Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καθηγητής : Συριόπουλος Κωνσταντίνος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΧΡΟΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 1.1 ΣΥΝΟΛΑ – ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ Ορισμός Συνόλου – Υποσύνολου Σύνολο είναι μια συλλογή από ορισμένα και εντελώς διακεκριμένα μεταξύ τους στοιχεία. Αν a είναι ένα από αυτά τα στοιχεία τότε λέμε ότι για το σύνολο S το a S ∈ . Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία και λέγεται Κενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅ . Ισχύει πάντα ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Κάθε σύνολο λέμε ότι είναι καλά ορισμένο και εννοούμε ότι αν x είναι ένα στοιχείο , τότε λέμε ότι το x ανήκει ή δεν ανήκει στο σύνολο δηλαδή συμβολίζουμε ως εξής : ή S x S x ∉ ∈ . Υπάρχουν δυο βασικοί τρόποι γραφής ενός συνόλου ο τρόπος της απαρίθμησης , όταν λέμε για παράδειγμα πως ένα σύνολο S έχει στοιχεία τους αριθμούς 2 , 3 , 4 και γράφουμε { } 2, 3, 4 S = , και ο τρόπος της περιγραφής όπου δε μπορούμε να γράψουμε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και το περιγράφουμε , για παράδειγμα το σύνολο των Ακεραίων αριθμών άρα { } / S x x Z = ∈ . Έστω ένα σύνολο X και ένα σύνολο Y τότε θα λέμε ότι το X είναι Υποσύνολο του Y όταν όλα τα στοιχεία του X είναι και στοιχεία του Y δηλαδή Y X ⊂ . Αν ακόμα συμβαίνει όλα τα στοιχεία του X να είναι και στοιχεία του Y αλλά όλα τα στοιχεία του Y δεν είναι στο X (δηλαδή τα υπόλοιπα είναι εκτός του X ) τότε λέμε ότι το X είναι Γνήσιο Υποσύνολο του Y δηλαδή Y X ⊆ . Ιδιότητες Συνόλων και Υποσυνόλων 1. Δυο σύνολα είναι ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία ανεξάρτητα της διάταξη τους. Τότε θα λέμε ότι X Y = . 2. Ισχύει ότι αν X Y ⊆ και επίσης Y X ⊆ τότε ισχύει ότι X Y = δηλαδή X Y X Y Y X ⊆ ↔ = ⊆ . 3. Λέμε ότι η Τομή δυο συνόλων είναι ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία , τα στοιχεία εκείνα που ανήκουν και στα δυο σύνολα δηλαδή : } { Y x kai X x x Y X W ∈ ∈ = ∩ = , , :
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 1
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Καθηγητής : Συριόπουλος Κωνσταντίνος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΣΥΧΡΟΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ
1.1 ΣΥΝΟΛΑ – ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ
Ορισµός Συνόλου – Υποσύνολου
Σύνολο είναι µια συλλογή από ορισµένα και εντελώς διακεκριµένα µεταξύ τους στοιχεία.
Αν a είναι ένα από αυτά τα στοιχεία τότε λέµε ότι για το σύνολο S το a S∈ .
Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία και λέγεται Κενό σύνολο και
συµβολίζεται µε ∅ . Ισχύει πάντα ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.
Κάθε σύνολο λέµε ότι είναι καλά ορισµένο και εννοούµε ότι αν x είναι ένα στοιχείο ,
τότε λέµε ότι το x ανήκει ή δεν ανήκει στο σύνολο δηλαδή συµβολίζουµε ως εξής :
ή Sx
Sx
∉
∈ .
Υπάρχουν δυο βασικοί τρόποι γραφής ενός συνόλου ο τρόπος της απαρίθµησης , όταν
λέµε για παράδειγµα πως ένα σύνολο S έχει στοιχεία τους αριθµούς 2 , 3 , 4 και
γράφουµε 2,3,4S = , και ο τρόπος της περιγραφής όπου δε µπορούµε να γράψουµε
όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και το περιγράφουµε , για παράδειγµα το σύνολο των
Ακεραίων αριθµών άρα /S x x Z= ∈ .
Έστω ένα σύνολο X και ένα σύνολο Y τότε θα λέµε ότι το X είναι Υποσύνολο του Y
όταν όλα τα στοιχεία του X είναι και στοιχεία του Y δηλαδή YX ⊂ .
Αν ακόµα συµβαίνει όλα τα στοιχεία του X να είναι και στοιχεία του Y αλλά όλα τα
στοιχεία του Y δεν είναι στο X (δηλαδή τα υπόλοιπα είναι εκτός του X ) τότε λέµε ότι
το X είναι Γνήσιο Υποσύνολο του Y δηλαδή YX ⊆ .
Ιδιότητες Συνόλων και Υποσυνόλων
1. ∆υο σύνολα είναι ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία ανεξάρτητα της
διάταξη τους. Τότε θα λέµε ότι X Y= .
2. Ισχύει ότι αν X Y⊆ και επίσης Y X⊆ τότε ισχύει ότι X Y= δηλαδή
X YX Y
Y X
⊆↔ =
⊆.
3. Λέµε ότι η Τοµή δυο συνόλων είναι ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία , τα
στοιχεία εκείνα που ανήκουν και στα δυο σύνολα δηλαδή :
YxkaiXxxYXW ∈∈=∩= ,,:
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 2
4. Ένωση δυο συνόλων ονοµάζουµε το σύνολο εκείνο που περιέχει ως στοιχεία το
άθροισµα των στοιχείων και των δύο συνόλων δηλαδή είναι :
: , _ ,C A B x x X or else x Y= ∪ = ∈ ∈ .
5. Το συµπληρωµατικό σύνολο CX είναι το σύνολο το οποίο περιέχει στοιχεία που
δεν ανήκουν στο δοθέν σύνολο X δηλαδή :C CX x X x X= ∈ ∉ .
6. Ξένα σύνολα µεταξύ τους λέµε τα σύνολα ,X Y τα οποία η τοµή τους είναι το
κενό σύνολο (δεν περιέχουν κανένα κοινό στοιχείο).
7. ∆ύναµη Συνόλου (power set) Χ λέµε όλα τα υποσύνολα του X και σηµειώνεται
µε ( ) XAAXP ⊆= : .
8. ∆ιαµέριση ενός συνόλου λέγεται µια ανάλυση του συνόλου σε υποσύνολα τέτοια
ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου να ανήκει µόνο σε ένα από αυτά τα υποσύνολα
που λέγονται υποσύνολα διαµέρισης . Άρα ∆ιαµέριση είναι µια ανάλυση σε ξένα
µεταξύ τους υποσύνολα . Γενικά θεωρούµε ένα βασικό σύνολο το U (Universal)
και µια συλλογή από ξένα υποσύνολα στο U η ένωση δηλαδή των οποίων είναι
το U . O διαµερισµός συµβολίζεται ως εξής :
Αν έχουµε n υποσύνολα iX µε 1, 2,....i n= έτσι ώστε :
. 1, 2,3, , , , , , i ji j n X X O∀ = ∩ = και , 1, 2,3, , , , , , ,iX U i n= ∀ =∪
τότε τα n υποσύνολα αποτελούν διαµερισµό του U . Σχηµατικά είναι :
Παραδείγµατα συνόλων στην οικονοµία
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 3
• Το σύνολο των Α.Ε. σε µια οικονοµία .
• Το σύνολο όλων των επιχειρήσεων που παράγουν ένα συγκεκριµένο προϊόν
(industry).
• Το σύνολο των αγοραστών και πωλητών ενός προϊόντος (market).
• Το σύνολο των ποσοτήτων των αγαθών και υπηρεσιών που ένας
καταναλωτής µπορεί να καταναλώσει βάση του εισοδηµατικού του
περιορισµού.
• Το σύνολο των παραγόµενων ποσοτήτων που µια επιχείρηση είναι
τεχνολογικά ικανή να παράγει και το σύνολο των εισροών που χρειάζεται για
τη παραγωγή αυτή (production set).
Παράδειγµα 1
Θεωρούµε τα σύνολα
Z+ = x : x ακέραιος θετικός αριθµός
10,8,6,4,22
:
11.....3,2,111:
=
∈∈=
=≤∈=
+
+
Zx
AxB
xZxA
Τότε έχουµε ότι
1. Είναι
++ ⊆→⊆
⊆
ZBZA
kai
AB
2. Είναι AZ ⊆+ ? όχι γιατί υπάρχει αριθµός π.χ. ο 12x = που δεν ανήκει στο A
αλλά ανήκει στο Ζ+ .
3. +⊂ ZA και αφού +⊂→⊆ ZBAB .
4. Είναι AB ⊂ ? Ναι γιατί τα στοιχεία του B ανήκουν στο A .
Παράδειγµα 2
Θεωρούµε τα δυο σύνολα ,X Y όπως τα ορίζουµε να βρεθούν η ένωση και η τοµή .
Λύση
: 2 0 , 2 , 3, 4 , 6 , 8, ....2 02
: 1 0 2 4 , 1 0 ,1 2 ,1 4 , ... .2 42
xX x Z x Z
xY x Z x Z
+ +
+ +
= ∈ ≤ ∈ =
= ∈ ≤ ≤ ∈ =
Η ένωση και η τοµή είναι
2
.2010:20,...12,10
2
,24:24,.........6,4,2
++
++
∈≤≤∈==∩
∈≤∈==∪
Zx
xZxYX
Zx
xZxYX
Παράδειγµα 3
Να βρεθεί η δύναµη συνόλου 1,2,3X =
Λύση
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 4
Το X έχει 3 στοιχεία άρα η δύναµη του θα είναι 823 = και θα είναι :
Μια συνάρτηση θα λέγεται συνεχής ένα το γράφηµα της δε παριστάνει διαλείµµατα ή
ασυνεχή χωρίσµατα.
Το αριστερό όριο µιας συνάρτησης ( )f x το οποίο ορίζεται αριστερά του x a= στο
σηµείο a υπάρχει και ισούται µε lim ( ) l
x af x L
−→= αν για κάθε 0ε οποιοδήποτε µικρό
υπάρχει 0δ τέτοιο ώστε || ( ) | ,lf x L xε− ∀≺ να ικανοποιεί a x aδ− ≺ ≺ και οµοίως
lim ( ) r
x af x L
+→= να ικανοποιεί | ( ) | ,rf x L xε− ∀≺
Η συνάρτηση ( )f x θα λέµε ότι είναι συνεχής στο x a= αν lim ( )x a
f x−→
= lim ( )x a
f x+→
και
θα έχουµε : lim ( ) ( )x a
f x f a→
=
Η συνάρτηση ( )f x η οποία ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα που περιλαµβάνει το
σηµείο x a= είναι συνεχής αν υπάρχει κάποιο 0δ :
| ( ) ( ) | ,| | , 0f x f a x aε δ ε− − ∀ >≺ ≺
Ο ορισµός αυτός δείχνει την οµοιότητα µε τον ορισµό του ορίου µιας ακολουθίας
δηλαδή µια συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο που εξετάζουµε αν η συνάρτηση είναι
πολύ κοντά στη τιµή της F για το σηµείο .
Θεώρηµα
Αν έχουµε δυο συναρτήσεις ( )f x και ( )g x και είναι συνεχής και ένας c µη αρνητικός
τότε οι παρακάτω συναρτήσεις είναι και αυτές συνεχείς :
1
( )
( ) ( )
( )
( ) / ( )
( ) ( )
( )
cf x
f x g x
f x c
f x g x
f x g x
f x−
+
ΣΥΝΕΧΕΙΣ +
Παραδείγµατα στην οικονοµία :
1. διαιρετότητα εισροών και συνάρτηση παραγωγής
2. µισθοί και Bonus
3. πρόγραµµα κοινωνικής παροχής
4. συνάρτηση οριακού προϊόντος
5. συνάρτηση εισοδήµατος κόστους κερδοφορίας σε πλήρως ανταγωνιστική
οικονοµία
6. το υπόδειγµα ανταγωνισµού των τιµών
7. το υπόδειγµα τοποθεσίας εταιριών
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 38
Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής
Το θεώρηµα είναι βασικό στη µελέτη ισορροπίας στα οικονοµικά αλλά και στο
χαρακτηρισµό των συνθηκών κάτω από τις οποίες υπάρχει γενική ισορροπία ή ισορροπία
πολλών αγορών.
Αν ( )y f x= συνεχής στο [ ], ,a b b a> τότε µπορεί η συνάρτηση να πάρει οποιαδήποτε
τιµή µεταξύ των ( )f a και ( )f b .
Και επίσης :
Έστω ( )f x συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ ],a b και ( ) ( )f a f b≠ τότε για
οποιοδήποτε αριθµό y µεταξύ των ( ), ( )f a f b υπάρχει µια τιµή x τέτοια ώστε:
( ), ( , )y f x x a b= ∈
Σχηµατικά :
Ύπαρξη ισορροπίας
Θεωρούµε το απλό υπόδειγµα µερικής ισορροπίας µε p οι τιµές , Y η ποσότητα µε
( )Y D p= τη ζήτηση και ( )Y S p= τη προσφορά .
Η τιµή 0ep p= ≥ υπάρχει όταν για το σηµείο αυτό οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες δηλαδή
( ) ( )e eD p S p= άρα το σηµείο ισορροπίας είναι το ( , )e ey p .
Όταν έχουµε 0ep = τότε έχουµε ∆ωρεά .
Η συνάρτηση Υπερβάλλουσας Ζήτησης είναι η διαφορά τους , δηλαδή η
( ) ( ) ( )Z p D p S p= − και ανάλογα το πρόσηµο της είναι και ποιο από τη ζήτηση ή τη
προσφορά είναι µεγαλύτερο.
Σε ισορροπία θα είναι ( ) 0 ( ) ( )e e eZ p D p S p= ⇔ =
Άρα η 0ep > είναι τιµή ισορροπίας .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 39
Για να ορίσουµε ένα σύνολο ικανών συνθηκών ύπαρξης της ισορροπίας παίρνουµε το
θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής .
Έστω ένα αγαθό η παραγωγή του οποίου έχει κόστος και συνεπώς στη τιµή µηδέν η
προσφορά είναι (0) 0S = ενώ από υπόθεση έχουµε ότι (0) 0D > και για 0p =
παίρνουµε αµέσως τη συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης που είναι :
(0) (0) (0) 0Z D S= − > . Βέβαια για µια τιµή αρκετά ψηλή οι εταιρίες έχουν συµφέρον να
παράγουν το αγαθό αλλά οι καταναλωτές θα βρίσκουν τη τιµή ψηλά και έτσι θα υπάρχει
πλεόνασµα προσφοράς άρα αν αυτή η τιµή είναι η p έχω τότε ότι :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0D p S p Z p D p S p< ⇔ = − <
Αν οι συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης είναι συνεχής στο διάστηµα τιµών ˆ[ , ]o p
τότε σύµφωνα µε το ΘΕΤ κάθε τιµή είναι µεταξύ του διαστήµατος δηλαδή: ˆ ˆ[0, ] ( ) [ (0), ( )]p p Z p Z Z p∀ ∈ ⇔ ∈
Άρα υπάρχει µια τιµή c που είναι η τιµή ισορροπίας όταν είναι : (0) 0
ˆ( ) 0
Z
Z p
>
< άρα το c
είναι η τιµή ισορροπίας και µάλιστα ec p=
Οι ικανές συνθήκες για την ύπαρξη ισορροπίας θετικής της συνάρτηση υπερβάλλουσας
ζήτησης είναι :
- για τιµή 0p = , (0) (0)D S> άρα (0) 0Z >
- υπάρχει κάποια τιµή ˆ ˆ ˆ ˆ0 : ( ) ( ) ( ) 0p S p D p Z p> ⇔ <
Παράγωγος και ∆ιαφορικό συνάρτησης
- Εφαπτόµενη µιας καµπύλης είναι η ευθεία γραµµή η οποία έχει ένα µόνο κοινό
σηµείο µε τη καµπύλη .
- Παράγωγος σηµείου είναι η τιµή της κλίσης της συνάρτησης για τα σηµεία της
κατά µήκος της γραµµής της όπως ορίζεται από το ΠΟ .
- Τέµνουσα είναι η γραµµή που ενώνει δυο σηµεία της συνάρτησης µε ευθύγραµµο
τµήµα (µερικές φορές λέγεται και χορδή αλλά δεν είναι ο σωστός όρος γιατί η
χορδή αναφέρεται κυρίως σε κλειστές καµπύλες) .
- Κλίση τέµνουσας ορίζεται από τον λόγο 2 1
2 1
( ) ( )f x f xm
x x
−∆Υ= =∆Χ −
(το όριο αυτού
είναι η παράγωγος).
- Έστω ένα σηµείο 1 1( , ( ))K x f x και µια συνάρτηση ( )y f x= σε ένα διάστηµα που
περιλαµβάνει το Κ τότε αν υπάρχει το όριο 0
limx
m l∆ →
= τότε η γραµµή που περνάει
από το Κ µε κλίση λ είναι η εξίσωση της εφαπτόµενης.
- ∆ιαφορικό µιας συνάρτησης είναι µια εκτίµηση του y
x
∆∆
και συµβολίζεται µε
dyd
dx= . Υπάρχουν διάφορα είδη διαφορικών όπως το ακριβές διαφορικό ή τα
µερικά διαφορικά (από τις µερικές παραγώγους) .
- ∆ιαφορίσιµη συνάρτηση είναι µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα ανοικτό
και για ένα σηµείο της x a= που το περιλαµβάνει έχουµε ότι το όριο υπάρχει και
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 40
είναι πεπερασµένο (όχι άπειρο) : 0
( ) ( )limx
f a x f a
x∆ →
+ ∆ −∆
τότε λέµε ότι αυτή είναι
και η τιµή της παραγώγου στο σηµείο a . Επίσης είναι βασικό να ξέρουµε ότι
όταν µια συνάρτηση είναι διαφορίσιµη είναι οπωσδήποτε συνεχής στο σηµείο
εκείνο.
4.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ –ΟΡΙΑΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ
Η συνάρτηση συνολικού κόστους µιας επιχείρησης ( )C C y= δείχνει το κόστος της
παραγωγής του προϊόντος Υ.
Έτσι ο λόγος ( ) ( )C C y y C y
y y
∆ + ∆ −=
∆ ∆ αντιπροσωπεύει το µέσο ρυθµό µεταβολής στο
κόστος για κάθε προστιθέµενη µονάδα παραγόµενου προϊόντος και αν υπολογίσουµε το
όριο του λόγου αυτού για ∆Y→ 0 τότε παίρνουµε τον άµεσο ρυθµό µεταβολής δηλαδή
το οριακό κόστος παραγωγής δηλαδή τη πρώτη παράγωγο του συνολικού κόστους .
