ﺑﺴﻢ ﺍﷲ ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻰ ﻣﻦ ﻻ ﻧﺒﻲ ﺑﻌﺪﻩ ﻣﺤﻤﺪ ﺧﻴﺮ ﺍﻷﻧﺎﻡ ﻭﻋﻠﻰ ﺁﻟﻪ ﻭﺻﺤﺒﻪ ﺃﺟﻤﻌﻴﻦ ﺗﺠﻤﻴﻊ ﻭﺗﺮﺗﻴﺐ ﻭﻓﻬﺮﺳﺖAlmohannad ﻟﺘﺼﻔﺢ ﺃﻱ ﺩﺭﺱ ﺇ ﺿﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻋﻨﻮﺍﻧﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ ﻭﻟﻠﺮﺟ٬ ﻮﻉ ﻟﻠﻔﻬﺮﺱ ﺇﺿﻐﻂ贀 ﻠﻰ ﻋ
بسم اهللا الرحمن الرحيم
والصالة والسالم على من ال نبي بعده محمد خير األنام وعلى آله وصحبه أجمعين
وفهرست تجميع وترتيب
Almohannad
وع للفهرس إضغط ٬ وللرج ضغط على عنوانه في الفهرس وكذلك التمارين لتصفح أي درس إ على
: هذه المواضيع قدمت من طرف
الموضوع 2003 يونيوSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2003 يونيو
الموضوع 2003 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2003 يوليوز
.lycos.fr/hamidbouayoun الموضوع 2004 يونيوSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2004 يونيو
Membr .lycos.fr/hamidbouayoun الموضوع 2004 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2004 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الموضوع 2005 يونيو
محمد السادس ورزازات . محمد الحيان ثا الحل 2005 يونيوSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الموضوع 2005 يوليوزSAIDBOUZAWIT lyc…e Abdelali Benchakroune الحل 2005 يوليوز
http://arabmaths.ift.fr الموضوع 2006 يونيوProf: BEN ELKHATIR Lycée :KhémissetALFATH الحل 2006 يونيو
WWW .0ET1.COM الموضوع 2006 يوليوزMOUZDAHIR LAHSAN http://arabmaths.ift.fr الحل 2006 يوليوز
محمد ميسوري : ذ الموضوع 2007 يونيو محمد السادس ورزازات . محمد الحيان ثا الحل 2007 يونيو محمد ميسوري : ذ الموضوع 2007 يوليوز محمد ميسوري : ذ الحل 2007 يوليوز
http://arabmaths.ift.fr الموضوع 2008 يونيو محمد السادس ورزازات . محمد الحيان ثا الحل 2008 يونيو عضو بمنتديات دفاتر المربي الموضوع 2008 يوليوز
غير متوفر الحل 2008 يوليوز
es
Mem resb
: 2003 ) (
: 3 :7
اول ا )ل اء ا ا 1) )2
1lnI x dx= ∫
ا ا 2)ln 4
0
xJ x e dx= ∫ ) xt! و e= (
ا ا
وآر&) 2 ، 1 ، 1 ، 0 ، 0 ، 0!%0ي آ). $- , آرات )'ء &% ا$#اد
1 ، 00داو! &%4ن ا#د!
).6 ! ا)) ) 5 . (
. ا).=% $>0ا;) و:9 8ن وا # آر&)
:ا ا ل آ ا%#<)) 1
A " : 0نا .B= (0%ا ر&)."
B " : #م %0)ا ر&)ا -$ (Eا #د!اء ا#."
0ع ا#د! اE) $- ار&) اJي !رI آ %G=XE Gر اF)ر ا>0ا;9 ) 2
.ا0%)
#د L=0ن ا ل اF)ر ا>0ا;9 X.
ا ا
(m M0 )ر !#O$ و$#&ه 2 $#دا α!#O0$ ا$#اد اE 9: رG=و
2: (E)اد 2 0mz z m− + m و m ه0 را:J=m Sآر أن ( = mm=.(
(1 9 : ه(E)اد ) أن 1 i
zm
+′ و =1 i
zm
−′′ =.
و ′′z و ′zاآ آ 2) z
z
′′′
9UUا V -$ .
)0ب إ- YZ # Y :9 ا0ى اO#ي ا 3) ), ,O u v
IO ر اG= ،Aو Bو C
z و ′′z و ′zا9 أ%5L $- ا0ا9 ه9 z′ . رOACB) أن ار9$ , .+′′
اا ا
`O ر اG= ،YZ # Y -0ب إ ء ا'B9 ا:A (2,0,2)0ىوا
( )P د3 ذا ا 0x y z+ − − =
(1 Y(O !4 رار(U& د# (D) را A0ى و0دي $- اا( )P.
1
1
0.5
1
1.5
1
1.5
1
0.5
#د إ #ا<)ت 2) B Y(Oا cO& `O= (D) 0ىوا ( )P.
(3 Bر اG=( )S 9 رآها A 0ىا `O& 9وا ( )P 9#ا;رة اا S:و
2 وB 5$Vرآه
#د Vع اB - أ ( )S .
)اآ د د!ر&) B - ب )S.
ـــــــــــــــــ
: !9 ار: $- G=fر ا#ا
( ) ( )
( )
3
2
ln 1
4 3
f x x
f x x x x
= −
= −
. # fY 9: YZ ا % - اU #ا (C)و)
.0 ص :9 ا f `O ) أن ا#ا -أ) 1
=Jآر hن ( L 0OV4ق :9 ا f `O ) أن ا#ا - ب ( )
0
ln 1lim 1t
t
t→
+=.(
[ & Lص) $- اE( fأن ا#ا ) ) 2 ] و ∞−0,] [1, ] و&ا!#! $- اEل ∞+ ]0,1.
) ا -أ) 3 )limx
f x→−∞
) و )limx
f x→+∞
.
SO%& 0x أ=ه - ب < ، ( ) ( ) ( )3ln 1ln
3xf x x
x x x
−−−= +.
.(C) ادرس اBر$) ا4=5;)) % - - ج
.(C)أ=>l ا % - 4)
(5 (h #اص0ر اLf لEا -$ ] [,0−∞.
[ &O اEل h) أن - أ . !E 0%= JM#!#%& Eل ∞−0,]
#د - ب ( )1h x− x لEا J.
)=Gر ا) ) 6 )nu9! :را :
0
4
9u 2 و =
1 4 3n n n nu u u u+ = − n .
.f! :) !9 ال =;p درا ا#ا
) ر أن -أ 4
19 nu≤ ≤ n .
)) أن ا) - ب )nu!#!ا& .
)ا p أن ا) - ج )nu5!5= . Oر <Y ا
0x <
0x ≥
0.5
0.5
0.5
0.5 1 1.5 0.5 0.5 0.5 1 0.5 1 0.5 0.5 1
:التمرین األول 1( 12ln2ln 2
1 xxxI.
2(42ln84 IJ)2
(t
dtdxet x .
:التمرین الثاني 1(
7
428
22
26
C
CCAp .
14
1128
24
14
14
C
CCCBp.
2(
:التمرین الثالث 1(
m
iz
m
izmm
1",
1'11' 2mm
2(
4
,1"zو
4
,1'z إذن
2,1
"
' z
z.
3( BaffAaffCaffOBOAOCOABC متوازي األضالع.
1"
'
z
z
OB
OAOABC معین و
22"
'arg,
z
zOAOBOABC مربع .
:التمرین الرابع
1(
tz
IRtty
tx
D
2
2
.
2( 0322/,, tttIRtPDzyxB
1,1,31 Bt 222-أ)3 drR )R ، شعاع الفلكةr ، شعاع الدائرة PAdd ,(
2r 3و3
322
d ) 3أو ABd ( 7R.
3210ix
28
328
13
11 C
CC4
128
14
11
23 C
CCC
7
328
14
13 C
CC
14
328
24
C
C ixXp
- ب 722: 222 zyxS
:مسألة -أ)1 00limlim
00fxfxf
.
- ب 034limlim
00
xx
x
xf 00'df.
0
1ln.lim
1lnlimlim
3
32
0
3
00
x
xx
x
x
x
xf.
1
1lnlim
0 t
t 00'gf
0'0' gd fff 0قابلة لالشتقاق في.
2( 0'0,1
3'0
3
2
xfxx
xxfx
.
xxxfx 16'0)2
3
xxx . (01و لدینا x على المجال 1,0 01و x على المجال ,1 إذن ،:
-أ)3
xflim و
3
4limlim 2
xxxf.
- ب x
xx
x
xx
x
xx
3333 1lnln31ln1ln0
x
x
x
x 31lnln3
- ج
xx
x
xfC 34limlimیقبل فرعا شلجمیا في اتجاه Oyبجوار.
0lim
x
xfCیقبل فرعا شلجمیا في اتجاه Oxبجوار.
:المنحنى )4
متصلة و تناقصیة قطعا على h-أ)5 0, إذنh تقابل من 0, نحو ,00,h.- ب 0,,0/1 yوxyhxxhy
xeyyx 11ln 33
13 xey3 1 xey إذن 31 10 xexhx .
0n :1من أجل -أ)69
4
9
40 U) العالقة محققة(
1أن نفترض 9
4 nU :f تزایدیة على المجال
1,9
إذن 4 19
4fUff n
1یعني 27
16
9
41 nU.
1: إذن 9
4 nUINn.
لدینا : بالترجع - ب9
4
27
1601 UU)0أجل من العالقة محققةn.(
nnنفترض أن UU 1:f تزایدیة على المجال
1,9
)()(إذن4 1 nn UfUf
12یعني nn UUإذن nUتزایدیة.
نضع- ج
1,9
4I .f متصلة علىI و IIf
1,27
16.
nU إذن نھایتھا) رة تزایدیة و مكبو( متقاربةl تحقق llf .
:إذن 9
1l 1أوl أو 0 lllf 1و منھlim
nU.
ع ز– ع ت أ –ع تجريبية : الشعبة
ساعات3: المدة
االمتحان الوطني الموحد لنيل شهادة البكالوريا المملكة المغربية وزارة التربية الوطنية و الشباب
1التمرين
) و الفلكةPنعتبر المستوى مباشر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم )Sالمعرفين على التواي بالمعادلتين
) : الديكارتيتين ) : 3 0p x y z+ − + ) و = ) 2 2 2: 2 2 1 0S x y z x z+ + − + + =.
)مرآز و شعاع الفلكة حدد -1 )S.
)المستوىبين أن -2 )Pمماس للفلكة ( )S .
)المستوى حدد نقطة تماس -3 )P الفلكة و( )S.
التمرين2
1أحسب التكامل -11 lne
eI x dx
x= ∫.
بحيث b و a أوجد -أ -22
1 1t bat t= +
+ + من t لكل 1− −.
أحسب التكامل - ب7
2
11 2
J dxx
=+ 2tيمكن وضع ( ∫+ x= + (
3التمرين
.2 و 1 و 1 و 0 و -1 و -2تحمل األعداد ، ولتمييز بينها باللمس يحتوي آيس على ست آرات ال يمكن ا
.ت من الكيساآرثالث نسحب عشوائيا في آن واحد : نعتبر االختبار التالي
:الحدثيننعتبر -1
A " : من بين الكرات المسحوبة، توجد آرة على األقل تحمل"
S " :منعدم ة مجموع األعداد المكتوبة على الكرات المسحوب"
A أحسب احتمال الحدث - أ
يساويS بين أن احتمال الحدث – ب 15
.
).نعيد في آل مرة الكرات المسحوبة إلى الكيس( نكرر االختبار السابق أربع مرات -2
. ثالث مرات بالضبطS ما هو احتمال الحصول على الحدث
4تمرينال
) أآتب عل الشكل الجبري العدد العقدي -أ -1 )24 i+.
) المعادلة حل في المجموعة- ب ) ( )2 2 3 5 1 0z i z i+ − − + =
1 التي ألحاقها على التوالي هي C و B و A نعتبر في المستوى العقدي النقط -2 2a i= 3b و + i= − 6c و + i=.
أآتب على الشكل المثلثي العدد العقدي - أc ab a−−
.
. متساوي الساقين و قائم الزاويةABC استنتج أن المثلث – ب
02, 5
0,5
0,5
1,5 02,5
1
0,5
1
02,5
0,5
1 1
02,5
0,5
1
1
1
دورة يوليوز 2003
المسألة
الجزء األول ] الدالة المعرفة على f نعتبر : بما يلي∞+;0]
( ) 2 2f x x x= − +
) بين أن -1 )limx
f x→+∞
= +∞
0 على اليمين في النقطة f أدرس قابلية اشتقاق الدالة -2
] تناقصية على المجالf بين أن -3 ] و تزايدية على المجال1;0[ [1;+∞.
الجزء الثاني
)نعتبر المتتالية )nuالمعرفة بما يلي :
0 2u ) و = )1n nn u f u+∀ ∈ =
.f يمكنك في ما يلي استعمال نتائج دراسة الدالة
1بين بالترجع أن -1 2nn u∀ ∈ ≤ ≤
)بين أن المتتالية -2 )nuناقصية ت.
)استنتج أن المتتالية -3 )nuمتقاربة ثم أحسب نهايتها
الجزء الثالث
] الدالة المعرفة على g نعتبر ) : بما يلي∞+;0] ) ln( 2 2)g x x x= − +
)ليكن )Cالمنحنى الممثل للدالة fفي معلم متعامد ممنظم .
) أحسب - أ-1 )limx
g x→+∞
) أدرس الفرع الالنهائي للمنحنى - ب )C.
نقبل أن ( g أدرس تغيرات الدالة-2 ( ) ( )
0
0limx
g x gx+→
−= −∞(
) أنشئ المنحنى -3 )C .
] على المجال g قصور الدالةh ليكن -4 [1;+∞.
] تقابل من h بين أن - أ . يجيب تحديده J نحو مجال ∞+;1]
) حدد - ب )1h x− لكل xمن J.
09
0,5
0,5 1
1
0,5 1
0,5
0,5
1 1
0,5
1
:التمرین األول 1( 0111: 222 zyxS 1,0,1 1مركز الفلكة وrشعاعھا.
2( rPdP
1
441
221مماس للفلكة , S.
3( cbaH س نقطة تما,, P و SHھي تقاطع العمودي على Pالمار منمع المستوى P
إذن 2,2,1n المنظمیة على Pموجھة ل ومنھ ، :
0222
21
2
1
/
cba
tc
tb
ta
IRt.
إذن 02212221 ttt3
1t
3
1,
3
2,
3
4H
:التمرین الثاني 1(
1
11
ln1
ln1
e
edxx
xdxx
xI
و xxxx
xxIe
e
lnln'ln1
ln2
1ln
2
1
1
21
1
2
1إذنI.
-أ)2t
baat
t
ba
t
t
ba
aaوb
111
2
0
222.
xttx- ب dttdxو 222 2
dtt
tJ
3
2 1
2.
:-مال أباستع
4
3ln221ln2
1
22
3
2
3
2ttdt
tJ.
:التمرین الثالث "1كرات ال تحمل الرقم3سحب :"ھو Aالحدث-أ)1
5
1
5
436
34
C
CApAp
-1و كرة تحمل الرقم1كرة تحمل الرقم أو-2ة تحمل الرقموكر1كرتان تحمالن الرقم:"ھو Sالحدث - ب:إذن " 0و كرة تحمل الرقم -2و كرة تحمل الرقم 2كرة تحمل الرقمأو0كرة تحمل الرقمو
5
136
11
11
12
11
11
11
11
22
C
CCCCCCCCSp
ثالث مرات بالضبط ، إذن Sقاحتمال تحقpينسم)2625
16
5
11
5
13
34
Cp.
