計画数学第２ － 授業の目的と流れ －

計画数学第２－ 授業の目的と流れ －

計画数学第２－ 授業の目的と流れ －

• 数理計画と組み合わせ最適化を、　　　　応用を中心として解説

宇野　毅明情報学研究所　＆　総合研究大学院大学

復習：数理計画とは復習：数理計画とは

数理計画・最適化（数理計画問題・最適化問題）：　　数理的に表現された、数多くのもの（集合）の中か

ら、最も良いものを選び出すこと数理計画法・最適化法：　　数理計画問題を解く、数理的な方法のこと

例：　線形計画：　線形制約を満たす n 次元ベクトルの中で、

目的関数値が最も良いものを見つける問題　シンプレックス法（単体法）：　線形計画を解く、数

理的な方法

数理計画の特徴数理計画の特徴

コンピュータで数理計画を解くと

　＋ 大きな問題が解ける　　　（決定する項目の数がときに１万を超える）　＋ 正確に解ける　　　（あるいは、精度の保証をする）　＋ 短時間でたくさん解ける　　　（１秒間に何百回も解く）

　－ 数理的にしっかり定義された問題しか解けない　－ 問題の条件がちょっとでも変わると解けない　－ 構造が悪いと、密な問題でも解けない　－ 直感的に、ひらめきで解くようなことはできない

大きな問題が解ける利点大きな問題が解ける利点

　＋ 大きな問題が解ける

• 人間が解ける問題の大きさは、せいぜい 100 ~ 1000 程度

• 「解ける」とはいえ、とても時間がかかる上に、　　最適性の保証も無い • たっぷり時間をかけて最適化する仕事は、非常に非人

間的

対して、解きたい問題は、大きいことが多い • 人間が最適化するのは、無理

　　巨大データ　　巨大データ

• 近年の IT 技術の発達により、半自動的に巨大なデータが収集されている

　－ POS データ 10 万 ~　－ ソーシャルネットワーク 10 万 ~　－ 文書データ、辞書データ 100 万 ~　－ ウェブネットワーク 1000 万 ~　－ ウェブアクセス 1000 万 ~　－ 通信パケットのログ 1000 万 ~ …

データベースデータベースデータベースデータベース

　経営戦略やマーケッティングにおいて、これら巨大データをいかに使うかが大きな鍵となってきている

　経営戦略やマーケッティングにおいて、これら巨大データをいかに使うかが大きな鍵となってきている

正確に解けることの利点正確に解けることの利点

　 ＋ 正確に解ける

• 人間が、「正確である事」を保証して問題を解くのは、非常に手間がかかる（パズルの証明をするようなもの）

• 「人間系によるエラー」もあるかもしれない

• 数理計画法だと、「最適」である解が得られる • 近似アルゴリズムで、「最適解から誤差○○以内」で

ある解が得られる • 列挙アルゴリズムで「条件にあう解」が全てもらさず

見つけられる

正確な解が必要な場面正確な解が必要な場面

• 「○○の性質を持つものの値は○○以下」というような定理証明を行うとき

• 行政での政策決定など、正確な解を証拠として用いたいとき

• データの分析など、解の正確な数が必要なとき

• 科学分野で、実験結果から得られるデータを証拠として使いたいとき

短時間で解けることの利点短時間で解けることの利点

　 ＋ 短時間でたくさん

• 人間はいくら速くても、処理には限界がある（ 10 秒はかかる）

• たくさん解くのは、疲れる

• 対話型の最適化システムでは、同じような問題を短時間で何回も解かなければならない

• オンラインサービス（路線検索、ナビ）などは、瞬時に答えを返す、という作業を、何千回と行う

• 製造工場などでのリスケジューリングは、オーダーの変更に伴い、短時間で繰り返し解く必要がある

数理計画の位置づけ数理計画の位置づけ

オペレーションズ リサーチ･ 計算機アルゴリズム

数学

自然科学・社会科学・産業・行政など応用分野

数理計画

数理計画

数理計画の位置づけ (2)数理計画の位置づけ (2)

