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Dec 30, 2015
《应用时间序列分析》何书元 编著
北京大学出版社
概率统计学科中应用性较强的一个分支广泛的应用领域:金融经济气象水文信号处理机械振动…………
Wolfer 记录的 300 年的太阳黑子数
太阳黑子对地球的影响 会出现磁暴现象 会引起地球上气候的变化 会影响地球上的地震 会影响树木生长 会影响到我们的身体 ………………………
杭州近三年房价走势
房地产业、房价 关乎国计民生的支柱产业 影响着城镇居民的住房消费 影响着水泥,钢铁,建材,冶金等相关
行业的发展 影响着地方政府财政收入 …………………………….
股市是经济的晴雨表 从股市本身看,我国股市的确有自己的
特点 股票是一种高风险的资本投资 ………………………………
1985 至 2000 年广州月平均气温
国际航空公司月旅客数
0 50 100 150100
200
300
400
500
600
700
化学反应过程中溶液浓度数据
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20016
16.5
17
17.5
18
18.5
目的:描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的
建模和预测方法
参考书:1. 时间序列的理论与方法 田铮 译 高等教育出版社2. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric
Methods Jianqing Fan Qiwei Yao3. 应用时间序列分析 王燕 中国人民大学出版社 4. 时间序列分析 易丹辉 中国人民大学出版社 5. 时间序列分析的小波方法 机械工业出版社
目 录
第一章 时间序列 第二章 自回归模型 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 第四章 均值和自协方差函数的估计 第五章 时间序列的预报 第六章 ARMA 模型的参数估计
《应用时间序列分析》
第一章
时间序列
时间序列、平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数
§ 1.1 时间序列的分解 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过
程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究,找寻它变化发展的规律,预测它将来的走势就是时间序列分析。
一、时间序列的定义 时间序列 : 按时间次序排列的随机变量序列
个观测样本 : 随机序列的 个有序观测值 称序列 是时间序列 (1.1) 的一次实现或一条轨道
)1.1(,, 21 XX
)2.1(,,, 21 nxxx n n
)3.1(,, 21 xx
二、时间序列的分解
趋势项 、季节项 、随机项
)4.1(,2,1, tRSTX tttt
}{ tT }{ tS }{ tR
模型的描述、解释 自然规律:一年四季变化 ( 降雨量、气温等等 ) 生活规律:周六、周日休息日 每天的上下班 ( 用水量、用电量 旅游人数、乘客人数 )
经济发展规律:螺旋型上升 ( 国民生产总值、股市价 格、外率等等 ) 社会的发展规律 : ( 道路是曲折的、前途是光明的 ) ………………………
注: 1. 单周期 s 季节项,则
此时在模型中可要求
.,2,1),()( ttSstS
s
j jt tS1
,2,1,0
2. 随机项,可设
3.
.,0E tRt
三、分解方法
例一 . 某城市居民季度用煤消耗量
例图
分解一般步骤1. 趋势项估计
分段趋势 ( 年平均 ) 线性回归拟合直线 二次曲线回归 滑动平均估计
}ˆ{ tT
2. 估计趋势项后 , 所得数据由季节项和随机项组成 , 季节项估计可由该数据的每个季节平均而得 .
3. 随机项估计即为
方法一:分段趋势法1 、趋势项 ( 年平均 )
减去趋势项后 , 所得数据 }ˆ{ tt TX
2 、季节项 }ˆ{ tS
3. 随机项的估计
.24,,2,1,ˆˆˆ tSTxR tttt
方法二:回归直线法一、趋势项估计 一元线性回归模型
最小二乘估计为
可得到
.24,,2,1,9.211.5780ˆ ttTt
2421
111,),,,(
.24,,2,1,
21
YxxxX
tbtax
T
tt
YXYYba TT 1)()ˆ,ˆ(
1. 直线趋势项
消去趋势项后 , 所得数据 }ˆ{ tt TX
2 、季节项估计 为}24,,2,1,ˆ{ tSt
3. 随机项估计为.24,,2,1,ˆˆˆ tSTxR tttt
方法三: 二次曲线法
26.10.175.5948 ttxt
YXYYcba TT 1)(),,(
24,,2,1,2 tctbtax tt
1. 二次项估计(趋势项)数据和二次趋势项估计
2. 季节项、随机项
例二、美国罢工数( 51-80 年) (滑动平均法)
0 5 10 15 20 25 303000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
1. 趋势项( 5 项平均)
2. 季节项和随机项
0 5 10 15 20 25 30-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
例三、化学溶液浓度变化数据
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20016
16.5
17
17.5
18
18.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
例四、 Canadian lynx data (猞猁)
例五、沪深 1209(股指期货)
0 20 40 60 80 100 120 140 1602200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
0 50 100 150
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
)(log)1(log)( tXtXtY
例六、国际航空公司的月客数