Κανόνες παραγώγισης
1
) ( ) ( ) 0 ___( )
) ( ) ( ) _____( )
) ( ) ( ) _____( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ___( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ___( )
) ( ) ( ) ( )
n n
A f x c f x
B f x mx b f x m
C f x x f x nx
D f x g x h x f x g x h x
E f x cg x f x cg x
F h x f x g x
σταθερηγραµµικη
εκθετικηαθροιστικη
σταθερο
−
′= ⇔ =
′= + ⇔ =
′= ⇔ =
′ ′ ′= ± ⇔ = +
′ ′= ⇔ = Χ
=
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ___( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) _____( )
( ) ( )
) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ______( )
1) ( ) ln ( ) _____( )
h x f x g x f x g x
f x f x g x f x g xG h x h x
g x g x
h x f g x h x f g u
f x x f xx
παραγωγικη
κλασµατος
συνθεσης
λογαριθµικη
′ ′ ′⇔ = +
′ ′−′= ⇔ =
′ ′ ′Η = ⇔ =
′Ι = ⇔ =
Αλυσιδωτή Παραγώγιση
Αν ( )y f u= και ( )u g x= έτσι ώστε ( ( )) ( )y f g x h x= = τότε ( ) ( ) ( )h x f u g u′ ′ ′=
Αυτό µπορεί να γράφει και ως εξής :
dy dy du
dx du dx=
Επίσης είναι και σαν ιδιότητα παραγώγισης ο κανόνας D ‘ HOPITAL για τα όρια
συναρτήσεων .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 41
Η Συνάρτηση Παραγωγής
Έστω η συνάρτηση ay L= µε 0a > , L η εργασία και Υ το παραγόµενο προϊόν. Η
συνάρτηση αυτή εκφράζει τη συνολική παραγωγικότητα της εργασίας TR(L). Το Οριακό
προϊόν της εργασίας είναι το MP(L) και είναι ίσο µε :
1( ) adyMP L aL
dL
−= =
Συνάρτηση Οριακού Εισοδήµατος για Ανταγωνιστική Επιχείρηση και για Μονοπώλιο
θεωρούµε τη συνάρτηση του Συνολικού εισοδήµατος που είναι ( )TR q pq= όπου q το
προϊόν και p η τιµή . Μια ανταγωνιστική επιχείρηση θεωρεί τη τιµή σταθερή και ίση µε
τη τιµή της αγοράς p άρα για την επιχείρηση αυτή είναι ( )TR q pq= .
To Οριακό Εισόδηµα θα είναι:
( )( )
dTR qMR q p
dq= =
Μια µονοπωλιακή επιχείρηση που είναι η µοναδική στο κλάδο και θέτει τη τιµή σα
συνάρτηση της ζήτησης ( )q D p= και γράφοντας την στην αντίστροφη µορφή της είναι 1( ) ( )p D q p q−= = άρα το συνολικό εισόδηµα είναι ( ) ( )TR q pq pq q= = δηλαδή το
γινόµενο δυο συναρτήσεων άρα το οριακό εισόδηµα είναι:
( )
( ) ( )dTR q
MR q p q q pdq
′= = +i
Αν θεωρήσουµε την τυπική περίπτωση όπου η τιµή και η ποσότητα σχετίζονται αρνητικά
τότε ( )MR q p< άρα σαν συµπέρασµα έχω ότι : Το Οριακό Εισόδηµα από αύξηση των
πωλήσεων είναι µικρότερο από τη τιµή πώλησης για οποιοδήποτε ποσότητα 0q > .
Ας θεωρήσουµε το παρακάτω παράδειγµα :
Έστω µια επιχείρηση πουλάει τη παραγωγή της q σε τιµή ˆ ˆ( )p p q= . Για να πουλήσει
µια επιπλέον µονάδα παραγόµενου προϊόντος q∆ πρέπει να µειώσει τη τιµή όλων των
µονάδων πωλούµενων προϊόντων κατά p∆ .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 42
Η µεταβολή στο εισόδηµα είναι ∆R = περιοχή Α – περιοχή Β άρα είναι :
ˆ ˆ( )R p p q p q∆ = − ∆ ∆ − ∆ i
Το R∆ µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ανάλογα µε το µέγεθος των περιοχών Α και Β.
Όσο µικρότερη είναι η τιµή p τόσο µεγαλύτερη είναι η πωλούµενη ποσότητα q και
συνεπώς τόσο µεγαλύτερη είναι η περιοχή Β. Αυτό εξηγεί και το φαινόµενο της
αυξανόµενης απόκλισης του οριακού εισοδήµατος από τη τιµή όσο αυξάνει η πωλούµενη
ποσότητα .
Έχουµε επίσης ότι :
ˆ ˆ
ˆ ˆ
R pp q p
q q
dpMR p q
dq
∆ ∆= − −∆ ⇔
∆ ∆
= +
i
Νέα τιµή
πώλησης
Απώλεια
εισοδήµατος λόγω
µείωσης τιµής κατά
∆p
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 43
Σχέση µεταξύ Οριακής και Μέσης Τιµής Συνάρτησης
Έστω µια συνάρτηση f που µπορεί να είναι µια συνάρτηση κόστους , συνολικής
παραγωγής κ.τ.λ.
Η Μέση τιµή της συνάρτησης είναι ( )
( )f x
A xx
= παραγωγίζοντας έχω ότι
( ) ( )( )
f x A xA x
x
′ −′ = όπου ( )f x′ είναι η οριακή τιµή της συνάρτησης.
Λέµε ότι :
- Συνάρτηση παραγωγής ή συνολική συνάρτηση παραγωγής είναι η µαθηµατική
έκφραση της σχέσης µεταξύ εισροών (ανεξάρτητες µεταβλητές) και παραγόµενου
προϊόντος (εξαρτηµένη µεταβλητή).
- Οριακό προϊόν είναι η επιπλέον εκροή που µπορεί να παραχθεί από τη
- Ο Νόµος της Φθίνουσας Απόδοσης θέτει ότι όταν προστίθονται επιπλέον µονάδες
µιας µεταβλητής εισροής στις πάγιες εισροές τότε το οριακό προϊόν της
µεταβλητής εισροής βαίνει µειούµενο .
- Ο Νόµος της Φθίνουσας Οριακής Παραγωγικότητας ισχύει πάντα βραχυχρόνια
(ορίζει τη χρονική εκείνη περίοδο στην οποία ισχύουν οι συνθήκες: Ι) σταθεροί
συντελεστές παραγωγής και ΙΙ) δεν εισέρχονται ούτε νέες ούτε εξέρχονται ήδη
υπάρχουσες επιχειρήσεις στον κλάδο) και βραχυχρόνια κάθε επιχείρηση είναι
αντιµέτωπη µε φθίνουσες αποδόσεις .
Οριακό Έσοδο Παραγωγής Εργασίας
Έστω η συνάρτηση παραγωγής µε q το παραγόµενο προϊόν και L η µοναδική εισροή
εργασίας ( )q q L= . Το Οριακό Προϊόν Εργασίας είναι το ( )dq
MR LdL
= και µετράει την
επιπλέον παραγωγή προϊόντος εξ αιτίας της αύξησης κατά µια µονάδα της εργασίας .
Η Οριακή Τιµή Προϊόντος Εργασίας MVP(L) που είναι η αγοραία αξία του παραγόµενου
προϊόντος από την αύξηση κατά µια µονάδας είναι (µε p τη τιµή) : ( ) ( )MVP L p MP L= i
Το επιπλέον εισόδηµα που κερδίζει η επιχείρηση από τη χρησιµοποίηση µιας επιπλέον
µονάδας εργασίας ονοµάζεται Οριακό Έσοδο Παραγωγής Εργασίας MRP(L) και αν
R(q) είναι η συνάρτηση εσόδων της επιχείρησης τότε :
( ) ( ) ( )dR dR dq
M RP L M R q M P LdL dq dL
= = =i i
Είδαµε και πριν ότι η συνάρτηση οριακού εισοδήµατος για µια ανταγωνιστική
επιχείρηση ισούται απλά µε τη αγοραία τιµή δηλαδή ( )MR q p= συνεπώς για µια
ανταγωνιστική επιχείρηση θα είναι ( ) ( )MVP L MRP L= .
Στην περίπτωση του µονοπωλίου η τιµή εξαρτάται από το επίπεδο παραγωγής και
συνεπώς εξαρτάται από το επίπεδο της χρησιµοποιούµενης εισροής .
Αν γράψουµε την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης ( )q D p= και τη κάνουµε 1( ) ( ) ( ( ))p D q p q p q L−= = = και υποθέσουµε ότι είναι αρνητική στη πρώτη παράγωγο
τότε η συνάρτηση εισοδήµατος µονοπωλίου είναι :
( ( )) ( ( )) ( )R q L p q L q L= i
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 44
Τότε θα είναι ( ) 0dp dp dq
p LdL dq dL
′ = = ≺
Το οριακό εισόδηµα παραγωγής εργασίας είναι : ( ) ( ) ( )dR
MRP L p L q MP L pdL
′= = +i i
Άρα τα οριακό εισόδηµα παραγωγής εργασίας στο µονοπώλιο βρίσκεται κάτω από τη
καµπύλη της οριακής αξίας του προϊόντος εργασίας. Με απλά λόγια η αξία περισσότερης
εργασίας είναι µικρότερη από την αγοραία αξία της στο µονοπώλιο .
Σχέση µεταξύ Συνάρτησης Κόστους και Συνάρτησης Παραγωγής για µια Εισροή
Θεωρούµε τη συνάρτηση παραγωγής ( )q q L= και η συνάρτηση οριακού προϊόντος
( )dq
MP LdL
= . Επειδή το οριακό εισόδηµα αυξάνει όσο η εργασία σηµαίνει ότι για κάθε
µια επιπλέον χρησιµοποιούµενη µονάδα εισροής η αύξηση του παραγόµενου προϊόντος
είναι µικρότερη. Ανάποδα όσο µεγαλύτερο είναι το αρχικό επίπεδο παραγωγής τόσο
µεγαλύτερη αύξηση εισροής χρειαζόµαστε για τη παραγωγή µια επιπλέον µονάδας
εργασίας. Αυτό σηµαίνει ότι το οριακό κόστος παραγωγής αυξάνει όταν η οριακή
παραγωγικότητα εργασίας πέφτει και αντίστροφα .
Έστω 0C το σταθερό κόστος παραγωγής και W το κόστος ανά µονάδα εργασίας
(ηµεροµίσθιο) τότε ας υποθέσουµε ότι 0( )C L WL C= + είναι το κόστος από τη
χρησιµοποίηση L µονάδων εργασίας. Χρησιµοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση
µπορούµε να γράψουµε το κόστος σαν συνάρτηση του παραγόµενου προϊόντος δηλαδή
0( ) ( )C q W L q C= +i και το οριακό κόστος είναι dC dL
Wdq dq
= .
4.3 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ
Θεωρούµε τη γραµµική συνάρτηση y a bp= − όπου a είναι η ζητούµενη ποσότητα όταν
η τιµή είναι 0p = και dy
bdp
= − το µέγεθος της πτώσης ζήτησης σε µια αύξηση τιµής
δηλαδή η κλίση b εξαρτάται από µονάδες µέτρησης των Υ και p.
Το πρόβληµα είναι οι µονάδες µέτρησης δηλαδή αλλιώς µετράµε το b σε κιλά και
αλλιώς σε τόνους γιατί τότε η κλίση (µεταβολή) είναι διαφορετική .
Αυτό το αποφεύγουµε εισάγοντας ένα µέγεθος σε όρους ποσοστιαίας µεταβολής σε κάθε
µεταβλητή Υ και p.
Έστω 1 1 2 2( , ), ( , )y p y p δυο σηµεία της συνάρτησης ζήτησης τότε η µέση ποσοστιαία
µεταβολή των τιµών µεταξύ των δυο αυτών σηµείων είναι : 2 1
1 2
% 100/ 2
p pp
p p
−∆ = •
+ και
αυτής της ποσότητας ζήτησης είναι : 2 1
1 2
% 100/ 2
y yy
y y
−∆ =
+i ανεξάρτητα από τις µονάδες
µέτρησης των υ και p .
Η Ελαστικότητα (µέση) ζήτησης είναι :
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 45
2 1
1 2 1 2
2 1 1 2
1 2
/ 2 ( )%
% ( )
/ 2
y y
y y y y yy
p pp p p p
p p
− + ∆ +∆− = − = − −∆ ∆ +
+
δηλαδή η ποσοστιαία µεταβολή της ζήτησης Υ λόγω µιας µεταβολής των τιµών p
Η ελαστικότητα σηµείου είναι :
1 2 1
1 2 1
( )lim ( )
( )p
y y y pdy
p p p dp y∆ →∞
∆ +− = −∆ +
Συνάρτηση Ζήτησης Σταθερής Ελαστικότητας
Θεωρούµε τη συνάρτηση by a p −= και για 1β = έχω τη µοναδιαία ελαστικότητα
ζήτησης .
Στη περίπτωση αυτή το συνολικό εισόδηµα από πωλήσεις είναι το ίδιο για κάθε τιµή.
Άρα σε κάθε µείωση η αύξηση της τιµής αντιστοιχεί η ίδια αύξηση ή µείωση των
πωλήσεων έτσι ώστε το συνολικό εισόδηµα να παραµένει το ίδιο . Άρα η ελαστικότητα
ζήτησης ισούται µε τη µονάδα .
Κοίλες και Κυρτές Συναρτήσεις
Η παράγωγος µιας συνάρτησης είναι επίσης συνάρτηση άρα µπορούµε να βρούµε και τις
επόµενες παραγώγους µε τον ίδιο τρόπο.
Λέµε ότι µια συνάρτηση είναι Αύξουσα αν είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα και
παραγωγίσιµη µε τη πρώτη παράγωγο της θετική ή µηδέν για κάθε της σηµείο στο
διάστηµα και λέµε ότι είναι Φθίνουσα όταν είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο κλειστό
διάστηµα και για κάθε σηµείο της η πρώτη παράγωγος είναι αρνητική η µηδέν. Όταν
είναι αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα αλλά η παράγωγος δεν παίρνει την τιµή µηδέν τότε
λέµε ότι είναι Γνησίως Αύξουσα ή Φθίνουσα .
Μια συνάρτηση f µπορεί να είναι αύξουσα ή φθίνουσα µε διαφορετικό ρυθµό
µεταβολής. ∆ηλαδή αν έχω µια συνάρτηση τότε µπορεί να είναι αύξουσα (φθίνουσα)
αλλά η κλίση της να µειώνεται ή να αυξάνεται οπότε συµβαίνει να έχω την συνάρτηση
αύξουσα και την πρώτη παράγωγο αύξουσα ή φθίνουσα .
Άρα το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου δεν είναι ικανό να µας δώσει εικόνα για το
πλήρες γράφηµα της συνάρτησης .
- Θα λέµε ότι µια συνάρτηση που είναι ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ ],a b
παραγωγισιµη και συνεχής θα είναι Κυρτή αν για κάθε x στο διάστηµα αυτό αν
η δεύτερη παράγωγος είναι θετική ή µηδέν.
- Θα λέµε ότι µια συνάρτηση που είναι ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ ],a b
παραγωγισιµη και συνεχής θα λέγεται Κοίλη αν για κάθε x στο διάστηµα αυτό η
δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική ή µηδέν (οµοίως και τα γνησίως) .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 46
Τροποποιηµένη ∆ιάρκεια και Κυρτότητα Οµολογίας
Η απόδοση στη λήξη µιας οµολογίας είναι η τυποποιηµένη εσωτερική απόδοση η οποία
εξισώνει την αξία των µελλοντικών εισροών µε τη τρέχουσα τιµή της οµολογίας. Η
τρέχουσα άξια του τοκοµεριδίου που πληρώνει η οµολογία είναι :
1 ...(1 ) (1 )
nCB n
CFCFP
y y= + +
+ + µε το Y IRR= δηλαδή η περιοδική απόδοση στη λήξη .
Η κλίση της εφαπτόµενης είναι η πρώτη παράγωγος της τιµής ως προς την απόδοση Υ
και αν διαιρέσουµε τη πρώτη παράγωγο µε τη τιµή 1dp
dy pi παίρνουµε ένα µέγεθος της
ποσοστιαίας µεταβολής της τιµής της οµολογίας για µια µεταβολή της απόδοσης 1% και
είναι γνωστό σαν Τροποποιηµένη ∆ιάρκεια .
Ο υπολογισµός γίνεται ως εξής :
( 1)
1
1
(1 )
(1 )
( )( ) (1 )
(1 )
Z T T
T
T
T TT T
P CFy
P CF y
T CFdPT CF y
dy y
− ++
= ⇔+
= + ⇔
−= − + =
+
i
i
άρα αναπτύσσοντας (είναι σειρά) και βγάζοντας κοινό παράγοντα το 1
1 y+ και
πολλαπλασιάζοντας µε 1/ p έχω τελικά ότι είναι :
1
( )1 1 1
1 (1 )
ni
ii
i C Fd p
d y p y y p=
−= + +
∑i (MODIFIED DURATION)
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 47
Η τροποποιηµένη διάρκεια είναι µια ένδειξη του κίνδυνου επιτοκίων της οµολογίας. H
MD είναι µια εκτίµηση της τιµής της οµολογίας εξαιτίας µιας µεταβολής των επιτοκίων
ωστόσο µόνο για πολύ µικρές µεταβολές. Για µεγάλες µεταβολές δεν επαρκεί διότι
αποτελεί γραµµική προσέγγιση µιας κυρτής συνάρτησης. Παίρνουµε λοιπόν τη δεύτερη
παράγωγο που είναι η κυρτότητα της MD και είναι :
Convexity of a bond: 2
2
1d p
dy p
Το κάνουµε αυτό αναλυτικά για κάθε µια και η σειρά (τύπος) γίνεται για τη δεύτερη
παράγωγο : 2
31 2
2 3 4 5 2
12 ( 1)2 6....
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
n
n
CF n n CFCF CFd P
dy y y y y+
+= + + + +
+ + + +
4.4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR
Eχουµε πει ότι το διαφορικό µιας συνάρτησης είναι ο τύπος
( ) ( )dy
f x dy f x dxdx
′ ′= ⇔ = και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη προσέγγιση της
µεταβολής της µεταβλητής Υ δεδοµένου της µεταβολής της µεταβλητής Χ. Το σφάλµα
αυτής της προσέγγισης είναι µικρό µόνο αν θεωρήσουµε µικρές µεταβολές στην Χ που
αυτό όµως δεν είναι πάντα εφικτό για αυτό χρησιµοποιούµε το Ανάπτυγµα TAYLOR.
που επέρχεται από την αύξηση της παραγωγής κατά µια µονάδα δηλαδή κατά 1q∆ = .
Έτσι το MC είναι η κλίση του TVC .
Σε µια ανταγωνιστική αγορά βραχυχρόνια µια τυπική ανταγωνιστική επιχείρηση
αντιµετωπίζει συνάρτηση ζήτησης η οποία απλά είναι οριζόντια στη τιµή ισορροπίας της
αγοράς (πλήρως ελαστική καµπύλη ζήτησης).
Γνωρίζουµε ότι το συνολικό εισόδηµα είναι R p y= i . Το οριακό εισόδηµα της
επιχείρησης MR είναι το επιπλέον εισόδηµα που κερδίζει η επιχείρηση όταν αυξήσει την
παραγωγή της κατά µια µονάδα παραγόµενου προϊόντος. Στην τέλεια ανταγωνιστική
αγορά ισχύει MR p= δηλαδή σε πλήρη ανταγωνισµό η καµπύλη του οριακού
εισοδήµατος και η καµπύλη ζήτησης ταυτίζονται .
