التوزيعات الاحتمالية

االحتمالية بعضالتوزيعات

ـ : الحدين زى توزيع . The Binomial Distribution اوال

عدم او نجاح معين حدث ظهور هما فقط نتيجتان لها عشوائية نجربة هناك كانت إذانجاح مثل فشل ظهور

عدم او موعدها فى طائرة وصول تالف، او جيد الكهربائى المصباح فشلة، او الطالبالصورة ظهور وصولها،

. ظهورها عدم او نقود قطعة الغاء عندالتجربة هذة أجريت إذا و المرات nـــ من

هو التجربة هذة نجاح احتمال أن أيضا افترضنا اذا هو p . و فشلها احتمال حيث q =1-pوp + q = 1

نفرضأن مرات xــــ عدد الى يرمز و التجربة هذة على المعرف العشوائى التغير هو. التجربة لهذة النجاح

العشوائى للمتغير االحتمال كثافة دالة بالرمز Xتعطى لها نرمز التى بالمعادلة f (x)و

موجب، nحيث صحيح عددأن واضح الشروط هذة نحت

. الحدين ذى مفكوك

كانت أذا العشوائى f(x)ـــ للتغير احتمال كثافة تحقق xدالة أن يجب

أن سبتت

قيم وايضا لجميع و حيث xموجبتانمنها

أن .f(x)نستنتج موجبة

ثانيا 2 ــ

1

أن العشوائى f (x)اى للمتغير االحتمال كثافة دالة شروط يطلق Xنحقق و المنفصلاحتمال كثافة دالة عليها

الحديين العشوائى binomial p.d.fزى التغير أن الحالة هذة فى يقال ذو Xو توزيع يتبعببارا الحديين

بالرمز n.pمرات لذلك يرمز و

الحالة هذة فى أن مثآل قلنا اذا االحتمال و كثافة دالة تكون

الحديين : زى لتوزيع للحزوم المولدة الدالة ــ .ثانيا

قيم . tلجميع الحقيقية

للتوزيع : المعياري االنحراف و الحسابي الوسط ــ ثالثا. سابقآ درسنا كما للحزوم المولدة الدالة من هما سنوجد

2

ـــ : المعتادة بالطريقة الحسابى الوسط

x – 1 = rبوضع

لتكن : ـــ يلى f (x)مثال كما معرفة الحديين زى توزيع احتمال كثافة دالة هى

3

ذلك خالف

)اوجدى للعزوم ( المولدة الدالة

مدرتة أوجدي ثم

العشوائى : للمتغير للعزوم المولدة الدالة كانت أذا ـــ هى Xمثال

يتبعة الذى التوزيع هو Xما

المعيارى األنحراف و الحسابى الوسط اوجدى و الحتمال كثافة دالة اكتبى

4

ــ : الحــــل

ذلك خالف

5

قم : . ( الر يحمل الذى الوجة ظهور نراقب اننا نفرض زهرات ستة القيت ـــ ) .3مثالكثافة دالة اوجدى

بالمتغير الخاصة الرقم ()X(االحتمال ظهور يمثل ) .3وهو

ــ : الحل

ثابت النجاح احتمال

ثابت الفشل احتمال

هى االحتمال كثافة دالة تكون

ذلك خالف

ايجادها الصعب من كان احتماالت عدة يجاد ال االحتمال كثافة دالة استخدام يمكناالولية المبادئ باستخدام . فمثآل. لالحتماالت

الرقم) (1( يحمل واحد وجة على الحصول كثافة) 3احتمال دالة من علية الحصول يمكنالتعويض بعد االحتمال

الرقم ( (2) يحمل االقل على واحد وجة على الحصول علية) 3احتمال الحصول يمكن

ــ : كاألتى

ـ : هامة مالحظة

: ــ اآلتى الشكل يأخذ الحدين زى توزيع N = 1 فأن واحد يســـاوى المحاوالت عدد كان اذا

