2.1 ТЕОРЕМА ЗА ИЗМЕНЕНИЕ НА КИНЕТИЧНИЯ МОМЕНТ НА СИСТЕМА ОТ ТЕЛА Зад.1 Показаната на фиг.1.1 система в началния момент е в покой. Системата се привежда в движение от теглото на тяло 1. Да се определи законът за движение на тяло 1, ако триенето в лагерите се дава с момента . Фиг. 1.1 Дадено: Търси се: kg kg kg m Nm m Решение: Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент във векторен вид: , (1) където е кинетичният момент на системата за т. , а е главният момент на системата сили за същата точка. Определяме и последователно и след заместване в (1) получаваме закона за движение на 1. 1. Определяне на кинетичния момент на системата за т.О Фиг. 1.2 Търсим закона за движение на тяло 1 и затова изразяваме скоростите на тела 2 и 3 чрез тази на тяло 1 (Фиг.1.2): , . 1.1 Кинетичен момент на тяло 1 за т. Тяло 1 извършва транслация, затова кинетичният му момент се определя по формулата: , (2) където е количеството на движение на тяло 1. Тогава (2) става: 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2.1 ТЕОРЕМА ЗА ИЗМЕНЕНИЕ НА КИНЕТИЧНИЯ МОМЕНТ НА СИСТЕМА ОТ ТЕЛА
Зад.1Показаната на фиг.1.1 система в началния момент е в покой. Системата се привежда в движение от
теглото на тяло 1. Да се определи законът за движение на тяло 1, ако триенето в лагерите се дава с момента .
Фиг. 1.1
Дадено: Търси се:kg
kg
kg mNm
m
Решение:
Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент във векторен вид:
, (1)
където е кинетичният момент на системата за т. , а е главният момент на системата сили за същата
точка. Определяме и последователно и след заместване в (1) получаваме закона за движение на 1.
1. Определяне на кинетичния момент на системата за т.О
Фиг. 1.2
Търсим закона за движение на тяло 1 и затова изразяваме скоростите на тела 2 и 3 чрез тази на тяло 1 (Фиг.1.2):
,
.1.1 Кинетичен момент на тяло 1 за т. Тяло 1 извършва транслация, затова кинетичният му
момент се определя по формулата:
, (2)
където е количеството на движение на тяло 1. Тогава (2) става:
.
1.2 Кинетичен момент на тяло 2 за т. Тяло 2 извършва ротация и затова кинетичният му
момент се дава с формулата:
,
където е инерционният момент на тяло 2 спрямо т. /по-
коректно е да се каже спрямо оста, минаваща през т. и перпендикулярна на равнината на движение/.
,
.
1.3 Кинетичен момент на тяло 3 за т.
1
Тяло 3 извършва транслация и затова кинетичният му момент се определя по формулата:
, (3)
където е количеството на движение на тяло 3. Тогава (3) става:
.
1.4 Общ кинетичен момент на системата от тела спрямо т.
. (4)
2. Определяне на главния момент на външните сили за т.О.
Фиг. 1.3
Поставяме действащите върху системата сили и моменти. Това са теглата на трите тела , и , приложени в центровете им на тежестта и насочени вертикално надолу, моментът с посока, обратна на посоката на въртене и
опорните реакции и в неподвижната опора (Фиг.1.3).
Главният момент на системата сили за т. е:
Nm. (5)
Тук , и не дават момент, защото пресичат т. (Фиг.1.3).
3.Определяне на закона за движение на тяло 1
Замествайки (4) и (5) в (1), получаваме:
.
Решаваме това диференциално уравнение (то е с отделящи се променливи) по следния начин:
,
,
и като краен резултат получаваме законът за скоростта и законът за движение на тяло 1 с точност до две интеграционни константи:
,
,
които определяме от началните (граничните) условия на движението:,
.
Окончателно, законът за движение на тяло 1 е:
.
Зад.22
Еднородна квадратна плоча с маса kg и страна m е свързана с вертикална ос и се върти
около нея с ъглова скорост s-1. В произволен момент, върху нея започва да се движи топче с маса
kg по закона [ m, s].
Да се определи ъгловата скорост на плочата във функция на времето след започване на движение на топчето.
Забележка: Всички съпротивления да се пренебрегнат!
Фиг. 2.1
Дадено: Търси се:kg
kg
m
s-1
Решение:
Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент:
, (1)
където е кинетичния момент на системата спрямо оста , а е главния момент на системата сили спрямо същата ос.