Για να µεγιστοποιήσει το κέρδος της η επιχείρηση θα παράγει το επίπεδο εκείνο του
προϊόντος όπου θα ισχύει min(MR) Ωστόσο όταν το οριακό εισόδηµα ΜR είναι
µεγαλύτερο του οριακού κόστους MC σηµαίνει ότι κάθε µια επιπλέον µονάδα
παραγόµενου προϊόντος προσθέτει κέρδος δηλαδή η επιχείρηση µπορεί να παράγει
περισσότερο .
Όµως θα παράγει τόσο ώστε MR p= και συνολικά είναι MR MC p= = .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 53
Παράδειγµα 2
Έστω η συνάρτηση συνολικής παραγωγής είναι 2 3( ) 10 12f x x x x= + −
Τότε η συνάρτηση µέσης παραγωγής είναι 2( )( ) 10 12
f xA x x x
x= = + − και η οριακή
συνάρτηση παραγωγής είναι 2( ) 10 24 3f x x x′ = + − . Σαν µέγιστη τιµή η συνάρτηση
µέσης παραγωγής έχει πρώτη παράγωγο ίση µε µηδέν άρα 0( ) 0 6A x x′ = ⇔ = .
Στη τιµή αυτή έχουµε ότι (6) 46
(6) 46
A
f
= ′ =
και η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική άρα είναι
κοίλη όποτε στο σηµείο 6 παίρνει τη µέγιστη τιµή της .
Παρατήρηση
Το συνολικό κόστος παραγωγής είναι το άθροισµα του µεταβλητού κόστους και του
σταθερού κόστους της παραγωγικής διαδικασίας. Αν υποθέσουµε µια µόνο εισροή τότε η
συνάρτηση παραγωγής ( )Y f x= περιγράφει τη σχέση παραγωγής και αν γνωρίζουµε τι
παραγωγή δηµιουργείται από κάθε επίπεδο εισροής τότε µπορούµε να εργαστούµε
αντίστροφα για να προσδιορίσουµε την εισροή που απαιτείται για να παράγουµε
συγκεκριµένο επίπεδο προϊόντος .
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ο παρακάτω πίνακας είναι χαρακτηριστικό συγκεντρωτικό βοήθηµα για τις παραγώγους
είτε συνάρτησης είτε σύνθεσης συνάρτησης
α/α Συνάρτηση Παράγωγος Σύνθετη
συνάρτηση
Σύνθετη παράγωγος
1 ny x= 1ny nx −′ = ( )( )n
y f x= ( ) 1( ) ( )
ny n f x f x
−′ ′=
2 y x=
1
2y
x′ = ( )y f x=
( )
2 ( )
f xy
f x
′′ =
3 siny x= cosy x′ = sin ( )y f x= ( ) cos ( )y f x f x′ ′= i
4 cosy x= siny x′ = cos ( )y f x= ( ) sin ( )y f x f x′ ′= i
5 y xεφ= 2
1
cosy
x′ =
( )y f xεφ= 2
( )
cos ( )
f xy
f x
′′ =
6 y xσφ= 2
1
siny
x′ =
( )y f xσφ= 2
( )
sin ( )
f xy
f x
′′ =
7 lny x= 1y
x′ =
ln ( )y f x= ( )
( )
f xy
f x
′′ =
8 expy x= expy x′ = exp ( )y f x= ( ) exp ( )y f x f x′ ′=
9 xy a= lnxy a a′ = ( )f xy a= ( ) ( ) lnf xy a f x a′ ′=
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 54
4.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
ΠΕ∆ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ
Για να βρω το ΠΟ µιας συνάρτησης :f A B→ δηλαδή το σύνολο Α προσέχουµε τα
εξής:
- αν µας δίνεται η συνάρτηση και είναι γνωστή (γραµµική , πολυωνυµική κ.τ.λ.)
τότε το Α είναι τα συνήθη π.χ. σε µια γραµµική είναι το R ή το διάστηµα που
ορίζει η ίδια η συνάρτηση
- αν η συνάρτηση είναι κλασµατική προσέχουµε να εξαιρέσουµε τα x αυτά που
µηδενίζουν τον παρονοµαστή
- αν η συνάρτηση περιέχει ρίζα τότε προσέχουµε να πάρουµε τα x αυτά που
κάνουν το υπόριζο θετικό
- αν µας δίνει περιπτώσεις περιορισµών λύνω ως προς αυτούς τους περιορισµούς
Παράδειγµα 3
Να βρεθούν τα ΠΟ των συναρτήσεων κατά σειρά :
Λύση
2( ) 5 10f x x x= + + που είναι φανερό ότι είναι όλο το R ως πολυωνυµικη
5 18
( )42
xf x
x
−=
+
εδώ έχω κλάσµα άρα προσέχω τον παρονοµαστή οπότε πρέπει 42x ≠ − άρα ΠΟ =R-42
( ) 1f x x= −
εδώ έχω ρίζα άρα πρέπει 1 0x − > άρα : 1xΠΟ >
( )f x x= Για | 3 2 | 2x − ≤
εδώ έχω περιορισµό άρα το λύνω και έχω:
| 3 2 | 2 2 3 2 2 0 3 4 0 4 / 3x x x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ όπου είναι και το διάστηµα
που ανήκουν τα x
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ
Ο καλύτερος δυνατός τρόπος είναι να εξετάζουµε αν είναι παραγωγισιµη οπότε αν είναι ,
θα είναι και συνεχής στο διάστηµα αυτό.
Επειδή όµως αν είναι συνεχής δεν είναι πάντα παραγωγισιµη αν µας ζητάνε σε σηµείο να
εξεταστεί η συνέχεια κοιτάµε τα πλευρικά όρια για το σηµείο ώστε να ισχύει ο ορισµός
της συνέχειας .
Παράδειγµα 4
Να βρεθεί η συνεχεία της συνάρτησης στο 1x =
| 2 |,| | 1( )
| 3 |,| | 1
x xf x
x x
− >=
≤
Λύση
Βλέπουµε καταρχήν ότι η συνάρτηση είναι παντού ορισµένη στο R και για 1x = έχω την
τιµή της (1) 3f = .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 55
Επίσης είναι παραγωγισιµη ως προς τους κλάδους της αλλά επειδή στο 1 αλλάζει ο τύπος
δε γνωρίζω αν είναι συνεχής . Εξετάζω πλευρικά όρια και έχω :
1 1lim ( ) lim | 3 | 3x x
f x x− −→ →
= = και 1 1
lim ( ) lim | 2 | |1 2 | 1x x
f x x+ +→ →
= − = − = που είναι διαφορετικά
άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1 .
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
Η παραγώγιση µιας συνάρτησης είναι πολύ εύκολη γιατί απλά εφαρµόζονται οι τύποι
και οι ιδιότητες .
Παράδειγµα 5
Να παραγωγιστεί η συνάρτηση 2
2 7 23( ) 5 ln ln
4
x xf x x x x x x
x
+= + − + +
Λύση
2
2
2
2
7 23( ) 5 ln ln
4
1 1 (14 23)4 4(7 23 )( ) 10 ln 1
162
x xf x x x x x x
x
x x x xf x x x
x xx
+= + − + + ⇔
+ − +′ = + − + + +
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ – ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ - ΤΕΜΝΟΥΣΑ
Οι περιπτώσεις στο ρυθµό µεταβολής και την εφαπτόµενη και την τέµνουσα είναι
αντικατάσταση των τύπων
Παράδειγµα 6 (ΡΜ)
Έστω η συνάρτηση 2( )f x x= και τα σηµεία της Κ(2,4) και Ρ(4,16). Να υπολογιστεί ο
ρυθµός µεταβολής.
Λύση
Έχω ότι
4 2 2∆Χ = − = και 16 4 12∆Υ = − = άρα ο ρυθµός είναι 12
62
y
x
∆= =
∆
Παράδειγµα 7 (Τέµνουσα)
Έστω η συνάρτηση y ax b= + µε α,β σταθερές και τα σηµεία 1 1
2 2
( , )
( , )
K x y
P x y
. Ποια είναι η
κλίση της ευθείας ?
Λύση
Έχω αµέσως ότι
( )KP
y b x x a bx am b
x x
∆ + ∆ + − −= = =∆ ∆
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 56
Παράδειγµα 8 (εφαπτόµενη)
Να βρεθεί η εφαπτόµενη της 2( )f x x= στο σηµείο Κ(4,16)
Λύση
Είναι 2( )
( ) 2
(4) 8
f x x
f x x
f
= ⇔
′ = ⇔
′ =
άρα βρήκα τη κλίση της ευθείας άρα από την εξίσωση ευθείας µε ένα σηµείο αµέσως
έχω ότι η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι ε : Y-16=8(X-4)
Παράδειγµα 9 (εφαπτόµενη)
Έστω η συνάρτηση 3 2( ) 2f x x x x= − − και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της
παράλληλης στην ευθεία 7Χ+3Υ-1=0.
Λύση
Εδώ έχω ήδη τη κλίση της εφαπτόµενης που είναι ίδια µε την κλίση της ευθείας γιατί
είναι παράλληλες άρα η κλίση της εφαπτόµενης είναι λ = -7/3.
Αρκεί να βρούµε ένα σηµείο και να ορίσουµε την εφαπτόµενη. Επειδή έχω τη κλίση
σηµαίνει ότι για κάθε x έχω τη τιµή της παραγώγου συνάρτησης άρα είναι 3 2 2( ) 2 ( ) 3 4 1f x x x x f x x x′= − − ⇔ = − − άρα έστω ένα σηµείο της εφαπτόµενης
0 0( , )A x y τότε για αυτό το σηµείο ισχύει ότι :
2
0 0
0
0
73 4 1
3
2 / 3
2 / 27
x x
x
y
και
− − = − ⇔
=
=
άρα η ευθεία είναι Υ-2/27 = -7/3(Χ-2/3)
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR
Παράδειγµα 10
Να βρεθεί το ανάπτυγµα Τ στην ( ) xf x e= για το σηµείο 1
Λύση
Είναι ( )1
1
2 3 1
(0)( 0)( ) (0)
!
( ) 1 ......2! 3! ( 1)!
k kn
n
k
n
n
f xf x f R
k
x x xf x x R
n
−
=
−
−= + + ⇔
= + + + + + +−
∑
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 57
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ
Παράδειγµα 11
Έστω δυο συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς οι : ( ) , 0
( ) , 0
D p a b p b
S p c ep e
= − >
= + >
Πρέπει να προσδιορίσουµε τις προϋποθέσεις των παραµέτρων a και c που απαιτούνται
για να διασφαλίσουµε την ύπαρξη θετικής τιµής ισορροπίας.
Η συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης είναι η ( ) ( ) ( )Z p a c e b p= − − + .
Παίρνω τις συνθήκες θα πρέπει :
- (0) 0Z > άρα a c>
- Για κάποιο p θα πρέπει ˆ( ) 0a c
Z p pe b
−< ⇔ >
+
Άρα οι συνθήκες στην ουσία ικανοποιούνται για a c> όποτε υπάρχει µια τιµή ep τέτοια
ώστε να έχω ισορροπία και από το ΘΕΤ είναι η ακόλουθη :
e a cp
e b
−=
+
(στη πραγµατικότητα οι συνθήκες της συνέχειας προσδιορίζονται από τις υποθέσεις για
τη τεχνολογία και τις προτιµήσεις των καταναλωτών).
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ –ΟΡΙΑΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ
Παράδειγµα 12
Έστω ( ) 80C y y= δηλαδή όποιο και να είναι το τρέχον επίπεδο παραγωγής το κόστος
για τη παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος είναι 80 λόγω της πρώτης παραγώγου (οριακό
κόστος) .
Το διαφορικό είναι 80dC dy= .
Η συνάρτηση είναι γραµµική. Η περίπτωση αυτή αναφέρεται για «σταθερές αποδόσεις
κλίµακας» ωστόσο δεν ισχύει πάντα , ιδίως βραχυπρόθεσµα , όπου κάποιες εισροές
(εξοπλισµός) θεωρούνται σταθερές .
Ας υποθέσουµε ότι η µόνη εισροή είναι η εργασία. Όσο η επιχείρηση χρησιµοποιεί
µεγαλύτερη ποσότητα της εισροής (εργασία) για να παράγει επιπλέον προϊόν οι
προστιθέµενες µονάδες εργασίας µειώνονται , είναι λιγότερο παραγωγικές , αφού
υπάρχει λιγότερο κεφάλαιο για κάθε προστιθέµενη µονάδα εργασίας (ιδίως για
επιχειρήσεις που παράγουν ήδη πολύ).
Η συνάρτηση που ικανοποιεί αυτά είναι η 2( )C y y= που έχει παράγωγο 2C y′ = άρα το
οριακό κόστος είναι συνεχώς αυξανόµενο.
Για παράδειγµα αν η παραγωγή είναι 200 µονάδες προϊόντος τότε το οριακό κόστος είναι
400 για µια επιπλέον µονάδα παραγωγής .
Αν η επιχείρηση παράγει ας πούµε 300 µονάδες και θέλει να παράγει 400 µονάδες
(αύξηση 100 µονάδες) τότε :
(400) (300) 70000C C C∆ = − =
Αν όµως χρησιµοποιήσουµε το διαφορικό για την εκτίµηση είναι:
2 2*300*100 60000dC ydy= = =
Το σφάλµα είναι 14% .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 58
ΟΡΙΑΚΟ ΕΙΣΟ∆ΗΜΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΠΩΛΙΟ
Παράδειγµα 13
Έστω η συνάρτηση ζήτησης ( ) 40 2p q q= −
Λύση
Το συνολικό έσοδο του µονοπωλίου είναι :
( ) ( ) (40 2 )TR q p q q q q= = −
Το οριακό έσοδο είναι η παράγωγος ως προς q άρα :
( ) (40 2 ) (40 2 ) 40 4dP
MR q q q q q qdq
′ ′= = − + − = −
βάζοντας τιµές συγκεκριµένες π.χ. για ένα q βρίσκω το αντίστοιχο p και όλες αν το
MR συγκριτικά .
ΜΕΣΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΤΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παράδειγµα 14
Καταρχήν πρέπει να πούµε ότι αν θεωρήσουµε µια συνάρτηση µέσου κόστους ( )A Y και
µια οριακού ( )M Y τότε παρατηρούµε ότι όταν το κόστος παραγωγής µιας επιπλέον
µονάδας προϊόντος (δηλαδή το οριακό κόστος) είναι κάτω από το µέσο κόστος τότε το
µέσο κόστος παραγωγής βαίνει µειούµενο στο Υ και όταν είναι από πάνω τότε η
συνάρτηση µέσου κόστους είναι αύξουσα ενώ όταν είναι ίσα το µέσο κόστος δε
µεταβάλλεται .
Έτσι ας θεωρήσουµε µια συνάρτηση συνολικού κόστους την 2( ) 10 25TC y y y= + + .
Α) MC = ΑC όταν η AC είναι οριζόντια τότε :
2
( ) 2 10
( )10 25 /
251 0 5
MC T y y
T yAC y y
y
AC yy
′= = +
= = + +
′ = − = ⇔ =
άρα η καµπύλη είναι οριζόντια στο σηµείο Υ = 5 όπου εκεί έχω MC = 20 και AC = 20
B) Αν MC AC< τότε η AC είναι φθίνουσα άρα 5Y <
Παράδειγµα 15
Κάνοντας χρήση του κανόνα παραγωγισης να δείξετε ότι η καµπύλη του οριακού
κόστους µε συνάρτηση παραγωγής 1/ 2q L= είναι αύξουσα .
Λύση
Είναι 1/ 2
0( ) ( ) 2C q WL q C C W L′= + ⇔ = άρα είναι αύξουσα.
ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ∆ΙΑΡΚΕΙΑ
Παράδειγµα 16
Μια 2ετης οµολογία που πληρώνει 5 εξαµηνιαία CF και η απόδοση στη λήξη είναι 8%
ετησίως .
Λύση
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 59
Είναι 4
1
5103.692
(0.4)ii
P=
= =∑
για το MD έχω 4
1
( )5386.405
(0,4)i
iMD
−= = −∑ και πολλαπλασιάζω µε
1
1 Y+ και είναι :
1371.405 (1/ ) 3.58
0.4MD p= − ⇔ ⇔ −
Στη πράξη δεν λαµβάνουµε υπόψη το αρνητικό πρόσηµο και παρουσιάζουµε την
τροποποιηµένη διάρκεια σε έτη άρα διαιρώντας µε 2 (είναι εξάµηνα) έχουµε το 1,7.
Άρα για µια αύξηση της απόδοσης (επιτόκιο) µιας ποσοστιαίας µονάδας η τιµή θα
µειωθεί κατά 1,8% περίπου .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 60
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο
ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΓΕΝΙΚΑ
Με τον όρο πολυµεταβλητές συναρτήσεις εννοούµε τις συναρτήσεις µε περισσότερες
µεταβλητές οι οποίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και η µεταβολή της κάθε µιας είναι
ανεξάρτητη από την µεταβολή των άλλων .
Οι συναρτήσεις έχουν την γενική µορφή 1 2( ) ( , , .... )
ny f X f x x x= = .
Μας ενδιαφέρουν η µερική παράγωγος , η συναρτησιακή ορίζουσα , οι πλεγµένες , τα
ακρότατα και οι πολλαπλασιαστές Lagrange .
5.1 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
Έστω µια συνάρτηση 1 2( , , .... )
ny f x x x= τότε η µεταβολή της µιας µεταβλητής όταν οι
υπόλοιπες µένουν σταθερές λέγεται µερική παράγωγος και προκαλεί µεταβολή y∆ και
είναι :
11
1 1 2 1 2
01 1
( , , .... ) ( , , ... )lim n n
xx
f x x x x f x x xy yf
x x x∆ →
+ ∆ −∆ ∂= = =
∆ ∆ ∂
Η Γεωµετρική της Ερµηνεία
Η µερική παράγωγος είναι µέτρο µεταβολής µιας συνάρτησης. Έστω η συνάρτηση
( , )Q Q K L= τότε το Q
K
∂∂
σχετίζεται µε το ρυθµό µεταβολής στο Q ως προς το Κ όταν το
L µένει σταθερό.
Αν το Κ µένει σταθερό µόνο τα σηµεία στην ευθεία έχουν νόηµα και η µερική ως προς L
είναι η κλίση της καµπύλης στο χώρο όπως και είναι επίσης συνάρτηση της Κ.
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 61
Ανώτερης Τάξης
Όπως είναι φυσικό υπάρχουν και οι µερικές παράγωγοι δεύτερης , τρίτης κ.τ.λ. τάξης ως
προς οποιαδήποτε µεταβλητή .