6

ذلك خالف

ذلك عدا ما

برنولى توزيع اسم علية يطلق مكتشـــــفة Bernoulli Distributionو الى نسبة. الســويسرى الرياضى

هى : الوجة لظهور االحتمال كثافة دالة فأن واحدة مرة عملة الغاء عند ــ مثال

ذلك عدا ما

تكون عندما الحديين ذى توزيع من خاصة حالة يعتبر المذكور التوزيع أن هذا معنى = nو1

. الحديين ذى لتوزيع التراكمية التوزيع دالة

. محاولة تكررت فأذا الحديين ذى توزيع و برنوللى توزيع بين وثيقة عالقة هناك أن واضحمرة n برنولى

كانت المحاولة و فى العشوائى المتغير المتغير Iهى فأن

. الحديين ذى توزيع يتبع

بمعالم الحدين ذى توزيع أن مجموع n, pأى توزيع n هو منها كل يتبع عشوائى متغيربمعلمة .pبرنولى

كانت أذا آخر بمعنى و

بمعلمة برنوللى توزيع منها كل يتبع عشوائية فأن pمتغيرات

بمعالم الحدين ذى توزيع .n, pيتبع

بواسون : توزيع Poisson Distributionثانيآ

7

ذى توزيع شروط عليها ينطبق التى الظواهر بعض نقابل ما احيانآ العملية الحياة فىيكون النجاح احتمال أن يعنى هذا و الوقوع نادرة تكون الحوادث هذة لكن و الحدين

أن القول يمكن فأنة علية و الصفر من يقترب جدآ صغيرمن حيث يقترب أنة أى كبير الفشل احتمال يكون بذلك و ثابت مقدار هى

أن. سنجد فأننا النجاح بعضحاالت نراقب لكى و فمثآل nالواحد جدآ كبيرة تكون سوف " فأننا " القضبان لة المحفصى الشريط على من القطار خروج احتمال حساب اردنا لو

مرات عدد نحسب و منها جدآ كبير عدد او القطارات بمراقبة سنقوم ( حتى ( الحادثة فيها حققت التى النجاح حاالت أى الشريط على من القطار خروج

. االحتمال نحسب أن نستطيع

: ــ كاآلتى التوزيع هذا شروط تكون بذلك و

لهما 1 يرمز و محاولة كل فى الفشل احتمال كذلك و ثابت النجاح احتمال تكون أن ــ.q, pبالرمز المتوالى على

من 2 يقترب الفشل احتمال و الصفر من يقترب و صغيرآ النجاح احتمال يكون أن ــ. الصحيح الواحد

أن 3 حيث جدآ كبيرآ المحاوالت عدد تكون أن .ــ ثابت مقدار

عشوائية متغيرات تقف التى المتقطعة االحتمالية التوزيعات من بولسون توزيع يعتبر والشروط لها منقطعة

يعتبر. و بواسون هو و مكتشـــفة أحد الى نسبة األسم بهذا التوزيع هذا سمى و السابقةبعض المرور، حركة و التليفونية بالمكالمات المتعلقة السائل فى التوزيعات اهم من

االخطاء عدد الطرق، أحدى على الحوادث الحرائق، و الزلزال، مثل النادرة الظواهر . لتوزيع االحتمال كثافة دالة و ذلك غير و كتاب من ما صفحة فى المطبعية

ــ : هى بواسون

ذلك خالف

.e = 2.718حيث ثابت مقدار تمثل

نأخذ .Xو ماالنهاية الى الصفر من اعتبارآ موجة صحيحة قيمآ

ـــ : احتمال كثافة دالة انها اثبات

المتســــلســـلة أن يالحظ

حيث

أن حيث فى و

8

.f (x)الدالة منقطع عشوائى لمتغير احتمال كثافة دالة شروط تحقق

للعزوم المولدة الدالة

قيم . tلجميع الحقيقية

بواسون لتوزيع المعيارى االنحراف و الحسابى الوسط

.المعلمة للتوزيع الحسابى الوسط هى بواسون توزيع فى

. بواســـون لتوزيع التراكمية التوزيع دالة

جدولص يوجد مختلفة 24و قيم عند بواســـون لتوزيع التراكمية الدالة هذة قيم يعطى لــ

هى : الكهربائية اللمبات من نوع انتاج فى المعيبة الوحدات نسبة كانت اذا ــ وان 02مثالالمعيبة الوحدات عدد

