відомості стереометрії

Початкові відомості Початкові відомості зі стереометрії.зі стереометрії.

При вивченні теми ми: Розглянемо взаємне розміщення у

;просторі прямих і площин Познайомимось з просторовими

, , фігурами їх елементами поняттями поверхні та об’ ;єму

Навчимося зображати та знаходити на малюнках многогранники і тіла . обертання та їх елементи

План1. .Взаємне розміщення прямих у просторі2. Взаємне розміщення прямої та площини і

. площин у просторі Перпендикуляр до.площини

3. . ’Пряма призма Площа поверхні та об ємпризми.

4. . ’Піраміда Площа поверхні та об .єм піраміди5. . . Тіла обертання Циліндр Площа поверхні та

’об єм .циліндра6. . ’Конус Площа поверхні та об єм .конуса7. . ’Куля Площа поверхні та об єм .кулі8. .Історична довідка

Основні геометричні фігуриРисунок Фігури Позначення

точки А, В, С...

прямі а, в, с...

АВ, ВС...

площини α , β, γ...

А В С

А Bа

αβ

Аксіоми стереометрії

Яка б не була площина, існують точки, що належать їй, і точки, що їй не належать

Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку

Через дві прямі, що перетинаю-ться, можна провести, площину і дотого ж тільки одну

α АВ

a

β

αА

ab

α

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Прямі а і b

Лежать в одній площині

Не лежать в одній площині

b

a b

α

Перетинаються Паралельні

b

Мимобіжні

a

αα

a

Взаємне розміщення двох площин

Дві площини в просторі

перетинаються(мають спільну пряму)

паралельні(не мають спільну пряму)

α

β

а α

β αllβ

Взаємне розміщення прямої і площини

Паралельні а║α перетинаються пряма лежить у площині

α

а

α

а

Аα

а

Пряма, перпендикулярна до площини

Означення: Пряма перпендикулярна до до площини α, якщо с┴а, с┴b.

Теорема: Якщо с┴а, с┴b то с┴α.

αа

b

c

АО – перпендикуляр;

АВ – похила;

ВО – проекція похилої АВ на площину α.

Перпендикуляр і похила

α

A

BO

C1

C

B

B1

A

A1

Многогранником називається ( геометричне тіло частина

), простору обмежена скінченною . кількістю плоских многокутників

Многокутники які обмежують многогранник називають його

, – , гранями їх сторони ребрами а – вершини вершинами

. многогранника Гранями є многокутники ABC, A1B1C1, ABB1A1,

BB1C1C, AACC; – ребрами сторониAC, BC, AB, AA1, BB1, CC1, A1B1, A1C1, B1C1; – вершинами точки A, B, C, A1, B1, C1.

Призма

n- – , кутна призма многогранник – дві грані якого рівні n-кутники з

відповідно паралельними, – сторонами а всі інші грані

. паралелограми ABCD і A1B1C1D1 – ; основи AA1, BB1, CC1, DD1 – бічні

; ребра AB, BC, CD, AD, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – . ребра основи

C1B1

C

A1

A

B

D1

D

Пряма призма – якщо бічні ребра перпендикулярні до основи. AA1=h.Правильна призма – це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.

: Площа бічної поверхні прямої призми

Sбічне=P*h, де P – .периметр основи

Sповне=Sбічне+2Sосн

Об` : єм призми прямої V=Sосн*h

h

h

a1

a2

n- кутна піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний n-кутник, а всі інші – n граней трикутники, що мають спільну вершину.

P – ;вершина піраміди

ABCD – ;основа піраміди

∆PAB, ∆PBC, ∆PCD, ∆PDA – ;бічні грані

PA, PB, PC, PD – ;бічні ребра

AB, BC, CD, AD – ;ребра основи

PO – , висота PO┴ABCD.A

D

CB

F0

P

Піраміда

– Основа правильної піраміди , правильний многокутник а основа

– . висоти центр многокутника PF – ( апофема висота бічної грані проведена

, . ), з її вершини наз апофемою PF┴DC.

Sпір=Sосн+Sбіч

Площа бічної поверхні правильної

піраміди Sбіч=m*p, деm – , апофема

p – .півпериметр основи

` : Об єм піраміди V=⅓Sосн*H

AD

CB

F0

P

mH

Циліндр

Прямим круговим циліндром називається, тіло утворене обертанням прямокутника

. навколо його сторониO1A іOB – , радіуси AB – твірнаAB=ОО1 – , висота ОО1 – .вісь

: Площа поверхні циліндра Sцил=Sбіч+2Sосн, деSбіч=2πRH, Sосн=πR² ` : Об єм циліндра

V=SоснH; V=πR²H. – Осьовий переріз циліндра прямокутник зі

, сторонами що дорівнюють висоті . циліндра й діаметру його основи ABA1B1 –

.осьовий переріз циліндра

A

O

O1

A1

B

B1

Конус , Прямим круговим конусом називається тіло утворене обертанням плоского прямокутного

.трикутника навколо одного із його катетів- , - , КО вісь КО висота- , - .КА твірна АО радіусO A

K

1

A

Осьовий переріз конуса - переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса – рівні між собою рівнобедрені трикутники. ∆АКА1- осьовий переріз конуса.

Площа поверхні конусаSкон= Sбічн+Sосн.

Sбіч=πRL, Sосн= πR² , L-твірна.Об’єм конусаV= 1/3πR²H

Куля (сфера) ( ) – , Куля сфера фігура утворення

( ) обертанням круга кола навколо його. , діаметра Площина яка проходить через

( ) центр кулі сфери називається . діаметральною площиною Переріз кулі

( ) сфери діаметральною площиною ( називається великим кругом великим

).колом – ( );О центр кулі сфери

, – ; – .ОА ОВ радіуси АВ діаметр

A

B

0

0R

Площа поверхні кулі (площа сфери): S=4πR²Об’єм кулі: V=4/3πR³

Історична довідка

Властивості многогранників і тіл обертання першими систематично виклали давньогрецькі математики. Окрім Евкліда, слід особливо виділити Архімеда, який у двох своїх працях дослідив властивості тіл обертання. Одним із засновників теорії конічних поверхонь вважається давньогрецький геометр Аполлоній Пергський (бл. 262 – бл. 190 р.р. до н.е.). Робота Аполлонія «Канонічні перерізи» розглядає перерізи поверхонь, утворених обертанням однієї з двох прямих, що перетинаються, навколо іншої. Ця праця справила вплив на розвиток механіки, оптики і астрономії.

Важливі дослідження в галузі геометрії многогранників належать всесвітньо відомому українському математикові Георгію Феодосійовичу Вороному (1868 – 1908 р.р.). Зокрема, він дослідив проблему заповнення простору опуклими многогранниками.

Об`єми деяких многогранників уміли обчислювати ще в стародавньому Єгипті. Італійський математик Бонавентура Кавильєрі (1598 – 1647 р.р.) встановив ознаку тіл, що мають рівні об`єми. Але строга сучасна теорія об`ємів, заснована на методах математичного аналізу, з`явилася значно пізніше.