Αρµονικές
Μια συνάρτηση λέγεται αρµονική όταν ισχύει ότι : 0 0xx yy
f f f∆ = ⇔ + =
∆ιάνυσµα Κλίσης
Το διάνυσµα κλίσης µιας συνάρτησης στο σηµείο της 0x είναι το διάνυσµα µε τις
µερικές παραγώγους στο σηµείο 0x δηλαδή :
1
00
2
( )
( )( )
.........
f x
x
f xf x
x
∂ ∂ ∂
∇ = ∂
Εσσιανή Μήτρα
Εσσιανή µήτρα είναι ο πίνακας ( )H f µε στοιχεία 2
ij
i j
fH
x x
∂=∂ ∂
που αντιστοιχούν στην
ι– γραµµή και στη j–στήλη αντίστοιχα και γράφεται ως εξής :
2 2
2
1 1
2 2
2
1
( )
n
n n
f f
x x x
H f
f f
x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂
∂ ∂ ∂
…
Σύνθετες συναρτήσεις
Έστω ότι έχουµε τη συνάρτηση ( , )f x y και κάθε µια µεταβλητή x και y είναι
ενδιάµεσες µεταβλητές δηλαδή έχουν σχέση µε άλλες ανεξάρτητες ( , )
( , )
x x u v
y y u v
=
= τότε
ορίζεται µερική παράγωγος της f ως προς ( , )u v και είναι :
x u y u
x v y v
ff x f y
u
k a i
ff x f y
v
∂ = + ∂ ∂ = +∂
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 62
Υπόδειγµα αγοράς
Έστω ένα υπόδειγµα για ένα προϊόν να παρουσιάζεται από τις συναρτήσεις:
Q a bP
Q c dP
= −
= − + µε , , , 0a b c d > και λύσεις µε συνθήκες ισορροπίας να είναι:
a cP
b d
ad bcQ
b d
+ = +
− = +
Αν ζητάµε τη µεταβολή που προκαλείται στο P από τη µεταβολή της α τότε πρέπει να
υπολογίσουµε τη µερική της ως προς α και αυτή διαφέρει από την µερική της P . Άρα
µπορούµε να υπολογίσουµε τη µερική παράγωγο κάθε µιας µεταβλητής .
Παράδειγµα 1 (Μερικές Παράγωγοι)
Να βρεθεί η µερική παράγωγος των µεταβλητών για τη συνάρτηση: 2 3( , ) 3 2 4f x y x xy y= + +
Λύση
Είναι
6 2xf x y= + και 22 12yf x y= +
Παράδειγµα 2 (Σύνθεση µερικών παραγώγων)
Έστω η συνάρτηση 2 2( , )f x y x xy y= + + µε ενδιάµεσες 22 ,x t y t= = να βρεθεί η
µερική της f στο t .
Λύση
Είναι 3 2(2 )2 (2 )2 4 6 8t x t y tf f x f y x y y x t t t t= + = + + + = + +
5.2 ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
Θεωρούµε τις συναρτήσεις 1 2( , , . . . )i nf x x x τότε για να βρούµε την συναρτησιακή
σχέση (γραµµικότητα) στο σετ αυτό των n µεταβλητών χρησιµοποιούµε την Ιακωβιανή
Ορίζουσα που είναι :
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
__ __ ... __
__ __ .... __| | | |
..................................
__ __ .... __
n
in
i
n n n
n
f f f
x x x
f f d ff
x x xJx
f f f
x x x
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂ ∂∂
∂ ∂ ∂= =∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 63
Τότε λέµε ότι αν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι µηδενική οι συναρτήσεις
1 2( , , . . . )i nf x x x είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες (όταν λέµε ότι είναι συναρτησιακά
εξαρτηµένες εννοούµε ότι µεταξύ τους υπάρχει µια σχέση όπως ας πούµε η µια είναι
τετράγωνο της άλλης ή η µια είναι ίδια µε την άλλη plus ένα σταθερό όρο κ.τ.λ.)
Οι εφαρµογές της ιακωβιανής είναι κυρίως στις παραµετρικές εξισώσεις όπου βρίσκουµε
τις εξισώσεις εφαπτοµένης και κάθετου επιπέδου αλλά κυρίως στο να βρούµε τα Οµαλά
σηµεία .
Οµαλό σηµείο µιας παραµετρικής είναι το σηµείο εκείνο που η συναρτησιακή ορίζουσα
του δεν είναι µηδενική .
Παράδειγµα 3 (Ιακωβιανή)
Να εξεταστεί η ανεξαρτησία των 2 2
( , ) 2 3
( , ) 4 12 9
f x y x y
g x y x xy y
= +
= + +
Λύση
Παίρνω αµέσως ιακωβιανή βρίσκοντας τις µερικές και είναι :
2
3
x
y
f
f
= =
και 8 12
12 18
x
y
g x y
g x y
= + = +
και έχω ότι |J| = 0
άρα οι συναρτήσεις είναι εξαρτηµένες .
5.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ
Έστω 1 2( , ,... )kQ P x x x= εκφράζει τη ποσότητα του παραγόµενου προϊόντος ως προς
τους συντελεστές παραγωγής 1 2, ,... kx x x (κεφάλαιο , εργασία , πρώτες ύλες…).
Οριακή Παραγωγικότητα του συντελεστή ix είναι η µερική παράγωγος της συνάρτησης
προς τον συντελεστή αυτόν δηλαδή το i
P
x
∂∂
.
Συνήθως 0i
P
x
∂>
∂ δηλαδή όσο αυξάνει ένας συντελεστής τόσο αυξάνει η παραγωγή.
Πέρα ενός σηµείου η παραγωγή συνεχίζει να αυξάνει αλλά µε φθίνων ρυθµό (δηλαδή η
δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική).
Αυτό το φαινόµενο λέγεται «ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ»
ΟΡΙΑΚΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ
Ορίζουµε ως Οριακή χρησιµότητα του προϊόντος Ι τη µερική παράγωγο δηλαδή το i
U
p
∂∂
Αν 1 2( , ... )ky f x x x= τότε η µερική ελαστικότητα ως προς κάποιο x είναι η ποσότητα
, i
iy x
i
x yE
y x
∂=
∂.
Η µερική ελαστικότητα δίνει τη ποσοστιαία µεταβολή της U αν η ix αυξηθεί κατά 1%
και όλες οι υπόλοιπες εξαρτηµένες µεταβολές παραµείνουν σταθερές.
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 64
5.4 ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Λέµε γενικά ότι µια εξίσωση παραµετρική ορίζει πλεγµένη µορφή αν έχει την µορφή :
[ , , ( , )] 0f x y g x y =
Αρχικά µπορούµε να πούµε ότι υπάρχει το θεώρηµα πλεγµένης συνάρτησης που λέει ότι
αν ένα σηµείο δίνει µηδέν στην εξίσωση αλλά όχι µερική παράγωγο της ως προς τη
πλεγµένη τότε αυτό είναι οµαλό σηµείο και η εξίσωση λύνεται µονοσήµαντα .
Για τα µη οµαλά σηµεία ισχύει ότι όλες οι µερικές είναι µηδενικές. Το βασικό είναι όµως
πως παραγωγίζουµε µια πλεγµένη συνάρτηση και ειδικά πως λύνουµε µια παραµετρική
πλεγµένη εξίσωση.
Η παραγώγιση γίνεται ως εξής :
Α) Για δυο µεταβλητές
Έστω ότι έχουµε την εξίσωση ( , ( )) 0f x y x = και πρέπει να βρούµε τα 2
2,
dy d y
dx dx δηλαδή
πρώτη και δεύτερη παράγωγο χωρίς να βρούµε τον αλγεβρικό τύπο της ( )Y x .
Είναι ότι ισχύει 0f f
dx dyx y
∂ ∂+ =
∂ ∂ άρα έχω ότι η πρώτη παράγωγος είναι :
x
y
fd y
d x f= −
Παραγωγίζοντας αυτή παίρνουµε και τη δεύτερη παράγωγο που είναι : 2 22
2 3
2xx y xy x y yy x
y
f f f f f f fd y
dx f
− += −
από τον πρώτο τύπο βγαίνει ο δεύτερος µε παραγώγιση .
Β) Για τρεις µεταβλητές
Έστω τώρα η εξίσωση ( , , ) 0 ( , , ( , )) 0f x y z f x y z x y= ⇔ = που στο χώρο εκφράζει
επιφάνεια και ισχύει το θεώρηµα πλεγµένων συναρτήσεων (συνήθως ισχύει πάντα).
Τότε προκύπτει ότι οι µερικές είναι :
x
z
y
z
fz
x f
fz
y f
∂ = − ∂∂ = −
∂
Γ) Για συναρτήσεις που ορίζονται από συστήµατα εξισώσεων
Εδώ δεν θα µας απασχολήσει εκτός αν το συναντήσουµε να θυµόµαστε ότι έχει λύση
µέσω ιακωβιανής .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 65
Παράδειγµα 4
Να υπολογίσετε τη πρώτη παράγωγο dy
dx της 3 3( , ) 6f x y x y xy= + −
Λύση
Είναι πλεγµένη γιατί θέλω παράγωγο µεταξύ των Υ και Χ
Άρα έχω από τον τύπο 2
2
3 6
3 6
x
y
fd y d y x y
d x f d x y x
−= − ⇔ = −
−
ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Οµογενείς είναι οι συναρτήσεις που αν τις πολλαπλασιάσουµε µε έναν αριθµό τότε η
συνάρτηση µεταβάλλεται κατά αναλογία του αριθµού αυτού δηλαδή ισχύει ότι
( , ) ( , )nf kx ky k f x y= . Ανάλογα τον έκθετη του κ αυτή είναι και η τάξη (βαθµός) της
συνάρτησης.
ΕΞΙΣΩΣΗ EULER
Η εξίσωση EULER έχει τη µορφή x yxf yf f+ ≡ και ισχύει µόνο για γραµµικές οµογενείς
συναρτήσεις .
ΟΜΟΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Είναι οι συναρτήσεις οι σύνθετες όπου η εσωτερική είναι οµογενής δηλαδή για τη
συνάρτηση [ ( , )]g f x y η ( , )f x y είναι οµογενής .
ΑΚΡΟΤΑΤΑ
Θεωρούµε τη συνάρτηση ( , )z f x y= . Στις πολυµεταβλητές συναρτήσεις για να υπάρχει
ακραία τιµή θα πρέπει 0dz = χωρίς απαραίτητα να είναι 0, 0dx dy= = . Άρα θα πρέπει
να έχω :
0 0, 0x y x ydz f dx f dy f f= + = ⇔ = =
Γι αυτό πάντα χρησιµοποιούµε τις δεύτερες µερικές παραγώγους .
Η ολική παράγωγος της δεύτερης τάξης είναι η εξής :
2 2 22xx xy yyd z f d x f dxdy f d y= + +
και δηµιουργούνται οι συνθήκες για να έχουµε µέγιστο και ελάχιστο που είναι οι
παρακάτω
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 66
Για την 1ης
τάξης έχουµε ότι τα σηµεία αυτά λέγονται στάσιµα ή αλλιώς κρίσιµα .
Όταν ένα σηµείο έχει µερικές παραγώγους µηδενικές και σαν λύση δίνει µηδέν στη
παραµετρική εξίσωση αλλά δεν είναι ελάχιστο ή µέγιστο τότε λέγεται σαγµατικό .
Άρα µπορούµε να πούµε ότι τα σηµεία µιας επιφάνειας είναι τριών ειδών τα µέγιστα τα
ελάχιστα και τα σαγµατικά .
Παράδειγµα 5 (ακρότατα)
Να µελετηθούν τα ακρότατα της συνάρτησης 3 3( , ) 3f x y x y xy= − +
Λύση
Αρχικά βρίσκουµε τις µερικές πρώτες παραγώγους που είναι : 2
2
3 3 0
3 3 0
x
y
f x y
f y x
= + =
= − + =
Οι µόνες λύσεις του συστήµατος είναι τα σηµεία (0,0) και (1,-1)
Τα σηµεία αυτά είναι και τα στάσιµα .
Παίρνουµε τις δεύτερες µερικές παραγώγους και είναι :
6 , 3, 6xx xy yyf x f f y= = = −
Οπότε τώρα κοιτάµε καθένα σηµείο ξεχωριστά :
Για το (0,0) έχουµε ότι :
0, 3, 0xx xy yyf f f= = = και 2
xx yy xyf f f< άρα το σηµείο (0,0) είναι σαγµατικό.
Για το (1,-1) έχουµε ότι :
6, 3, 6xx xy yyf f f= = = και 2
xx yy xyf f f> άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο αυτό.
5.5 ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ( LAGRANGE)
Τα ακρότατα που µελετήσαµε µέχρι τώρα λέγονται ελευθέρα δηλαδή είναι ανεξάρτητες
οι µεταβλητές µεταξύ τους που όµως αυτό δε συµβαίνει πάντα (ποτέ σχεδόν δε
συµβαίνει) αλλά συµβαίνει να συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις. Τότε λέµε ότι έχουµε
πρόβληµα ακραίων τιµών δεσµευµένων. Έχουµε κάποιες περιπτώσεις που µπορούµε να
διακρίνουµε αλλά θα δούµε τις δυο βασικές :
ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ
1ης
ΤΑΞΗΣ 0x y
f f= = 0x y
f f= =
2ης
ΤΑΞΗΣ 2
, 0xx yy
xx yy xy
f f
and
f f f
≺
i
2
, 0xx yy
xx yy xy
f f
and
f f f
i
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 67
1η περίπτωση
Έστω η συνάρτηση ( , )f f x y= και µε περιορισµό ότι οι µεταβλητές ακολουθούν τη
καµπύλη ( , )g x y c= .
Εφαρµόζοντας το θεώρηµα των πλεγµένων έχω ότι τα στάσιµα σηµεία είναι αυτά όπου
0x y y xf g f g− = άρα το σύνολο των στάσιµων σηµείων της συνάρτησης ( , )f f x y=
µε το περιορισµό ( , ) , ( )g x y c y y x= = δίνεται από τις εξισώσεις :
x x
y y
f g
f g
f g
λ
λ
λ
∇ = ∇ ⇔
= =
Η µεταβλητή λ λέγεται πολλαπλασιαστής του LAGRANGE και η τιµή της
προσδιορίζεται σε κάθε δεσµευµένο στάσιµο σηµείο από το σύστηµα των εξισώσεων.
2η περίπτωση
Είναι και η γενική περίπτωση όπου έχουµε n µεταβλητές να ικανοποιούν m
περιορισµούς .
Θα πάρουµε όµως την απλή περίπτωση µε 2 και µε 3 µεταβλητές .
Αν ( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x yλ λ= + τότε θεωρούµε την ορίζουσα για το σηµείο
0 0( , )P x y .
2 2
__ __
( , , ) __ __
__ ___ 0
xx xy x
xy yy y yy x xx y
x y
F F g
D x y F F g F g F g
g g
λ = = −
1. Αν D είναι θετική τότε η ( , )f x y παρουσιάζει δεσµευµένο τοπικό µέγιστο για το
σηµείο.
2. Αν η D είναι αρνητική τότε η ( , )f x y παρουσιάζει δεσµευµένο τοπικό ελάχιστο
για το σηµείο .
Παράδειγµα 6 (LAGRANGE)
Να µελετηθούν τα ακρότατα της συνάρτησης ( , )f x y xy= µε τη συνθήκη
( , ) : 1g x y x y+ =
Λύση
∆ηµιουργούµε τη συνάρτηση ( , , ) ( 1)F x y xy x yλ λ= + + − και βρίσκουµε τις µερικές
παραγώγους που είναι :
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 68
1
x
y
F y
F x
F x yλ
λ
λ
= +
= + = + −
και λύνοντας το σύστηµα αυτό ίσο µε µηδέν και άγνωστους τα Χ,Υ και λ
έχω ότι οι λύσεις είναι : 1/ 2
1/ 2
x y
λ= =
= −
και για τις τιµές αυτές έχω τις δεύτερες
παραγώγους 0
1
xx yy
xy yx
F F
F F
= =
= = άρα παίρνω τη ορίζουσα LaGrange και είναι :
__ __ 0 __1__1
__ __ 1__ 0 __1 2 0
1__1__ 0__ ___ 0
xx xy x
yx yy y
x y
F F g
D F F g
g g
= = = >
άρα έχω τοπικό µέγιστο στο σηµείο (½ , ½) και µε τιµή της συνάρτησης max 1/ 4f = .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 69
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ – ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ
Σε ένα δέντρο παρουσιάζεται η ανάλυση των φαινοµένων .
ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ- ΜΟΝΤΕΛΟ
ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΤΙΚΟ (ακριβής περιγραφή
φαινοµένου)
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ (προσεγγιστική
περιγραφή)
ΤΥΠΟΥ Α
ΤΥΠΟΥ Β ∆υναµικά
Υποδείγµατα
ΑΠΛΗ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΧΡΟΝΟΥ
∆ΙΑΚΡΙΤΟΥ
ΧΡΟΝΟΥ
ΣΥΝΕΧΟΥΣ
ΧΡΟΝΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
∆ΙΑΦΟΡΩΝ
∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 70
Τα τύπου Α είναι συνάρτηση του χρόνου απλή δηλαδή ( )tY f t= όπου Υ η κατάσταση
συστήµατος φαινοµένου στιγµής t , t o χρόνος διακριτός και συνεχής και f ο
µετασχηµατισµός. Τέτοιες συναρτήσεις είναι οι σταθερές , οι πολυωνυµικές , οι ρητές ,
τριγωνοµετρικές κ.α.
Η λύση τους έχει την εξής λογική σειρά :
Α) Προσδιορίζουµε την οικογένεια υποδειγµάτων
Β) Εκτίµηση παραµέτρων υποδείγµατος
Μας ενδιαφέρουν όµως τα δυναµικά συστήµατα
6.1 ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΓΕΝΙΚΑ
Στα δυναµικά συστήµατα θέλουµε να περιγράψουµε ρητά µέσα στο χρόνο τις µεταβολές
(τη κίνηση) δηλαδή τη δυναµική κίνηση του συστήµατος ( )tY f t= . Πολλές φορές είναι
πιο εύκολο να περιγράψουµε τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος tY σε όρους
Νόµου κίνησης του συστήµατος .
Νόµος Κίνησης του Συστήµατος
Είναι ο τρόπος , οι όροι , (κατάσταση) µε τον οποίο µεταβάλλεται το σύστηµα στο
πέρασµα του χρόνου σαν συνάρτηση προγενέστερων καταστάσεων του.
Μια τέτοια εξίσωση ονοµάζεται Εξίσωση ∆ιαφορών.
Αυτές οι εξισώσεις δε περιγράφουν ρητά τη πορεία του συστήµατος tY στο χρόνο αλλά
το πώς το σύστηµα εξαρτάται από προηγούµενες καταστάσεις του. Με άλλα λόγια η
κίνηση στο χρόνο αποτελεί τη λύση.
Η λύση µιας τέτοιας εξίσωσης διαφορών είναι µια συνάρτηση χρόνου που επαληθεύει
την εξίσωση διαφορών δηλαδή είναι µια εξίσωση της µορφής :
1 1 ( )t t tY a Y Y f tΛΥΣΗ
−= → =
Μπορούµε να διακρίνουµε περιπτώσεις ανάλογα µε το είδος (βαθµός) της εξίσωσης.