. . المطلوب لمبات عشرة من عشوائية عنية سحبنا أننا نفرض بواســـون توزيع يتبع1. المتغير لهذا االحتمالى التوزيع ايجاد ــ

9

2. معيبة واحدة مصدة على الحصول احتمال ــ3. االكثر على معيبة مصدة على الحصول احتمال ــ

ــ : الحل

أن حيث بواســون Xو توزيع هى يتبع االحتمال كثافة دالة

2. معيبة لعدة و وحدة على الحصول احتمال ــ

3. االكثر على معيبة وحدة على الحصول احتمال ــ

بواســون لتوزيع لالحتماالت المولدة الدالة

Probability Generating Function For Poisson Distribution.

10

لالحتماالت المولدة الدالة من بواســـون عزوم اشتقاق

بواســـون لتوزيع تابع

.( البناين ( و المتوسط منها العزوم أيجار و بواســتون لتوزيع لألحتماالت المولدة الدالة

11

بواســـون لتوزيع للتوزيع المميزة الدالة

Characteristic function of poisson Distributio.هى للتوزيع المميزة دالة تعريف أن نعلم

للمتغير بالنسبة فاضلناها اذا Xو

الى بالنسبة بالتفاضل أخرى tو مرة

12

أن أثبات يمكن و

فأن عام يوجة و

منها اليتامين و المتوسط ايجاد و بواســون لتوزيع للتوزيع المميزة الدالة ايجاد الواجب

بواســـونص لتوزيع 176المنوال

Meanالمتوسط Modeالمنوال Medianالوسيط

بواســـون توزيع

13

. المعتادة بالطريقة للعزوم

المتوسط 1 ـــ

14

. منها التباين و المتوسط ايجاد و بواســــون لتوزيع للعزوم المولدة الدالة

15

بواســـون توزيع منوالMode of Poisson Distribution.

أن نالحظ

حاالت ثالث لدينا توجد ذلك على و

أن < أى المقام البسط كان اذا ـــ أ

)f (x) تكون وحيد ( متوال لها متزايدة

البسط كان اذا ــ أن المقام اقلب أى

)f (x)تكون وحيد ( متوال لها متناقصة دالة

المقام = البسط كان اذا ــ ج

ــ 1

1من xنفوضعن

كان اذا مناوالن هناك يكون عند و صحيح عدد

كان إذا بعد إما فورآ يأتي صحيح عدد أول هو يكون المنوال فأن صحيح غير عدد

ــ : توضيحى مثالنفرضان 1 ــ

16

. صحيح عدد

عند بواســـون لتوزيع منواالن هناك عند و يكون أى

. بالرسم ذلك نوضح و

17

نفرضأن ∏بعد فورآ يأتى صحيح عدد أول هو المنوال

عند .أى

18

( بواســون ( لتوزيع التراجع صيغة تكرارية صيغةRecurrence formula for Poisson distribution.

هى بواســـون توزيع فى التكرارية الصيغة أن

ـــ : البرهان

فضاء بعناصر المقترنة االحتماالت تحديد يمكن الصيغة هذة طريق عن اللجوء Xو دونللتعويضفى

حساب P (x) الدالة فقط ذلك يتطلب أنما الالحقة P(0)و االحتماالت بقية تحدد تم من و X = 0للعنصر