:التمرین الرابع لدینا -أ)1 ii 8154 2 .
- ب iiiid 815120324 2 )الجذرین المربعین ل(
iإذن ii
zوiii
z
32
432'21
2
432".
لدینا -أ)2 i
ii
i
i
ab
ac
ab
ac
17
441
4
41
2,1.
1- ب
ab
ac
AB
ACABC متساوي الساقین رأسھA.
2
2arg,
ab
acACABABC قائم الزاویة فيA.
:مسألة :الجزء األول
منxلكل)1 ,0 لدینا
xxxxf
22إذن 1
xf
xlim.
منxلكل)2 ,0 لدینا xx
xx
x
fxf
x
fxfx
21
200lim
0
.0غیر قابلة لالشتقاق في fإذن ،
منxلكل)3 ,0 لدینا : x
x
xxf
111'
إذن إشارة xf .1xھي إشارة '
: جدول التغیرات
:الجزء الثاني0n:221من أجل )1 0 U .العالقة محققة
21نفترض أن nU .بما أنfتزایدیة على المجال 2,1 فإن 21 fUff n
2241إذن 1 nU 21و منھ 1 nU)2224 (21: و بالتالي nU لكلn منIN.
nn: نبین بالترجع أن )2 UU 1 لكلn منIN .
0n :20من أجل U 2241و U 01إذن UU nnنفترض أن UU 1بما أنfتزایدیة على المجال 2,1 فإن nnnn UfUfUU 112
nn: و بالتالي UU 1 لكلn منINأي أن المتتالیة ، nU تناقصیة.المتتالیة)3 nUفھي إذن متقاربة 1تناقصیة و مصغورة بالعدد.
نضع 2,1I . لدیناf متصلة على IوIIf و 224,1 nU، متقاربة
تحققlإذن نھایتھا llf وھذا یعني أنlll .1lأي 22
:لثالث الجزء ا-أ)1
xfxg
xxlimlim.
- ب 0
22.
22
22lnlimlim
x
xx
xx
xx
x
xgxx
: ألن 1
22lim0
22
22lnlim
x
xxوxx
xxxx
.
C بجواراألفاصیلیقبل فرعا شلجمیا في اتجاه محور.
لدینا )2 xf
xfxgx
'',,0 .
إذن إشارة xg ھي إشارة ' xf ' ) 0xfلكلxمنIR .(
و منھ جدول إشارة xg :ھو '
:المنحنى)3
متصلة وتزایدیة قطعا على المجالh-أ) 4 ,1فھي تقابل من ، ,1 نحو ,0,1h.: لدینا -- ب yhxxhyyx 1,1,,0
: إذن
ye
eوyye
ye
yyxyye
x
xx
x
x
2
2
11
010111
11
22ln22
: و منھ 21 11 xexhلكلxمن ,0
: 2004 ) (
: 3 :7
) و 3 ( اول ا )ا ء )E ) ! ب إ ), , ,O i j k
"#( )S $% & ا( ), ,M x y z'(2: *ح 2 2 4 2 2 0x y z y z+ + − + + =
)*)" أن 1) )S آ0ه $#2 ( )0, 2, 1Ω 3r و3% − =.
) 9ح8 " أن ا7$ -أ 2) )1,1,0A − $#) 9: إ ا )S.
#$ (P) اآ= د$ ا! ى -ب ) اس )S $7ا % A.
2: 9ح8 " أن-أ 3) 0x y z+ + − ) د$ دA#ر9)$ ! ى = )Q ار
)" ا$7 )1,3, 2B ) و − )1,1,1n
)ه% $( $3& .
) *)" أن -ب )Q C7A ( )S3%ة حدا آ0ه وEو82 دا .
) و 3( ا ا
$Aاد ا%Fاد$ 2: & %$ ا :( ) ( )2: 4 4 1 0E z iz i− − + =.
) ح: اد$ 2z و 01z ب )E '(ح* ( )1 0z >Re
)*)" أن )0 اد$ 1) )E ه ( )2
2 2 1 i ∆ = + دI J 1z 2 وz.
(2 C 2a i= و ( )2 1b i= +
91zح8 " أن a b= 2z و+ a b= b:K و a واآ= −Kا L#Mا % .
(3 ) 2: ا! ى اي ا! ب إ ), ,O u v
ا ا: C و B و Aا % 3Oا: اح a و b 1 وz
OC: و9ح8 " أنC و B و LKA ا أ ـ OA OB= +
OA وأن OB=.
): )" J أنOBCAاسQ أن ب ـ ) [ ]1
3arg 2
8z
π π≡.
) 3 ( ا ا
O(* C!9 % S(ح ي آAS *)Oن *) وان 9حVن: ت A T#" ا))3(* 0 *
Oم 1 اOرFا Lاء 9حI تO(* ثVJم 2،2،1وOرFا Lت س داء 9حO(* C*2، 2، 1، 1 وأر.
S(#ت " اO(* ثVJ Iن واZ :2و (Eا M% =ح!.
:I!= اIل آL اIFاث ا)$ أ 1)
A " : ان Fا $ ) ".*)O$ " آL ن ) اO(ت اVKث ا!ح *$ ^
B " : Oا S Lث ا!ح *$ 9حVKت اO(ا."
C " : اءI ةIوا $O(* LOFا % a 9 $* ت ا!حO(ا "(* "."
A: اI!= اIل احث) 2 B∩
1 0.25
1
0.5
0.75
1
1
1
0.5
0.75 0.75
0.75
0.75
) 10 ( اا ا
اول اــــــــــء
"#f :(اح (u $Aاا$ اد x: ا$2 %A * :( ) 1 21
2 1xf x x
e= − −
+
)و )C $ا LKا 2: f ه اح ( ), ,O i j
.
: 9ح8 " أن-أ 1)1 1
11 1x xe e− = −
+ + L# x " .
. دا$ 2دf$A اسQ أن -ب
(2 =!Iا( )limx
f x→+∞
.
): *)" أن-أ 3) )2
1 1
2 1
x
x
ef x
e
−′ = − + L# x " .
f أ% aول u9)ات اا$ -ب % +.
: اسQ أن-ج 2 1
11 2x
xe
− ≤+
L# x " +.
): *)" أن 4) ) 1lim 1 0
2xf x x
→+∞
− − =
.J أول هس) هxy ا)&$
(5 )أM 2: ا ), ,O i j
ا!) اyي ده 1
12
y x= − .J (C) أM اح
C * xt -أ 6) e−=أن "(* :0
1
1 1ln
1 2x
edx
e−
+ = + ∫
وح ر ا2Fص)L وا!))"(C) اI $I! =!I)0 ا! ى اح ر *)" اح -ب
ا ا: 1x اAy" د3 % = 0x و − =.
ا اــــــــــء
"#( )nu:A * $2ا $A0: ا)$ اد 1u 1 و =
21
1nn uu
e+ = −+
L# n" .
0nu: *)" *اCa أن 1) > L# n" .
: 9ح8، *سل )&$ ا!ال اK' ج " ا&0ء اFول، " أن-أ 2)
1
1
2n nu u+ ≤ L# n" .
) اسQ أن ا)$ -ب )nu$(O9 .
: *)" أن 3)1
2
n
nu ≤
L# n" =!Iا J lim nx
u→∞
.
0.5 0.5 0.5
1.25 0.5 0.5 0.5 1.5
1.25
0.75 0.5 0.5 0.5
0.75
http://membres.lycos.fr/hamidbouayoun
:التمرین األول لدینا )1 312224 222222 zyxzyzyx
إذن 312 222 zyxمعادلة دیكارتیة ل Sفلكة مركزھا 1,2,0
.3rو شعاعھا-أ)2 SAA 3.
- ب 00.,, zyxAMAPzyxM.-أ)3 1,1,1n
منظمیة على Q 0: dzyxQو QBd 2.
- ب 3
3
3
2120,
QdrdQ یقطع S وفق دائرة شعاعھا
3
2222 drRو مركزھا cbaH علىالمسقط العمودي ل,, Q.
: إذن
02
1
2/3
13
1,37,3
1
cba
tc
tb
ta
IRttH.
:التمرین الثاني 1( ii 1611616 و 22
12122 iii . iiiz 222221222' و iiiz 222221222"
0"Re" 1 zzz 2و' zz .
2(
2,2
aو
4,2
b.
-أ)3
BaffAaffCaffOBOAOC
1b
a
OB
OAOBOA .
OBOAOCOBCA- ب متوازي األضالعOBOAOBCA معین . 2,arg 11 OCez
.
2,,,28
3,
2
1arg, 11 1OCOBOBeOCeOAOBbOCe
.
:التمرین الثالث 1(
7
239
14
13
12 C
CCCAp ،
6
139
34
35
C
CCBp
CpCp 1)C" :ال توجد أي بیدقة حمراء من بین البیدقات المسحوبة("
21
5
21
1639
36
C
CCpCp
2( BANRBC
CCCBAp :""
21
11113
9
12
11
12.
:التمرین الرابع-أ)1
1
11
1
11
11
1,
xx
x
x
x
x ee
e
e
e
eIRx.
متماثل بالنسبة للصفرIR- ب
و xfe
xe
xxfIRxxx
1
112
2
11
1
2
2
11,
2(
xfxlim.
-أ)3
2
2
2
2 1
1
2
1
1
12
2
1
1
2
2
1',
x
x
x
xx
x
x
e
e
e
ee
e
exfIRx .
لدینا IRمنxلكل- ب 0' xff تناقصیة قطعا علىIR إذن ،:
:، إذنIRتناقصیة قطعا على f- ج 00 xfxf 0یعني1
2
2
11
xex
xو منھ e
IRxx 2
1
1
21:
.
4( 02
11limlim
xxfe
x
x
x .
Cیقبل مقاربا مائال بجوار معادلتھxy2
11
المنحنى)5
xet-أ)6t
dtdx إذن
2
1ln
1
1
11
1 110
1
edt
tt
dt
t
tdx
e eex .
- ب umee
xxdxxf
2
1ln2
4
5
2
1ln2
4
10
1
20
1.
II-0n :010من أجل )1 U.
1ومنھ 21nUeإذن 0nUنفترض أن 2
1nUe
0أي 2
111
nUne
U.
.0nUINn: إذن
xلدینا -أ)2e
IRxx 2
1
1
21:
. نضعnUx )0nU ( فنجدnU
Ue n 2
1
1
21
nnأي UU2
11 لكلn منIN.
nnلدینا- ب UU2
11 0
2
11 nnnn UUUUمتتالیة تناقصیة.
0n:1من أجل )32
11
0
0
U
نفترض أن n
nU
2
إذن 11
2
1
2
1
n
nU ومنھ1
1 2
1
n
nU)ألنnn UU2
11 .(
إذن n
nU
2
.INمن nلكل 1
لدینا n
nU
2
10 0و
2
1lim0lim
n
nU.
: 2004 ) (
: 3 :7
ن و( اول ا (
) ا اد )nu 0: ا 1u و =3
1 23 1n
nn
uu
u+ =+
n .
0nu أن -أ) 1 > n .
) أن ا - ب )nu &'( .
) ا+'* أن - ج )nu . ر
1 أن -أ) 2
1
3n nu u+ ≤ n .
: ا+'* أن- ب 1
3
n
nu ≤
n ./012 ا lim nx
u→+∞
.
) وط3 ( ا ا
) ا>;ء ا'/9ب إ7 1 '16 5 ), , ,O i j k
)ا'ط )1, 2, 2A ) و− )0,3, 3B ) و− )1,1, 2C ) وا/9ى − )Pه3: ا@ي د 0x y+ − =.
) ا0/. / ا' -أ) 1 )0,1, 1Ω ) A ا/9ى − )P.
-ب < ) ا+'* أن د در) )S هCآ ا ( )0,1, 1Ω ) وا+ /9ى− )P
2: ه 2 2 2 2 0x y z y z+ + − + =
AB 0د -أ) 2 AC∧
C و B و A 12 ا+'* أن ا'ط / E . 3: أن- ب 0x z− − ) د در) /9ى = )ABC.
)GF -أ) 3 ) ا> )S 9ى/ + ( )ABC.
) وا+'* )س CΩ ا0/. ا/ - ب )S 9ىوا/ ( )ABC.
) ط3 ( ا ا
اAIاد اA9J ): اد ا ) 22 2 1 0E z iz− − =
0 -أ 1) ) اد )E ) .1z 2 وz KG ) ه L0 اد )1 0z >Re.(
ا2zOO و 1z اآ. اG -ب P7 اA .
) '16 ا/9ى اي ا'/9ب إ7 1 2) )1 2, ,O e e
: ه ا أ7A Q&G ا9ا S و B و A ا'ط 1 1
2 2a i= و +
1 1
2 2b i= − s و + i=.
اOO اد اي -أ P7 اA .اآ :a s
b s
−−
.
.S /وي ا/& و&1R اCاو SABا+'* أن اKO -ب . AOASBS أن ا -ج
hamidbouayoun/fr.lycos.membres://http
0.5 0.5
0.25
0.5
0.75
0.5
1
0.75 0.5
0.25 0.5
0.75
0.5
0.75
0.5 0.5
) ط 3 ( اا ا
f9ي آG1U 1&ن اLG( & 7A 1 1&ا G( ت& S7 أرA2، و ) f Q' Cا i.( f9ي آG2وU اء;j آات Sث آات 0اء وأرL2 7A ) l@آ f Q' Cا i.( f وا0ة ا& R9اPA .G/1U .
. أ0/. ا0ل ا2Gن ان 1) A " : 1&ا G( 9G/ا ".1ا&
B " : 1&ا G( 9G/ا ".2ا&
(2 اR9اPا Jال اr/ه@ا ا .
f وا0ة ا& .G/1UQ&ر J/و :
.2U 9م /G. آة وا0ة اf 1إذا آن ه@ا ا&1 ه9 -
.2U 9م /G. آ) uن وا0 اf 2آن ه@ا ا&1 ه9 وإذا -
n f9 اG/اء اGات ا A 2Uد ا
" آة 0اء 9nل ;ط 7A اG" اGث 2E و
): أن -أ )1
11
21p E ) و = )2
2
21p E =.
. GA 1EF أن اGث Aا0/. ا0ل اGث -ب
) ط 8( ـــــــــــــــــ f Gا w ): ا x اا اد ) ( )2ln 2 2f x x x= − +
ا (C) و O7 ا'G'ه9 ا f 1 16' ( ), ,O i j
.
): )GF أن-أ) 1 )22 2 2 1 1x x x− + = − + x .
) 12 ا0/. f 7A ا+'* أن - ب )limx
f x→+∞
) و )limx
f x→−∞
.
): أن 2) ) ( )2f x f x− = x ه1 ا@ي د* أن ا/'1 12 ا+x 9Gر =
7'G'ا 2((C).
): )GF أن-أ 3) ) ( ) 2
1 22ln ln 1
2f x x
x = + − +
x لJا [ [1, +∞.
: ا+'* أن -ب ( )
lim 0x
f x
x→+∞= J'ا y@12 أو ه'+ ه .
): أن-أ 4) ) ( )( )2
2 1
1 1
xf x
x
−′ =
− + x .