6.1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
Έστω ο νόµος της κίνησης που µας ενδιαφέρει να είναι :
1t tY aY+ =
Μας ενδιαφέρει να µελετήσουµε και να απαντήσουµε στα ερωτήµατα όπως :
Α) Τι κίνηση του tY στο χρόνο συνεπάγεται η παραπάνω εξίσωση? Για να δώσουµε
απάντηση θέλουµε πληροφορίες .
Β) Ποια είναι η αρχική κατάσταση του συστήµατος 0Y ?
Γ) Προς τα πού πηγαίνει το σύστηµα όσο περνάει ο χρόνος δηλαδή όσο περνάει ο χρόνος
το σύστηµα tY συγκλίνει σε µια κατάσταση ισορροπίας Y ή αποκλίνει?
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 71
Θεώρηση Του Συστήµατος
Θεωρούµε αρχικά ως αρχική τιµή του συστήµατος τη τιµή 0Y τότε βλέπουµε κατά σειρά
ότι
1 0
2
2 1 0
.......
t
t
Y aY
Y aY a Y
Y a Y
− =
− = =
−
− =
Η λύση του συστήµατος της εξίσωσης διαφορών 1ου
βαθµού είναι : 0
t
tY a Y=
Τώρα έχουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις :
- Αν | | 1a ≺ έχω σύγκλιση στο µηδέν (0). Επειδή έχω λοιπόν δυο πεδία για το 0a
βλέπουµε ότι :
Α) Αν 01 0a− ≺ ≺ οι τιµές θα εναλλάσσονται µεταξύ θετικών και αρνητικών και
θα µικραίνουν όσο προχωρεί στο χρόνο
Β) Αν 00 1a≺ ≺ οι τιµές έχουν το ίδιο πρόσηµο (ανάλογα µε αυτό της
0Y ) και
τείνουν µονότονα στο 0
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 72
- Αν | | 1a τότε έχω απόκλιση δηλαδή η ακολουθία είναι explosive
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 73
- Αν 0 1a = ± τότε είναι
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 74
Σύστηµα Πληθυσµού- Υπόθεση Malthus
Ένα κλασικό παράδειγµα είναι το σύστηµα του πληθυσµού. Θεωρούµε ότι το σύστηµα
εκφράζεται από την εξίσωση 1ου
βαθµού 1( )t tDp f p −= και επειδή είναι ανάλογη έχω ότι
για κάποιο κ είναι 1t tDp kp −= .
Η διαχρονική εξέλιξη του συστήµατος αυτού είναι :
1 1 1
1( 1)
t t t t t
t t
Dp kp p p kp
p k p
− − −
−
= ⇒ − = ⇒
= +
Άρα η λύση αυτού του συστήµατος είναι : 0( 1) t
tp k p= +
Αν 0k > τότε ( )1 1k + > και η χρονοσειρα αυξάνει συνεχώς (δεν υπάρχει σηµείο
ισορροπίας) .
Αν 0k < τότε 1 1k + < και η χρονοσειρά µειώνεται συνεχώς δηλαδή η ισορροπία είναι
προς εξαφάνιση .
6.1.2 ΕΞΙΣΩΣΗ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ 1ου
ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΟΡΟ
Έστω τώρα ο νόµος της κίνησης που µας ενδιαφέρει να είναι :
1n nY aX b+ = +
Αναπτύσσοντας όπως στο προηγούµενο έχουµε ότι (τώρα δείχνουµε από το n όρο και
κατά κάτω είναι το ίδιο πράγµα) .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 75
1
2 2
2 2 2
2 3 2
3 3
3 2 4 3 2
( ) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
n
n n n
n
n n
aX b
a aX b b a X ab b a X b aY
a aX b b a a X b a a
a aX b b a a a X b a a a
−
− − −
− −
+
+ + = + + = + +=
+ + + = + + + + + + + = + + + +
Και γενικά καταλήγουµε ότι ο γενικός τύπος θα είναι ο
1 2
0 ( ...... 1)n n n
nY a X b a a a− −= + + + + +
Παίρνουµε τώρα περιπτώσεις
- Για α = 1 έχω ότι 0nY X b n= + i
- Για 1a ≠ έχω ότι 1 2
0 0
1( .... 1) ( )
1
nn n n n
n
aY a X b a a a a X b
a
− − −= + + + + + =
−
Η λύση της εξίσωσης αυτής 1ου
βαθµού µε σταθερό όρο είναι αυτές παραπάνω δηλαδή
ΛΥΣΕΙΣ 1ου
ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ
- 0nY X b n= + i για α = 1
- 0
1( ), 1
1
nn
n
aY a X b a
a
−= ≠
−
6.2 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ – ΣΥΓΚΛΙΣΗ
Μια από τις πιο βασικές ιδιότητες των εξισώσεων διαφορών είναι ότι συχνά υπάρχει µια
τιµή στην οποία το δυναµικό σύστηµα γίνεται στάσιµο δηλαδή έχω ότι 1t tY Y Y+ = = µε
Y να είναι µια τιµή ισορροπίας
Σε µια γραµµική εξίσωση διαφορών 1ου
βαθµού και αυτόνοµη υπάρχει πάντα µια
στάσιµη τιµή για 1a ≠
Έστω λοιπόν το υπόδειγµα 1t tY aY b−= + και αντικαθιστώ µε τη τιµή ισορροπίας τότε
έχω
1
bY aY b Y
a= + ⇒ =
−
Τότε πηγαίνοντας στο σύστηµα µας µε τη τιµή ισορροπίας γνωστή έχω ότι η λύση του
συστήµατος µε τη τιµή ισορροπίας είναι η
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 76
1( )t t
Y Y a Y Y−− = −
Με αλλαγή µεταβλητών έχω ότι έστω t tX Y Y= − άρα γίνεται
1 0
t
t t tX aX X a XΛΥΣΗ
−= → = οπότε και η λύση του αρχικού θα είναι
0( )t
tY Y a Y Y− = − ⇔
0( )1 1
t
t
b bY a Y
a a= + −
− −
Αυτή είναι και η γενικευµένη λύση του συστήµατος
Παρατηρούµε ότι η Σύγκλιση ή η Απόκλιση εξαρτάται εντελώς από τον όρο 1
ta αφού
είναι ο µόνος που εξαρτάται από το χρόνο t
Η απόκλιση από την κατάσταση του συστήµατος είναι ανάλογη από την απόκλιση της
αρχικής τιµής.
- Αν 1 0ta → όσο t →∞ τότε η 0
11t
aY
a
ΣΥΓΚΛΙΣΗ→−
- Αν 1
ta →∞ όσο t →∞ τότε η tY αποκλίνει
Άρα πρέπει να γνωρίζουµε τη συµπεριφορά του 1
ta όσο t →∞
Γενικά χρειαζόµαστε να γνωρίζουµε πληροφορία για το 1a και το σηµείο αρχικής τιµής
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 77
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 78
Και
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 79
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 80
6.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ
Περνάµε στη περίπτωση των εξισώσεων διαφορών µη γραµµικής µορφής.
Αυτές έχουν τη µορφή 1
a
t tY Y+ = .
Υποθέτω ότι για την ισορροπία είναι η τιµή Y όπου 1t tY Y Y+ = = .
Ο σκοπός είναι να δείξουµε ότι συγκλίνει σε ισορροπία η tY .
- Αν συγκλίνει τότε ανεξάρτητα από την αρχική συνθήκη 0Y θα οδηγεί (η διαδροµή του)
στο Y .
- Αν δεν συγκλίνει τότε το ενδιαφέρον µας είναι να δούµε εάν αποκλίνει τελικά ή αν έχει
κυκλική ή χαοτική συµπεριφορά .
Έχω τη µορφή 1
a
t tY Y+ = και για τη τιµή ισορροπίας Y καταλήγω να έχω ότι
0
1
aY
Y YY
== ⇒
=.
Όταν λοιπόν το σύστηµα έχει αυτές τις τιµές θα παραµείνει στις τιµές αυτές για πάντα.
Μας ενδιαφέρει να γνωρίζουµε ποια τιµή από τις δυο θα έχουµε δηλαδή σε ποια από τις
δυο αυτές τιµές συγκλίνει (αν συγκλίνει) .
Το εργαλείο που χρησιµοποιούµε είναι το Phase Diagram που δείχνει την διαχρονική
εξέλιξη ενός συστήµατος προς τον εαυτό του .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 81
PHASE DIAGRAM
Συµπέρασµα
Eνα PD µιας Ε∆ είναι το γράφηµα της 1tY + έναντι της
tY δηλαδή του µετασχηµατισµού f.
Τα σηµεία Steady-state (ισορροπίας) θα βρίσκονται στη τοµή της ( )tf Y µε την ευθεία
45ο γιατί σε αυτή την ευθεία έχουµε 1t tY Y += .
Αν λοιπόν 1/ 2a = και αρχική τιµή 1/ 2 επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία µέχρι τη
στάσιµη τιµή 1Y = . Συµπερασµατικά βλέπουµε ότι η tY µοιάζει να αποκλίνει από το
σηµείο 0Y = αλλά συγκλίνει στο σηµείο 1Y = ξεκινώντας από µια οποιαδήποτε τιµή
00 1Y≺ ≺ .
Στη συνέχεια ελέγχουµε τη κίνηση του συστήµατος tY δεξιά του σηµείου ισορροπίας
1Y = π.χ. µια τιµή 0,5 όπου παρατηρούµε ότι το σύστηµα συγκλίνει στη τιµή 1.
Συµπερασµατικά λοιπόν για οποιαδήποτε αρχική τιµή 0Y το σύστηµα tY µοιάζει να
συγκλίνει στη τιµή Υ= 1 έτσι ώστε να είναι µια σταθερή ισορροπία ενώ αντίθετα το
σηµείο Υ= 0 είναι µια ασταθής ισορροπία όπου και το σύστηµα tY αποκλίνει του µηδέν.
Παράδειγµα 1
Έστω 2
1t tY Y+ = και 0 0.5Y =
Το σύστηµα αποκλίνει για 1Y = και συγκλίνει για 0Y = µε 0 0.5Y =
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 82
Με 0 1.5Y = το σύστηµα αποκλίνει του 1 και αυξάνει µονότονα
Συµπερασµατικά 1,
0. __ _
Y
Y
ασταθης
τοπικα σταθερη ισορροπια
=
=
Θεώρηµα 1ο
Για κάθε σηµείο ισορροπίας για οποιαδήποτε αυτόνοµη Ε∆ 1ης
τάξης µη γραµµικής είναι
τοπικά σταθερό αν η απόλυτη τιµή της κλίσης είναι | ( ) | 1f Y′ ≺ και ασταθής αλλού άρα
έχουµε ότι : 1
1 1( )a a
t t t tY Y f Y aY −+ +′= ⇒ = και για τις τιµές της ισορροπίας έχουµε ότι
11 | | 1 | | 1
a
tY aY a−= ⇒ ⇒≺ ≺ για σταθερή ισορροπία στο σηµείο 1
0 | | 1Y a= ⇒ απροσδιόριστο
Παράδειγµα 2
Αν
1
1 int
(0) 0, 10
( ) (0) ,0 1
1 (1) 1 __ 1 1
locally
stable
stationarya a
t t t t po s
locally
stable
f aY
Y Y f Y aY f
Y f a Y if a
απροσδιοριστο α−+
′ = →= ⇒
′ ′= ⇒ = → = < < ′= → = ⇒ = → −
≺ ≺
Με άλλα λόγια η tY συγκλίνει στο 0 για 1tY < αλλά δε συγκλίνει στο µηδέν για 1tY ≥ .
Θεώρηµα 2ο
Θα παρατηρήσουµε ταλαντώσεις στο tY σύστηµα αν η παράγωγος f ′ είναι αρνητική
0tY∀ > και το σύστηµα θα κινείται µονότονα αν η παράγωγος είναι θετική 0tY∀ > .
(τα θεωρήµατα εφαρµόζονται σε γραµµικές και µη γραµµικές αλλά το θεώρηµα 2 δεν
εφαρµόζεται αν η παράγωγος αλλάζει πρόσηµο)
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 83
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο
ΣΥΝΗΘΕΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Σαν ∆Ε εννοούµε ένα µαθηµατικό πρότυπο όπου παίρνει τη µορφή µιας συναρτησιακής
σχέσης που περιέχει µια άγνωστη συνάρτηση και ορισµένες παραγώγους αυτής. Η
σύγκριση των λύσεων ή των ποιοτικών ιδιοτήτων των λύσεων των ∆Ε είναι αυτό που
καθορίζει τη πιστότητα του µαθηµατικού πρότυπου και τη µελέτη ενός συγκεκριµένου
φαινοµένου .
Στην οικονοµία αντιπροσωπεύει προβλήµατα που αφορούν ανάλυση των οικονοµικών
θεωριών , µελέτη σύγχρονων µεθόδων καλλιέργειας , τεχνολογικά επιτεύγµατα στην
βιοµηχανία κ.α.
7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΟΡΙΣΜΟΣ
Θεωρούµε τη συνάρτηση µιας µεταβλητής ( )y y x= και να έχει παραγώγους τις 2
( )
2( ) , ( ) ,............., ( )
nn
n
dy d y d yy x y x y x
dx dx dx′ ′′= = =
Η σχέση της µορφής :
( )( , , , ,...... ) 0nf x y y y y′ ′′ =
Ονοµάζεται ∆ιαφορική Εξίσωση. Περιέχει τουλάχιστον µια από τις παραγώγους χωρίς
να είναι απαραίτητο να περιέχει τα Χ,Υ .
ΤΑΞΗ
Ονοµάζουµε τάξη µιας ∆Ε τη τάξη της µεγαλύτερης παραγώγου που εµφανίζεται στην
εξίσωση δηλαδή όταν έχω πρώτη παράγωγο είναι 1ης
τάξης , δεύτερη παράγωγο είναι 2ης
τάξης κ.ο.κ.
ΒΑΘΜΟΣ
Ονοµάζουµε βαθµό τη µεγαλύτερη δύναµη της τάξεως της ∆.Ε .
∆ΙΑΦΟΡΑ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΑΞΗΣ
Έστω ότι έχουµε µια ∆Ε µιας τάξης τότε αν η εξίσωση είναι : 2 5 6( ) ( ) 0y xy y y′′′ ′+ + + =
και τότε λέµε ότι είναι τάξης 3 και βαθµού 2.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ∆Ε
Είναι η ∆Ε εκείνη που είναι πολυώνυµο 1ου
βαθµού κάποιας τάξης όπως για παράδειγµα
η 0y y yx′′ ′+ + = . Είναι µεν 2ης
τάξης αλλά 1ου
βαθµού άρα είναι γραµµική . Η γενική
µορφή µιας γραµµικής ∆Ε είναι : ( ) ( 1)
1 1 0( ) ( ) ...... ( ) ( ) ( ) 0n n
n nf x y f x y f x y f x y f x−
− ′+ + + + + =i i i i
Όλες οι f συναρτήσεις είναι κάποιες συναρτήσεις του Χ (δεν περιέχουν παράγωγο του Υ
και το Υ).
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 84
ΠΟΙΟΤΙΚΗ – ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ∆Ε
Η πρώτη έννοια της ποιοτικής θεωρίας είναι να έχουµε καλά τοποθετηµένο ένα
πρόβληµα µιας ∆Ε. Εννοούµε δηλαδή ότι πρέπει να έχουµε υπόψη µας και να ξέρουµε
µερικές παραµέτρους όπως :
- το πρόβληµα έχει λύση ακόµα και αν δε µπορούµε να τη βρούµε?
- Αν έχει λύση είναι µια ή πολλές?
- Αν είναι µοναδική πως ξέρουµε ότι µικρές µεταβολές στις αρχικές συνθήκες
επιφέρουν µικρές µεταβολές στη λύση (δηλαδή η λύση είναι συνεχής συνάρτηση
των αρχικών συνθηκών)?
- Πρόβληµα ευστάθειας – µοναδικότητας – ύπαρξης .
Άρα λοιπόν ορίζουµε ότι ένα πρόβληµα είναι καλά τοποθετηµένο αν έχει µια λύση
µοναδική και είναι συνεχής συνάρτηση των βοηθητικών συνθηκών του. Η εύρεση
µεθόδων για τον αναλυτικό υπολογισµό µιας ∆Ε η της προσεγγιστικής αυτής αποτελεί
την ποσοτική θεωρία των ∆Ε.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ∆Ε
Είναι ο τρόπος που από συνάρτηση κατασκευάζω τη ∆Ε . Ο τρόπος είναι ο ακόλουθος :
Θεωρώ τη συνάρτηση 1 2( , , ,... )ny y x c c c= µε τα c να είναι αυθαίρετες σταθερές.
Παραγωγίζω n φορές και απαλείφω επίσης τις σταθερές κατά µέλη οπότε προκύπτει η
εξίσωση ( )( , , , ,...... ) 0n
f x y y y y′ ′′ = .
Παράδειγµα 1
Να κατασκευαστεί η ∆Ε για τη συνάρτηση 2 3
1 2y c x c x= +
Λύση
Παραγωγίζω διαδοχικά δυο φορές και έχω : 2
1 22 3y c x c x′ = + και 1 22 6y c c x′′ = + και λύνω ως προς τα c και έχω (ως σύστηµα) :
1
2
2
y xyc
x
′ ′′−= και
2 23
xy yc
x
′′ ′−=
Άρα η ∆Ε είναι η 2 3 2
1 2 4 6 0y c x c x x y xy y′′ ′= + ⇒ − + =
ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ∆Ε
Η γενική λύση µιας ∆Ε είναι η λύση µετά την ολοκλήρωση της δηλαδή για τη εξίσωση ( )( , , , ,...... ) 0nf x y y y y′ ′′ = η λύση είναι µια συνάρτηση Υ=Υ(Χ) που ικανοποιεί την
εξίσωση αυτή .
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 85
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΧΕΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
• 1( )a ax ax −′ =
• ( )x x
e e′ =
• ( )sin cosx x′ =
• ( )cos sinx x′ = −
• ( ) 1ln x
x
′ =
• ( ) 2
1arctan
1x
x
′ =+
• ( )2
1arcsin
1x
x
′ =−
• cos( )2
x xe ehx
−+=
• sin( )2
x xe ehx
−−=
• ( ) lnx xa a a′ =
• dy dy dt
dx dt dx=
• ∆ιαφορικό ( ) ( )y f x dy f x dx′= ⇒ =
ΒΑΣΙΚΑ ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
• 11
1
a ax dx x ca
+= ++∫
• 1
ln | |dx x cx
= +∫
• x xe dx e c= +∫
• cos sinx dx x c⋅ = +∫
• sin cosx dx x c⋅ = − +∫
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 86
• 1
ln | |dx x a cx a
= − +−∫
• 2
1arctan
1dx x c
x= +
+∫
• 2
1arcsin
1dx x c
x= +
−∫
• 1
ln
x xa dx a c
a= +∫
• Παραγωγιση ορισµένου ολοκληρώµατος ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫
• Παραγωγιση ορισµένου µε
µεταβλητότητα ( ) [ ( ) ( )] ( )
t
a
d df x dx F b F a f t
dt dt= − =∫
• Κατά παράγοντες
b
a
f gdx fg gdf= −∫ ∫i
7.2 ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ
Η ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
Η γενική µορφή µιας ∆Ε 1ης
τάξης είναι η ( , , ) 0F x y y′ = ή αλλιώς ( , )dy
f x ydx
= ή
αλλιώς ( , ) ( , ) 0A x y dx B x y dy+ = . Εξετάζουµε µερικές µορφές εµφάνισης της ∆Ε
∆Ε ΜΟΡΦΗΣ
Η µορφή της είναι : ( )y f x′ = . Λύνεται µε απλή ολοκλήρωση γιατί δε περιέχει τη
συνάρτηση Υ .