بالتعويضفى باآلتى موضح هو كما و الصيغة هذة خالل X = 0ب Iمن

19

فأن عام بشكل و

مترك الهايبرجيو توزيعThe Hypergeometric Distribution

( احتمال ( أن افترضنا بواســون توزيع و الحدين ذى توزيع السابقين التوزيعيين فى . أن بواســـون توزيع فى افترضنا كما مستقلة األحداث أن اى محاولة من ثابت النجاح

على نتعرف أن نريد اآلن و جدآ كبير المحاوالت عدد . هذا و كبير يكون أن يمكن ال المحاوالت عدد و ثابت غير فية النجاح احتمال يكون توزيع

. ارجاع بدون السحب يكون عندما المحدودة للمجتمعات يصلح التوزيعنفرضأن التوزيع هذا دالة على للتعرف و

محدود 1 المجتمع حجم حيث ( Nــ الكوتشينة اى اللعب اوراق مجتمع ذلك N = 52 مثالمن 2 يتكون األول جزئين الى مقسم المجتمع هذا أن نفرض معينة Mــ خاصية لها وحدة

النوع( من األوراقSpade عددها أن 13و من) M = 13أى مكون الثانى الجزء و ،N – M هذة لة ليس و وحدة

الخاصية النوع( من ليست التى الكوتشينة اوراق Spade N – M = 52 – 13 = 39بقية

حجمها 3 المجتمع هذا من عشوائية بطريقة عينة أخذنا أننا نفرض او nــ السحب كان ومفردات اختيار

.( كل ( فى النجاح احتمال أن فطبيعى مستقلة غير الحوادث أن أى ارجاع بدون العينة هذةسوف محاولة

. األخرى المحاوالت عن يختلفعلى 4 الحصول نريد أننا نفرض من xــ بالضبط نجاح , .… ,x = 0,1,2,3,4محاولة nحالةn

قدرها( عينة سحب عند ذلك مثال احتمال n = 5و هو ما الكوتشينة اوراق من كروتعلى الحصول

X = 4 النوع من الحالة spadeكروت هذة فى نوع أى من كرت توزيع xو نتبعمترك المهايبرجيو

ــ : اآلتى الشكل بة الخاصة االحتمال كثافة دالة نأخذ و

20

ــ : اآلتى هى التوزيع هذا تطبيق شروط أن لنا يتضح

1. يملكها ال اآلخر و معينة خاصية يملك قســم قسمين الى المجتمع ينقســم أن ــكذلك 2 و ثابت غير النجاح احتمال أن اى ارجاع بدون يكون الحالة هذة فى السحب ــ

. الفشل احتمالتكون 3 أن يجب .Nــ جدآ كبيرة تكون ال أى محدودة

احتمال 2مثال حساب المطلوب و ورقات خمسة اللعبسحبت اوراق مجموعة منو ولدين على الحصول

3. أرجاع بدون يتم السحب أن العلم مع نوع أى من أوراق

ــ : الحل

هى االحتمال كثافة دالة تكون و

الحصول احتمال فمثآل االحتمال كثافة دالة من نريدة احتمال أى على الحصول يمكن وكرتين 3على و أوالد

. هو نوع أى من

على الحصول . = 5الن صفر مستحيل حدثأ أوالد

من : 3مثال مكونة مجموعة منها (25ــ عينة) 10وحدة سحينا أننا نفرض معيبة وحداتخمســة من مكونة

. الحصول احتمال أيجاد المطلوب أرجاع بدون السحب كان و عشوائية بطريقة وحداتسليمة) 5على ( وحدات

على ( الحصول احتمال كذلك .4و معيبة) وحدات

ــ : الحلــ : اآلتــى الشكل نأخذ االحتمال كثافة دالة فأن ارجاع بدون السحب حيث

21

معيبة وحدات على الحصول عدم اى سليمة وحدات خمسة على الحصول احتمال منها وx = 0 هو

رقم 4مثال مثال .2من االكتر على واحد ولد على الحصول احتمال اوجدى

ــ : التوزيع خصائص

أن 1 اثبات . f (x)ــ أن أى احتمال كثافة دالة هى

ــ : البرهان

أن نالحظ

برهان بدون سنستخدمها هامة عالقة

22

سيصبح البسط فأن السابقة العالقة باستخدام و

. المهايبرجيومترك لتوزيع المعياري االنحراف و الحسابي الوسط

ــ : نظرية

كانت فأن Xاذا هايبرجيومترك تتوزيع

المتوسط أن أى فى ــــ النجاح احتمال فى مفرومآ العيــنة حجم

المجتمع.