1. Определяне на
Фиг. 2.2
При тази задача решението започва с определяне на . За целта първо ще поставим действащите на системата сили – това са теглото на квадрата , теглото на топчето и опорните реакции. Всички сили обаче, не дават момент спрямо оста – теглата на телата, защото са успоредни на нея, а опорните реакции – защото я пресичат.
В такъв случай и в сила е законът за съхранение на кинетичния момент:
,
(2)
В (2) е кинетичният момент на системата в първия
момент от движението, а е кинетичния момент на системата в
момента, за който търсим . Ще определим последователно двата кинетични момента, ще ги заместим в (2) и след решаване на уравнението ще получим .
2. Определяне на
3
Фиг. 2.3
В първия момент от движението, плочата се върти около оста , а топчето е неподвижно върху нея /топчето е в покой спрямо плочата/ (Фиг.2.3).
2.1 Определяне на кинетичния момент на
плочата
Плочата извършва ротационно движение около оста . Тогава кинетичния й момент е:
,
където е инерционния момент на плочата
спрямо оста , а е ъгловата скорост на
системата в началния момент: .
Определяне на
Инерционния момент за главна ос е:
,
където и .
В нашия случай обаче, оста , около която се върти плочата, не е главна. В такъв случай инерционният момент се определя с помощта на теоремата на Щайнер.
Фиг. 2.4
За инерционните моменти по осите и получаваме (Фиг.2.4):
,
,
а за инерционния момент по :
= .
kgm2/s.
2.2 Определяне на кинетичния момент на топчето
Движението на топчето се състои от две компоненти – релативна и преносна. Релативният закон за движение е , а релативната скорост . Това означава, че в момент релативната
скорост на топчето също е нула, т.е. единствената скорост на топчето е преносната .
Тогава, кинетичният му момент е:
,
където е количеството на движение на топчето в първия момент:
4
,
,
.
Тогава кинетичният момент на топчето става:
kgm2/s.
2.3 Определяне на
kgm2/s.
3. Определяне на
Фиг. 2.5
В следващия момент от движението плочата продължава да се върти около оста , а топчето вече се движи праволинейно върху нея по едната му страна (Фиг.2.5).
3.1 Определяне на кинетичния момент на плочата
Плочата извършва ротационно движение около оста . Тогава кинетичния й момент е:
,
където е инерционния момент на плочата спрямо оста ,
а е търсената ъглова скорост на системата – . Инерционният момент на плочата не се променя:
.
Тогава:
.
3.2 Определяне на кинетичния момент на топчето
В разглеждания момент топчето вече се движи върху едната страна на плочата. Това означава, че
скоростта му има две компоненти – релативна и преносна . Кинетичният му момент е:
.
Знакът пред е минус, тъй като движението на топчето спрямо плочата е обратно на въртенето й!
Определяне на
Релативното движение на топчето е праволинейно по страната на плочата. Релативната му скорост е успоредна на тази страна, а кинетичният момент от това движение е:
,
където е количеството на движение на топчето, дължащо се на релативното движение:
.
Релативната скорост е първата производна на закона за релативно движение:
,
.В крайна сметка:
.
Определяне на
Кинетичният момент от преносното движение е:
5
,
където е количеството на движение на топчето, дължащо се на преносното движение, а е разстоянието
от оста на ротация до положението на топчето в разглеждания момент (Фиг.2.5). За количеството на движение имаме:
,
,
.
Кинетичният момент на топчето е:
.
По теоремата на Питагор (Фиг.2.5):.
В такъв случай:
.
Определяне на
.
3.3 Определяне на
4. Определяне на
Заместваме в уравнение (2) със стойностите за и :
,след което преработваме полученото уравнение:
,
, /:
.
В крайна сметка, за се получава:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Зад. 3Показаната на фиг.3.1 система в началния момент е в покой, а пружината е ненапрегната.Системата се
привежда в движение от теглото на тяло 1. Да се определи законът за движение на тяло 1, ако триенето в лагерите се дава с момента .
Фиг. 3.1
Дадено: Търси се: kg
kg
m
m
N/m Nm
Решение:
Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент:
6
, (1)
където е кинетичния момент на системата спрямо т.О, а е главния момент на системата сили спрямо
същата точка. Определяме и заместваме в (1) и получаваме закона за движение на тяло 1.
1. Определяне на кинетичния момент на системата за т.О
Фиг. 3.2
Понеже търсим закона за движение на
тяло 1, изразяваме скоростите чрез (Фиг.3.2):
.
1.1 Кинетичен момент на тяло 1 за т.О Тяло 1 извършва транслация затова кинетичния му момент се определя по формулата:
,
(2)където е количеството на движение на 1. Тогава (2) става:
.
