ l过点P(3,2),∴3a+2a=1,
∴ a=5,∴ l的方程为x+y-5=0,
综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
(3)由已知:设直线y=3x α的倾斜角为 ,则所求直线
的倾斜角为2α .
∵ tanα =3,∴ tan2α =2tanα
1-tan2α=-
34,
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=-34(x+1),
即 3x+ 4y+ 15= 0.
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探究 2 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形
式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能
表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,
故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零,若采用
点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
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思考题2 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积
为3,分别求满足下列条件的直线l的方程;
(1)过定点A(-3,4);(2)斜率为16.
【解析】 (1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它
在x轴,y轴上的截距分别是-4k-3,3k+4,
由已知,得(3k+4)(4k+3) ±= 6,
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解得k1=-2
3或k2=-
8
3.
直线l的方程为2x+3y-6=0
或8x+3y+12=0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=1
6x+b,
它在x轴上的截距是-6b.
由已知,得|-6b· b|=6,∴ b ±= 1 .
∴ 直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
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题型三 直线方程的应用
例 3 经过点 P(2,1)的直线 L分别与两坐标轴的正半轴交于 A, B两点;
(1)求当△ AOB的面积最小时直线 L的方程;
(2)求当 |OA|+ |OB|最小时直线 L的方程;
(3)求当 |PA|·|PB|最小时直线 L的方程;
(4)求当 |OA|·|OB|最小时直线 L的方程.
【解析】 由条件知,斜率 k必存在.
设直线方程为 y- 1= k(x- 2),显然 k<0,
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当x=0时,y=1-2k;y=0时,x=2-1k,
(1) △ AOB的面积为S=12(1-2k)(2-
1k)=2+
(-1k)+(-4k)
2≥ 2+ (-
1k
·) (-4k)≥ 2+2=4,
当且仅当(-1k)=(-4k)即k=-
12时等号成立,
此时直线方程为y-1=-12(x-2),
所以当△ AOB的面积最小时直线L的方程为x+2y-4=0.
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当且仅当(-1k)=(-4k)即k=-
12时等号成立,
此时直线方程为y-1=-12(x-2),
所以当△ AOB的面积最小时直线L的方程为x+2y-4=0.
(2)|OA|+|OB|=(1-2k)+(2-1k)=3+(-
1k)+(-2k)≥
3+2 (-1k
·) (-2k) =3+2 2.
当且仅当(-1k)=(-2k)即k=-
22时等号成立,此时直线
方程为y-1=-22(x-2),
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所以当|OA|+|OB|最小时直线L的方程为x+ 2y-2- 2=0.
(3)|PA|· |PB|= (2-1k-2) 2+1 · 22+(1-2k-1)2=2
(1+1k2)(1+k2)=2 2+
1k2+k2≥ 2 2+2
1k2· k2=4,
当且仅当1k2=k2即k=-1时等号成立.
此时直线方程为y-1=-(x-2).
所以当|PA|· |PB|最小时直线L的方程为x+y-3=0.
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(4)同(1),所以当|OA|· |OB|最小时直线L的方程为
x+2y-4=0.
探究3 利用直线的方程求最值是一类常见题型.
思考题3 已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤ x≤ 3时,
求yx的最值.
【解析】 如图,设点P(x,y),因为x,y满足2x+y=
8,且2≤ x≤ 3,
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所以点P(x,y)在线段AB上移动,
并且A,B两点的坐标分别是A(2,4),B(3,2).
因为yx的几何意义是直线OP的斜率,
且kOA=2,kOB=23,
所以yx的最大值为2,最小值为
23.
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课时作业(课时作业( 4040 ))