المعيارى ( ) االنحراف و فى = = 2ــــ مفرومآ العينة حجم احتمال التبايين هو و

فى مضروبآ المجتمع فى فى النجاح الفشــل احتمال هو و

فى مضروبآ يكون المجتمع عندما الصحيح الواحد يســاوى مقدار هو و

. المحدودة للمجتمعات التصحيح اسم علية يطلق و بأرجاع السحب

ـــ : األثــبات

23

ــ : كاآلتى البسط على مباشرة العالقة استخدام ممكن أخرى طريقة

24

عند عند بوضع

. هايبرجيومترك لتوزيع التبايين

25

اآلن سنوجد

فأن عند نضع

فان عند

26

. احتمال كثافة دالة ألنها

نصلح و المقامات نوجد

وضعنا : اذا ـــ الوسط مالحظة لتوزيع فأن

يكون الهايبرجيومترك

27

. االنحراف و الحدين ذى لتوزيع الحســابى للوسط مســاويآ

فى = مقرومآ الحدين ذى لتوزيع المعيارى االنحراف الهايبرجيومترك لتوزيع المعيارىهذا يسمى المقدار

.المقدار المجتمعات تصحيح بمعامل

. جيومترك الهايبر لتوزيع التراكمية التوزيع دالة

ـــ : جيومترك الهايبر لتوزيع كتقريب الحدين ذى تقريب

الهايبرجيومترك توزيع عليها يطبق التى للحاالت كتقريب الحدين زذ توزيع استخدام يمكنتكون اال )N(بشرط

ـــ : اآلتى بالمثال ذلك توضيح يمكن و جدآ صغيرةمن ( مكونة من) (5عينة مكونة مجموعة من عشوائية بطريقة اختيرت وحدة) 50وحدات

على ( ) 5تحتوىو الحدين زى باسـتخدام المختلفة االحتــماالت حســاب المطلوب و معيبة وحدات

و جيومترك الهايبر التوزيع. بينهما المقارنة

ثابتـآ : يكون سوف النجاح احتــمال فأن بأرجــاع تم الســحب أن افترضنا اذا اوآل ــ الحلمقدارة و

الفشــل احتــمال يكون بذلك و

هى الحدين زى لتوزيع االحتــمال التوزيع دالة تكون و

يقيم بالتعويض على xو نحصل .المختــلفة الجدول فى الموضحة

ــ : ثانيآ

و ثابت غير الفشــل احتمال كذلك و النجاح احتمال فأن ارجاع بدون الســحب كان اذاكثافة دالة تكون

28

هى هايبرجيومترك لتوزيع االحتــمال

بقــيم بالتعويض نحسـب xو ــ :f (x)المختــلفة اآلتى بالجدول المـوضحة

X توزيع باسـتتخدام االحتــماالت الحدين زى توزيع باســتخدام االحتــماالتالهايبرجيومترك

زى توزيع اعتبار يمكن بذلك و بعضها من نقترب االحتــماالت أن الجدول من يتضـحجيد تقريب الحدين

تكون عندما الهايبرجيومترك . nلتوزيع . أنة الى ننوة أن يجل لكن و جدآ صغيرة ليسـتالسـحب حالة فى

حالة فى أما المضبوط االحتـمال يعطى الذى هو الحدين زى توزيع يكون بأرجـاعارجاع بدون السـحب

. المضبوط االحتـمال يعطى الهايبرجيومترك توزيع فأن

29

30

31

32

33

34

35

36