Μαθήματα Διανυσματικού Λογισμού

Ν. ΚαστάνηΝ. Καστάνη

για τη Γεωπονική Σχολή του Α.Π.Θ.

Ακαδημαϊκό έτος, 2010-2011

Η κατεύθυνση σπουδών :

των Εγγείων Βελτιώσεων, της Εδαφολογίας και της Γεωργικής Μηχανικήςτων Εγγείων Βελτιώσεων, της Εδαφολογίας και της Γεωργικής Μηχανικής,

της Γεωπονικής Σχολής, Α.Π.Θ., έχει ως έναν βασικό άξονα

μαθημάτων, αυτά που εξετάζουν τα ζητήματα της ΥδραυλικήςΥδραυλικής

και της ΤοπογραφίαςΤοπογραφίας.

Και η κατεύθυνση σπουδών: της Αγροτικής ΟικονομίαςΑγροτικής Οικονομίας,

της ίδιας Σχολής, έχει ως έναν βασικό άξονα της τα μαθήματα

για την Οικονομική Ανάλυση Οικονομική Ανάλυση και τη ΣτατιστικήΣτατιστική.

Για τα μαθήματα αυτά, χρειάζονται τα Ανώτερα Ανώτερα

ΜαθηματικάΜαθηματικά,

γενικά, και ο Διανυσματικός ΛογισμόςΔιανυσματικός Λογισμός, ειδικότερα. Με

άλλα λόγια, οι μαθηματικές αυτές γνώσεις αποτελούν

ένα από τα

επιστημονικά εργαλεία, που είναι αναγκαία για τις

θεωρητικές βάσεις και τους μεθοδολογικούς

χειρισμούς των σχετικών μαθημάτων, των

κατευθύνσεων αυτών, και η άγνοια τους μπορεί να

έχει ως συνέπεια την υποβάθμισή τους σε απλές

αφηγηματικές περιγραφές.

Τα Μαθηματικά έχουν ως ρίζα, δηλ. ως γενετικό υλικό,

τις ακριβείς μετρήσειςμετρήσεις και τους αδιαμφισβήτητους προσδιορισμούς προσδιορισμούς

θέσεων στο χώροθέσεων στο χώρο ή μορφολογικών χαρακτηριστικώνμορφολογικών χαρακτηριστικών. Γι’ αυτό το λόγο,

αποτελούν τη βάση των Θετικών Επιστημών, που σημαίνει ότι χωρίς

αυτά δεν μπορεί να υπάρχει συλλογή και επεξεργασία ποσοτικών

δεδομένων, ούτε πειραματισμός, ούτε επαληθεύσιμα συμπεράσματα.

Τρία, πολύ χαρακτηριστικά, παραδείγματα:

i) Η μέτρηση της ακτίνας της Γης

ii) Ο προσδιορισμός της θέσης και της πορείας ενός πλοίου

Alexis Clairaut (1713-1765)

Θεωρία για το Σχήμα της Γης, 1743

Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759)

Isaac Newton (1642 – 1727) René Descartes(1596–1650)

iii) Το Σχήμα της Γης

Ο κλάδος αυτός των Μαθηματικών αποβλέπει: 1)στην ποσοτική εξέταση ποσοτική εξέταση των διαδικασιών αλλαγήςδιαδικασιών αλλαγής, ιδιαίτερα των διαφόρων περιπτώσεων της κίνησηςκίνησης, 2) στην πραγμάτευση μορφολογικών χαρακτηριστικώνπραγμάτευση μορφολογικών χαρακτηριστικών των καμπύλων καμπύλων ή των επιφανειώνεπιφανειών, και 3) στη μέτρησημέτρηση των μεγεθών καμπυλόγραμμων σχημάτων καμπυλόγραμμων σχημάτων και στερεώνστερεών.

Έχει ως βάση τη μέθοδο των απειροστών, ή πιο σωστά, με τη σύγχρονη ορολογία, τη μέθοδο των ορίωνμέθοδο των ορίων.