Παράδειγµα
Αν 1
yx
′ = η ∆Ε τότε έχω 1
ln | |y dx c x cx
= + = +∫
ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Έχουν τη µορφή ( ) ( ) 0A x dx B y dy+ = και η λύση της δίνεται µε απλή ολοκλήρωση
κάθε µεταβλητής δηλαδή η λύση είναι ( ) ( )A x dx B y dy C+ =∫ ∫
Παράδειγµα 2
Να λυθεί η ∆Ε 2( 1)y y x′ = +
Λύση
Είναι χωριζόµενων µεταβλητών άρα τη φέρνω στη µορφή που θέλω για να ολοκληρώσω
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 87
(πως το καταλαβαίνουµε αυτό? Βασικά κοιτάµε και προσπαθούµε να έχουµε µια
εξίσωση όπου όλα τα Υ µε παραγώγους και εκθέτες να είναι από τη µια πλευρά της
ισότητας και όλα τα Χ οµοίως από την άλλη εµού και το χωριζόµενων µεταβλητών).
Είναι
2 2
2
2
( 1) ( 1)
( 1)1
dyy y x y x
dx
dydy y xdx xdx
y
′ = + ⇒ = + ⇒
= + ⇒ =+
∆ηλαδή εδώ το Α και το Β είναι τα 2
1( ) , ( )
1A y B x x
y= = −
+ άρα η λύση είναι η :
21 1arctan
1 2dy xdx C y x C
y+ − = ⇒ − =
+∫ ∫
7.2.1 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ∆Ε
Αρχικά να δώσουµε έναν ορισµό που είναι απαραίτητος
ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Οµογενείς είναι οι συναρτήσεις που αν τις πολλαπλασιάσουµε µε έναν αριθµό τότε η
συνάρτηση µεταβάλλεται κατά αναλογία του αριθµού αυτού δηλαδή ισχύει ότι
( , ) ( , )nf kx ky k f x y= . Ανάλογα τον εκθέτη του κ αυτή είναι και η τάξη (βαθµός) της
συνάρτησης. Έστω λοιπόν ότι έχουµε τώρα µια ∆Ε οµογενή τότε ο τρόπος λύσης είναι ο
εξής :
Θεωρούµε την αντικατάσταση ( )y u x x= και την ανάγουµε σε άγνωστους το x και το
u(x) και µετασχηµατίζοντας το dy καταλήγουµε σε χωριζόµενων µεταβλητών άρα
έχουµε την τελική και µε αντικατάσταση στη αρχική προκύπτει η λύση που είναι και η
γενική .
Παράδειγµα 3
Να λυθεί η ∆Ε 2 2( ) 2 0x y dx xydy+ − =
Λύση
Αρχικά βλέπουµε ότι έχει τη µορφή ( , ) ( , ) 0A x y dx B x y dy+ = άρα είναι ∆Ε 1ης τάξης
και παρατηρούµε ότι οι Α,Β συναρτήσεις είναι οµογενείς γιατί ( , ) ( , )nA kx ky k A x y=
και ( , ) ( , )nB kx ky k B x y= όπου 2 2( , ) , ( , ) 2A x y x y B x y xy= + = − .
Άρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µετασχηµατισµό ( )y u x x= και γίνεται :
( ) ( )dy d ux u x u dx′= = + . Άρα αντικαθιστώ στην αρχική και έχω : 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) 2 ( ) 0
(1 ) 2 ( ) 0
[(1 ) 2 2 ] 0
[(1 ) 2 ] 0
x u x dx x u u x u dx
dux u dx x u x u dx
dx
x u dx uxdu u dx
x u dx uxdu
′+ − + = ⇒
+ − + = ⇒
+ − − = ⇒
− − =
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 88
Θεωρώ την αγκύλη µόνο και παρατηρώ ότι είναι χωριζόµενων µεταβλητών οπότε τη
λύνω και είναι : 2
2
2
2
(1 ) 2 0
2
1
ln ln( 1)
( 1)
u dx uxdu
dx udu
x u
x u c
x u C
− − = ⇒
= ⇒−
+ − = ⇒
− =
Άρα από αυτήν µε αντικατάσταση τη θεώρηση που έχω κάνει προκύπτει ότι 2
2( 1)
yx C
x− = δηλαδή
2yx C
x− = που είναι και η πλεγµένη λύση της ∆Ε .
∆Ε ΠΟΥ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ
Συνήθως έχουν τη µορφή 1 1 1
2 2 2
( )a x b y c
y fa x b y c
+ +′ =
+ + µε τα α, b ,c να είναι σταθερές .
Για τη λύση αυτών διακρίνουµε 3 περιπτώσεις βασικές
Α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Όταν 1 2 2 1 0a b a b− ≠ (παρατηρήστε ότι είναι η ορίζουσα των συντελεστών των Χ και Υ
στο κλάσµα)
Στη περίπτωση αυτή κάνουµε µετασχηµατισµό 1 1 1a x b y c u+ + = και 2 2 2a x b y c w+ + =
και προκύπτει οµογενής βρίσκουµε τη λύση ( , ) 0F u w = και αντιστοίχως της αρχικής .
Β ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Όταν 1 2 2 1 10 , 0a b a b b− = ≠ τότε θεωρούµε το µετασχηµατισµό 1 1a x b y u+ = και
προκύπτει χωριζόµενων µεταβλητών των u , x .
Γ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Όταν 1 2 2 1 20 , 0a b a b b− = ≠ τότε θεωρούµε το µετασχηµατισµό 2 2a x b y u+ = (είναι
ίδιος µε το παραπάνω) και προκύπτει µια ∆Ε χωριζόµενων µεταβλητών.
Παράδειγµα 4
Να βρεθεί η λύση της ∆Ε 1
( 1) ( 2) 02
x yx y dx x y dy y
x y
+ +′+ + + − + + = ⇒ = −
− + +
Είναι της α µορφής όπου 1 2 2 1 0a b a b− ≠ (γιατί είναι ίσο µε -2) άρα θεωρώ την
αντικατάσταση : 1 , 2 x y u x y v+ + = − + + =
και σε διαφορικά είναι :
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 89
,
1
1
dx dy du dx dy dv
dx dy du
dx dy dv
y du
y dv
+ = − + = ⇒
+= ⇒
− +′+=
′− +
Άρα η αρχική σχέση γίνεται βάση της τελευταίας ( ) ( ) 0v u du v u dv+ + − = οµογενής απλή
µε λύση κατά τα γνωστά την 21ln | | arctan ln( 1)
2u t t c= − + + . Αντικαθιστώ στην αρχική
το v ut= και έχω ότι η λύση της αρχικής ζητούµενης είναι:
22 1 2ln | 1| arctan ln[( ) 1]
1 2 1
x y x yx y c
x y x y
− + + − + ++ + = − + +
+ + + +
Παράδειγµα 5
Να λυθεί η ∆Ε 2 1
2 4 1
x yy
x y
− +′ =− −
Είναι της δεύτερης µορφής όπου 1 2 2 1 10 , 0a b a b b− = ≠ και θεωρούµε την
αντικατάσταση 2 , 2 4 2 x y u x y v− = − = . Με διαφοριση παίρνω ότι :
2 ,
2
dx dy du
du dxdy
− = ⇒
− +=
Άρα η ∆Ε µπορεί να γραφτεί ως εξής :
2 1 1
(2 1) 3 02 4 1 2 2 1
dy x y du dx uu du dx
dx x y u
− + − + += ⇒ = ⇒ − − − =
− − − που είναι χωριζόµενων
µεταβλητών. Με απλή ολοκλήρωση έχω τελικά ότι η γενική λύση της ∆Ε είναι η 2( 2 ) ( 2 ) 3x y x y x c− − + − − =
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ∆Ε
Έχουν τη µορφή ( ) ( )y f x y g x′ + = µε τις f , g να είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις του
x. Η γενική λύση αυτής της ∆Ε είναι το άθροισµα της οµογενούς λύσης και της ειδικής
λύσης δηλαδή :
Λύση της οµογενούς :
Θεωρώ την οµογενή αντίστοιχη ∆Ε και είναι η ( ) 0y f x y′ + = και µε ολοκλήρωση
προκύπτει ότι η λύση είναι η :
( )( )
f x dx
y x c e−∫= i
Λύση της ειδικής :
Θεωρώ την ειδική στη τιµή ισορροπίας άρα είναι η ( )
00 ( )f x dx
y y c x e−∫′ = ⇒ = i
Γενική λύση:
Είναι το άθροισµα των δυο παραπάνω δηλαδή :
( )
0( )f x dx
y x c e y−∫= +i
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 90
Παράδειγµα 6
Να βρεθεί η λύση της 2 xy y e′ + =
Λύση
Λύνουµε πρώτα την αντίστοιχη οµογενή 22 0 xy y y ceΛΥΣΗ −′ + = → =
Και λύνουµε έπειτα την ειδική που είναι 2 3
0 0
10 2 ( )
3
x xy y c x e y e−′ = ⇒ = ⇒ = . Η γενική
λύση είναι η 2 31
2
x xy ce e
−= +
Παρατηρήσεις
- Με τον όρο αντίστοιχη οµογενής της ∆Ε δεν εννοούµε το αντίστοιχο οµογενής ∆Ε
είναι εντελώς άσχετα .
- Κατά την ειδική λύση ψάχνουµε µια συνάρτηση c(x) η οποία να ικανοποιεί την λύση
της αντίστοιχης οµογενούς και έχει γενική µορφή την ( )
0 ( )f x d x
y c x e− ∫= i και προκύπτει
αν θεωρηθεί ότι αντί για σταθερά c έχουµε πλέον συνάρτηση c(x). Αυτή η µέθοδος
προσδιορισµού της µερικής λύσης λέγεται «µέθοδος µεταβολής των σταθερών»
7.2.2 Η ∆Ε BERNULLI
H ∆Ε BERNULLI έχει τη γενική µορφή ( ) ( ) ny f x y g x y′ + = . Φυσικά το n είναι τάξης
n>2 γιατί αν είναι 0 ή 1 αναγόµαστε στις προηγούµενες περιπτώσεις .
Η εύρεση της γενικής λύσης της ∆Ε Βernulli πετυχαίνεται µε την αντικατάσταση 1
1 ny u −= και προκύπτει γραµµική α τάξης µε άγνωστη συνάρτηση την u(x).
Παράδειγµα 7
Να λυθεί η ∆Ε 31y y y
x− =
Λύση
Είναι ∆Ε Bern. ∆ίνουµε µια απλής µορφής για να δούµε το τρόπο αλλά και σε πιο
πολύπλοκες µορφές η αντικατάσταση είναι ίδια . Θεωρώ την αντικατάσταση 1
1/ 21 3y u u−−= =
Βρίσκω το διαφορικό που είναι : 1/ 2 3/ 2( )
2
dy dy du d u du uu
dx du dx dx dx
− −
′= = = −
Αντικαθιστώ τα ,y y′ µε τα αντίστοιχα στην αρχική και προκύπτει :
1 1 21 2
2u u u u
x x′ ′− − = ⇒ + = −
Λύνω αυτή τη απλή γραµµική (οµογενής και ειδική) και προκύπτει ότι έχει λύση την
2 2( )
3u x c x x
−= −i
άρα η αντίστοιχη αρχική ∆Ε Bernulli είναι :
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 91
2 1/ 22( )
3y c x x
− −= −i
7.2.3 ∆Ε RICCATI
H ∆Ε Riccati έχει τη γενική µορφή 2( ) ( ) ( )y f x y g x y h x′ + = + και συνήθως δίνεται µια
πληροφορία για την συνάρτηση (συνήθως δίνεται µια µερική λύσης της).
Χρησιµοποιώντας αυτή τη πληροφορία κάνουµε το µετασχηµατισµό 1
my yu
= + όπου
my η µερική λύση (πληροφορία) της y και από την αντικατάσταση αυτή προκύπτει ∆Ε
γραµµική µε άγνωστο το ( )u x και λύνουµε κατά τα γνωστά .
Παράδειγµα 8
Να λυθεί η ∆Ε 2 1
2
1 1 , my y y y x
x x
−′ + = − + =
Λύση
Είναι ∆Ε Riccati και έχουµε τη πληροφορία µιας µερικής λύσης της συνάρτησης άρα
θεωρούµε την αντικατάσταση και παραγωγίζουµε ως προς x και είναι :
11 1my y y x
u u
−= + ⇒ = +
και παραγωγίζοντας έχω ότι 1 1
2 2dy dx duy x u u
dx dx dx
− −− −′ ′= + ⇒ = − −
Αντικαθιστώ τα ,y y′ µε τα αντίστοιχα στην αρχική και προκύπτει η 3
1u ux
′ − = που
είναι απλή γραµµική (οµογενής και ειδική) και λύνοντας την έχω ότι 3 1( )
2u x c x x= −i
Άρα η λύση της ∆Ε Riccati είναι µε απλή αντικατάσταση :
1 3 11
( )2
y x c x x− −= + −i
7.2.4 ΑΜΕΣΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΕΣ ∆Ε
Οι ∆Ε της µορφής ( , ) ( , ) 0P Q
P x y dx Q x y dyy x
ΣΥΝΘΗΚΗΣ ∂ ∂+ = → =
∂ ∂ λέγονται
άµεσα ολοκληρώσιµες ∆Ε .
Γνωρίζουµε από τη θεωρία (βλ σχετική βιβλιογραφία) ότι το πρώτο µέλος είναι το ολικό
διαφορικό µιας συνάρτησης δηλαδή ( , ) ( , ) ( , )dF x y P x y dx Q x y dy= + .
Άρα η γενική λύση της ∆Ε θα είναι η συνάρτηση ( , )F x y c=
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 92
Παράδειγµα 9
Να λυθεί η ∆Ε 2 2( 2 ) ( ) 0x xy dx x y dy+ + + =
Λύση
Έχουµε την ∆Ε και παρατηρούµε ότι είναι της µορφής άµεσα ολοκληρώσιµη γιατί αν
θέσουµε 2 2( , ) 2 , ( , )P x y x xy Q x y x y= + = + έχουµε ότι µε µερική παραγώγιση ισχύει
2 2P Q
x xy x
∂ ∂= ⇔ =
∂ ∂
Η γενική λύση της ∆Ε είναι µια συνάρτηση ( , )F x y c= που ικανοποιεί τις σχέσεις :
2( , ) 2F
P x y x xyx
∂= = +
∂ και 2( , )
FQ x y x y
y
∂= = +
∂
Για να βρούµε τη λύση κάνουµε το εξής:
Ολοκληρώνουµε τη πρώτη ως προς x κρατώντας το y σταθερό και αντικαθιστούµε την
έκφραση που βρίσκουµε στην δεύτερη. Αναλυτικά λοιπόν είναι : Η πρώτη
ολοκληρώνεται ως προς x κρατώντας το y σταθερό . 2
3 2
( , ) ( 2 ) ( )
1( , ) ( )
3
F x y x xy dx c y
F x y x yx c y
= + + ⇔
= + +
∫
και αντικαθιστούµε αυτή στη δεύτερη σχέση και είναι
3 2 21 ( )( ( ))3
dc yx yx c y x y y
y dy
∂+ + = + ⇒ =
∂
όπου από εδώ βρίσκουµε το ( )c y που είναι 21( )
2c y y k= +
Άρα η ( , )F x y είναι : 3 2 21 1( , )
3 2F x y x yx y k c= + + + −
7.2.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ EULER
Περνάµε τώρα στη περίπτωση όπου οι ∆Ε έχουν την µορφή όπως πριν αλλά δεν ισχύει η
συνθήκη να είναι άµεσα ολοκληρώσιµες δηλαδή η ∆Ε έχει τη µορφή
( , ) ( , ) 0 KAI P QP x y dx Q x y dy
y x
∂ ∂+ = → ≠
∂ ∂
Καταρχήν δεν είναι άµεσα ολοκληρώσιµη άρα δε µπορούµε να δουλέψουµε όπως
παραπάνω. Στη πραγµατικότητα όµως ψάχνουµε µια συνάρτηση ( , )M x y ώστε να
πολλαπλασιάσουµε τη ∆Ε και από τα δυο µέλη να µας δίνει άµεσα ολοκληρώσιµη και να
ισχύει η συνθήκη δηλαδή να έχουµε τη µορφή :
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
M P M QM x y P x y dx M x y Q x y dy
y x
ΣΥΝΘΗΚΗΣ ∂ ∂+ = → =
∂ ∂
Αυτή η συνάρτηση Μ ονοµάζεται πολλαπλασιαστής EULER της ∆Ε. Γενικά είναι ένα
πολύπλοκο πρόβληµα και βρίσκεται µόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Κάποιες από αυτές τις
περιπτώσεις είναι , η Μ να είναι συνάρτηση µόνο του x ή µόνο του y µια άλλη να είναι
συνάρτηση µιας σχέσης µεταξύ τους (π.χ. u = x+y) ή γενικά να µη δίνεται τίποτα και να
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 93
δοκιµάζουµε πειραµατικά. Θα δούµε δυο παραδείγµατα το ένα να είναι η Μ συνάρτηση
µιας µεταβλητής (έστω της x) και το άλλο να µην έχουµε πληροφορία για την Μ .
Παράδειγµα 10
Έστω ότι δίνεται η ∆Ε ( ) 2 0x Y dx xydy+ − = και η συνάρτηση Μ είναι συνάρτηση µόνο
του x
Λύση
Παρατηρούµε ότι η δοσµένη συνάρτηση δεν είναι άµεσα ολοκληρώσιµη και γνωρίζουµε
επίσης ότι η συνάρτηση Μ είναι µόνο συναρτήσει του x
Άρα γράφεται :
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,
M P M QM x y P x y dx M x y Q x y dy
y x
∂ ∂+ = =
∂ ∂
Κάνω τις πράξεις στη συνθήκη και έχω
( , ) ( , ) ( ) 1( )
( )
M P M Q M x P Q
y x M x Q y x
′∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = −
∂ ∂ ∂ ∂(σχέση 1)
Παρατηρούµε ότι το πρώτο µέλος είναι συνάρτηση µόνο του x άρα οµοίως πρέπει να
είναι και το δεύτερο άρα αν θέσουµε το δεύτερο µέλος ίσο µε µια συνάρτηση δηλαδή
1( ) ( )
P Qf x
Q y x
∂ ∂− =
∂ ∂ (σχέση 2) είναι και αυτή συνθήκη για την ∆Ε .