組合せ最適化 近似アルゴリズム

非線形計画線形計画

授業の内容授業の内容

１．線形計画の使い方　　（実際問題をどのようにして線形計画で解

くか）

２．組合せ最適化問題　　（世の中の問題を中心にして、　　　　　　　いくつかの組合せ最適化問題を

解説）

３． 近傍探索、動的計画　　（線形計画以外の、最適化問題の解法を紹介）

授業の内容 (2)授業の内容 (2)

• 施設配置 • 配送計画 • スケジューリング • 動的計画 • 列挙 • データマイニング • データベース比較

• 非線形計画 • 組合せ最適化• 生産計画を立てる• 割り当て問題• クラス編成をする • 最短路とナビゲーショ

ン

授業のねらい授業のねらい

数理計画を勉強するには、少なくとも 3 つの視点が必要

１．　数学的な視点２．　オペレーションズ・リサーチ的な視点３．　アルゴリズム的な視点

いろいろな問題や解法を題材にして、これらの視点から物事を見るセンスを磨く

計算機アルゴリズム計算機アルゴリズム

アルゴリズム：　 物事をするときの、手順のこと　普通は、コンピューターに計算をさせる（プログラム）

の手順　コンピュータの、効率の良いプログラムを書くにはどう

するか、というプログラム設計の理論と考えても良い

アルゴリズム：　 物事をするときの、手順のこと　普通は、コンピューターに計算をさせる（プログラム）

の手順　コンピュータの、効率の良いプログラムを書くにはどう

するか、というプログラム設計の理論と考えても良い

１から１００の数字を足したい：　・ 1+2+,...,+100 99‥‥ 回の足し算　・ (1+100) * (100/2) ‥ 演算 3 回

にんじんを星型の輪切りに切りたい　・輪切りにしてから、それぞれを星型に切る　・ まず星型の切込みを入れてから、輪切りにする

計算機アルゴリズム (2)計算機アルゴリズム (2)

計算時間オーダー： O(f(n))

　 入力した問題の大きさに対して、最悪で、どの程度の時間がかかるかを、問題の大きさの関数（多項式）であらわしたもの

※ 係数は、機械やプログラマーによるので無視。※ 最大次数のところのみに着目する　　　（入力が大きくなると、最大次数しか効いてこな

い）

計算時間オーダー： O(f(n))

　 入力した問題の大きさに対して、最悪で、どの程度の時間がかかるかを、問題の大きさの関数（多項式）であらわしたもの

※ 係数は、機械やプログラマーによるので無視。※ 最大次数のところのみに着目する　　　（入力が大きくなると、最大次数しか効いてこな

い）n 項目ある辞書を引く：　 • 最初から順に調べる O(n)　• 2 分探索する O(log n)

n 個の数字をソートする　• 普通に挿入、クイックソート O(n2) 　• マージソート・ヒープソート O(n log n)

オーダーが小さければ、機械やプログラマーが多少悪くても、設計の良さで圧倒的に速い

オーダーが小さければ、機械やプログラマーが多少悪くても、設計の良さで圧倒的に速い

オペレーションズ リサーチ･オペレーションズ リサーチ･

オペレーションズ リサーチ（･ OR ）　現実世界に存在するシステムや作業や問題を、数理的なモデルとして表現し、その問題を解く数理的な解法を構築する

オペレーションズ リサーチ（･ OR ）　現実世界に存在するシステムや作業や問題を、数理的なモデルとして表現し、その問題を解く数理的な解法を構築する

明日の天気を知りたい：　 • 晴れや、曇りなどの天気を分類し、数理化　• 「過去の天気、気象データの履歴は翌日の天気と相関がある」　という観察から、「気象データの履歴から明日の天気を予測」　というモデルを立てる　• このモデルを、統計的手法で解く

