Top Banner
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА, ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ ЧИСЕЛ
35

комплексні числа

Jul 20, 2015

Download

Documents

Natali Ivanova
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: комплексні числа

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА, ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ ЯК РОЗШИРЕНЯ МНОЖИНИ ДІЙСНИХ

ЧИСЕЛЧИСЕЛ

Page 2: комплексні числа

Зміст• І Вступ• ІІ Основна частина• 2.1 Уявна одиниця. Означення комплексного числа.• 2.2 Двовимірність комплексного числа.

Геометрична інтерпретація. • 2.3 Тригонометрична форма запису комплексного

числа• Модуль числа.• Аргумент.• Тригонометрична форма.• 2.4 Дії над комплексними числами.• 2.5 Спряжені комплексні числа.• 2.6 Застосування комплексних чисел.• ІІІ Висновки• ІV Список використаних джерел інформації

Page 3: комплексні числа

Обчислити: 144

25,6

256

64

900−

Page 4: комплексні числа

Уявна одиниця

i – початкова буква французького слова

imaginaire – «уявний»

Page 5: комплексні числа

Наприклад,

i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=−i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=−i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=− i6136)1(3636 =−⋅=−⋅=−

Page 6: комплексні числа

Множина дійсних чисел

Множину дійсних чисел можна подати у вигляді числової прямої

Page 7: комплексні числа

Множина комплексних чисел

• Простір комплексних чисел двовимірний

Page 8: комплексні числа

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=

−==⋅=⋅==⋅=⋅=

=−−=−=⋅−==−=−==

−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=

−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

ii =1 ii =1

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅==−−=−=⋅−==

−=−==−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=

−==⋅=⋅==⋅=⋅=

=−−=−=⋅−==−=−==

−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

.1

;)1(

;1

;1

;1)1(

;)1(

;1

;

78

67

256

45

234

23

2

=⋅−=⋅=−=⋅−=⋅=

−==⋅=⋅==⋅=⋅=

=−−=−=⋅−==−=−==

−=

iiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

iiiiii

iiiii

i

i

Page 9: комплексні числа

Значення степенів числа i повторяються з періодом, що дорівнює 4.

Знайти:

.;; 1353328 iii

Page 10: комплексні числа

Розв'язання.

i ,– 1, – i ,  1  ,  i, – 1, – i, 1 тощо.

Маємо, 28 = 4×7 (без остачі);

33 = 4×8 + 1 ;

135 = 4×33 + 3 . Відповідно отримуємо:

.;;1 1353328 iiiii −===

Page 11: комплексні числа

Комплексні числа

Означення 1. Числа виду a + bi, де a і b – дійсні числа,

i – уявна одиниця,

називаються комплексними. a - дійсна частина комплексного числа,

bi – уявна частина комплексного числа,

b – коефіцієнт при уявній частині.

Page 12: комплексні числа

VII сторіччя

Квадратний корінь з додатного числа має два значення – додатне і від'ємне, а з від'ємних чисел квадратні корні вилучити не можна: не існує такого числа х, щоб х2 = -9.

Page 13: комплексні числа

XVI сторіччя

Оскільки вивчались

кубічні рівняння, виникла необхідність вилучення квадратних коренів

з від'ємних чисел.

Першим вченим, що запропонував ввести числа нової природи, був Джорж Кордано.

Page 14: комплексні числа

Він запропонував

Кордано назвав такі величини “чисто від'ємними” або навіть

“софічно від'ємними”, вважаючи їх непотрібними і намагався не

використовувати їх.

ааа =−⋅−

Page 15: комплексні числа

У 1572 році італійський вчений

Бомбелі випустив книгу, в якій було встановлено перші правила арифметичних операцій над комплексними числами.

Page 16: комплексні числа

Назву “уявні числа” ввів французький математик і філософ Р. Декарт

У 1637році

Page 17: комплексні числа

один із значних математиків XVIII сторіччя – Л. Ейлер запропонував використовувати першу букву французького слова imaginare (уявний) для позначення

У 1777 році

Page 18: комплексні числа

a + bi = c + di, якщо a = c і b = d.

