Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 1 Παρασκευή, 25 Ιανουαρίου 2013 Άλγεβρα Α’ Λυκείου Γενικά – Πολυώνυμα – Εξισώσεις – Ανισώσεις – Συναρτήσεις Γενικά 1. Δυνάμεις Γνωρίζουμε ότι, η δύναμη v α με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό v 1 είναι το γινόμενο από v παράγοντες ίσους με α . Δηλαδή, v v παραγοντες α ααα αα . Ορίζουμε ακόμη ότι 1 α α , 0 α 1 με α 0 και ν ν 1 α α με α 0 και ν 1,2,3, . Για τις δυνάμεις, με εκθέτες ακέραιους αριθμούς ισχύουν οι ιδιότητες : μ ν μ ν μ ν μ ν ν ν ν ν ν ν ν ν μ ν μν α α α α :α α α α α β (α β) β β α β ( α ) α β α 2. Ρίζες Γνωρίζουμε ότι, η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α . Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α . Επομένως, αν α x , τότε 2 x α ή 2 ( α) α . Ορίζουμε ακόμα ότι 0 0 . Ιδιότητες ριζών μη αρνητικών αριθμών :
Η παρουσίαση μου περιλαμβάνει μια εισαγωγή από κάποιες βασικές έννοιες των πραγματικών αριθμών, αλγεβρικές παραστάσεις και πολυώνυμα, εξισώσεις και ανισώσεις 1ου και 2ου βαθμού (μαζί φυσικά με τους τρόπους επίλυσης αυτών) και συναρτήσεις.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 1
Παρασκευή, 25 Ιανουαρίου 2013
Άλγεβρα Α’ Λυκείου
Γενικά – Πολυώνυμα – Εξισώσεις – Ανισώσεις – Συναρτήσεις
Γενικά
1. Δυνάμεις
Γνωρίζουμε ότι, η δύναμη vα με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό
αριθμό v 1 είναι το γινόμενο από v παράγοντες ίσους με α .
Δηλαδή, v
v παραγοντες
α α α α α α .
Ορίζουμε ακόμη ότι 1α α ,
0α 1 με α 0 και
ν
ν
1α
α με α 0 και ν 1,2,3, .
Για τις δυνάμεις, με εκθέτες ακέραιους αριθμούς ισχύουν οι ιδιότητες :
μ ν μ ν μ ν μ ν
ννν ν ν
ν
ν ν
μ ν μ ν
α α α α : α α
α αα β ( α β )
β β
α β( α ) α
β α
2. Ρίζες
Γνωρίζουμε ότι, η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικός
αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α .
Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α .
Επομένως, αν α x , τότε 2x α ή
2( α ) α . Ορίζουμε ακόμα ότι 0 0 .
Ιδιότητες ριζών μη αρνητικών αριθμών :
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 2
α α α β α β , αν α 0 και β>0
ββ.
3. Διάταξη και Πράξεις
Γνωρίζουμε ότι από δύο αριθμούς, μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται
δεξιότερα πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
Έτσι το 2 1,5 1 0 0,5 1 κτλ.
ή 1 0,5 0 1 1,5 2 κτλ.
Δηλαδή, οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι πάνω στον άξονα των
πραγματικών αριθμών. Εάν πάρουμε δύο αριθμούς, για παράδειγμα τους 5 και
2 , για τους οποίους ισχύει ότι 5 2 , παρατηρούμε ότι είναι και 5 2 3 0 .
Ομοίως, για τους αριθμούς 6 και 8 .
Γενικά, για δύο πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύουν τα ακόλουθα :
αν α β , τότε α β 0
αν α β , τότε α β 0 .
Ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού :
Αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό,
προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.
Δηλαδή, αν α β , τότε α γ β γ .
Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας
φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.
Δηλαδή, αν α β και γ δ , τότε α γ β δ .
Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό,
τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.
Δηλαδή, αν α β και γ 0 , τότε α γ β γ .
Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με αρνητικό αριθμό, τότε
προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς.
Δηλαδή, αν α β και γ 0 , τότε α γ β γ .
4. Απόλυτη Τιμή πραγματικού αριθμού
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 3
Θεωρούμε έναν αριθμό α , ο οποίος μπορεί να είναι κάποιος από τους αριθμούς
του άξονα των πραγματικών αριθμών που συναντήσαμε στην αρχή του
κεφαλαίου.