オペレーションズ リサーチ ･ (2)オペレーションズ リサーチ ･ (2)

ここから目的地までの最短ルートが知りたい　• それぞれのルートを、交差点から交差点への道の区分の組合せとしてモデル化

　• 通過時間が最短となる、道の組合せを見つける最適化問題として解く

議会での各政党の発言力が知りたい　• 「法案を通すには、いくつかの政党が協力しなけ

ればならない」、という観察から、「どの政党の組合せが過半数を取れるか」という組合せでモデル化。ゲーム理論の、協力ゲームのモデルなどに当てはめる

　• 発言力を計算する

オペレーションズ リサーチ ･ (3)オペレーションズ リサーチ ･ (3)

研究・実践では

+ 妥当なモデルが作れるか + 数理的に解ける（実用的な時間で解ける）問題に定式化されるか

+ 効率的な解法か + 実用的か（解の性質・求解の時間など）

といった点が重視される

オペレーションズ リサーチ ･ (4)オペレーションズ リサーチ ･ (4)

研究手法

各々の段階で、数学的、 OR的、

アルゴリズム的な視点が必要

モデル作り

解法の構築

アルゴリズムの改良

知識をどのように使うか知識をどのように使うか

おしなべて、物事は応用力が大事

• 現実の問題に出会ったとき、その問題を、自分の知識でどのように解決するか

• あるいは、自分の知識では解決できそうもないことを、どのように確認するか

• 自分の知識で解決できなかったら、どのような知識を手に入れればいいか

例）線形計画、という道具（知識）があるとき、これを使ってどのような問題が解けるか考える。

練習問題練習問題

1. 線形計画で解ける問題を考える2. ほかの問題を線形計画で解く

　練習問題：

それなりに実用的な問題で、線形計画になる問題を考えてみよう

軽く練習問題１軽く練習問題１

用語の定義：max {a,b,…,z} ： a,…,z の中の最大値min {a,b,…,z} ： a,…,z の中の最小値

max xi, min xi ： x1,…, xn の中の最大、最小値

問題： 次の数理計画問題を、線形計画問題に直せ

　　最小化： 　　　 max xi

　制約条件： 　　∑ ai xi 　 ≦　 b　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 0　　　　　　　　

軽く練習問題１－２軽く練習問題１－２

新しい変数 t を導入する

　　最小化： 　　　 　　　 t　制約条件： 　 t ≧　 xi 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　 b　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 0　　　　　　　　問題：　　これで正しいことを証明しましょう

軽く練習問題１－３軽く練習問題１－３

証明： 実行可能な xi に対して制約条件より t 　≧　 max xi は明らか。

ここで、 t 　＞　 max xi であるとすると、t ＞ t' ≧　 max xi となる t' が存在するt' と xi の組は実行可能解なので、 t は最適解でない。

対偶を取ると、「 t が最適解ならば、 t 　≦　 max xi 」

よって、２つの問題の最適解は同じ目的関数値を持つq.e.d

では問題。最小化 min xi とした問題は、線形計画になるでしょうか、ならないでしょうか

軽く練習問題１－４軽く練習問題１－４

問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい

　　最小化： 　　　 max xi + max yi

　制約条件： ∑ ai yi 　 ≦　 b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　 b　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 0　　　　　　　　 　　最小化： 　　 ∑ ( ci xi 　 + ei yi ) 　 　　　制約条件： 　　 max ai xi 　 + 　 max di yi ≦　 b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　 f　　　　　　　　　　∑ di xi 　 ≦　 f　　　　　　　　　　　 xi , yi 　 ≧　 0　　　　　　　　

軽く練習問題２軽く練習問題２

問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい

　　最小化： 　　 | ∑ ci xi | 　

　制約条件： ∑ ai xi 　 ≦　 b 　 　 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 0　　　　　　　　　　　　　　　　

軽く練習問題２－２軽く練習問題２－２

max を使った問題に直してみる

　　最小化： 　　 max { －∑ ci xi , ∑ ci xi } 　

　制約条件： ∑ ai xi 　 ≦　 b 　 　 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 0　　　　　　　　ということは、