. f 7AأAط ول )wات اا -ب
0.5 0.5 1.5 0.5
0.25
0.75
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
): أن-أ 5) ) ( )( )
22
2 2
1 1
x xf x
x
−′′ =
− +
x .
.(C) ادرس ) ا'G'7 -ب
(6 7'G'ا ~Pأ(C).
(7 h ]ل 7A اfJ &9ر اا [1, +∞
اJل h أن -أ ( [ [1, . J 9G JyG( 1ل ∞+
)0د -ب )1h x− x J.
S9 1t - أ 8) x= ) : أن− ) ( )1 0 2
0 1ln 1f x dx t dt
−= +∫ ∫
CIاء أن-ب ): +ل )20 02
21 1ln 1 ln 2 2
1
tt dt dt
t− −+ = −
+∫ ∫
: أن-ج 20
211
1 4
tdt
t
π−
= −: 0i أن ( ∫+
2
2 2
11
1 1
t
t t= −
+ + t .(
و 9Gر اIص (C) ا+'* /0 C0 ا/9ى ا9Gر ا'G'7 -د
1xوا/ ا@ ده 7A ا9ا 0x و = =
hamidbouayoun/fr.lycos.membres://http
0.5
0.5
0.75
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
:لالتمرین األو0n :010من أجل -أ)1 U . 0نفترض أنnU 03إذن nU 0ومنھ
1 2
3
1 n
nn U
UU
.
.INمن nلكل 0nUبالتالي و
لدینا - ب
01
12
2
1 n
nnnn U
UUUU
إذن nU تناقصیة.
- ج nUفھي إذن متقاربة 0تناقصیة و مصغورة ب ،.
22لدینا -أ)2 313 nn UU إذن 2
3
2
33
3130
n
n
n
nn U
U
U
UU
أيnn UU
3
11 لكلn منIN.
:لدینا - ب
01
12
21
1
3
13
1
3
13
1
UU
UU
UU
UU
nn
nn
نجد) كل األطراف موجبة(نضرب طرفا بطرف n
nU
3
INمن nلكل 1
13
110
3
1lim
n
0limإذن 0nUو لدینا nU.
:التمرین الثاني -أ)1 2
2
310,
Pd.
- ب rS , مماسة للمستوى P 2، إذنr ومنھ 211: 222 zyxS
: إذن معدلة دیكارتیة للفلكة ھي 022: 222 zyzyxS
-أ)2 0,1,01,1,1 ACوABkiACAB
0
ACAB وإذن النقطACوB غیر مستقیمیة.
ACABلدینا - ب منظمیة على ABC إذن ، 0: dzxABC
ABCB 3,3,0 3إذنd و منھ 03: zxABC.
لدینا -أ)3 rABCd
22
310الفلكةإذن , S مماسة للمستوى ABC.
- ب 1,0,12 CC إذن SC و لدینا ABCCھي نقطة تماس C: إذن Sو ABC.
: مرین الثالثالن'1-أ)1
2
1
2
1'
2
1
2
1" izوiz . لدینا إذن 0"Re z 21أي '" zzوzz .
لدینا - ب
4,
2
2
4
3,
2
212
zوz.
iلدینا –أ )2i
i
sb
sa
1
إذن 1
2,1
sb
sa.
1لدینا - ب
sb
sa
SB
SA إذن المثلثSAB متساوي الساقین رأسھS.
و 2
2arg,
sb
saSBSA یعني أن المثلثSABقائم الزاویة فيS.
basلدینا - ج یعني BaffAaffSaff ومنھOBOAOS Sمتساوي الساقین رأسھ وقائم الزاویةSABمتوازي األضالع ، و بما أن المثلث OASBإذن الرباعي
.مربعOASBفإن
:التمرین الرابع 1(
3
1
6
4 ApوBp
-أ)2 21
11
21
8
7
1
3
2
7
3
3
127
14
13
1
C
CCEp
و 21
2
3
227
23
2 C
CEp.
لدینا - ب 1
11 Ep
EApApE
و
7
1
7
3
3
1. 11 EpApEAp A.
إذن 11
31
ApE.
:التمرین الخامسلدینا -أ)1 1111222 222 xxxxxلكلx منIR.
- ب 011 2xلكلx منIR إذنIRD f .
xflim و
xflim.
لدینا )2 22224442 22 xxxxxxf إذن xfxf 2لكلx منIR.axالمستقیم ذو المعادلة :االستنتاج محور تماثل Cفي م م م jiOxfxaf
,,2 IRx
محور تماثل 1xالمستقیم ذو المعادلة : إذن C.
لدینا :أو CyxMxfy و لتكن , ','' yxM مماثلةM 1المعادلةلمستقیم ذيلبالنسبةx ،
: إ ذن
yy
xx
'
12
'وھذا یكافئ
yy
xx
'
2'و بما أن . xfxf 2 فإن '' xfy
إذن CM ' و بالتالي C1المعادلةمتماثل بالنسبة للمستقیم ذيx.
-أ)3
22
22 22
1lnln22
1lnxx
xxx
xxf .وبما أن ,1x
xxفإن ln2ln 2 إذن
222 22
1lnln222
1lnxx
xxx
xxf.
لدینا - ب 0
221ln
ln2limlim
2
x
xx
x
x
x
xfxx
)0ln
lim00
x
xو(
إذن C یقبل فرعا شلجمیا في اتجاه محور األفاصیل بجوار.
-أ)4 11
12
22
'22'
22
2
x
x
xx
xxxfIRx.
- ب
-أ)5
2222
22
11
22
11
14222"
x
xx
x
xxxxfIRx.
نلخص إشارة- ب xf :في الجدول التالي "
المنحنى لھ نقطتي انعطاف 2ln,0A و 2ln,2B
المنحنى)6
متصلة وتزایدیة قطعا على المجالh-أ)7 ,1فھي تقابل من ، ,1 نحو ,0,1h.: لدینا - ب yhxxhyyx 1,1,,0
إذن 11ln 2 yx 11 2ye x 11 xey)010 xex(
11فإن 01yو بما أن xey . إذن 11,0 1 xexhx
لدینا -أ)8 11ln 2 xxf إذن 11ln 2 xtttf وdxdt .
منھ و
0
1
21
01ln dttdxxf.
نضع - ب 21ln1' ttuوtv فنجد 21
2'
t
ttuوttv
إذن:
0
1 2
20
1 2
20
120
1
2
122ln
1
21ln1ln dt
t
tdt
t
tttdtt
لدینا- ج22
2
1
11
1 tt
t
إذن
41
1
11
10
1
0
1 2
0
1 2
2
tarctgtdtt
dtt
t.
صور بین المنحنىمساحة الحیز المحAلتكن-د C ومحور األفاصیل و المستقیمین اللذین معادلتاھما على التوالي
1x 0وx إذن ، 2
22ln4
122ln0
1
dxxfAبوحدة قیاس المساحة.
.یتكون ھذا الموضوع من أسئلة مستقلة فیما بینھا و تمرینین و مسألة-.رمجةیسمح باستعمال اآللة الحاسبة غیر القابلة للب-
)أربع نقط و نصف(: أسئلة : المعادلة Cحل في)1 0412122 iziz.)1ن(
1: بین أن )22
312
i.)1ن(
:باستعمال مكاملة باألجزاء، بین أن )3 9
12ln3
1
2
edxxx
e)ن1(.
بین أن )4
20 61
xx
dx ) 1یمكنك وضع xt()1.5ن(
)نقطتان و نصف(:التمرین األول في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ،نعتبر المستوى P 03الذي معادلتھ yxو الفلكةSالتي
معادلتھا 211 222 zyx.ستوىالمبین أن)1 Pمماس للفلكةS.)1ن(و Sحدد مثلوث إحداثیات نقطة تماس )2 P.)1.5ن(
)ثالث نقط(: نيالتمرین الثا.باللمسیمكن التمییز بینھایحتوي صندوق على ثالث كرات بیضاء وسبع كرات سوداء ال
:الحدثین التالیین BوAلیكن. نسحب عشوائیا و في آن واحد كرتین من الصندوق)1A ":الكرتان المسحوبتان لونھما أسود"
B ":ألقل كرة لونھا أسودمن بین الكرتین المسحوبتین توجد على ا"
یساوي Aبین أن احتمال الحدث 15یساوي Bو أن احتمال الحدث 7
15)ن1.25(.8
عن السحب و إذا كانت سوداء نسحب كرة واحدة من الصندوق، فإذا كانت بیضاء نتوقف: نعتبر التجربة العشوائیة التالیة )2:الحدثین التالیین DوCلیكن . نضعھا جانبا ثم نسحب كرة ثانیة و أخیرة من الصندوق
C ":الحصول على كرة بیضاء في السحبة األولى"D ": كرة بیضاءالحصول على"
)نC.)0.75احسب احتمال الحدث -أ
یساوي Dبین أن احتمال الحدث - ب15)ن1(.8
)عشر نقط(: مسألة :الجزء األول المعرفتین على المجالhوgنعتبر الدالتین ,0بما یلي : xxxg ln1و xxxxh ln2.
احسب -أ)1 xg من المجالxلكل ' ,0ثم ادرس منحى تغیرات الدالةg.)0.75ن(استنتج أن - ب 0xg لكلxمن المجال ,0.)0.25ن(
بین أن -أ) 2 xxxgxh ln11 لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(بین أن - ب 0ln1 xx لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(
استنتج أن ) 3 0xh لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(
:الجزء الثاني المعرفة على المجالfنعتبر الدالة ,0 بما یلي : 2lnln1 xxxxf و لیكن fC المنحنى الممثل
.في معلم متعامد ممنظم fللدالةاحسب -أ)1 xf
x 0limن0.5(.و أول النتیجة ھندسیا(
احسب - ب xfx limثم حدد الفرع الالنھائي للمنحنى fCبجوار).1ن(
الحظ أن (
x
xxxxf
ln1.ln1.(
بین أن -أ) 2 x
xhxf ' لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(
تزایدیة قطعا fاستنتج أن الدالة - ب ,0.)0.25ن(لیكن) 3 المستقیم المماس للمنحنى fC في النقطة 1,1A.
بین أن معادلة دیكارتیة للمستقیم -أ ھيxy .)0.5ن(: تحقق من أن - ب xgxxxf 1ln لكلxمن المجال ,0.)0.5ن(ادرس إشارة - ج xxf للمستقیم ثم استنتج الوضع النسبي والمنحنى fC.)1ن(أنشئ ) 4 fCو للمنحنى نقبل أن.(في نفس المعلم fC ن0.75()1.5و1نقطة انعطاف أفصولھا محصور بین(
:الجزء الثالثنعتبر المتتالیة nu المعرفة بما یلي :eu 0 و nn ufu 1 لكلn منIN.
eunبین بالترجع أن)1 1 لكلn منIN.)0.5ن(بین أن المتتالیة)2 nuن1().من الجزء الثاني- ج)3نك استعمال السؤال یمك.( تناقصیة(استنتج أن المتتالیة)3 nuن1(.متقاربة ثم احسب نھایتھا(
:أسئلة
): المعادلة , نعتبر في المجموعة ) 1 ) ( )2: 2 1 2 1 4 0E z i z i− + + + =.
) للمعادلة المختصرالمميز )Eهو : ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1. 1 4 1 4 4 1 4 4 2b ac i i i i i′ ′∆ = − = + − + = + − − − = − =
) إذن للمعادلة )E 1: هما حلين مختلفين1 2 2 1 4
1b i iz i
aα′− + + +
= = = 2 و +1 2 2 1
1b i iz
aα′− − + −
= = =
2iα حيث )وبالتالي فإن مجموعة حلول المعادلة . ∆′ المربعين للعدد العقدي ينأحد الجذر هو = )E هي : 1,1 4S i= +.
3 : لدينا ) 2 3 1 cos sin 1,2 2 2 6 6 6
i i iπ π π+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ .
] : لدينا , موافر عالقة حسب ] [ ]12 12
123 1, 1 ,12 1,2 1,0 12 6 6
i π π π⎛ ⎞+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = × = = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
و : نضع ) 32( )
( ) lnu x xv x x′⎧ =
⎨=⎩
و : إذن
31( )31( )
u x x
v xx
⎧ =⎪⎪⎨⎪ ′ =⎪⎩
.
uو vدالتين متصلتين وقابلتين لإلشتقاق على المجال [ ]1,eو u v و′ ] دالتين متصلتين على المجال′ ]1,e . لدينا , حسب المكاملة باألجزاء :
[ ]2 3 2 3 3
11 1 1 111
1 1 1 1ln( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ln( )3 3 3 9
eee e e e ex x dx u x v x dx u x v x u x v x dx x x x dx e x⎡ ⎤′ ′ ⎡ ⎤= = − = − = − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
: وبالتالي فإن 3
2
1
2 1ln( )9
e ex x dx +=∫
1t: نضع ) 4 x= ): إذن , − ) ( 1) 1122 1 1
x dxdt x dx dxx x
′−′= − = =− −
2 إذن 1
dxdtx
=−
21x :لدينا و. t= و +
2 1x t= ⇔ 4 و = 3x t= ⇔ = . )1x x ] معرفة من − ]2, ,1 نحو4 3⎡ ⎤⎣ ] وقابلة لإلشتقاق على⎦ ]2, 4. (
: نحصل على , حسب المكاملة بتغيير المتغير
[ ] ( ) ( )( )4 3 32 12 1
2 2 tan( ) 2 tan 3 tan 1 21 3 4 61
dx dt Arc t Arc Arctx x
π π π⎛ ⎞= = = − = − =⎜ ⎟+− ⎝ ⎠∫ ∫
:1التمرين
):لدينا) 1 ) ( ) ( )2 22: 1 1 2S x y z− + + − )؛ إذن= )Sفلكة مرآزها ( )1,0,1Ω2 وشعاعهاR )ولدينا , = ) : 3 0P x y+ − =
) و المستوىΩ وبما أن المسافة بين النقطة )Pتحقق ما يلي : ( )( )2 2 2
1 0 3 2, 221 1 0
d P R+ −
Ω = = = =+ +
,
) فإن المستوى )P للفلكةمماس( )S .
) لدينا)2 )1,1,0Pnمتجهة منظمية على المستوى ( )P , إذنPnموجهة للمستقيم ( )وى والعمودي على المستΩ المار من∆( )P.
) ومنه تمثيل بارامتري للمستقيم : هو ∆(1
/1
xyz
αα α
= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩
)نعتبر . ), ,H x y zنقطة تماس الفلكة ( )Sو المستوى ( )P.
): لدينا ) ( )H P∈ ∆ 1 ؛ إذن ∩ 3 0 1α α α+ + − = ⇒ : ومنه فإن =1 1 211
xyz
= + =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
): ؛ وبالتالي فإن )2,1,1H.
الثانية بكالوريا علوم تجريبية الدورة العادية 10 / 06 / 2005 ا تصحيح اإلمتحان الوطني ثانالموحد
: الصندوق :التمرين الثاني
3 7B B B N N N N N N N
pا آرتين من الصندوق ؛ إذن األمر يتعلق بالتأليفات لكرتين والرمز المستعمل نسحب عشوائيا وتآني) 1nC.