Απόλυτη τιμή αυτού του πραγματικού αριθμού είναι η απόστασή του από την
αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο (0,0 ) .
Η απόλυτη τιμή του αριθμού α συμβολίζεται με α .
Προκύπτουν τρείς διαφορετικές περιπτώσεις για την απόλυτη τιμή :
a) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι α α , για παράδειγμα 3 3 ,
b) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι 0 0 και
c) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι α α , για παράδειγμα
3 ( 3 ) 3 .
Ασκήσεις στο Απόλυτη Τιμή πραγματικού αριθμού
Άσκηση η
1 : Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο x , αν α) x 5 και β) x 4 6 .
Άσκηση η
2 : Να λυθούν οι εξισώσεις α) x 4 2 x 1 και β) x 2 x .
Άσκηση η
3 : Να λυθεί η εξίσωση 3 x 1 2x 1 .
Άσκηση η
4 : Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει το x όταν α) x 1 0 ,
β) x 6 , γ) 2 x 3 , δ) x 1 1 και ε) x 5 .
Άσκηση η
5 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 x 4 2 x 5 ,
β) ( 3 x 5 ) ( x 2 ) 2( x 1) 3 και
γ) ( 2 x 1) ( 3 x 7 ) 5 [( x 3 ) 4 x ] .
Αλγεβρικές Παραστάσεις
1. Μονώνυμα
Οι εκφράσεις 4 α , 2α , 2α 3β , α β που περιέχουν μεταβλητές λέγονται
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 4
αλγεβρικές παραστάσεις.
Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς
και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που
λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής αυτής παράστασης.
Έτσι, για α 5 η τιμή της αλγεβρικής παράστασης 4 α είναι 4 5 20 και η
τιμή της 2α είναι
25 25 .
Στις αλγεβρικές παραστάσεις 4 α , 2α , α β σημειώνεται μόνο η πράξη του
πολλαπλασιασμού. Τέτοιες παραστάσεις έχει επικρατήσει να τις λέμε μονώνυμα.
Σε ένα μονώνυμο, για παράδειγμα 23αβ
8, ο αριθμητικός παράγοντας
3
8 που
συνήθως γράφεται πρώτος, λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το
γινόμενο όλων των άλλων μεταβλητών του 2αβ , λέγεται κύριο μέρος του
μονωνύμου.
Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν ίδιο κύριο μέρος, όπως τα
3 2 3 2 3 224x y ,8x y , x y
5, λέγονται όμοια μονώνυμα.
Ιδιότητες μονωνύμων :
Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοιο με αυτά μονώνυμο που
έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών.
Δηλαδή, 2 2 2 22x 6x ( 2 6 )x 8x .
Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το
γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές
με εκθέτη σε καθεμία το άθροισμα των εκθετών της.
Δηλαδή, 2 2
2 1 8α β 8 α β8α β 4α
2αβ 2αβ 2 α β.
Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια μεταξύ τους, για
παράδειγμα 22x 6x , λέγεται πολυώνυμο.
2. Αναγωγή Ομοίων Όρων
Σε ένα άθροισμα, για παράδειγμα το 3 5 1 7 , οι προσθετέοι 3,5, 1,7
λέγονται κα όροι του αθροίσματος.
Ομοίως και σε μια αλγεβρική παράσταση, για παράδειγμα την 23α 5β 4α β 2 , τα μονώνυμα 23α , 5β,4α,β, 2 λέγονται επίσης
όροι της αλγεβρικής παράστασης. Στην παράσταση αυτή, αν αντικαταστήσουμε
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 5
με τα όμοια μονώνυμα ή όπως λέμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους,
έχουμε : 2 2 2 23α 5β 4α β 2 3α 4α 5β β 2
2 2( 3 4 )α ( 5 1)β 2 7α 4β 2 .
Όπως βλέπουμε, η αρχική αλγεβρική παράσταση που είχε πέντε όρους, έχει
συμπτυχθεί σε μια άλλη με τρείς όρους.
Γενικά, σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαθιστούμε τους όρους με το άθροισμά
τους και η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.
3. Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων
Στην αλγεβρική παράσταση 22x( 3x 4 ) , που είναι γινόμενο με παράγοντες το
μονώνυμο 2x και το πολυώνυμο 23x 4 , μπορούμε να εφαρμόσουμε την