　　最小化： 　　　　 t 　

　制約条件： t 　≧ －∑ ci xi

　　　　　　　　　　　　　　　　 t 　≧　　∑ ci xi

　　　　　　　　　　　　　 ai xi 　 ≦　 b 　 　 　　　　　　　 　　 xi 　 ≧　 0　　　　　　　　問題： これで正しいことを証明しなさい　　　　

軽く練習問題２－３軽く練習問題２－３

証明： ∑ ci xi 0≧ 　のとき| ∑ ci xi | = ∑ ci xi 、　∑ ci xi 　 ≧ － ∑ ci xi

より | ∑ ci xi | = max { －∑ ci xi , ∑ ci xi }

∑ ci xi 0≦ 　のとき| ∑ ci xi | = －∑ ci xi 、　∑ ci xi 　 ≦ － ∑ ci xi

より | ∑ ci xi | = max { －∑ ci xi , ∑ ci xi }

よって両問題の目的関数値は等しい

問題：　　最大化： 　　 | ∑ ci xi | 　

だとどうなるでしょうか？

軽く練習問題２－４軽く練習問題２－４

問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい

　　最小化： 　　　 | ∑ xi | + | ∑ yi |　制約条件： ∑ ai yi 　 ≦　 b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　 b　　　　　　　　 　　最小化： 　　 ∑ ( ci xi 　 + ei yi ) 　 　　　制約条件： 　　 | ∑ xi | + | ∑ yi | ≦　 b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　 f　　　　　　　　　　∑ di xi 　 ≦　 f　　　　　　　　

軽く練習問題３軽く練習問題３

問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい

　　最小化： 　　 ∑ ci2 xi

2 　

　制約条件： ∑ ai2 xi

2 　 ≦　 b2

　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 0

軽く練習問題３－２軽く練習問題３－２

xi2 　 = 　 yi

　　とおくと

　　最小化： 　　 ∑ ci2 yi 　

　制約条件： ∑ ai2 yi 　 ≦　 b2

　　　　　　　　　　　　　 yi 　 ≧　 0

となる。

問題：　２つの問題が等価であることを証明せよ

軽く練習問題３－３軽く練習問題３－３

• 元の問題の解と、変換した問題の解が、 xi

2 　 = 　 yi という関係で、 1 対 1 対応する。

• 目的関数値も同じ

元の問題の最適解 変換した問題の最適解

問題： 　次の問題ではどうでしょうか

　　最小化： 　　 ∑ ci2 xi

2 　 + ∑ ci

2 yi2

　制約条件： ∑ ai2 xi

2 　　 ≦　 b2

　　　　　　　　　　　 　　 ∑ ai2 xi yi 　 = 　 b2

　　　　　　　　　　　　　 xi , yi 　 ≧　 0

　　最小化： 　　 ∑ sin xi 　

　制約条件： ∑ ai xi 　　 = 　 b　　　　　　　　　　　　　 xi , yi 　 ≧　 0

軽く練習問題４軽く練習問題４

問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい

　　最小化： 　　　　 Π xici

　制約条件： 　　 Π xiai ≦　 b

　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　 1

軽く練習問題４－１軽く練習問題４－１

• 全部、 log をとってみる

　　最小化： 　　　　 log Π xici

　制約条件： 　　 Π log xiai ≦　 log b

　　　　　　　　　　　　 log xi 　 ≧　 log 1

　　最小化： 　　　　 ∑ log ci log xi

　制約条件： ∑ log ci log xi ≦　 log b　　　　　　　　 　　　　 log xi 　 ≧　 0yi = log xi 　とおくと

　　最小化： 　　　　 ∑ log ci yi

　制約条件： ∑ log ci yi 　 ≦　 log b　　　　　　　　 　　　　 yi 　 ≧　 0