A " : ؛"الكرتان المسحوبتان لونهما أسود ) NN .( B ": ؛ "من بين الكرتين المسحوبتين توجد على األقل آرة لونها أبيض)BNأو BB(
): هو A إحتمال الحدث )272
10
Cp AC
: ولدينا =2
2 77
7 6 212! 1 2AC ×
= = =×
و 2
2 1010
10 9 452! 1 2
AC ×= = =
×):ومنه . ) 21 7
45 15p A = =
): هوB إحتمال الحدث )1 1 23 7 3
210
3 7 3 3 8 845 45 15
C C Cp BC
× + × + ×= = = )سحب آرة بيضاء وآرة سوداء أو سحب آرتين بيضاوين ( =
B 3 :شجرة اإلمكانيات) 210
B 3 19 3=
3 6
B B B N N N N N N N. 710
N 6 29 3=
C ": إحتمال الحدث " . الحصول على آرة بيضاء في السحبة األولىC هو : ( )13110
310
Cp CC
= =.
D ": إحتمال الحدث " . الحصول على آرة بيضاءD : : هو D ؛ ومنه فإن احتمال الحدث Ω يكونان تجزيئا للفضاءC وC ؛ إذنΩ واتحادهما حدثان غير منسجمانC وC لدينا
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C Cp D p C p D p C p D p D C p C p D p C p C p D= × + × = + × = + ×∩
): وبما أن ) 310
p C ) و = ) ( ) 3 71 110 10
p C p C= − = − ) و = )1319
3 19 3C
Cp DC
= = : فإن =
( ) 3 7 1 9 7 16 810 10 3 30 30 15
p D += + × = = =
[ :المسألة [ ( )0, ( ) 1 ln( ); ( ) 2 ln( )x g x x x h x x x x∀ ∈ +∞ = − − = + −
:الجزء األول
[ليكن ) أ) 1 [0,x ∈ ) : لدينا , ∞+ ) 1 1( ) 1 ln( ) 1 xg x x xx x
−′′ = − − = − =.
)1: ولدينا ) 0 0 1 0 1xg x x xx−′ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ [ على المجالgجدول تغيرات الدالة . = [0,+∞ :
[ متصلة وتناقصية قطعا على المجالg لدينا –) ب [ ؛ إذن0,1[ ]( ) [ [
00,1 (1), lim ( ) 0,
xg g g x
+→
⎡ ⎡= = +∞⎢ ⎢⎣ ⎣[ و ]0,1 : ( ) 0x g x∀ ∈ ≥.
] متصلة وتزايدية قطعا على المجالg ولدينا- ]إذن ؛∞+,1] [( ) [ [1, (1), lim ( ) 0,x
g g g x→+∞
⎡ ⎡+∞ = = +∞⎣ : ومنه فإن ⎣
[ [1, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ [: وبالتالي فإن . ≤ [0, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ ≥
[باستعمال المجالين المفتوحين ( [ و 0,1] [: ؛ يمكن أن نبين أن ∞+,1] [ ] [0,1 1, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ >∪(
[ليكن) أ) 2 [0,x ∈ ): لدينا . ∞+ ) ( 2) ln( ) 1 1 ln( ) ( 1) ln( ) 1 ( ) ( 1) ln( )h x x x x x x x x g x x x= + − = + − − + − = + + −
[ليكن) ب [0,x ∈ ] :لدينا . ∞+ [ 1 1 01, ( 1) ln( ) 0
ln( ) 0 ln( ) 0x x
x x xx x≥ − ≥⎧ ⎧
∈ +∞ ⇒ ⇒ ⇒ − ≥⎨ ⎨≥ ≥⎩ ⎩
] ] 0 1 1 00,1 ( 1) ln( ) 0
ln( ) 0 ln( ) 0x x
x x xx x< ≤ − ≤⎧ ⎧
∈ ⇒ ⇒ ⇒ − ≥⎨ ⎨≤ ≤⎩ ⎩
[: وبالتالي فإن [0, : ( 1) ln( ) 0x x x∀ ∈ +∞ − ≥
[ليكن) 3 [0,x ∈ ): لدينا . ∞+ 1) ln( ) 0x x− ) ب ؛ و – 2حسب , ≤ ) 0g x :إذن . ب – 1حسب , ≤
( ) 1 ( ) ( 1) ln( ) 1 0h x g x x x= + + − ≥ [ : خالصة . < [0, : ( ) 0x h x∀ ∈ +∞ >
[ : الجزء الثاني [ ( )20, : ( ) 1 ln( ) ln( )x f x x x x∀ ∈ +∞ = + −
): لدينا ) أ) 1 )2
0 0lim ( ) lim 1 ln( ) lnx x
f x x x x+ +→ →
= + − = ؛ ألن ∞−0
lim ln 0x
x x+→
و =0
lim lnx
x+→
= −∞.
) : تأويل هندسي )C 0 معادلته مقاربا عموديا يقبلx =.
): لدينا ) ب )2 lnlim ( ) lim 1 ln( ) ln lim 1 ln 1x x x
xf x x x x x xx→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞= + − = + − = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
lnlim: ؛ألن 0x
xx→+∞
=
lim و lnx
x x→+∞
= ): ولدينا . ∞+ )21 ln( ) ln( ) 1 lnlim lim lim ln 1x x x
x x xf x xxx x x x→+∞ →+∞ →+∞
+ − ⎛ ⎞= = + − = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
) : تأويل هندسي )Cإتجاهه محور األراتيب , ∞+ يقبل فرعا شلجميا بجوار.
[يكنل) أ) 2 [0,x ∈ ) :لدينا . ∞+ )( )2 1 1( ) 1 ln ln ln 2 lnf x x x x x x xx x
′′ = + − = + × − × ×
ln ln 2ln ( 2) ln ( )ln 1 2 x x x x x x x x h xxx x x x
+ − + −= + − = = =
[ :خالصة [ ( )0, : ( ) h xx f xx
′∀ ∈ +∞ =
[: من الجزء األول ؛ لدينا ) 3(ل حسب السؤا) ب [ ( )0, : ( ) 0h xx f xx
′∀ ∈ +∞ = [ تزايدية قطعا على المجالfإذن . < [0,+∞.
) معادلة المماس) أ)3 ) للمنحنى∆( )C(1,1) في النقطةA (1): هي( 1) (1)y f x f′= − ) أي + 1) 1y x= − y يعني + x=.
[ليكن) ب [0,x ∈ ): لدينا . ∞+ ) ( ) ( )2 2( ) 1 ln ln 1 ln ln 1f x x x x x x x x x− = + − − = − + −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 ln 1 ln ln 1 ln 1 1 ln ln 1 ( )x x x x x x x x g x= − + + − = − − − = −
: لدينا ln 1
( ) 0( ) 0 1x x e
f x xg x x
= =⎧ ⎧− = ⇔ ⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩
): إذن . )Cو ( ) و A يتقاطعان في النقطتين∆( , )B e e.
)إشارة , ب 3 حسب )f x x− هي إشارةln 1x [: وبما أن . − [ ln 1 ln 1 00, :
0 ln 1 ln 1 0x e x x
xx e x x
≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥⎧∀ ∈ +∞ ⎨ < ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤⎩
]: فإن [, : ( ) 0x e f x x∀ ∈ +∞ − ≥ ⇐ ( )C يوجد فوق ( ] على المجال ∆( [,e +∞.
[ : و ]0, , ( ) 0x e f x x∀ ∈ − ≤ ⇐( )C يوجد تحت ( [ على المجال ∆( ]0,e.
)إنشاء المنحنى) 4 )C:
0 :الجزء الثالث
1 ( ) ;n n
u eu f u n+
⎧ =⎪⎨
= ∈⎪⎩
0nمن أجل ) 1 0uلدينا , = e= , 01: إذن u e< nليكن . > 1نفترض أن , ∋ nu e< 11 ونبين أن > nu e+< ؟>1 بما أن nu e< ] تزايدية قطعا على المجالf وأن> ]1,e (1): ؛ فإن ( ) ( )nf f u f e< 11: أي > nu e+< <.
:: لدينا , حسب مبدأ الترجع 1 nn u e∀ ∈ < <.
[: نعلم أن ) 2 [1, : ( ) 0x e f x x∀ ∈ − <) II – 3 وأن ) ج: 1 nn u e∀ ∈ < ): ؛ إذن > ): 0n nn f u u∀ ∈ − <
:1: أي 0n nn u u+∀ ∈ − )وهذا يعني أن . > )n nu
∈ . متتالية تناقصية
[) i(لدينا ) 3 [: 1,nn u e∀ ∈ ] متصلة على المجالii(f( و ∋ ]1,e و )iii ([ ]( ) [ ]1, 1,f e e= و )iv( ( )n nu
∈ متتالية تناقصية
) ؛ إذن1 ومصغورة بالعدد )n nu
∈): بحيث l متقاربة نهايتها )f l l= . ولدينا :
l e= أو ( )( ) ( ) 0 ln 1 ( ) 0 1f l l f l l l g l l= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ) ج – 3 ب و - II 3أنظر (=
:0: وبما أن 0 nn n u u e∀ ∈ ≥ ⇒ ≤ 0l ؛ فإن = u e≤ 1l: وبالتالي فإن . = = . lim 1nnu
→+∞=
.یتكون ھذا الموضوع من أسئلة مستقلة فیما بینھا و ثالث تمارین و مسألة-.لبرمجةیسمح باستعمال اآللة الحاسبة غیر القابلة ل-
)أربع نقط(:أسئلة '''06: حل المعادلة التفاضلیة ) 1 yyy.)1ن(
اكتب على الشكل المثلثي العدد ) 2i
iZ
1
)ن1(.31
:باستعمال مكاملة باألجزاء، بین أن ) 3 20
12
1ln.
dxxCosxCos.)1ن(
نذكر أن ( xCosxSin 22 1(
: نضع ) 4n
n nu
3nn: المجموع nاحسب بداللة. IN*من nلكل 1 uuuS )ن1(.21...
)نقطتان(:التمرین األول في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ،نعتبر المستوى P 01الذي معادلتھ zxو الفلكةS التي مركزھا
0,0,1 2و شعاعھاr.بین أن)1 PوS یتقاطعان وفق دائرة .)0.5ن(حدد مركز و شعاع الدائرة )2 .)1.5ن(
)نقطتان و نصف(:مرین الثاني تالاكتب على الشكل الجبري العدد العقدي )1 21 i.)0.25ن(: المعادلة Cحل في)2 0632122 iziz.)0.75ن(النقطتیندينعتبر في المستوى العق)3 iA و3 iB 2.
حدد ثم أنشئ Dمجموعة zM النقط بحیثiziz )ن1.5(.23
)ثالث نقط و نصف(:التمرین الثالث .یمكن التمییز بینھا باللمسیحتوي كیس على أربع كرات بیضاء و كرتین سوداوین ال
)ن0.5(ما ھو احتمال الحصول على كرة بیضاء؟. نسحب عشوائیا كرة واحدة من الكیس)1)ن1(ما ھو احتمال الحصول على كرة بیضاء مرتین بالضبط؟. كرات من الكیس5نسحب عشوائیا بالتتابع و بإحالل )2.ة من الكیسكرnنسحب عشوائیا بالتتابع و بإحالل )3
كرة بیضاء على األقل ھو بین أن احتمال الحصول على -أn
p
3)ن1(.11
نأخذ .(999.0pما ھو العدد األدنى من السحبات التي من أجلھا - ب 48,03log حیثlog ھو اللوغاریثم)ن1().العشري
)ثمان نقط(:مسألة المعرفة على المجالfنعتبر الدالة العددیة 2,0 بما یلي :
x
xxf
2lnو لیكن fCحنى الممثل المن
.في معلم متعامد ممنظم fللدالةاحسب -أ)1 xf
x 0lim و xf
x 2lim.)1ن(
بین أن - ت xxxf
2من xلكل '2 2,0.)0.75ن(
)نf.)0.5أعط جدول تغیرات الدالة - ثبین أن النقطة -أ)2 0,1Aمركز تماثل المنحنى fC.)0.5ن(
اكتب معادلة دیكارتیة للمماس - ب D للمنحنى fC في النقطة 0,1A.)0.5ن(نضع ) 3 xxfx لكلx من 2,0.
0بین أن -أ23
0و
47
). نأخذ 1,13ln 94,17وln ()0.5ن(
المعادلة استنتج أن - ب xxf تقبل حال بحیث47
23
ن0.75(.و أول النتیجة مبیانیا(
)ن0.5(.1fتقبل دالة عكسیة fبین أن الدالة -أ) 4
بین أن - ب x
x
e
exf
1)نIR.)0.5من xلكل 21
أنشئ في نفس المعلم المنحنى ) 5 fC و المنحنى 1fC 1الممثل للدالةf.)1ن(
احسب -أ) 6
0 1dx
e
ex
x
)ن0.5(.
احسب مساحة الحیز المحصور بین المنحیین - ب fCو 1fCن1(.و محوري المعلم(
:أسئلة 062: المعادلة الممیزة ھي ) 1 rr ،2532 12 rوr.
لة التفاضلیة ھي حلول المعاد xx eeyحیثIR 232, .
2 (
3,231
4,21
127,2
iوiZ.
نضع ) 3 xCosxuxCos
xSinxu
1ln1
'
xCosxvxSinxv '
إذن
20
220
20 1
1ln.1ln.
dxxCos
xSinxCosxSindxxCosxCos
12
10 20
20
xSinxdxxCos
:مالحظة )4 nuعبارة عن مجموع متتالیتین، إحداھما حسابیة nvn و األخرى ھندسیة
n
nw31.
لدینا إذن n
n nS
31...
31
31
31...321
32
23111
311
311
31
21
nn
nnnn
:للتمرین األوا1 ( rPdPوS
2
211
.یتقاطعان وفق دائرة,
على المستوى المسقط العمودي للنقطةHمركز الدائرة ھو) 2 P
لیكن المستقیم المار من والعمودي على P إذن ، 1,0,1 nالمنظمیة على Pموجھة ل .
H ھي تقاطع و Pمثلوث إحداثیاتھا ھو حل النظمة ، :
01
01
011
zx
tz
y
tx
tt
و منھ 1tإذن 1,0,0H.
222شعاع الدائرة ھو drR.
:التمرین الثاني1( ii 21 2 .: نحسب الممیز المختصر) 2 22 126321' iiii
izإذن 31 وiz 22.izizBMAMلدینا ) 3 23.
إذن Dقطمجموعة النM ھي واسط القطعة AB.iyxzنضع :طریقة تحلیلیة . إذن 2222 12323 yxyxiziz
01 yx
إذن Dمجموعة النقطM ھي المستقیم الذي معادلتھ 01: yxD
:التمرین الثالث ، إذن "الحصول على كرة بیضاء: "الحدث Aلیكن)1
64
Ap.
، "الحصول على كرة بیضاء مرتین بالضبط:" الحدث Bلیكن)2 24340
31
32 32
25
CBp.
"داءكرة سوnالحصول على :" C،إذن " الحصول على كرة بیضاء على األقل:"الحدث Cلیكن-أ)3
nn
CpCp
31
3احتمال سحب كرة سوداء ھو . (11
31.(
999.0999.0لدینا - ب311001.0
31
pnn
310log31log
n
33log.n
25.63log
3n
.7إذن ، العدد األدنى من السحبات ھو
:مسألة -أ)1
0
2limlim
00 x
xxf و
x
xxf
2limlim
22.