Και οι κύριες έννοιες του είναι: 1)οι πραγματικοί αριθμοίπραγματικοί αριθμοί,2)οι συναρτήσειςσυναρτήσεις,3)τα όριαόρια,4)οι παράγωγοιπαράγωγοι και τα διαφορικάδιαφορικά, και5)τα ολοκληρώματαολοκληρώματα.

Κυκλοειδής καμπύλη

Christiaan Huygens (1629-1695)

Βλητική

Αρχιμήδης3ος αιώνας π.Χ.

Σε αρκετές επιστημονικές προσεγγίσεις εξετάζονται περιπτώσεις που εξαρτώνταιαπό προσανατολισμούςπροσανατολισμούς και κατευθύνσειςκατευθύνσεις, όπως π.χ. τα μαγνητικά φαινόμενα.

Οι προσανατολιστικές καταστάσεις μπορούν να περιγραφούν και να προσδιορισθούν με αναπαραστάσεις που σηματοδοτούνται ωςσύνθεση τριών χαρακτηριστικών: του μεγέθουςτου μεγέθους, της διεύθυνσης της διεύθυνσης και της φοράςτης φοράς.

Η κατανόηση και ο χειρισμός των ποσοτικών ή μορφολογικών αλλαγών, σε τέτοιου είδους περιβάλλοντα, μπορούν να αντιμετωπιστούν συνδυάζοντας τις έννοιες και τις μεθόδους του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού με τις αντίστοιχες προσανατολιστικές συνθήκες και επιδράσεις.

Αυτά τα χαρακτηριστικά διαμορφώνουν την έννοια του διανύσματοςδιανύσματος.

Κατά συνέπεια, ο Διανυσματικός Λογισμός Διανυσματικός Λογισμός αποτελεί τη θεωρητική και

μεθοδολογική αντιμετώπιση των προσανατολιστικών φαινομένων και

καταστάσεων, με τη συνύφανσησυνύφανση των διανυσμάτωνδιανυσμάτων στο εννοιολογικό και

διαδικαστικό μοντέλο του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού ΛογισμούΔιαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Πιο απλά, ο Διανυσματικός Λογισμός είναι η διαπλοκή των διανυσμάτων

με τις απειροστικές έννοιες και μεθόδους.

Κι επειδή οι σύγχρονες επιστημονικές αντιλήψεις δενδεν στηρίζονται σε απλές

συσσωρεύσεις μεμονωμένωνμεμονωμένων επιστημονικών εννοιών, αλλά με ολότητεςολότητες και

δομέςδομές, το επίκεντρο του Διανυσματικού Λογισμού είναι τα διανυσματικά πεδίαδιανυσματικά πεδία

κι όχι τα διανύσματα, εξατομικευμένα.

Αυτό σημαίνει ότι η έμφαση δίνεται στη συμπεριφοράσυμπεριφορά των διανυσμάτων

και στις διανυσματικές τεχνικέςτεχνικές.

Ένα παράδειγμαδιανυσματικού πεδίου

Μαθηματικές προσεγγίσειςδιανυσματικών πεδίων

Το περιεχόμενο του Διανυσματικού Λογισμού αποτελούν τρεις ενότητες:

1. Η Διανυσματική Άλγεβρα,

2. Η Διανυσματική Γεωμετρία, και

3. Η Διανυσματική Ανάλυση.

Η Διανυσματική Άλγεβρα επικεντρώνεται στη δομή των διανυσμάτων, δηλ.

στις πράξεις και τις σχέσεις τους.

Η Διανυσματική Γεωμετρία αποσκοπεί στην διανυσματική αναπαράσταση και

τους διανυσματικούς χειρισμούς των γεωμετρικών σχημάτων.

Και η Διανυσματική Ανάλυση έχει να κάνει με τις μεταβολές των

διανυσματικών καταστάσεων, με τη βοήθεια των παραγώγων και

των ολοκληρωμάτων.

Οι θεματικές ενότητες του Διανυσματικού ΛογισμούΟι θεματικές ενότητες του Διανυσματικού Λογισμού

Τα διανύσματα στη Μέση ΕκπαίδευσηΤα διανύσματα στη Μέση Εκπαίδευση

1. Στη Φυσική

2. Στα Μαθηματικά