1.2 Кинетичен момент на тяло 2 за т.ОТяло 2 извършва ротация и кинетичния му момент се дава с формулата:
,
където е инерционния момент на тяло 2спрямо т.О.
,
.
1.3 Общ кинетичен момент на системата от тела
.
(3)
2. Определяне на главния момент на външните сили за т.О.
Поставяме действащите върху системата от тела сили и моменти. Това са теглата на двете тела и
/вертикални сили, насочени надолу/, приложени в центровете на тежестта, момента /обратен на
посоката на въртене/, даващ триенето в лагерите, опорните реакции и в неподвижната опора, силата
на триене , нормалната реакция и пружинната сила /обратна на посоката на движение/ (Фиг.3.3).
Пружинната сила трябва да се изрази във функция на преместването на тяло 1, което е свързано с пружината посредством барабана 2 (Фиг.3.3). Тогава, за да определим пружинната сила трябва да намерим предавателното отношение на 2. За целта е необходимо да определим отношението между скоростта в т.
/точката на свързване на тяло 1 с барабана/ и скоростта в т. /точката на свързване на пружината с барабана/ – точно това е търсеното предавателно отношение.
Изразяваме :
7
.
Предавателното отношение е 1,5. Това означава, че ако тяло 1 се премести на разстояние , то
пружината ще се разтегне с дължина . Тогава за пружинната сила се получава:
.
Фиг. 3.3
2.2 определяне на
Главният момент на системата за т.О е:
,
,
. (4)
Тук , и не дават момент, защото пресичат т. , а понеже , но с противоположни
посоки, моментът на двете сили за т. е нула!
3. Определяне на закона за движение на тяло 1
Заместваме (3) и (4) в (1) и получаваме:
.
Пред имаме константа, затова я изнасяме отпред:
.
Знаем, че . Тогава горното уравнение добива вида:
.Преработваме го и получаваме:
. (5)Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред. То се решава по следния начин:Решаваме хомогенното уравнение:
8
.Характеристичното му уравнение е:
,
а корени са комплексните числа: .Тогава общото решение на нехомогенното диференциално уравнение (5) има вида:
,
където е частното решение:, защото най-малката производна от лявата страна на (5) е нулева, а полиномът вдясно
е от нулева степен.Определяме първата и втората производна на : и , след което ги заместваме в (5)
като отговаря на , а на . Получаваме:
.Тогава:
,
.
Сега трябва да определим интеграционните константи и . Това става с помощта на гранични (в нашия случай – начални) условия на движение. В условието е казано, че в началния момент системата е била в покой . Това означава, че тяло 1 не е имало преместване и скорост в този момент, т.е. и .
В такъв случай: ,
.
Окончателно, законът за движение на тяло 1 е:
.
2.2 РАВНИННО ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО
Зад.1Макара с маса kg, вързана с безтегловна неразтежима нишка към стена, се търкаля по наклонена
равнина, плъзгайки се (Фиг.1.1). Коефициентът на триене при плъзгане е . Да се определят:1) Закона за движение на макарата, ако в началния момент тя е била в покой;2) Усилието в нишката.
9
Фиг. 1.1
Дадено: Търси се: kg 1) Закона за движение m на макарата. 2) Усилието в нишката
Решение:
1. Определяне на закона за движение на макарата
Макарата извършва равнинно движение – центърът й на тежестта се премества праволинейно със скорост , а самата тя се върти с ъглова скорост . Поставяме в центъра на тежестта на макарата инерциална координатна система и записваме диференциалните уравнения на движението й:
(1)
(2)
или (3)
Първите две уравнения ни дават транслационното движение на макарата – тук и са проекциите
на ускорението на т. по двете оси, а и са сумите от проекциите на действащите върху макарата сили по същите оси.
Третото уравнение ни дава ротацията на макарата – то е записано по два начина. Първият е за центъра на тежестта като е инерционния момент на макарата за т. , е ъгловото ускорение, а е сумата от моментите на действащите върху макарата сили за т. . Вторият запис е за моментния център на скоростите – тук е инерционния момент на макарата за т. , отново е ъгловото ускорение, а е сумата от моментите на действащите върху макарата сили за т. .
С кой от двата начина на записване на (3) ще се работи зависи от това в кой от тях има по-малко неизвестни – записваме и двата и преценяваме. Важно е само да се помни, че законът за движение на равнинно движещо се тяло се състои от три компоненти – две за транслацията и една за ротацията, така че използваните уравнения трябва да бъдат три!