من xلكل - ب 2,0لدینا : xxx
x
xx
xx
x
xf
222
22
2
2' 2
'
: تغیراتجدول ال- ج
:تذكیر -أ)2 baA لمنحنى مركز تماثل ل, ff CxfbxafوDxa 222نبین أن xfxf 2 :202202 xxDx f
و xfx
xxf
2ln2 إذن 1,1Aمركز تماثل للمنحنى.
معادلة - ب D ھي : 111' fxfy و 21' f إذن ، : 22: xyD.
-أ) 3 04.0233ln
23
و 019.0
477ln
47
.
متصلة على الدالة - ب
47,
20و ) فرق دالتین متصلتین(3
47.
23
إذن حسب مبرھنة القیمة الوسیطیة ،
من فإنھ یوجد على األقل عدد
47,
2حیث 3 0 أي f.
المنحنى : التأویل المبیاني fC یقطع المستقیم ذو المعادلةxy )في النقطة ) المنصف األول ,I.
دالة متصلة وتزایدیة قطعا على المجال f-أ)3 2,01ھي تقبل دالة عكسیةإذن فf.تفابل من f- ب)4 2,0 نحوIR و yfxxfyyIRx 12,0,.
y
yx
2ln
y
ye x
2yyee xx 2
x
x
e
ey
12
: إذن x
x
e
exfIRx
12, 1
:المنحنى 5)
لدینا -أ) 6 x
x
x
xx
x
x
e
e
e
eedx
e
e
1
11
1ln1
'
00
2ln1ln e
لدینا :بداللة eنحسب f یعني
2ln
یعني
e2
إذن
221 e
: و بالتالي
2ln10
dxe
ex
x
.
ة الحیز المحصور بین المنحیین مساحSلتكن - ب fCو 1fCو محوري المعلم.
: إذن
0
12 dxxxfS)بوحدة قیاس المساحات(
002
14 dxxdx
e
ex
x
22ln4
:طریقة ثانیة
10
1 dxxfdxxfS.
: لدینا 2ln2
0
1 dxxf .نحسب dxxf
1:باستعمال مكاملة باألجزاء
نضع x
xxu
xxxu
2ln
22'.
1' xvxxv.
: إذن dxxx
xxdxxf
11
1 22
2ln
2ln22ln2
2ln 2
1x) ألن
f
2ln(
: و منھ 22ln4 S)بوحدة قیاس المساحات.(
) :2006(
:––
:3 :7
0.75
0.75
0.5.
0.75
1
0.25
1
1
0.5
0.75
0.25
: ) (
1 ( :y '' 6y ' 9y 02( :3x(E) : y '' 6y ' 9y 2e
-uIR :2 3xu(x) x e(E).
-(E).
: ) (
C:2z 2 3(1 i)z 8i 0
1z2z1 2Re(z ) Re(z )
1 ( 1z2z . ) :2(1 i) 2i (
2 ( -:21z 4( 3 i)12z iz.
-4( 3 i).
-1z2z.
3 ( (o;u;v)
AB1z2z.
2
1
zarg( )z
OAB.
: ) (
(O,i, j,k)A(1, 1,3)
(P) :x y 3z 0.
1 ( -:x ty t (t IR)z 3t
(OA).
-(Q)A.
-(P)(Q).
2 ( (S)(Q)A(P)
O33.
0.75
1.25
0.5
0.75
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.5
0.25
0.5
0.25
1
1.25
0.25
0.25
-(a,b,c)(S)(OA)b ac 3a.
- :2 2A O 33a b 3c 11.
-(S)2 11.
: ) 10(
I(g0, :g(x) ln(1 x) x.
1 (–g '(x)x0,g0,.
– :g(x) 0x0,.
2 ( :0 ln(1 x) xx0,.
II (fx :x 1f (x) x lnx 1
(C)f(O,i, j). ) 1cm (
1 ( f : D , 1 1,.
2 ( -f.
-xlim f (x)
x 1x 1limf (x)
3 ( – :2
2
x 3x D f '(x)x 1
-f1,.
4 ( -( )y x(C).
-x 1lnx 1
) :x 1 2x D 1x 1 x 1
(
-(C)( ).
5 ( (C)(O,i, j) ) 3 1,7f ( 3) 3 (
6 ( - :4
2
x 1ln dx 5ln5 6ln3x 1
) (
–2cm(C)
:x 2x 4y x.
III (n n 2(u ) :nu f (n) nnIN * 1
1 (–n
2u ln 1n 1
nIN * 1.
0.75
0.5
0.5
-n n 2(u ).
2 ( -n
20 un 1
nIN * 1 . ) I ( 2( (
-:nxlim u.
eme SC EXP2
–2006
:- 1 -
: )(1 ( :" '6 9 0y y y21 : 6 9 0r r
26 4 9 0.
:0
63
2r:
3 2: / ,xy x Ax B e A B.0,75
2 (- :2 3: xu x x e:' 2 3
" 2 3
3 2:
9 12 2
x
x
u x x x ex
u x x x e
:" ' 2 2 2 36 9 9 12 2 6 3 2 9 xu x u x u x x x x x x e
:" ' 36 9 2 xu x u x u x e2 3: xu x x e :0,75
" ' 3: 6 9 2 xE y y y e.
-E :2 3 2: / ,xz x x Ax B e A B0,5
: )(
1 (2 2 3 1 8 0z i z i:2' 3 1 8 2i i i
: 2' 1 i:
1 3 1 3 1z i2 3 1 3 1z i . 0,75
2 (- :2
2
1 3 1 3 1z i2 2 2
23 1 3 1 2 3 1 4 3 4 4 3i i i
:2
1 4 3z i
2 3 1 3 1 3 1 3 1z i i i
:2 1z i z . )1(
- :3 1
3 2 2 cos sin2 2 6 6
i i i
:4 3 8,6
i . )0,25(
- :2
1 4 3 8,6
z i :1 8, 2 2,12 12
z
2 1 1, 2 2, 2 2,2 12 2 12
z i z
:2
52 2,
12z . )1(
3 ( :22 1
1
arg arg arg 2z z zz
:2
1
5arg 2
12 12
zz
: 2
1
arg 23
zz
.
:2
1
, arg 2zOA OBz
:, 23
OA OB
:2 1 2 2z z :2 2OB OAOAB . )1(
eme SC EXP2
–2006
:- 2 -
: )(
1 (-OA,O OA :
0 1
0 1 /
0 3
x ty t tz t
:: /
3
x tOA y t t
z t . )0,5(
- :Q OAQOA:
, , . 0M x y z Q AM OA1 1 3 3 0
3 11 0
x y zx y z
:: 3 11 0Q x y z )0,75(
(1, 1,3nPQ ://P Q.
)0,25(2 (-QSA :A Q
:OA Q ://OA A :OA A
:OA.
:, , /
3
a ta b c OA t b t
c t:b a3c a . ) 0,75(
-QS ) r A(
O33 :2 2 2OA O A :2 233 O A )33OAA(
:2 2 33A O.
:2 2 22 2 2 2 21 1 3A O a b c a b c
:2 2 2 1 2 1 6 9A O a b c :2 2 33 2 1 2 1 6 9 33A O a b c
:2 2 6 22 0a b c :3 11a b c ) 1,25(
- :3 11
3
a b cb ac a
:
11 11
3
ab ac a
:1,1, 3 . )0,5(
: )10(-Ig0, :ln 1g x x x.
1 (- :'''0, : ln 1x g x x x
'1
11
11
1
1
xx
xx
x :' 0g xx0,g
0, . )0,75(
-g0,:
0, : 0x g x g0 ln1 0g
:0, : 0x g x .
)0,25(
eme SC EXP2
–2006
:- 3 -
2 (g0,:0, : 0x g x g
:0, : 0x g x
0 ln 1g x x x.
:0, :1 1x x :ln 1 ln1 0x
ln0,.
:0, : 0 ln 1x x x . )0,5(
-IIf :1
ln1
xf x xx
.
1 (Df:1 0
1 1 0 , 1 1,10
1
xx D x x xx
x :, 1 1,D . )0,5(
2(-f0:1 1
: ln ln1 1
x xx D f x x xx x
:1 1
: ln ln1 1
x xx Dx x
:x D f x f x.
f . )0,5(
- :1 1
lim 1 lim ln ln1 01 1x x
x xx x
:lim limx x
f x x.
:1 1
1 2lim lim
1 1x x
xx x
:1
1lim ln
1x
xx
:1 1
1lim 1 lim ln
1x x
xf xx
. ) 0,5(
3 (- :
'
''
2
1 11
1 1 11: 1
1 11
1
xxxx D f x x
x xxx
:' 21
1 1f x
x x
:2 2
'
2 2
1 2 3:
1 1
x xx D f xx x
. )0,75(
- :'
2
3 3:
1
x xx D f x
x :'1, : 3x sg f x sg xf
3,1, 3 . ) 0,5(
4 (- :1
lim lim ln 01x x
xf x xx
:1 1
lim 1 lim ln ln1 01 1x x
x xx x
.
y xC . )0,25(
- :1 2
: 11 1
xx Dx x
:
11, : 1
1
xxx
1, 1 : 1
1
xxx
:
11, : ln ln1 0
1
xxx
1, 1 : ln ln1 0
1
xxx
)0,5(
eme SC EXP2
–2006
:- 4 -
:12 : n nn u u2n n
u. ) 0,75(
2 (-I (2 (:2 2
2 : 0 ln 11 1
nn n
)2
1x
n(
:2
2 : 01
nn un
. )0,5(
-2n n
u:
22 : 0
1nn u
n2
lim 01n n
:lim 0nnu.
)0,5(
-:, 1 :x f x x1, :x f x x
, 1C1,
C . )0,25(
6 (- :'
1ln
1
1
xu xx
v x :
'
2
2
1u x
xv x x
:4
4 4
22 22
1 1 2ln ln
1 1 1
x x xdx x dxx x x
4
2
2
1ln ln 1
1
xx xx
)1,25(
:4
2
1 5ln 4ln ln 15 3ln 3 5ln 5 6ln 3
1 3
x dxx
.
-C2x4xy x
:4 4
2
2 2
1ln 5ln 5 6ln 3
1
xf x x dx dx cmx
. )0,5(
-III2n n
u :2 : nn u f n n.
1 (- :1
2 : ln1
nnn un
1 1 2 21
1 1 1
n nn n n
:2
2 : ln 11
nn un
. )0,25(
- :2 2
2 :1
nn n
:2 2
2 :1 1 1
nn n
:2 2
1 11 1 1n n
2 2ln 1 ln 1
1 1 1n n
5 (C : )1(
eme SC EXP2
–2006
:- 5 -
rg- ,J.-.-, is!-.-n
;-+.-r.tJ a--..+.+.j.JJ arjt,*--I-:+ .-r---t--.--lJlt
rt---".-.-J.^Ji ié-rJl,
r.râ!! éJ! jrs^!
C: RS22
Fl,a'-'
'95js!f rrjrJl ,J$Jt 6Lj,.:t(2006:,+$6-tl irriD
e*J'rj
Él+lril ;6,tt 'rl
4jrlrll pt'll -i4,-Yl 4J+J+$l eJùtll -ir+JÉll p-ÈJl :(r),,. - Irt
' t ! : ; i -ea,(;ac') s-5iJl ;- i . ]" l . f/(a à.c)r5l -= jo.ts
0,75
n rsô 5
( i+.âll .qlill Jir i.;.,Iâll Âltl Jud-,ti e-.+ )
( lij eùt3 ) cl.rtl cr-y.;lt
8 (1 . - l . l ) tA \1 .2 . - 2 ) L i r l (O . , . . 1 . k ) J " j . i + . r L - i - - L ' i . . L - J l . : F i J l ' r ' À \ l # -É - i
.c \2, t , -2) :
. ,ts n AC a+rl .:.,rrl,- j ";
.': -l it I 0,,. (ABC) , .s - i * l l < I :É . iJ . r t - - , r - r x+y+z- l=0 : û i ! x -+ , iO,S
1. R= t: Lp',''-ir O(l,l,l) t";S_r él islilt (S) jlSX(2
.(s) r (rBC) o,L.i:.Ln 11
. a 2 + b 2 , r '
êçr -J èJJ:. r, p: (S) âsliii c.jÈr- (ABC) é j,-Àt ii .x -i I t,ZS
( Ëj l,i: ) ,rrtl:t +;*ilt21l \ o . n - l s , " - . ,= iu , r - -u , 1 u ,= l Juo -0 , éLr i i ' ' l r ( i l , ) 4JEr ,J _É ' j
w ,=5" t r , r r ,=u , . , - !u , : N rFn l$Jc .à j
. 12 ilY+i., *6t É I C.t r+-.ja (v,) aJtii"lr ;i .,i 11' ' 5
.5 k-Li +rr..L..r(w, ) 4J1ËJt jl û* -l (2-
.r i iJ)+ r, l . dn.r l f z i lJ+ u,, , , i (r - . , ,
. N ' . . r r Js l 0 < u , . , S?r " : ; l ; - i 13)
. r imrz, - . . , . . . - tÉ ru' ;n -JSr 0< , ,=(?)- ' . i ie in-,- . , lo. t t
t.r":J'l!
Â,-l, 'aill ' d*Jl -L- 'rill ' nLll
4.,"lJjll eJ*!l -4,!..Y1
ffilcRSrr-l
Uu["sr! r!.ll e.ilrl ùLr!.f l(2006 :4Ér.,li-Il 6JrJl) d.l!ÉlrJlll ;5rL-Jl
( !!i Éùti ) ÉJÉlr c,.,.J'.:ll
1,'', sas ç;É-+; t 3 É-rl1 ...)L.-:;É!+:2 p ji cL; r-:.ri-!rti è)i : .:,li+ 5 -l'U, ..ré +r".t
( _*l:;3r+Jl Jlc j-#' j+ Y ) -vr' r... _É+ ;.L;+;,1!rll è)3 : -:,1!+ 5 -lc
L/') J"Jnl (j|^4É+ n:'t;;l o3; !Él ;. .'-.'É1+J;.J-;J ar'r .r,Sll ù.;-blj A-!+ Ul:È.,*
. L./r -pgsl J LJ*JI ilJl 4L-:1 ç; Jl 3s-.!t 9t 4 eL;'
. i.FJr cl r.aJt ._._,G 'tJl :rc çyr-a çrlr ;l *Ji +iJl X ùsJl
. f *Jl *iJl 'iiiJl JU1-l ;rrt6:r: (l
. Jf ;l q.:Jl )I,i-il ç;lr)Jl J.Yl !"!,.'l (2
(JeÂj ôYj ) çt;Ir a.,;irtr
z2 +22 ,r7.+i =0 : il:Lll C 4trbil rj:cyt 4- +.+- j .,,:,..,.am(,2, ) >0 . i , ,J- , i l rL l l
" ra*H r , , z i ç j - ; ' r
. ( ( l - i ) ' - . -2 i i ' L .Y ) z , .e z , r : - (1: l-it\l (O.t,n)iL* J;:^. :.L.-- ,J^^ *Ll +.-i"tr (5ri,.lr |9 ;Jl ç.! J$ (2
v - v -; - r 9 - - I ! - - - + I
t l r _i jrlr *L'#L-Ji ,)t ld, .e M, j I) .e ,4
l.' 1... o.]j:;r J<.'.!r -t - ! * 1^1 i *t.lJ' .::Jl . '',<t -i- 2
: L ; t l r ! - i i é I l t ' I tMr l i . i . i . i t . ; . ^ r , o a 11 1ÀU,=On u i . r . . . i j i - - . :.M1s | 11 , s I J : A
.arg( : , ) = lLpo1Ji J i r * AoBM t - , i
: ; . r - r - :
t t '
0,75
r )<
I ..à è.ll
4-.,,+J+l f3-.,l -4p;J.à:ll aJl'll.Çt1,lt p3,:'.tt -igo:l
F*t-ril
%|E;R34I
t JJLqll ll'J,^11 çjlrl èli!.fl
2006 :1É!rr:-f l 6r.rJl) d!\ÉtjJlll : à:t--ll
!i.; 6uJ ) a-ti..,.