Закон 1

Page 19: комплексні числа

Розв'язання.

Згідно умови рівності комплексних чисел маємо 3y = 15, 5x = – 7. Отже .5,

5

7 =−= yx

Знайти x і y з рівності:

3y + 5xi = 15 – 7i;

Наприклад.

Page 20: комплексні числа

(а+bi)

Віднімання

=(a+c)+(c+di)

Додавання

(b+d)+ i

(а+bi)- (c+di)=(a-c)+ (b-d)i

Page 21: комплексні числа

Виконати дії:

z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i.

Знайти: а) z1 + z2; б) z1 – z2;

а) z1 + z2 =(2 + 3i) + (5 – 7i) = =(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;

б) z1 – z2 =(2 + 3i) – (5 – 7i) = =(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;

Розв'язання.

Page 22: комплексні числа

Множення

(c+di)

= ac bсi

=

+ ++аd bd

(а+bi)

i =

= (ac-bd) + (аd+bc)i

i2

Page 23: комплексні числа

Виконати дії:

(5 + 3i)(5 – 3i)

(2 + 3i)(5 – 7i)

(2 – 7i)2

=

=

=

= (10+21) + (-14+15)i = 31+i

25-9i2 = 34

4 - 28i + 49i2 ==

-45-28i

25m2+16(5m-4i)(5m+4i)

25m2 -16i2 =

=

Page 24: комплексні числа

Означення. Два комплексних числа називаються спряженими, якщо вони відрізняються один від одного тільки знаками перед уявною частиною.

z1= a + bi і z2= a - bi

Page 25: комплексні числа

Ділення

i

i

75

32

−+

i

i

75

32

−+

i

i

75

75

++

74

2911 i+−i

74

29

74

11 +−

=

=

=

Page 26: комплексні числа

Виконати дії:

2741

)4()32(i

i

ii +−

−++

i

i

−+

1

26

i

i

−+

1

26i

i

++⋅

1

1i4− =

2

84 i+i4− =

= 2

Page 27: комплексні числа

набагато

в математиці

ширше,

комплексні числавикористовуються

дійсні

ніж

Page 28: комплексні числа

Комплексні числа мають

прикладне значення в богатьох галузях науки, являються

основновою для розрахунків

в електротехніці та зв’язку.

Page 29: комплексні числа

Застосування при конструюванні

ракет та літаків

Page 30: комплексні числа

При кресленнігеографічних

карт

Page 31: комплексні числа

В дослідженні

течії води, а також в інших науках.

Page 32: комплексні числа

• А фрактали? Вони прекрасні і загадкові. Їх відкрили не так давно і їх дослідження стало можливим завдяки появі потужної обчислювальної техніки і існуванню комплексних чисел. Існують фрактали геометричні і алгебраїчні, для задання останніх часто використовують комплексні числа.

Page 33: комплексні числа

• Класичний приклад алгебраїчного фрактала є множина Мандельброта, яка будується за формулою Z = Z2 + a, де Z і a — комплексні числа у просторі R2: дійсна частина а — координата (х) комплексної площини; уявна частина а — координата (у) комплексної площини; Z — циклічна змінна.

Page 34: комплексні числа

Висновки• Отже, Виконуючи дану роботу, я ознайомився з поняттям

комплексних чисел, способами задання та їх застосуванням. Я помітив, що операції над комплексними числами суттєво відрізняються від операцій з дійсними числами, а геометричний зміст комплексного числа дозволяє розв’язувати задачі та теореми планіметрії за допомогою саме комплексних чисел.

• Досліджуючи літературу з даної теми я зрозумів, що для детального вивчення питань застосування комплексних чисел на практиці, необхідно більш глибоке вивчення сучасної математики: теорії матриць, диференціального числення тощо.

Page 35: комплексні числа

Висновки

• Через це, в практичній частині, я обмежився розв’язанням деяких рівнянь шкільного курсу, розширивши при цьому множину дійсних чисел і навчившись знаходити уявні корені цих рівнянь. Ця робота – лише вершина великого айсберга. З цією темою можна пов’язувати і подальші дослідження в галузі математики.