Продължаваме решението на задачата с поставяне на силите, действащи върху макарата (Фиг.1.2):- силата на тежестта (вертикална, насочена надолу сила, приложена в центъра на тежестта); - силата на триене (понеже имаме търкаляне с приплъзване знаем посоката на – тя е обратна на
движението, приложена в точката на допир до земята); - нормалната реакция (насочена по , перпендикулярно на движението, приложена в точката на
допир до земята); - усилието в нишката (приемаме го да бъде на опън, т.е. обратно на движението, приложено в т. –
връзка на макарата с нишката).
10
Фиг. 1.2
С тези сили заместваме в (1), (2) и (3) и получаваме:, (1’)
, (2’)
или . (3’)Да разгледаме (3’) и да преценим с кое от двете уравнения да работим. В първото имаме две неизвестни
- и , а във второто само една - . В такъв случай логично е да изберем второто затова ще разглеждаме само него. Системата уравнения става:
, (1’)
, (2’)
. (3’)
Имаме три уравнения с четири неизвестни – , , и . Трябва ни връзка между някои от неизвестните, която да използваме за четвърто уравнение. Такава връзка е отношението между ъгловата скорост на макарата и линейната скорост на центъра й (Фиг.1.2):
(4’)
Решаването на системата уравнения започваме с (2’):От схемата виждаме, че центърът на тежестта на макарата се движи само по ос , а това означава, че
, и . Тогава (2’) става:
,откъдето следва, че .
Продължаваме с уравнение (3’) като първо определяме :
.
Уравнение (3’) става:,
,
11
s-2.Интегрираме два пъти и получаваме закона за ротацията на макарата с точност до две интеграционни
константи:,
,
които определяме от началните условия на движението:,
.
В крайна сметка .
От (4’) определяме :
m/s2,
а след интегриране два пъти получаваме и :
,
.
Понеже граничните условия са същите отново получаваме и . Тогава .
Окончателно, законът за движение на макарата е:
2. Определяне на усилието в нишката
В уравнение (1’) заместваме с m/s2 и получаваме:
,
,
,N.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Зад.2Под действието на въртящ момент Nm колело с маса kg се търкаля без плъзгане по
наклонена грапава равнина (Фиг.2.1). Да се определят:1) Закона за движение на колелото, ако в началния момент то е било в покой;2) Опорните реакции (в този случай – силата на триене и нормалната реакция )
Дадено: Търси се:
1) Закона за движение на колелото 2) ,
12
Фиг. 2.1
Решение:
1. Определяне на закона за движение на колелото
Колелото извършва равнинно движение. Поставяме в центъра му на тежестта координатна система и записваме закона за движение:
(1)
(2)
или (3)След това поставяме силите, действащи върху колелото (Фиг.2.2):- задвижващия момент ;- силата на тежестта ;- силата на триене (понеже имаме търкаляне без плъзгане – посоката на е неизвестна и затова
я приемаме);- нормалната реакция .
Фиг. 2.2
С тези сили заместваме в (1), (2) и (3) и получаваме:, (1’)
, (2’)
или . (3’)Да разгледаме (3’) и да преценим с кое от двете уравнения да работим. В първото имаме две неизвестни
- и , а във второто само една - . В такъв случай логично е да изберем второто затова ще разглеждаме само него. Системата уравнения става:
, (1’)
, (2’)
. (3’)
Имаме три уравнения с пет неизвестни - , , , и . От уравнение (2’) обаче, можем да
определим , защото центърът на тежестта на макарата извършва движение само по , а това означава, че
, и . Тогава:
N.
13
Остават ни две уравнения с три неизвестни – , и ( вече не е функция на , защото имаме търкаляне без плъзгане!). За да определим неизвестните ни трябва връзка между някои от тях, която да използваме за четвърто уравнение. За целта използваме отношението между ъгловата и линейната скорост:
(4’)
Продължаваме решението с уравнение (3’) като първо определяме :
.
Уравнение (3’) става:,
,
s-2.Интегрираме два пъти и получаваме закона за въртене с точност до две интеграционни константи:
,
,
които определяме от началните условия на движението:,
.
В крайна сметка .
От (4’) определяме :
m/s2,
а след интегриране два пъти получаваме и :
,
.
Понеже граничните условия са същите отново получаваме и . Тогава:
.
Окончателно, законът за движение на колелото е:
2. Определяне на опорните реакцииПо-горе определихме NСега ще определим и като в уравнение (1’) заместим с m/s2:
,
NЗнакът е положителен, което означава, че избраната посока на е правилна!