0 50 100 150100
200
300
400
500
600
700
y2=log(y1); plot(y2);
0 50 100 1504.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
y3=diff(y2); y=y3(13:143)-y3(1:131);
0 20 40 60 80 100 120 140-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15数 据 处 理 后 的 图
§1.2 平稳序列1. 时间序列的分解中趋势项和季节项通
常可以用非随机函数来描述。2. 随机项通常呈现出沿一水平波动的性质,且前后数据具有一定的相关性,与独立序列有所不同。
一、平稳序列
例 2.1 平稳序列的线性变换
baEYt
例 2.2 调和平稳序列
自协方差函数的性质
性质 (2) 的证明 证 任取一个 维实向量有
Tnaaa ),,,( 21 n
0])([
))((
2
1
1 1
1 1
n
i ii
n
i
n
j jiji
n
i
n
j jijinT
XaE
XXaaE
aa
性质 (3) 、 Schwarz 不等式
非负定性、随机变量的线性相关
自相关系数
白噪声、白噪声模拟
例 2.3 Poisson 过程
Poisson 白噪声
Poisson 白噪声的 60 样本的产生
1. 随机产生服从 (0,1) 上均匀的 200 个样本 :
2. 给出服从参数为 1 的指数分布的 200 个独立样本 ;
3. 给出参数为 1 的 Poisson 过程一条样本轨道在 i=1,…,61 上的取值;
参数为 1 的 Poisson白噪声的60 个样本 I
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
样本 II
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
例:布朗运动
标准正态白噪声的 60 个样本 : A=randn(1,60) ; plot(A)
随机相位
随机相位独立白噪声的 60 个样本
独立白噪声的 60 个样本,其中独立同分布且都在上服从 均匀分布
ZtUatbX tt ),cos(
)2,0( ,, 21 UU
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
二、正交和不相关性
定理 2.2
§1.3 线性平稳序列和线性滤波 有限运动平均 线性平稳序列 时间序列的线性滤波
有限运动平均
)2,0(~,*85.0*36.0 221 WNX ttttt
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
MA 的平稳性
概率极限定理
线性平稳序列
1. 线性序列的 a.s. 收敛性
2. 线性序列的平稳性
注 : 绝对可和下的线性序列
注 : 均方意义下的线性序列
Nj
jNj
jtj aaE||
222
||
0)(
证 当 时
.0][2
][
][
||||
||||
2/||
2/1222
2/||
2/1222
2/||
2/1222
2/|| 2/||
22
2
kj kjj j
kj jj j
kj kjj j
kj kj kjjkjj
j kjjk
aa
aa
aa
aaaa
aa
k
单边线性序列
线性滤波
矩形窗滤波器
例 3.1 余弦波信号的滤波
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
注 :
)2/sin(
)]2/sin()2/[sin(2
1
)2/sin()cos(
)cos()cos())(cos(
M
jj
j
UtjbUjtb
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
Mj
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
余弦波信号的滤波
§1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性 随机向量的数学期望和方差 正态平稳序列
随机向量的数学期望和方差
随机向量线性变换
多维正态分布
多维正态分布的充要条件
正态平稳序列
概率极限
正态序列收敛定理
正态线性序列
证明 平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何 ,有
其中 .
Nm
)9.4(),,0(~),,,( 21 m
Tm NXXXX
j ijjimmkjm
aa2,)(
对任何 , 定义
则有当 时 , 有
Tmbbbb ),,,( 21
n
0|)(| kk XnE
0|])([|||
|]))(([||)(|
1
1
m
k kkk
m
k kkkn
nXbE
nXbEYE
由定理 4.2, 得到 依分布收敛到 , 且Yn
则 从而由 和定理 4.1得到 (4.9).
).,(~ VarYEYNY bbVarYEY mTΣ ,0
用同样方法可以证明 : 对任何 有
其中 .定理 4.4 成立 .
注 : 当 时结论仍成立 .
)10.4(),,0(~),,,( 21 m
Tlmll NXXXX
j ijjimmkjm
aa2,)(
Nl
2}{ la j
§1.5 严平稳序列及其遍历性
严平稳与宽平稳关系
遍历性
宽平稳遍历性例子
严平稳遍历定理
例 5.1
线性平稳列的遍历定理
( 1 )正态白噪声( 2 ) Poisson白噪声( 3 )独立同分布的白噪声
Hilbert 空间中的平稳序列 Hilbert 空间 内积的连续性 复值随机变量
Hilbert 空间
内积的连续性
例、 n 维 Hilbert 空间
复值随机变量
复值时间序列
§1.7 平稳序列的谱函数 时域和频域
谱函数定义
谱函数存在唯一性定理
谱函数和谱密度的关系
线性平稳序列的谱密度
例 )2,0(~,*85.0*36.0 221 WNX ttttt
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
自相关函数图
谱密度图
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
两正交序列的谱
线性滤波与谱