() : f , " -2; t"+ y = .r -1 : <,Jr. : . l r Ç;u;1i T: l ' - i1 É.- i ( i
. ,r. " 2 .v ' -,r' .. 0 : i.J;tùlt il:L-lt ,-!- (1
- .i,;, : -r ) a x -tb : 1Fi .-1. (I) il:!'Jl l,-ti )-- 'r1i -i (2
'(I') il:'--tt rul JJI l.cl -','
' r ' (0)=1 r /1(0)-0 : -qi- ç:Jt ( f ) ! - l : r* i l f i .$ i : : - r -g
.g (x )= (x - l )e ' + r+ l : êL+ [0 .+ "o [ J '+11 . J l . r j l l g â i l i i l JÉ ' j ( 3
" [O . r * [ . . , j ' L ^ ] " s lq r i ga j l : J r ; i e rn " t Ê [o , i - [ J . r r JSJ 8 ' ( x ) ç - , -1 - l
. ( s t0)=0: ; i ! .y ) [0 , - "c [ ù* - r Js g(x)>O : ù i i * - . , ,xe'
, / ( . r )= . . ;(É , ' - t )
. (o . i .i ) +t- -r,&.& ./ ./
.i ir',i\t orÀ U!+- -lri j ( lim '
;l = t
. ( i ' r e 1Â ' l t r ) - t
: r i i = \ ) ' r j , r r r . 51 UU* " i r i 61 i i n r / 1 . r t =0 : " ; i - + . =c . ( 1 -e
' ) -
. ](- l ,+ "o[ i , .. r JsJ / '(x)..-; ;L.f,s(x) : ; i ir]r - i (3
f " - IJ
. ]0,+*[ .rb f aiJl irt *n Jr\r lci -,r
.., (('l i,;l1 (4
: . r i ! - ï ) | . . ; , J t=2 tn2 - l n3 : ; i J r lY - i ( 5J ) t \ r _ t )
f."l , rï )cl" = l' ,!--- ttt : ,.1\ ;* r=e' ê;rp-?J l n 2 J : ( t _ l ) .
f t lnr ' l
J, -f (û = Iin2 ilnI ' ji J# "lj+Y!
al.K" JL"'i! -i (6
r,.alJ:L- .;:lll ir;+i!Jl3 .J.!.aLàYl J e\^J (C) rj-J, ;s+ ;,9.-=Ji g; n-*.ll ;, 4-1,* ejn-t -. ,
. ( l n3= l , l 3 l n =0 ,7 : : i L ) x - l n3 r - r= l n2 : ; l é l . L
, é L"i /R'slê ;-À Jl / 4+j,ll illil JÉ,j (ll
ÂllJl JÀJl ,r--,Jl rÀ ((') _t
.L:;s iJl.: /Ci .x (l
ai rsi ) hq/'-r) , . .-t -i (2
0,750,250,2.50,5
4,75
0,25
0.5
0,75
0,75
0,5
0.5
0,s
0,5
\
0,25
, l! (
_ _' r ( r -1 ) r - l r
06 يوليوز االستدراكية الدورة امتحان تصحيح : التمرين االول
AB,0): لدينا -أ) 1 AC,1) و (3,3− AB(3,3,3): اذن . −(1,0 AC∧ 0.5
AB: لدينا - ب AC∧( ) ABC متجهة منظمية على المستوى
( , , ) ( ) .( ) 03.( 1) 3.( 2) 3.( 2) 03.( 1) 0
M x y z ABC AM AB ACx y zx y z
∈ ⇔ ∧ =
: اذن
⇔ − + − + + =⇔ + + − =
)وبالتالي معادلة ديكارتية للمستوى )ABC 1: هي 0x y z+ + − = 0.5
) الى المستوى Ω(1,1,1)كز مسافة المر-أ) 2 )ABCهي :1 1 1 1 21² 1² 1² 3
d+ + −
= =+ +
d R=( )
ABC( )S المس: ومنه إذن H. 0.5 في نقطة مماس للفلكة توى :
) مع المستقيم )HΩهذه النقطة هي تقاطع المستوى ذو تمتيل برامتري( )ABC :
11 ( )1
x ty t t IRz t
= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩
111
1 0
x ty tz tx y z
= +⎧⎪ = +⎪⎨ = +⎪⎪
: النظمة بحل
+ + − =⎩
: نجد 2
3t −=
1 1 1( , , )3 3 3
H 0.75 اذن :
) لتكن - ب , , )M a b c( )ABC. نقطة من المستوى
: إذنلدينا 1 0
2( , )3
a b c
d M
+ + − =⎧⎪⎨ Ω ≥⎪⎩
:إذن 1 0
4( 1)² ( 1)² ( 1)²3
a b c
a b c
+ + − =⎧⎪⎨
− + − + − ≥⎪⎩
: أي
1
² ² ² 2(
a b c
a b c
+ + =⎧⎪⎨ 4) 3
3a b c+ + −⎪⎩+ + + ≥
: أي 1
4² ² ² 2 33
a b c
a b c
+ + =⎧⎪⎨
+ + − + ≥⎪⎩
: وبالتالي1² ² ²3
a b c+ + ≥ 0.75
:التمرين الثاني
: لدينا من لكل ) 1 nIN1 2 1 1 1
1 1
1 2 1 1. ( . . ) .5 5 25 5
1 1 1 1. . .( . )5 25 5 5 n
n n n n n n
n n n
v u u u u u
u u u u
+ + + + +
+ +
= − = − −
= − = −
1: اذن 1 .5n nv v+ =
) متتالية هندسية أساسها :وبالتالي )nv15
q 0: وحدها األول= 1 01 . 15
u= − =
:
v u 0.5
إذن1: ( )5
nnn IN v∀ ∈ = 0.25
1 : لديناnIN من لكل -أ) 2 1 11 1
1 15 . 5 .( . ) 5 . 5 .5 5
n n n nn n n n nnw u v u u+ + ++ += = + = +
1 5n nw w+ = +
): متتالية حسابية أساسها وبالتالي: إذن )nw5r =0 0w : وحدها األول 0.25 =
): لدينا-ب : 5. )nn IN w n∀ ∈ ): إذن 0.25 = : )5
nn n
wn IN u∀ ∈ =
1 : أي
5.*:5 5n n n
n nn IN u −∀ ∈ = = 0.25
: إذن .5: لدينا من لكل - أ)3 n*IN0n1*: 0nn IN u +∀ ∈ 0.25
1: نا n*IN لدي من ولكل 2 1 2. 1.5 5 5 5n n n n n
n n nu u+
+ −− = − : ن= 1إذ
2 . 05n nu u+ − ≤
:
1وبالتالي2*: 0 .5n nn IN u u+∀ ∈ ≤≺ 0.5
: لدينا: من أجل - ب 1=1 n1u 0 : نإذ =1
20 ( )5
u ≤≺
*n IN
.∋ لنفرض أن الخاصية محققة من أجل
1) لدينا حسب أ20 .5n nu u+ 12: لذن≻≥ 2 20 . .( )
5 5 5n
n nu u1−
: إذن ≻+ ≤ ≤120 (5
nnu + ≤≺
n
)
+1: الخاصية محققة بالنسبة ل إذن
12*: 0 ( )5
nnn IN u +∀ ∈ ≤≺ 0.5 : وبالتالي
12lim ( ) 05
n
n
−
→+∞= بما أن
25
− ≺ ≺1 ) حسب مصاديق التقاربإذن : فان 1 nu: متقاربة (
lim 0nnu
→+∞= 0.25 : و
: التمرين الثالث
أو بيدقة أو 0 يمكن الحصول على إذن U نسحب كرتين في آن واحد من الكيس فإننا 2يدقة تخمل الرقم سحبنا بإذا .تين لونها أحمربيدق
2
2 أو 0 على يمكن الحصولإذن Uبيدقات في آن واحد من الكيس 3 نسحب فإننا 3 سحبنا بيدقة تحمل الرقم إذاو . بيدقة أو بيدقتين لونها أحمر
: ومنه2 أو 1 أو 0: هي X القيم التي يأخذها المتغير العشوائي إذن ( ) 0,1,2X Ω = 0.5
]: الحدث * ]0X =1
2
Uمن الكيس 2أي نسحب بيدقة تحمل الرقم " ل على أية كرة حمراءنحص ال:" هو الحدث 1 3 ونسحب U من الكيس 3 نسحب بيدقة تحمل الرقم أو Uونسحب بيدقتين بيضاوين في أن واحد من الكيس
U. 2واحد من الكيس في أن ء بيضابيدقات
: إذن2 3
3 32 3
5 5
3 2 3 3 2 1[ 0] . . . .5 5 5 10 5 10 50
C Cp XC C
= = + = + =
:]X
11 0.75
]لكي يتحقق الح* 1 وسحب بيدقة حمراء وبيدقة بيضاء من U من 2 يجب سحب بيدقة تحمل الرقم =دث
U 1
2
12 : إذن U من ) بيدقة حمراء وبيدقتين بيضاء ( وسحب U من 3سحب بيدقة تحمل الرقم أو
1 1 2 13 2 3 2
2 35 5
. .3 2 3 6 2 6 3[ 1] . . . .5 5 5 10 5 10 50 5
C C C Cp XC C
0 3= = + = + = = 0.75
]: لكي يتحقق الحدث * ]2X 12 أو U وسحب بيدقتين حمراوين من U من 2جب سحب بيدقة تحمل الرقم ي=
12 : إذن U من ) وبيدقة بيضاءحمراوينبيدقتين ( وسحب U من 3سحب بيدقة تحمل الرقم 2 12
2 322 3
5 5
.3 2 3 1 2 3[ 2] . . . .5 5 5 10 5 10 50
C CCp XC C
= = + = + =9
0.75
: هو Xجدول قانون احتمال المتغير العشوائي : تالي وبال2 1 0 ( )a X∈ Ω
950
1150
[ ] 3050
p X a=
: هوXاألمل الرياضي للمتغير العشوائي ) 211 30 9 48 24( ) 0. 1. 2.50 50 50 50 25
E X = + + = =
: أي24( )25
E X = 0.25
:التمرين الرابع
4: ة هومميز المعادل )1 0.25 4(1 ) 4i i∆ = − + = −
).2: اذن 2 ) 2.(1 )² ( 2 .(1 ))²i i i∆ == − = − = 1).2 هو ∆ المربعة ل الجذور احد إذن . − )iδ = −
1: والحلول هي 2 2.
2z (1 )i− − −2 و =
2 2.(1 )2
iz − + −=1Im( ) 0z ): ألن (
1: وبالتالي 2 21 .
2 2z i= − − 2 و 0.25 +
2 21 .2 2
z i= − + − 0.25
: لدينا - أ )22 2 . cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
2 2 4 4 4 4i i iπ π π ππ π− + = − + = − + −
: اذن2 2 3 3 3. cos( ) sin( ) 1,
2 2 4 4 4i iπ π π⎡ ⎤− + = + = ⎢ ⎥⎣ ⎦
0.5
Mz يرمز للحق النقطة M. ب -
: لدينا 1
2 2 2 21 . 1 .2 2 2 2M A Bz z i i z z− = − − + + = − + = −
1
O
AM : إذن O= B 0.25
1 2 2 12 2
M MA
z zz
+ −= = − ] القطعة هي منتصف A: فان = ]1 2M M
1
: بما أن 0.25
AM : أن بما - ج OB=AOBM1OA= =AOBM
: OB متوازي أضالع وبما أن : فان 0.5 . معين: فان
]: لدينا ]1 1 1 13 34( , ) ( , ) ( , ) 24 2 4 8
e OM e OB OB OM
ππ π π π≡ + ≡ + = +
] : إذن ]7 281 1( , )e OM ]: اذن.≡ ]1
7 28
Argz π π≡ π π 0.5
مسألةI- ":المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية ) 1 2 'y y 0y− + =:² 2 1 0r r− + =1r =
:: ( ) xax b e+
:وهي تقبل حال مزدوجا هي 0.25 yب حلول المعادلة التفاضلية هي الدوال المعرفة إذن x 0.5 . حيث ( , ) ²a b IR∈
0: ( '( )x IR y x a 0: لدينا-أ) 2 "( ) 0)y x ∀ و = ∈ =
0 0 0: "( ) 2 '( ) ( ) : إذن
x IR y x y x y x x 1∀ ∈ − + = 0y حل للمعادلة التفاضلية ⇔ −: 2 1x IR a ax b x ∀ ∈ − + + = − ⇔ ab=⎧
⎨ =⎩
12 1
ab a=⎧
⎨ − = −⎩⇔ ⇔
11
0 : إذن : 1y x x ) حل خاص للمعادلة التفاضلية + )E. 0.25 y : المعرفة ب الدوالهي للمعادلة التفاضلية ة العامول الحل-ب
: ( ) xax b e x+ + + ( , ) ²a b IR 1y x 0.25 ∋:حيث
: لدينا -ج( ) ( ) 1
:'( ) ( ) 1
x
x
h x ax b e xx IR
h x ax a b e
⎧ = + + +⎪∀ ∈ ⎨= + + +⎪⎩
: اذن(0) 0 1 0 1 1'(0) 1 1 1 1
h b b ah a b b a b
= ⇔ + = ⇔ = − =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= ⇔ + + = ⇔ = − = −⎩ ⎩
:: ( ) ( 1) 1x
xوبالتالي IR h x x e x∀ ∈ = − + + 0.5
:: لدينا - أ )3 '( ) ( 1) 1x xx IR g x e x e∀ ∈ = + − +
: '( ) 1xx IR g x xe
∀: إذن ∈ = + 0.5
: ]بما أن [0, : 1 0xx xe+∞ +g[ [0,+∞ ∀ على 0.25 قطعا تزايدية دالة فان ∋
]على g]على قطعا دالة تزايدية g بما أن -ب [0,+∞ [0,+∞(0)g هي القيمة الدنوية للدالة : فان
[ [0, : ( ) (0)x g x g∀ ∈ +∞ : إذن ≤
(0) : أنوبما 0g ]: فان= [0, : ( ) 0x g x∀ ∈ +∞ ≥. 0.25
IIx* x* لدينا IR من لكل ) 1 - IR− : و ∋
2
( ) .1 1( 1)² ( 1)² ( 1)²( 1)² ( )²
x xx x
xx x
x x
x xxe x e xee ef x
ee ee e
−
−
x
x xe e
−−
− = = = − = − −−− −−
*: ( ) ( )
−
x: اذن IR f x f x∀ ∈ − f 0.5 فردية دالة وبالتالي−=
: لدينا - أ )20 0 0 0
². 1lim ( ) lim lim lim .1( 1)² .( 1)² ( )²
x x x
xx xx x x x
xe x e ef xee x e x
x
+ + + +→ → → →= = = = +∞
−− −
0x
05
0.25 مقارب للمنحنى =اذن المستقيم ذو معادلة
0lim
x
x
ex+→= +∞ : ألن
0lim
x
x
e+→
1 1x−
و =
-ب1lim ( ) lim lim . 0
.(1 )² (1 )²x x x xx x x
x xf xe e e e− −→+∞ →+∞ →+∞
= = =− −
0.25
lim: ألن x
x
ex→+∞= lim و ∞+ (1 )² 1x
xe−
→+∞− =0y = 0.25 مقارب للمنحنى اذن المستقيم ذو معادلة .