Άρα οι δυο συνθήκες είναι οι σχέσεις 1,2 για την ∆Ε . Λύνουµε το πρώτο µέλος και
έχουµε λοιπόν ότι :
( )( )( ) ( )
( )
f x dxM xf x M x e
M x
′ ∫= ⇒ =
Επίσης λύνουµε την σχέση 1 να βρούµε µε τι ισούται η f και προκύπτει ότι
1 2( ) ( ) ( )
P Qf x f x
Q y x x
∂ ∂− = ⇒ = −
∂ ∂ (σχέση 3)
Άρα από τη σχέση 1 βάση της σχέσης 3 προκύπτει ότι
2( ) ( ) 2( ) ( )
( ) ( )
M x M xf x M x x
M x M x x
−′ ′= ⇒ = − ⇒ =
Αυτός είναι και ο πολλαπλασιαστής. Τον πολλαπλασιάζω στην ∆Ε και προκύπτει άµεσα
ολοκληρώσιµη ∆Ε που λύνεται κατά τα γνωστά . Τελικά η λύση της αρχικής ∆Ε είναι η
21lny x c
x− + = .
Παράδειγµα 11
Να λυθεί η ∆Ε 2 2( ) ( ) 0y xy dx x yx dy− + + = µε τη χρήση κατάλληλου πολλαπλασιαστή
Λύση
Καταρχήν παρατηρούµε ότι δεν είναι άµεσα ολοκληρώσιµη. Όποτε ψάχνουµε
πολλαπλασιαστή Ε . Όµως δεν έχουµε καµία πληροφορία γι αυτόν. Υποθέτουµε ότι έχει
ένα πολλαπλασιαστή Ε της µορφής ( )M u όπου υ είναι µια συνάρτηση των x,y και άρα
µε αυτόν τον τρόπο θα έχω µια άµεσα ολοκληρώσιµη ∆Ε της µορφής :
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 94
( ( ), ) ( ( ), )( ) ( , ) ( ) ( , ) 0,
M u P M u QM u P x y dx M u Q x y dy
y x
∂ ∂+ = =
∂ ∂
Παίρνοντας τη συνθήκη τώρα και κάνοντας πράξεις (παραγώγιση πηλίκου) έχω τελικά
ότι :
( )
( ( ), ) ( ( ), )
( )
Q PdM u
M u P M u Q x yduu uy x M u
P Qy x
∂ ∂−
∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ =
∂ ∂∂ ∂ −∂ ∂
(σχέση 1)
(µη ξεχνάµε ότι παραγωγίζω και το υ αλυσιδωτά βάση των x,y)
Παρατηρούµε στη σχέση 1 ότι το πρώτο µέλος είναι συνάρτηση της µεταβλητής υ µόνο
άρα το ίδιο πρέπει να ισχύει και για το δεύτερο µέλος. ∆εν υπάρχει όµως πληροφορία γι
αυτό κάνουµε δόκιµες θέτοντας τη συνάρτηση υ ίση µε κάτι είτε συνάρτηση του x είτε
συνάρτηση του y είτε µιας σχέσης µεταξύ τους .
Έστω u x= τότε έχω ότι :
2
( )
4 4
( ) 1
Q PdM u
xy yx yduu uM u x yx xy
P Qy x
∂ ∂−
∂ ∂= ⇒ =
∂ ∂ − − − −−∂ ∂
όπου όµως το y δεν απλοποιείται άρα δεν µας ευκολύνει και δοκιµάζουµε άλλο.
Έστω u y=
Οµοίως αν κάνουµε τις πράξεις δεν απλοποιείται το x. ∆οκιµάζουµε εύκολες απλές
παραστάσεις των x και y µαζί .
Έστω u xy=
Τότε καταρχήν έχω ότι
,u u
y xx y
∂ ∂= =
∂ ∂ και η σχέση 1 γίνεται µετά από πράξεις
( )
2
( )
Q PdM u
x yduu uM u u
P Qy x
∂ ∂−
∂ ∂= = −
∂ ∂−
∂ ∂
που είναι συνάρτηση µόνο του υ άρα µας συµφέρει
Άρα από τη σχέση 1 προκύπτει ο πολλαπλασιαστής που είναι :
2 2 2
( )
2 1 1( )
( )
dM u
du M uM u u u x y
= − ⇒ = =
Με το πολλαπλασιαστή αυτόν η ∆Ε µετατρέπεται σε άµεσα ολοκληρώσιµη συνάρτηση
άρα µπορούµε να τη λύσουµε κατά τα γνωστά και τελικά προκύπτει ότι η γενική λύση
της είναι η 1
ln lnx y cyx
− − + =
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 95
7.2.6 ∆Ε CLAIRAUT
Έχει τη µορφή ( )y xy f y′ ′= + όπου η συνάρτηση ( )f y′ είναι µια µη µηδενική
συνάρτηση µε µεταβλητή y′ και για την επίλυση της θεωρούµε την αντικατάσταση
y p′ = άρα προκύπτει της µορφής ( )y xp f p= + . Επειδή όµως από τη σχέση y p′ =
κάνοντας τις πράξεις προκύπτει ότι ( )
( ) 0dp df p
xdx dp
+ = τελικά προκύπτει ότι p c=
σταθερά άρα η γενική λύση της θα είναι η ( )y xc f c= + .
Παράδειγµα 12
Να λυθεί η ∆Ε s in ( )d y d y
y xd x d x
= +
Λύση
Όπως βλέπουµε είναι της µορφής Clairaut άρα θέτουµε dy
pdx
= και η δοσµένη ∆Ε
γράφεται s in ( )y x p p= + παραγωγίζω ως προς x και έχω :
s in ( ) c o s ( ) ( c o s ) 0d y d p d p d p
y x p p p x x pd x d x d x d x
= + ⇒ = + + ⇒ + = που
από αυτή έχω ότι
c o sc o s 0
s in
x px p
y x c p
= −+ = ⇒
= − + που είναι και η παραµετρική λύση
7.2.7 ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ LAGRANGE
Η ∆Ε Lagrange έχει τη µορφή ( ) ( )d y d y
y x f gd x d x
= +i (στην ουσία είναι µια πιο
γενική µορφή της CLAIRAUT) και µε τις ,f g δοσµένες συναρτήσεις. Κάνουµε
ακριβώς την ίδια αντικατάσταση όπως πριν δηλαδή y p′ = και αυτή γίνεται
__ __
( ) ( )( ) ( ) ( ( ))
x
dx df p dg py xf p g p p f p x
dp dp dp
παραγωγιζωως προς= + → − − = και προκύπτει µια
γραµµική 1ης
τάξης συνάρτηση ( )x x p= και δίνει σε παραµετρική µορφή τη λύση της
∆Ε µε παράµετρο p
Παράδειγµα 13
Να λυθεί η ∆Ε 1
2y x yy
′= +′
Λύση
Αντικαθιστώ (βλέποντας αρχικά ότι είναι µια LaGrange) µε το y p′ = και έχω
__ __ 2
1 12 2
x
dxy xp p x
p dp p
παραγωγιζωως προς= + → + = που είναι γραµµική 1
ης τάξης (οµογενής +
ειδική) και λύνοντας την προκύπτει ότι : 2 2( ) lnOM EIx p x x cp p p− −
∆= + = +
Άρα η γενική παραµετρική λύση της ∆Ε είναι :
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 96
2 2( ) ln1
2 12
x p c p p p
y x yy x py
p
− − = +′= + ⇒ ′ = +
7.2.8 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ
Έστω ότι έχουµε µια ∆Ε ( , )y f x y′ = και µια συνθήκη ( )y a b= και ζητάµε τη λύση της
∆Ε η οποία να ικανοποιεί τη παραπάνω συνθήκη. Το πρόβληµα αυτό είναι γνωστό ως
ΠΑΤ.
Για τη λύση αυτού του προβλήµατος βρίσκουµε τη γενική λύση της ∆Ε (όπως
αναφέρθηκε παραπάνω ανάλογα τη περίπτωση) η οποία όµως γενική λύση περιέχει και
µια σταθερά c η οποία προσδιορίζεται ακριβώς µε τη συνθήκη.
Το ΠΑΤ έχει µοναδική λύση όταν στη περιοχή του σηµείου ( ),a b , η f είναι συνεχής
και η µερική της παράγωγος φραγµένη .
7.2.9 Ι∆ΙΑΖΟΥΣΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
Μερικές φορές µια ∆Ε 1ης τάξης είναι δυνατόν να έχει λύσεις που δε προκύπτουν από τη
γενική λύση για ειδικές τιµές των σταθερών. Οι λύσεις αυτές ονοµάζονται
«Ι∆ΙΑΖΟΥΣΕΣ» . Θα αναφερθούµε µόνο στη µέθοδο χωρίς να επεκταθούµε παρακάτω.
ΜΕΘΟ∆ΟΣ Ρ – ∆ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ
Για µια συνάρτηση ( , , )dy
F x ydx
µε αντικατάσταση y p′ = και Παραγωγίζοντας µερικώς
ως προς p κρατώντας σταθερά τα x,y να προκύπτει ότι ( , , )
0F x y p
p
∂=
∂ όπου µε
απαλοιφή του p να έχω ∆(x,y) = 0 .
Η εξίσωση αυτή λέγεται P–∆ιακρινουσα της ∆Ε και η συνάρτηση που ορίζεται σε
πλεγµένη µορφή από τη διακρίνουσα ή σε παραµετρική µε το p εφόσον ικανοποιεί την
∆Ε αποτελεί ιδιάζουσα µορφή της.
ΙΣΟΓΩΝΙΕΣ – ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ
Θεωρούµε µια συνάρτηση ( , , )F x y c όπου c µια παράµετρος η οποία για κάθε τιµή της
ορίζεται στο επίπεδο µια άλλη παραµετρική τροχιά (π.χ. για µια τιµής της ορίζεται
κύκλος για µια άλλη κύκλος άλλος οµόκεντρος µε τον αρχικό κ.τ.λ.)
Αυτές οι διάφορες τιµές του c που µας δίνουν κάποιους τέτοιους κύκλους ονοµάζεται
µονοπαραµετρικη οικογένεια . Το πρόβληµα θα διατυπώνεται ως εξής :
Αν έχουµε µια µονοπαραµετρικη οικογένεια καµπυλών ( , , )F x y c τότε θα ζητείται άλλη
οικογένεια που τέµνει τη δοσµένη υπό γωνία σταθερή (οι εφαπτόµενες της). Για τη λύση
εργαζόµαστε ως εξής : Βρίσκουµε τη ∆Ε της δοσµένης οικογένειας καµπυλών δηλαδή τη
∆Ε 1ης
τάξης που ικανοποιεί τη ∆Ε που έχουµε και στη συνέχεια κάνουµε το
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 97
µετασχηµατισµό (για να βρούµε την άλλη οικογένεια καµπυλών)
ˆtan
ˆ1 tan
dy
dy dx
dx
φ
φ
−→
+ (µε φ
τη γωνία µεταξύ τους).
Η καινούργια ∆Ε είναι επίσης 1ης
τάξης και η λύση της είναι η καινούργια
µονοπαραµετρικη οικογένεια .
Φυσικά για γωνία 90ο έχω τις ορθογώνιες τροχιές όπου στον µετασχηµατισµό είναι :
1
/
dy
dx dy dx→
7.3 ΑΠΛΗ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης
ΤΑΞΗΣ
Μετά τη µελέτη αυτή της πρακτικής λύσης των ∆Ε 1ης
τάξης που µπορεί να συναντήσει
ο αναγνώστης τίθεται το ερώτηµα του πως θα λυθεί µια δοσµένη ∆Ε όταν δεν δίνεται
καµία πληροφορία εκτός του ότι αναγνωρίζουµε αρχικώς ότι είναι γραµµική 1ης
τάξης.
Τα βασικά βήµατα που πρέπει να ακολουθηθούν είναι τα εξής :
Βήµα 1ο
Γράφουµε τη ∆Ε σε µια εκ των δυο µορφών (οποία µπορεί να βγει)
) ( , ) ( , ) 0
) ( , )
A P x y d x Q x y d y
d yB f x y
d x
+ =
=
Βήµα 2ο
Από τη µορφή Α µπορούµε να λέξουµε αν είναι :
1. Χωριζόµενων µεταβλητών όποτε η γενική λύση είναι µε απλή ολοκλήρωση
2. Οµογενής όταν οι P,Q είναι οµογενείς ίδιου βαθµού και η γενική λύση βρίσκεται
µε αντικατάσταση y=ux
3. Άµεσα ολοκληρώσιµη που αυτό συµβαίνει όταν P Q
y x
∂ ∂=
∂ ∂
Βήµα 3ο
Αν δεν είµαστε σε θέση να κάνουµε τα παραπάνω κοιτάµε αν τη φέρουµε στη µορφή Β
και τότε µπορούµε να πούµε τα εξής :
1. Αν το y εµφανίζεται µόνο σε απλή δύναµη τότε η ∆Ε είναι γραµµική
2. Αν το y εµφανίζεται σε απλή και κάποια άλλη δύναµη τότε είναι BERNOULLI
3. Αν το y εµφανίζεται σε δυνάµεις και επιπλέον δίνεται µια µερική λύση της τότε
πρόκειται για RICATTI
Βήµα 4ο
Αν από τα προηγούµενα βήµατα δε καταλήγουµε κάπου κοιτάµε για το κατάλληλο
πολλαπλασιαστή Ε (ολοκληρουν παράγοντα)
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 98
Βήµα 5ο
Αν και πάλι δεν είναι εύκολη η προσέγγιση δοκιµάζουµε αν είναι Lagrange (Clairaut)
όποτε χρησιµοποιούµε την αντικατάσταση y p′ =
Βήµα 6ο
Σε όλες τις περιπτώσεις αν έχουµε πρόβληµα αρχικών τιµών όποτε δουλεύουµε
αναλόγως
7.4 Η ΠΟΙΟΤΙΚΗ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
Στις περισσότερες περιπτώσεις των µη γραµµικών περιπτώσεων που είδαµε παραπάνω
όπως είναι οι ∆Ε άµεσα ολοκληρώσιµες , οι χωριζόµενων µεταβλητών και οι
BERNULLI έχουµε δει την λύση ποσοτικά (στη διάρκεια του χρόνου t).
Μπορούµε να δώσουµε και µια ποιοτική ανάλυση τους κατά τη διαχρονική τους πορεία
(π.χ. αν συγκλίνουν) παρατηρώντας απλώς την ∆Ε ή το γράφηµα της ή ακόµα και
χρησιµοποιώντας τις ποσοτικές λύσεις τους
ΤΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΦΑΣΗΣ
Ας θεωρήσουµε µια ∆Ε 1ης
τάξης στη γενική µορφή ( )dy
f ydt
= γραµµική ή όχι. Μια
γεωµετρική της απεικόνιση αυτής της ∆Ε καλείται ∆ιάγραµµα Φάσης , , dy
O ydt
άξονες
από το οποίο παίρνουµε σηµαντικές πληροφορίες.
1. Οπουδήποτε πάνω στον οριζόντιο άξονα για 0dy
dt το y κινείται και πρέπει να
αυξάνει µε το χρόνο και από αριστερά προς τα δεξιά. Κατά αναλογία κάθε σηµείο
κάτω από τον οριζόντιο άξονα πρέπει να αντιστοιχεί σε µια αριστερή κίνηση του
y επειδή το αρνητικό πρόσηµο της παραγώγου υπονοεί µείωση του στο χρόνο.
Αυτές οι τάσεις κατεύθυνσης δίνονται µε βέλη στο διάγραµµα. Αυτά τα
αποτελέσµατα είναι ανεξάρτητα από το αλγεβρικό πρόσηµο του y και αν η
γραµµή φάσης µετακινηθεί προς τα αριστερά τα βέλη κατεύθυνσης δεν αλλάζουν.
2. Αν υπάρχει ένα επίπεδο ισορροπίας του y αυτό µπορεί να συµβεί µόνο στον
οριζόντιο άξονα 0dy
dt= όπου το y είναι στάσιµο στο χρόνο. Για να βρούµε την
ισορροπία πρέπει να θωρήσουµε µόνο τη τοµή γραµµής φάσης µε τον οριζόντιο
άξονα. Από την άλλη µεριά για να εξετάσουµε τη δυναµική ευστάθεια της
ισορροπίας θα πρέπει να δούµε αν ανεξάρτητα από την αρχική θέση του y η
γραµµή φάσης οδηγεί πάντα στη θέση ισορροπίας.
3. Οι τύποι µιας διαχρονικής πορείας µπορεί να είναι τρεις. Θέτοντας µια τιµή
ισορροπίας 0y στο πρώτο τύπο η διαχρονική πορεία δίνει ένα συνεχώς
αυξανόµενο (ή µειούµενο) y σε σχέση µε τι τιµή ισορροπίας µε απόκλιση από
αυτήν και τείνει µε αύξοντα ρυθµό επειδή καθώς ακολουθούµε τα βέλη στη
γραµµή φάσης αποκλίνουµε περισσότερο από τον οριζόντιο άξονα , στο δεύτερο
τύπο η διαχρονική πορεία τείνει συνεχώς να συγκλίνει προς τη τιµή ισορροπίας
αν ακολουθήσουµε τα βέλη της γραµµής φάσης και στο τρίτο τύπο να έχω µια
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 99
περιοδικότητα στη διαχρονική πορεία γύρω από τη τιµή ισορροπίας. Γενικά όµως
µπορούµε να πούµε ότι το κλειδί για τη δυναµική ευστάθεια της ισορροπίας ή τη
σύγκλιση της διαχρονικής πορείας οφείλεται στη κλίση της γραµµής φάσης στο
σηµείο τοµής της. Μια θετική κλίση λοιπόν παράγει δυναµική αστάθεια και µια
αρνητική κλίση µια δυναµική ευστάθεια. Στη περιοδικότητα όµως έχουµε ότι το
dy
dtεναλλάσσει συνεχώς τιµές µεταξύ αρνητικού και θετικού άξονα και στα δυο
σηµεία τοµής της η γραµµή φάσης έχει άπειρη κλίση (κάθετες στον οριζόντιο
άξονα). Αυτό σηµαίνει ότι µόνο µερικές τοµές µεταξύ µιας γραµµής φάσης είναι
θέσεις ισορροπίας.
Συµπερασµατικά λοιπόν θα λέγαµε ότι για τη µελέτη της δυναµικής ευσταθείας της
ισορροπίας έχει κανείς δυνατότητα επιλογής είτε να βρει τη διαχρονική πορεία είτε να τη
συµπεράνει από τη γραµµή φάσης της. Ένα τέτοιο µοντέλο είναι το µοντέλο µεγένθυσης
του Solow.
Παράδειγµα 14
Έστω Κ το κεφαλαίο Ι η επένδυση και δ ο ρυθµός απόσβεσης να συνδέονται µε την
σχέση : ( ) ( ) ( )K t I t K tδ′ = − Αυτή η ∆Ε µας λέει ότι ο ρυθµός µεταβολής του κεφαλαίου
ισούται µε τις Νέες επενδύσεις (Ι) µείον την απόσβεση του υπάρχοντος κεφαλαίου (δΚ).
