Дуже багато рівнянь є в житті, Потрібно для кожного корінь знайти. Ви ж починаєте з парти шкільної, З пошуків «ікс» та задачі важкої. Раджу: хай труднощі вас не лякають, Той переможе, хто їх подолає. Вчитель математики Ціпківської ЗОШ І-ІІ ступенів Ткаченко Н. М.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Дуже багато рівнянь є в житті,
Потрібно для кожного корінь знайти.
Ви ж починаєте з парти шкільної,
З пошуків «ікс» та задачі важкої.
Раджу: хай труднощі вас не лякають,
Той переможе, хто їх подолає.Вчитель математики Ціпківської ЗОШ І-ІІ ступенів Ткаченко Н. М.
Означення.Квадратним рівнянням називається рівняння
виду:
ах2 + bх + с = 0,
де х — змінна, а, b, с — деякі числа, причому
а ≠0. Числа а, b, с — коефіцієнти квадратного
рівняння, причому а називається першим
коефіцієнтом, b — другим коефіцієнтом , с —
вільним членом.
Способи розв'язування квадратних рівнянь:
Спосіб групування з наступним розкладанням на множники.
Графічний спосіб.
Спосіб виділення повного квадрата двочлена.
Розв'язування за формулою коренів квадратного рівняння.
Розв'язування за теоремою оберненою до теореми Вієта.
Спосіб групування з наступним розкладанням на множники
2х2– 85х + 875 = 0.
Подамо рівняння у вигляді:
2х2– 50х – 35х + 875 = 0,
тоді
2х (х – 25) – 35(х – 25) = 0,
(х – 25) (2х – 35) = 0,
Прирівнюючи до нуля кожен з множників дістанемо
х1 = 25, х2 = 17,5.
Графічний спосіб
х2– 5х + 6 = 0.
Перепишемо рівняння так:
х2=5х–6.
Побудуємо у спільній системі координат графіки функцій
у 1= х2 і у2 = 5х–6.
Абсциси точок перетину графіків функцій
х1 = 2, х2 = 3
і будуть коренями даного рівняння.
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
x
Спосіб виділення повного квадрата двочлена
Виділимо повний квадрат двочлена: х 2 +2х -3 = 0;
х2 +2х +1-1-3 = 0;(х +1)2 - 4 = 0.
Можливі два варіанти розв'язання:
І. (х +1 - 2) (х +1 +2) = 0; (х -1 ) (х +3) = 0.
х -1=0; х+3 =0
х 1= 1; х2 = -3
ІІ. (х +1)2 = 4; |х +1| = 2;
х +1= 2; х +1 = -2;
х 1 =1; х2 = -3.
Розв'язування за формулою коренів квадратного рівняння
Формула коренів квадратного рівняння:
, де D =b 2- 4ас (― дискримінант ‖-у
перекладі з латинської мови - розрізнювач)
Причому, якщо D>0, то рівняння має 2 корені;
якщо D=0, то рівняння має 1 корінь;
якщо D<0, то рівняння не має коренів.
Використовуючи таблицю дайте відповідь:
чи існує залежність між знаками коренів квадратного рівняння і знаком вільного члена; чи існує залежність між другим коефіцієнтом і коренями квадратного рівняння;
Розв'язування за теоремою оберненою до теореми Вієтазведених квадратних рівнянь
Рівняння х 1 + х2 х 1 · х2 х 1; х2
х 2 +2х -3 = 0
х 2 +7х + 10 = 0
х 2 -2х -24 = 0
х 2 -7х + 6 = 0
х 2 +3х -10 = 0
-2
-3
2
7
-3
-3
10
-24
6
-10
1;-3
-2;-5
6; -46; 12;-5
У загальному вигляді залежність між
коренями квадратного рівняння
х 2 +pх + q = 0
і його компонентами записується так:
х 1 + х2= –p
х 1 · х2 = q
Франсуа Вієт
Уперше сформульовані залежності виявив Франсуа Вієт (1540-1603), його поправу вважають “ батьком сучасної алгебри ”. Вієт також ввів буквене позначення невідомих, саме від нього бере початок сучасна алгебраїчна символіка. В останні роки свого життя він був радником французьких королів Генріха ІІІ і Генріха ІV.
Хід пошуку коренів квадратного рівняння
Перевірити, чи сума коефіцієнтів дорівнює нулю. Якщо так, то х 1=1, х2= .
Змінити знак другого коефіцієнта і знову обчислити суму
коефіцієнтів. Якщо сума дорівнює нулю, то х 1=–1, х2= – .
Якщо рівняння зведене, то застосувати теорему обернену
до теореми Вієта.
Якщо рівняння повне, визначити, чиє ліва частина повним
квадратом. Якщо так, то застосувати формулу квадрата
двочлена і знайти корінь рівняння кратності два.
Якщо коефіцієнт b поділяється на 2, то .
Окремий випадокРівняння виду ах2 + bх + с = 0 можна розв'язати за
теоремою Вієта.
Розв'язання. 2х2 –3х –2 = 0.
Розв'яжемо схоже зведене квадратне рівняння х2 –3х –4 = 0,