: لدينا - أ )32 2
4
( )( 1)² 2 ( 1) ( 1)[( 1)( ) 2*: ' )( 1)
x x x x x x x x x
x
e xe e xe e e e e xe xex IR f xe
+ − − − − − + −∀ ∈ = =
−
x
2 2 2
3 3
2 1.( 1) ( 1)
x x x x x x xx
x x
e xe e xe xe e xe xee e
+ − − − − − −= =
− −
.
3*: '( ) . ( )( 1)
x
x
ex IR f x g xe
∀ ∈ = −−
0.75 : إذن
[: على المجال -ب [+∞ :1 0xe − 0'( ) 0f x ≺ جدول : وبالتالي: إذن و و لدينا,0
0.5 : تغيرات هو كالتالي
0xe( )g x
+∞ 0 x - f’(x)
+∞ 0
f(x)
f : 0.5منحنى الدالة )4
Cf
] : لدينا -أ) 5 ]3 3
3
22 2
1 1 1( ) ln( 1) ln( 1) 1
dt dt t tt t t t
= −=−−− −∫ ∫
0.5 2ln 2 ln 3− = 3
2
1 2 1ln( ) ln( ) ln( ) ln 2 ln 3 ln 23 2
tt−⎡ ⎤= = − =−+⎢ ⎥⎣ ⎦
x=x t
t: نضع - ب e إذن :ln= و 1dx dtt
و =.ln( )
( 1)²t tf xt
=−
2 l3 l
x tx t= ⇒=⎧
⎨ = ⇒=⎩
: ولدينا n 2n 3
:إذن ln3 3
ln 2 2
.ln 1 ln( ) .( 1)² ( 1)²t t tf x dx dt dt t t
= =− −∫ ∫∫ t 0.5
1'( )
1( )1
u tt
v tt
⎧ =⎪⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎩
: نضع -أ) 6( )
'( )
u t
v t
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
ln1
( 1)²
t
t − و
: إذن 33 3
22 2
ln ln 1( 1)² 1 ( 1)
t tdt dtt t t t
− −⎡ ⎤= −⎢ ⎥− −⎣ ⎦∫ ∫
−
ln 3 ln 2 2ln 2 ln 32
−= ++−
3
2
ln 33ln 2 ln 3( 1)² 2
t dtt
= −−∫ 0.5 : إذن
]f موجبة ومتصلة على المجال بما أن الدالة -ب ]2,3ln3
ln 2
( )A f x= ∫ dx: ي المساحة المطلوبة ه: فان
33ln 2 ln 32
A = − 0.45أي . بوحدة المساحة : ساحة هي المإذن .A u a= 0.5
تا اآ
ان ا ا آر
) )2007اورة اد
:ة ا*ز ا'ع ا'&ت: ادة
+ :ا , ام ارا2&+ ام ا*& + ام ا*& ا/.& ) : ة(ا-
ا78
1 2
C :NS22
3
7
)* ل ا? ا< =& ا>;>; A6(
) ن3 ( :ا3 ا/ول
ا ء ا ب إ( , , , )o i j k
ه (S)ا د : اx2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 8 = 0 ى # ه (P) و ا .x – y + 2z + 1 = 0 : ا %ي د
1( ) ه ا (S) /0.-, ان آ( ا )1,2,3Ω 1وي .6 أن 32
ى )2 6078(P) , أن ا .(S) س ?د 8<-= .را 1-أ )3 .(P) و ا دي 2 Ω ا ر , (∆)0-
.(S) و(P) 0/ 8س ω ?د <ث إ?اA-ت -ب
Bن3 ( :ا3 ا (
D ا Cي ا د ا 0ي -أ) 1E 2( 2i – 3) أآF 2 ا z2 – 2(4 + i )z + 10 + 20i = 0: ا د 2C D?ℂ ا2Gاد ا 10 - ب
2 (3 ى ا 0ي ا ب إ ا( ), ,O u v H0 2 C وB و AاI7 أ ا
ا ه . c = 5 + 9i وb = 7 – i وa = 1 + 3i : ا
c: .-, أن -أ ai
b a
− =−
K أن ا <J -بLا ABC .وي ا I-, و MI ا (او1
)2,5 ( :3 اCB ا
: 6078 , ان )12 1
11 1
xx
x x= − +
+ + D x , 1− −ℝ.
: .-, أن )222
0ln3
1
xdx
x=
+∫.
ل .OG(اء ، .-, أن )3L. :2
0
3ln( 1) ln3
2x x dx+ =∫
1 0,75 0,5 0,75 0,5 1 0,5 1 0,5 1 1
ان ا ا آر ) )2007اورة اد
ا'ع
ا78
2 2
:ادة ا'&ت
ام + ام ا*& ا/.& م ارا2&ا+ ا*&
, )ة(ا-C :NS22
2,5
0,75 0,5
0,5
0,25
1,5
0,75
0,5
0,5 0,75
0,25
1
0,5 0,5
0,75
D;2,5( :ا3 اا(
1 و 1 و1 و -1 و0 و0 و710ي آ-2 R I -. QLت D78 ا2Gاد ) R --( .-, ا - Iت . 1, ا U.(
- C. ا ا :R- .E2 F7اM- و Vن وا? A=ث .- Iت , ا
- , اG?اث ا : A " : د ". , .-, ا - Iت ا <=A ا O8 U0 .7 أD78 I-. 1 اB " : X أ2ادا D78 تI -. ث=A F7L > >. " C " : Gع اCم7. ".2اد ا C 2 ا - Iت ا <=A ا
,-A7 2 ه A C .-, أن ا?ل ا 7ث C وAا?F ا?ل آD , ا
7
E6: ) 9ن ( I( 1د ا ا اg 2 ): . 1 ℝ ا ) 1xg x e x−= + −.
1 ( F?اg ‘(x) D x , ℝ أن KLا A g 2 118(ا [ [0,+∞ 2 -[I8 و] ],0−∞.
).-, أن ) 2 ) 0g x ≥ D x , ℝ ) أن \?Ug(0) = 0 ( أن KLا A 1xe x− + ≥ D x , ℝ.
II ( 1د ا ا اf 0-07 [- ا x 1 . ) : ا )x
xf x
x e−=+
,- ا (C) و D> f ا 7 ا ( , , )o i j
. ل -C ا _ال ( ℝ ه f ?-( 81^ ا ا .-, أن) 1Lا ,1I(2. ( (
: .-, أن –أ ) 21
( )1
1x
f x
xe
=+
D x , *ℝ
lim: .-, أن – ب ( ) 0x
f x→−∞
lim و = ( ) 1x
f x→+∞
= ,-C- .A أول هL- ه8-, ا
: .-, أن –أ ) 3 ( )2
(1 )'( )
x
x
x ef x
x e
−
−
+==+
D x , ℝ.
.O Qb A fول 8[-ات ا ا f ‘(x) ادرس إ3رة - ب . أDd ا O ا 0/ (C) اآF د ا س 7 -أ) 4
): 6078 , أن - ب )( )
( ) 1
xg xx f x
g x− =
+ D x , ℝ ادرس إ3رة A ( )x f x− 2 ℝ.
7 - ج K ا Qb اLا (C) -0 # ه (∆) و ا .y = x: ا %ي د
5 ( gEو(∆)أ (C) ) ا , , )o i j
) %hi10,6
1 e−
−≃.(
III ( 1د - ا ا)Un( 1 . Un+1 = f ( Un ) D وU0 = 1 ا n , ℕ. QO أن )1 . ,-. 0 1nU≤ ≤ D n , ℕ 2 (- ل -C ا _ال ( (Un) -[I8.-, أن اLا ,1II(4(ب.( K أن ) 3 Lا(Un)10ر. A ?د .
االمتحان الوطني تصحيح الموحد للبكالوريا
الرياضيات: المادة
ساعات3: مدة االنجاز 2007 الدورة العادية 7: المعامل شعبة العلوم التجريبية
:التمرين األول ) المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم Eنعتبر في الفضاء ), , ,O i j k:
) الفلكة ) 2 2 2: 2 4 6 8 0S x y z x y z+ + − − − + =
) و المستوى ) : 2 1 0x y z− + + =P
: بما أن . 1
( ) ( ) ( )
2 2
22 2
2 2 2
2
2
1
2 4 6 8 0 2 1
2
1 4 4 4 6 9 9 8 0
3 6
y yx z x y z x x y
x
z z
y z
+
− +
+ + − − − + = ⇔ − + − − + − + − +
− + −
=
⇔ =
− +
): فإن )S فلكة مرآزها ( )1,2,3Ω 6 وشعاعهاR =.
): لدينا . 2 )( ) ( )( )22 2
1 2 2 3 1 6, 661 1 2
d R− + × +
Ω = = = =+ − +
P . إذن( )Pمماس للفلكة ( )S .
) لدينا -أ. 3 ) والعمودي على المستوىΩ هو المستقيم المار من النقطة∆( )P ولدينا ( )1, 1,2n متجهة −
) منظمية على المستوى )Pيم فهي موجهة للمستق( )، ومنه نستنتج تمثيال بارامتريا للمستقيم∆( )∆
: آما يلي
12 /3 2
x ty t tz t
⎧⎪⎨⎪⎩
= += − ∈= +
) لتكن - ب ), ,x y zωنقطة تماس آل من ( )P و ( )S . لدينا :( )ω∈ P و ( )Sω∈ . إذن:
12 /3 2
x ty t tz t
⎧⎪⎨⎪⎩
= += − ∈= +
2 و 1 0x y z− + + : ، ومنه فإن =
( ) ( )1 2 2 3 2 1 0
1
6 6 0t t t
t
t+ − − + + + = ⇔
= −⇔
+ =
: وعليه فإن
031
xyz
⎧⎪⎨⎪⎩
===
): ، وبالتالي فإن )0,3,1ω.
:التمرين الثاني
): لدينا -أ. 1 )23 2 9 12 4 5 12i ii− = − − = −.
): المعادلة نعتبر في المجموعة - ب ) ( )2: 2 4 10 20 0E z i z i− + + + =.
) المميز المختصر المعادلة )E هو :
( )( ) ( ) ( )2 224 1 10 20 16 8 1 10 20 5 1 32 2b ac i i i i i i∆ = − = − + − × + = + − − = − = −−′ ′
) إذن للمعادلة )E 1: حلين هما4 3 2 7
1i iz i+ + −= = 2 و −
4 3 2 1 31
i iz i+ − += = +
) وبالتالي فإن مجموعة حلول المعادلة )E هي : 1 3 , 7S i i= + −.
)في المستوى العقدي. 2 )Pالمنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر ( ), ,O u v نعتبر النقط ، A و B
1: لحاقها على التوالي هي التي أC و 3a i= 7b و + i= 5 و − 9c i= +.
: لدينا - أ( ) ( )( ) ( )
( )5 9 1 3 6 45 9 1 3 4 67 1 3 6 4 6 47 1 3
i i i ic a i i ib a i i i ii i
i+ − + −− + − − += = = = =
− − − − − −− − +.
ic: لدينا - ب ab a− =−
1AC :إذن . iAB
c ab a == − =−
AB: و منه فإن AC=.
: ولدينا
( )( )
( )
, arg
arg 2
, 22
2c aAB ACb a
i
AB AC
ππ π
π⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
−≡−
≡
≡
,1ألن 2i π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.A مثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية فيABCوبالتالي فإن . =
:التمرين الثالث ليكن . 1 1x ∈ − : ، لدينا −
( )( )2 2 2 1 11 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1x xx x x xx x x x x x x− +− + −= = + = + = − +
+ + + + + + +
: لدينا . 222 22 2
0 00
11 ln 1 ln31 1 2
x xdx x dx x xx x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
= − + = − + + =+ +∫ ∫.
: نضع . 3( )
( ) ( )ln 1u x x
v x x=′
= +: إذن .
( )
( ) ( )
2
1 11 1
2xx x
xu x
v x′+=
+ +
=
=′
.
⎡0,2 متصلتين وقابلتين لالشتقاق على المجال v وu: لدينا ⎤⎣ u: ولدينا⎦ v و′ ⎤0,2 متصلتين على المجال′ ⎡⎦ ⎣.
: حسب تقنية المكاملة باألجزاء ، لدينا
( ) ( )22 22 2
0 00
3 ln1 1ln 1 ln 1 2ln3 ln32 2 1
322
x xx x dx x dxx
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ = + − = − =+∫ ∫
:التمرين الرابع :تحمل األعداد ) ال يمكن التمييز بينها باللمس ( يحتوي آيس على سبع بيدقات
:، نعتبر األحداث التالية نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثالث بيدقات من الكيس
: Aمن بين البيدقات الثالثة المسحوبة 0 أية بيدقة تحمل العدد د ال توج : B سحب ثالث بيدقات تحمل أعدادا مختلفة مثنى مثنى : Cمسجلة على البيدقات الثالثة المسحوبة منعدم مجموع األعداد ال
: هي C وB وA احتماالت األحداث
( ) ( )( )
3437
435
Card A Cp ACard C
= = =Ω
( ) ( )( )
1 1 13 1 3
37
935
Card B C C Cp BCard C
× ×= = =Ω
( ) ( )( )
( )1 1 13 1 3
33
37
1035
27
C C CCCard Cp C
Card C+ × ×
== = =Ω
:مسألة
I .نعتبر الدالة العدديةg المعرفة بما يلي :( ): 1xx g x e x−∀ ∈ = + −.
xليكن. 1 ): ، لدينا ∋ ) ( )1 1x xg x e x e− −′ == + −′ − +.
( ) 0 1 010
0
x
x
g x ee
xx
−
−
= ⇔ − + =′⇔ =⇔ − =⇔ =
( )
0 01
1 00
x
x
x xe
eg x
−
−
≥ ⇒ − ≤⇒ ≤⇒ − + ≥⇒ ≥′
و
( )
0 01
1 00
x
x
x xe
eg x
−
−
≤ ⇒ − ≥⇒ ≥⇒ − + ≤⇒ ≤′
⎡,0 تزايدية على المجالg: إذن ⎡⎣ ⎤0, و تناقصية على المجال ∞+⎣ ⎤
⎦ ⎦−∞.
): لدينا . 2 ) 00 0 1 1 1 0g e= + − = − xليكن . = ⎡,0 تزايدية على المجالg ، لدينا ∋ ⎡⎣ و تناقصية ∞+⎣
⎤0, على المجال ⎤⎦ :إذن . ∞−⎦
( ) ( )( )
0 00
x g x gg x
≥ ⇒ ≥⇒ ≥
و ( ) ( )( )
0 00
x g x gg x
≤ ⇒ ≥⇒ ≥
): ومنه نستنتج أن ): 0x g x∀ ∈ :: أي . ≤ 1 0xx e x−∀ ∈ + − ≥.
:: وبالتالي فإن 1xx e x−∀ ∈ + ≥
II .لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي :( ) xxf x x e −=+
.