Αν λοιπόν γνωρίζουµε την εξέλιξη των επενδύσεων Ι , και δοθέντος της παραπάνω
σχέση για να προσδιορίσουµε το µέγεθος του κεφαλαίου (capital stoke) σε κάποιο σηµείο
του χρόνου αρκεί να λύσουµε τη παρακάτω ∆Ε . Η λύση της ∆Ε αυτής είναι η
( )t I
K t Ceδ
δ−= + που µας λέει ότι όταν το αποθεµατικό κεφαλαίο φτάσει στο επίπεδο
του Ι/δ (η απόσβεση θα ισούται µε τις νέες επενδύσεις) τότε δε θα υπάρχει παραπέρα
αύξηση ή µείωση στο ύψος του αποθεµατικού κεφαλαίου .
Έχουµε βρει ότι 0( ) ( )
tI IK t K e
δ
δ δ−= − + όπου η Ι/δ είναι η τιµή ισορροπίας του
αποθέµατος κεφαλαίου .
Αφού δ>0 τότε υπάρχει σύγκλιση δηλαδή ( )I
K tδ
→
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 100
ΤΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ WALRASIAN ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΙΜΩΝ
Θεωρούµε τα γνωστά από την οικονοµική θεωρία των συναρτήσεων προσφοράς και
ζήτησης
Έχω λοιπόν ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι οι ( ) ( )
( ) ( )
D
S
q t A Bp t
q t F Gp t
= +
= + µε A,B,F,G>0
Ισορροπία έχω όταν οι συναρτήσεις είναι ίσες άρα :
( ) ( )D S A Fq t q t A Bp F Gp p
G B
−= ⇒ + = + ⇒ =
−
Για κάποιο t λοιπόν θα συµβαίνει αυτό. Αν όµως ( )p t p≠ τότε όσο αλλάζει το t αλλάζει
και η p(t). Με ποιο τρόπο?
Πρέπει να βρούµε το Νόµο κίνησης της τιµής και παριστάνουµε τους ρυθµούς
µεταβολής µιας ποσότητας που είναι συνάρτηση συνεχούς χρόνου µε τη παράγωγο.
Άρα ο Νόµος Κίνησης της τιµής είναι : ( )D Sdp
p a q qdt
′= = − δηλαδή η ταχύτητα
µεταβολής της τιµής είναι ανάλογη του «κενού» προσφοράς και ζήτησης και το a
προσδιορίζει τη ταχύτητα προσαρµογής της τιµής.
Θα έχουµε : 0 D Sp q q′ ⇒ ( αύξηση τιµών) και 0 D Sp q q′ ⇒≺ ≺ (πτώση τιµών)
Βέβαια αναµένουµε να έχει αρνητική κλίση η Dq δηλαδή 0B < και θετική η Sq δηλαδή
0G > . ∆ε θέτουµε όµως περιορισµούς. Θα ψάξουµε να βρούµε τι συµβαίνει , δηλαδή
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 101
ποιοι είναι εκείνοι οι περιορισµοί στο Β και στο G που πρέπει να ισχύουν έτσι ώστε η
τιµή να συγκλίνει στη τιµή ισορροπίας?
Είναι ( ) ( ) ( )D Sp a q q p a B G p a A F′ ′= − ⇒ − − = − έχω ∆Ε άρα η λύση της είναι :
( ) ( )
0( ) [ ]a B G t a G B tA F
p t Ce p p e pG B
− − −−= + = − +
− που ο σταθερός όρος είναι η τιµή
ισορροπίας και συµπίπτει . Συγκλίνει η τιµή αγοράς στη τιµή ισορροπίας?
Θα πρέπει 0G B− > αφού 0a > . Μόνο τότε ο εκθέτης είναι αρνητικός και θα συγκλίνει
Ικανοποιείται αυτή η συνθήκη? Ναι όταν 0B < και 0G > .
ΤΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ΜΕΓΕΝΘΥΣΗΣ ΤΟΥ SOLOW
To υπόδειγµα µεγένθυσης του SOLOW έχει σκοπό να δείξει ότι η πορεία µεγενθυσης
στο υπόδειγµα του DOMAR είναι πρώτα από όλα αποτέλεσµα της ειδικής υπόθεσης
σχετικά µε τη συνάρτηση παραγωγής και ότι κάτω από συνθήκες η ανάγκη ισορροπίας
δε µπορεί να µην υπάρχει.
Στο υπόδειγµα του DOMAR το προϊόν εκφράζεται σαν µια συνάρτηση µόνο του
κεφαλαίου Κ όπου η δυναµικότητα της παραγωγής είναι ένα σταθερό πολλαπλάσιο του
αποθέµατος κεφαλαίου. Η απουσία µιας εργασιακής εισροής στη συνάρτηση παραγωγής
µας οδηγεί στο γεγονός ότι η εργασία είναι πάντα συνδεδεµένη µε το κεφάλαιο µε
σταθερή αναλογία , οπότε µπορούµε να εξετάζουµε έναν µόνο από αυτούς τους
συντελεστές παραγωγής.
Ο SOLLOW αντίθετα θέλει να αναλύσει την περίπτωση όπου το κεφάλαιο και η εργασία
είναι συσχετισµένα αλλιώς (συνδυάζονται µε µεταβλητές αναλογίες). Έτσι προτείνει ως
συνάρτηση παραγωγής για το καθαρό προϊόν την ( , ) ( ,1) ( )K
Y f K L L f L F kL
= = =i i την
οποία θεωρεί γραµµικώς οµογενή µε µερικές παραγώγους θετικές (θετικά οριακά
προϊόντα) και δεύτερες µερικές παραγώγους αρνητικές (φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας –
µακροοικονοµική µορφή).
Οι υποθέσεις του είναι ότι :
1. dK
S Ydt
= i όπου S η οριακή ροπή προς αποταµίευση και Υ το καθαρό προϊόν
και δείχνει ότι µια σταθερή αναλογία του Υ επενδύεται
2. /
0dL dt
cL
= ( σταθερό ρυθµό αύξησης εργασίας)
Βλέπουµε ότι προσδιορίζονται εξαρχής οι ρυθµοί µεταβολής του Κ και του L. Βλέπουµε
όµως ότι αποτελεί ένα πλήρες υπόδειγµα. Λύνοντας το παίρνουµε τη ∆Ε ως προς k µε
δυο παραµέτρους το S , c που είναι και η θεµελιώδες εξίσωση του SOLLOW και είναι:
( ) ( )d k
s F k c kd t
= −i
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 102
7.5 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ∆Ε
Έχουν τη γενική µορφή (1) ( )
0 1( , ( ) , ( ) ,.... ( ) ) 0n
nF x a t y a t y a t y = και η ειδική περίπτωση 2ης
τάξης θα µπορούσαµε να πούµε ότι έχει τη γενική µορφή ( ) ( ) 0y P t y Q t y′′ ′+ + = .
ΟΡΙΖΟΥΣΑ WRONSKI
Αν θεωρήσουµε δυο λύσεις 1 2,y y της ∆Ε 2ης
τάξης τότε η ορίζουσα WRONSKI είναι η
1 2
1 2
y y0
y yW = ≠
′ ′ και τότε οι λύσεις είναι και γραµµικώς ανεξάρτητες (λύσεις της ∆Ε)
και η γενική λύση της ( ) ( ) 0y P t y Q t y′′ ′+ + = έχει τη µορφή 1 1 2 2y c y c y= + (λέµε γενικά
ότι τα 1 2,y y αποτελούν Θεµελιώδη λύση της ∆Ε).
Αντίστοιχα ορίζεται η ορίζουσα WRONSKI για 3ης
τάξης κ.τ.λ. Η βασική της όµως
ιδιότητα είναι η ορίζουσα WRONSKI ικανοποιεί τη ∆Ε ( ) 0dw
P t wdt
+ = που είναι
γραµµική 1ης
τάξης χωριζόµενων µεταβλητών και δίνει ως λύση την ( )
( )P t dt
w t ce−∫= της
αντίστοιχης ∆Ε και ισχύει για κάθε τάξη της ∆Ε.
Η περίπτωση να δίνονται και οι δυο λύσεις που να ικανοποιούν τη ∆Ε είναι τετριµµένη
γιατί είναι απλή αντικατάσταση. Θα δούµε ένα παράδειγµα όπου δεν δίνεται τουλάχιστον
η µια λύση
Παράδειγµα 15
Έστω ότι έχει δοθεί η ∆Ε ( ) ( ) 0y P t y Q t y′′ ′+ + = και έχει δοθεί επίσης ότι 1
ty e= ,
2 (0) 1y = και 2( ) tw t e= . Θα βρούµε τη δεύτερη λύση καθώς και τη γενική .
Λύση
Από την ορίζουσα W προκύπτει ότι 1 2
2 2
1 2
y y
y y
tW y y e′= = − =
′ ′ που είναι µια απλή
γραµµική 1ης
τάξης και έχει λύση την 2 ( ) t
My c t e= . Από τη µέθοδο µεταβολής των
σταθερών επειδή 2 2 ( ) ( )t t t
M My y e c t e e c t t′ ′− = ⇒ = ⇒ = άρα η άλλη λύση της ∆Ε είναι
η 2 2 2
t t
M Oy y y e te= + = + (και από το ΠΑΤ που δίνεται). Άρα και η γενική λύση της ∆Ε
είναι η 1 1 2 2y c y c y= + .
ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ∆Ε ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 2ης ΤΑΞΗΣ
Θα αναφερθούµε στις ∆Ε 2ης
τάξης και οµοίως εφαρµόζουµε και στις παραπάνω τάξης.
Η γενική µορφή τους είναι η 0y ay by′′ ′+ + = µε a,b να είναι σταθερές και η γενική τους
λύση είναι η 1 1 2 2y c y c y= + . Για τη λύση τους εφαρµόζουµε τη µέθοδο της
χαρακτηριστικής αλγεβρικής εξίσωσης. Θεωρούµε την αντικατάσταση
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 103
22
2
1y
dy
dt
d y
dt
λ
λ
→
→
→
και η ∆Ε µετατρέπεται σε αλγεβρική ίση µε 12
2
0bλ
λ αλλ
+ + = ⇒
ρίζες της .
Έτσι καταλήγουµε να διακρίνουµε δυο βασικές περιπτώσεις :
Α) Αν 1 2λ λ≠ τότε η γενική λύση της ∆Ε µε δυο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Για πραγµατικούς είναι : 1 2
1 2
t ty c e c e
λ λ= +
Για µιγαδικές λύσεις των 1,2 1 2b b tλ = ± είναι :
1
1 2 2 2[ c o s ( ) s i n ( ) ]b ty c e b t c b t= +
Β) Αν 1 2λ λ= τότε έχω διπλή ρίζα και οι δυο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι οι :
1
2
t
t
y e
y te
λ
λ
=
=
Παράδειγµα 16
Να λυθεί η ∆Ε 3 2 0y y y′′ ′− + = και η ∆Ε 4 5 0y y y′′ ′− + =
Λύση
Α) Εφαρµόζω τη αλγεβρική εξίσωση κάνοντας την αντικατάσταση:
2
2
2
1y
dy
dt
d y
dt
λ
λ
→
→
→
και προκύπτει ότι είναι 12
2
13 2 0
2
λλ λ
λ
=− + = ⇒
=
άρα η λύση είναι 2
1 2
t ty c e c e= +
Β) Εφαρµόζω οµοίως τη αλγεβρική χαρακτηριστική εξίσωση κάνοντας την
αντικατάσταση
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 104
22
2
1y
dy
dt
d y
dt
λ
λ
→
→
→
και προκύπτει ότι είναι 12
2
24 5 0
2
i
i
λλ λ
λ
= +− + = ⇒
= − (προσοχή οι
µιγαδικές λύσεις είναι πάντα συζυγείς) και άρα η λύση της ∆Ε είναι η
2 2
1 2c o s ( ) s in ( )t ty c e t c e t= +
Παρατηρήσεις
• Στις γραµµικές οµογενείς εξισώσεις ανώτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές η
µεθοδολογία είναι ακριβώς η ίδια
• Η αντικατάσταση είναι η 2 ( )
2
2 ( )1, , ,......
nn
n
dy d y d yy
dt dt dxλ λ λ
→ → → →
• Όταν µας προκύπτει η αλγεβρική εξίσωση φυσικό είναι να µας προκύπτει ένα
πολυώνυµο κάποιου βαθµού ως προς λ. Η εύρεση των ριζών µιας τέτοιας
εξίσωσης είναι γενικά περίπλοκη αλλά συνήθως για τους πραγµατικούς
εφαρµόζοµε τη γνωστή µέθοδο όπου οι ακέραιες ρίζες είναι και διαιρέτες του
σταθερού όρου.
• Οι λύσεις είναι ακριβώς ίδιας µορφής είτε πρόκειται για διαφορετικές ρίζες είτε
για διπλές ρίζες ακόµα και για µιγαδικές (συνήθως αυτές προκύπτουν από
διτετράγωνες αλγεβρικές εξισώσεις)
Η ∆Ε EULER – ∆Ε ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΝΤΑΙ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΩΝ
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ
Υπάρχουν κάποιες ∆Ε γραµµικές ανώτερης τάξης οµογενείς που ναι µεν δεν είναι
σταθερών συντελεστών αλλά µπορούν να µετατραπούν σε σταθερών συντελεστών. Μια
χαρακτηριστική περίπτωση είναι αυτή των ∆Ε EULER και προκύπτει µε τη κατάλληλη
αντικατάσταση. Στην περίπτωση της 2ης τάξης ∆Ε η γενική µορφή της ∆Ε EULER έχει
τη µορφή : 2
2
1 22( ) ( ) 0
d y dyat b c at b c y
dx dx+ + + + =
Το χαρακτηριστικό τους είναι ότι κάθε συντελεστής είναι πολλαπλασιασµένος σε δύναµη
ίση µε τη παραγωγό που αναφέρεται ο συντελεστής (2η παράγωγο – 2
η δύναµη ο
συντελεστής κτλ).
Η λύση βρίσκεται µε την αντικατάσταση x
x e bat b e t
a
−+ = ⇒ =
Βέβαια υπάρχουν και άλλες ∆Ε EULER που χρειάζεται ειδική αντικατάσταση και
συνήθως αυτή έχει σχέση µε τις τριγωνοµετρικές ή τις υπερβολικές συναρτήσεις δηλαδή
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 105
ή µια απλή έκφραση του ηµίτονου ή του συνηµίτονου είτε τις εκφράσεις του ηµίτονου
και του συνηµίτονου σε σχέση µε τα te και χρησιµοποιώντας πάντα τη τριγωνοµετρική
ταυτότητα .
Παράδειγµα 17
Να λυθεί η ∆Ε 2
2
2(2 1) 6(2 1) 4 0
d y dyt t y
dx dx+ + + + =
Λύση
Είναι ∆Ε EULER (όπως περιγράψαµε πριν) οπότε κάνουµε τη γνωστή αντικατάσταση
12 1
2
xx e
t e t−
+ = ⇒ = . Τώρα θα µετασχηµατίσουµε τη ∆Ε και αντί της µεταβλητής t
και των παραγώγων ως προς t θα περιέχει τη µεταβλητή x και τις παραγώγους της y ως
προς x .
Με αλυσιδωτή παραγωγιση λοιπόν προκύπτει ότι :
• 1 1
2 2
xxe dt
t edx
−= ⇒ =
• 2
x
dy
dy dy dx dx
dt dx dt e= =
•
2
2 2
/2 2
2
( ) 4d dxx x
dy d y dy
d y dx dx dx
dt e e
−= =
Αντικαθιστώ όλα αυτά στην αρχική ∆Ε και προκύπτει η 2
22 0
d y dyy
dx dx+ + = που είναι
απλή και λύνεται µε την αλγεβρική εξίσωση και τελικά έχει λύση τη διπλή ρίζα
12
2
12 1 0
1
λλ λ
λ
= −+ + = ⇒
= − άρα η λύση είναι η 1 2( ) x xy x c e c e− −= + και από την
αντικατάσταση 2 1 xt e+ = έχω τελικά ότι 1
1 2( ) ( ln | 2 1 |)(2 1)y t c c t t−= + + +
∆Ε ΜΕ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΕΡΙΚΗ ΛΥΣΗ
Η περίπτωση όπου µας δίνεται µια ∆Ε και δεν έχει σταθερούς συντελεστές αλλά δίνεται
µια µερική λύση αυτής. Η γενική µορφή της θα είναι: 2
12( ) ( ) 0
d y dyP t Q t y y
dt dt
ΜΕΡΙΚΗΣΛΥΣΗΣ+ + = →
Η γενική λύση της ∆Ε βρίσκεται µε την αντικατάσταση 1( )y u t y= αλλά δε θα
εξετάσουµε αναλυτικότερα αυτή τη περίπτωση.
Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 106
ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ∆Ε ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ
Αναφερόµαστε τώρα σε µη οµογενείς ∆Ε (δεύτερο µέλος όχι ίσο µε µηδέν) 2ης
η
ανώτερης τάξης. Η γενική µορφή τους είναι η 2
2( ) ( ) ( )
d y dyP x Q x y F x
dt dt+ + = µε
αντίστοιχη οµογενή την 2
2( ) ( ) 0
d y dyP x Q x y
dt dt+ + =
Πρόταση
Η γενική λύση µιας πλήρους ∆Ε είναι το άθροισµα της γενικής οµογενής και της ειδικής
µη οµογενής (ότι ισχύει και στις γραµµικές 1ης
τάξης). Οπότε σύµφωνα µε τη πρόταση αν
είναι δυνατόν να βρούµε τη λύση της οµογενούς τότε η λύση της µερικής είναι εύκολη
υπόθεση.
Θα πάρουµε όµως µια γενική µεθοδολογία
ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ
Θεωρούµε ότι έχουµε τη ∆Ε 2
2( ) ( ) ( )
d y dyP x Q x y F x
dt dt+ + = . Θεωρούµε αρχικά την
αντίστοιχη οµογενή που είναι η 2
2( ) ( ) 0
d y dyP x Q x y
dt dt+ + = και υποθέτουµε ότι αυτή έχει
δυο λύσεις γραµµικά ανεξάρτητες τις 1 2,y y οπότε η γενική λύση της αντίστοιχης
οµογενούς είναι η 1 1 2 2( ) ( ) ( )Oy t c y t c y t= + µε τα c να είναι σταθερές.
Θεωρούµε την πλήρη ∆Ε 2
2( ) ( ) ( )
d y dyP x Q x y F x
dt dt+ + = και υποθέτουµε ότι έχει µερική
λύση την 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )My t c t y t c t y t= + µε c(t) να είναι συναρτήσεις του t (µεταβολές
σταθερών) τότε η ( )My t θα πρέπει να ικανοποιεί την πλήρης ∆Ε.
Βρίσκουµε τις παραγώγους (εδώ είναι 2ης τάξης άρα τις δυο πρώτες παραγώγους δηλαδή
ανάλογα τη τάξη) της ( )My t δηλαδή τις ( )My t′ και ( )My t′′ που είναι :
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0My t c t y t c t y t c t y t c t y t∆ΕΣΜΕΥΣΗΣ′ ′ ′ ′ ′= + → + =