) وليكن )Cالمنحنى الممثل للدالة fفي المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ( ), ,O i j.
xليكن. 1 0x:، لدينا ∋fx x e −∈ ⇔ + ≠D وبما أن ، : 1xx e x−∀ ∈ + : ، فإن ≤
: 0xx e x−∀ ∈ + f: إذن . ≠ =D
x* ليكن-أ. 2 : ، لدينا ∋( ) ( )1 1
1 1 1 11
x
x x xx xx x
xe x x f xxe xe x ee xexe xe
−−= = = = =
+ + +++.
) - ب ) 1lim lim 110
x xx
f x
xe→−∞ →−∞
==+
lim: ، ألن 0xx
xe −→−∞
و =1lim xx xe→−∞
= −∞.
( ) 1lim lim 111
x xx
f x
xe→+∞ →+∞
==+
lim: ، ألن xx
xe→+∞
و =∞+1lim 0xx xe→+∞
=.
) نستنتج مما سبق أن المنحنى )C0، معادلته ∞− يقبل مقاربا أفقيا ، بجوارy ؛ ويقبل مقاربا أفقيا ،=
1y ، معادلته ∞+ بجوار =.
x ليكن -أ. 3 : ، لدينا ∋
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
2
2
2
2
..........
..........
..........
1
1
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x x e x x e
x e
x e x e
x e
x e x xex e
x e
x
f x x e
f xe
x
− −
−
− −
−
− −
−
−
−
−
′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
′+ − +′
+
+ − −
+
+ − +
+
=′ +
=
=
=
=′+
+
) إشارة - ب )f x′هي إشارة على ( )1x : آما يلي على f ، ومنه نستنتج جدول تغيرات الدالة+
( ) 1 11 1 1f e e−− = =
− + −
)معادلة المماس -أ. 4 ) للمنحنى∆( )C في النقطة O هي :( )( ) ( )0 0 0y f x f= − +′.
): أي ) : y x∆ =.
x ليكن- ب ) : ، لدينا∋ ) 1xg x e x−= + ): ، إذن − ) 1 xg x e x−+ = : ، ومنه فإن +
( ) ( ) ( )( )
1111
x
x x x
x x e xg xxx f x x xx e x e x e g x
−
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ −− = − = − = =
+ + + +
)إشارة : إذن )f x x−هي إشارة على x.
: السؤال السابق ، لدينا حسب - جـ
( )C يوجد تحت المستقيم ( ⎡,0 على المجال ∆( ⎡⎣ ⎣+∞.
( )C يوجد فوق المستقيم ( ⎤0, على المجال ∆( ⎤⎦ ⎦−∞.
)إنشاء المنحنى. 5 )Cوالمستقيم ( ) في المعلم∆( ), ,O i j:
III.لتكن ( )n nu
∈ : المتتالية العددية المعرفة بما يلي
( )0
1
1;nn
uu f u n+
⎧⎪⎨⎪⎩
== ∈
0nمن أجل . 1 0 ، لدينا = 1u 00: ، إذن = 1u≤ ≤.
0 ، نفترض أن ∋n ليكن 1nu≤ 10 ونبين أن ≥ 1nu +≤ ≤.
0 لدينا 1nu≤ ⎡0,1 تزايدية على المجالfو ≥ ⎤⎣ ) ، إذن ⎦ ) ( ) ( )0 1nf f u f≤ ) وبما أن≥ )C يوجد تحت
) المستقيم ⎡0,1 على المجال ∆( ⎤⎣ ) ، فإن ⎦ )1 10 1nu f+ ≤≤ ≤.
:: وبالتالي فإن 0 1nn u∀ ∈ ≤ ≤
): ب ، لدينا .II.4حسب السؤال . 2 )0,1 : 0x x f x⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ − ): إذن . ≤ )0,1 : xx f x⎡ ⎤
⎣ ⎦∀ ∈ ≤.
:: وبما أن 0 1nn u∀ ∈ ≤ ): ، فإن ≥ ): n nn f u u∀ ∈ ≤ ،
:1 : ومنه فإن nnn u u+∀ ∈ ≤
) وبالتالي فإن )n nu∈
. متتالية تناقصية
)بما أن . 3 )n nu∈
. نهايتهاlلتكن. فإنها متقاربة 0 متتالية تناقصية ومصغورة بالعدد
: لدينا f0,1 دالة متصلة على المجال⎡ ⎤
⎣ ⎦.
( ) 10,1 : 0 xx f x⎡ ⎤⎣ ⎦ ≤∀ ∈ ≤ ): إذن . ≥ )0,1 0,1f ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⊂.
0,1: nn u ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ ∈.
( )n nu∈
.l متقاربة نهايتها
): إذن )f l l= 0,1 وl ⎡ ⎤⎣ ⎦∈.
: ب ، لدينا .II.4 حسب السؤال
( )( )( )
0 00 00 0
x f x xx f x xx f x x
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
− > ⇔ >
− < ⇔ <
− = ⇔ =
0l: إذن . = .
lim : وبالتالي فإن 0nnu
→+∞=.
ت اآ ا
ا آ ر ان ا
)2007ا راآ اورة (
ع ا'ت: ادة ' : ة ا*ز ا
:ا,+ ا, م ارا3+ ا, م ا* + ا* ا01 ا, م) : ة(ا.,-
ا45
1 2
C :RS22
3
7
1
0,75 1
0,25 0,5
0,75 0,75
1 1
0,5
0,5 1
)* )<= 8 ,ل ا; ا : ا89 ) ن 3,5( ا? ا1ول
) نعتبر في الفضاء المنسوب الى معلم متعامد ممنظم , , , )o i j k
,2,0) النقط 1)A B(2,4,2) و −
) و الفلكة C(3,3,3)و )S 2: التي معادلتها الديكارتية هي 2 2 4 4 8 20 0x y z x y z+ + − − − + =
) هي النقطة (S)بين ان مركز الفلكة ) 1 )2,2,4Ω 2أن شعاعها يساوي و
)ليكن ) 2 )P المستوى المار من النقطةAو العمودي على المستقيم ( )BC. ) بين أن معادلة ديكارتية للمستوى )P 1: هي 0x y z− + − =
) بين أن المستوى –أ ) 3 )P يقطع الفلكة ( )S وفق دائرة ( )Γ 1 شعاعها يساوي. ) حدد تمثيال بارامتريا للمستقيم – ب ) و العمودي على Ω المار من ∆( )P. )مركز الدائرة ω حدد مثلوث احداثيات النقطة - ج )Γ.
) ن 2,5( ا@ ا?
).تمييز بين البيد قات باللمسال يمكن ال( يحتوي كيس على ثالث بيدقات بيضاء و أربع بيدقات سوداء .نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثالث بيد قات من الكيس ما هو احتمال الحصول على بيدقتين بالضبط لونهمأبيض ؟ ) 1 ما هو احتمال الحصول على ثالث بيدقات من نفس اللون ؟ ) 2 ما هو احتمال الحصول على بيدقة بيضاء على األقل ؟ ) 3
) ن 3( ا@A ا?
) لتكن )nu 0: المتتالية المعرفة بما يلي 2u 1 و =
1( 4 1)
5n nu u n+ = − .ℕمن n لكل −
1nنضع nv u n= + .ℕمن nلكل −
)بين أن ) 1 )nv متتالية هندسية أساسها 1
5.
.n بداللة nv احسب –أ ) 2
lim ثم احسب n بداللة nu استنتج - ب nx
u→+∞
.
0نضع ) 3 1 ..............n nT v v v= + + 0 و + 1 .............n nS u u u= + + .ℕ عنصر من n حيث+
: بين أن 1 1
54 5n n
T = −
و أن ( 1)( 2)
2n n
n nS T
+ −= .ℕمن nلكل −
Prof : MISSOURI mohamed
ا آ ر ان ا )2007ةا راآ اور(
ع ' ا
ا45
2 2
:ادة ا'ت
ا, م + ا, م ا* ا01 ا, م ارا3+ ا*
)ة(ا.,-C :RS22
0,25
0,75
0,5
1
0,5 1
0,5
0,75
0,25
0,5
10,5
1,5 1
0,5
0,75 0,75
) ن 3(التمرين الرابع
)2 : ق من أنتحق )1 2 2 ) 2 4 2i i+ = − +.
2: المعادلة ℂحل في مجموعة األعداد العقدية )2 ( 2 2) 2 2 2 0z z i− + + + − =
1نعتبر العددين العقديين )3 1z i= 2 و − 1 2z i= + + .
.1z حدد الشكل المثلثي للعدد العقدي –أ
1: بين أن –ب 2 2. 2z z z= ) 2z 2 هو مرافق العددz. (
]: استنتج أن ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ≡
.2z حدد عمدة للعدد –ج
) ن8( مسألة
I( ن لتكg الدالة العددية المعرفة على ] : بما يلي ∞+,0]1
( ) 2lng x x xx
= − −.
بين أن )12
2
( 1)'( )
xg x
x
[ من xلكل =− [على g ثم استنتج منحى تغيرات الدالة ∞+,0] [0,+∞.
)بين أن )2 ) 0g x [ من x لكل ≥ )و أن 0,1[ ) 0g x ] من x لكل ≤ (1)ن الحظ أ( ∞+,1] 0g =. (
II( نعتبر الدالة العدديةf المعرفة على ] 21: بما يلي ∞+,0]( ) (ln ) 2f x x x
x= + − −.
) ليكن )C المنحنى الممثل للدالةfعامد ممنظم في معلم مت( , , )o i j
.
بين أن –أ )12(ln )
limx
x
x→+∞tيمكن وضع ( x= ( ثم احسبlim ( )
xf x
→+∞.
: تحقق من أن –ب 1
( ) ( )f f xx
[ من x لكل = [0,+∞.
احسب –ج 0
0
lim ( )xx
f x→≻
يمكن وضع ( 1
tx
.ثم أول النتيجة هندسيا ) =
) بين أن – د )Cهو المستقيم الذي معادلته هي يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المقارب :y x=.
: بين أن) 2( )
'( )g x
f xx
[ من x لكل = .f، ثم ضع جدول تغيرات الدالة ∞+,0]
)أنشئ المنحنى ) 3 )C في المعلم( , , )o i j
.
:ة بين أن الدال-أ ) 4 lnG x x x− دالة أصلية للدالة : lng x x→ على ] [0,+∞.
2: باستعمال مكاملة باألجزاء ، بين أن - ب
1(ln ) 2
ex dx e= −∫.
) حدد مساحة حيز المستوى المحصور – ج )Cفاصيل و المستقيمين و محور األ
1x: اللذين معادلتاهما x و = e= .
الوطني الموحدموضوع االمتحانتصحيح للباكالوريا مادة الرياضيات
2007االستدراكيةالدورة
العلوم التجريبية األصيلة: الشعب العلوم التجريبية العلوم الزراعية
1
0,75 1
0,25
0,5
:ا اول )في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم , , , )o i j k
,2,0)النقط لدينا 1)A B(2,4,2) و −
) و الفلكة C(3,3,3)و )S 2: التي معادلتها الديكارتية هي 2 2 4 4 8 20 0x y z x y z+ + − − − + =
) هي النقطة (S)بين ان مركز الفلكة ن ) 1 )2,2,4Ω 2 أن شعاعها يساوي
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
( , , ) ( ) 4 4 8 20 0
( 4 ) ( 4 ) ( 8 ) 20 0
( 4 4) 4 ( 4 4) 4 ( 8 16) 16 20 0
( 2) (
M x y z S x y z x y z
x x y y z z
x x y y z z
x y
∀ ∈ ⇔ + + − − − + =⇔ − + − + − + =⇔ − + − + − + − + − + − + =⇔ − + − 2 2 22) ( 4) 2z+ − =
) هي النقطة (S)مركز الفلكة إذن )2,2,4Ω 2 و شعاعهاR=.
)بين أن معادلة ديكارتية للمستوى ن )2 )P 1: هي 0x y z− + − = ) معادلة المستوى )P 0تكتب على الشكلax by cz d+ + + ) حيث = , , )n a b c
. متجهة منظمية عليه
,1) إذن C(3,3,3)و B(2,4,2) لدينا 1,1)BC −
) لدينا المستوى )P عمودي على المستقيم (BC)1) إذن المتجهة, 1,1)BC −
) منظمية على )P ) ومنه فان معادلة )P 0هيx y z d− + + =
) لدينا المستوى )P 2,0)يمر من النقطة, 1)A 2إذن − 0 ( 1) 0d− + − + 1d أي = = − )معادلة ديكارتية للمستوى إذن )P1: ي ه 0x y z− + − =.
)بين أن المستوى ن – أ ) 3 )P يقطع الفلكة ( )S وفق دائرة ( )Γ 1 شعاعها يساوي.
)معادلة ديكارتية للمستوى لدينا )P 1: هي 0x y z− + − ) هي النقطة (S)مركز الفلكة و = )2,2,4Ω
لدينا 2 2 2
2 2 4 1 3( , ( )) 3
31 ( 1) 1d P
− + −Ω = = =
+ − + R = 2ولدينا
)بما أن , ( ))d P RΩ )المستوى إذن ≻ )P يقطع الفلكة ( )Sة وفق دائر( )Γشعاعها r حيث :
2 2 2 22 3 4 3 1r R d= − = − = − = ) للمستقيم احدد تمثيال بارا متري ن- ب ) و العمودي على Ω المار من ∆( )P. )معادلة ديكارتية للمستوى لدينا )P 1: هي 0x y z− + − ,1) إذن = 1,1)n −
. متجهة منظمية عليه)لدينا المستقيم )عمودي على ∆( )P 1)إذن, 1,1)n −
) مللمستقي موجهة )∆.
)متري للمستقيم راإذن التمثيل البا )المار من النقطة∆( )2,2,4Ω 1) و الموجه بالمتجهة, 1,1)n − : هو
2
2
4
x t
y t
z t
= + = − = +
)مركز الدائرة ωوث إحداثيات النقطة حدد مثلن - ج )Γ. ω مركز الدائرة( )Γ هي تقاطع( )و∆( )P.
( ) ( ) ( ) ( )
2
(1) : 1 0 (2) : y=2-t
4
P P و
x t
x y z و
z t
ω ω ω= ∆ ∩ ⇔ ∈ ∈ ∆
= +⇔ − + − = = +
ض )1( ) 2( :(2 ) (2 )(2 ) (2 ) (4 ) 1 0
1
t t t t t
t
+ − − + − − + + − == −
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,75
0,75 1 1
0,5
0,5
نحصل على ) 2( في t = -1نعوض قيمة
2 ( 1) 1
2 ( 1) 3
4 ( 1) 3
x
y
z
= + − = = − − = = + − =
.ω(1,3,3) إذن
:ا ا ).ن البيد قات باللمسال يمكن التمييز بي( سوداء ت بيضاء و أربع بيد قات يحتوي كيس على ثالث بيد قا
.نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثالث بيد قات من الكيس
3 لدينا 7( ) 35card CΩ = =
)أي "الحصول على بيدقتين بالضبط لونهما أبيض " Aالحدث ) 1 ), ,B B N
2 لدينا 13 4( ) 12card A C C= ⋅ إذن =
( ) 12( )
( ) 35
card Ap A
card= =
Ω
)اي ". من نفس اللون تالحصول على ثالث بيد قا " Bالحدث ) 2 ) ( ), , , أو ,B B B N N N
3 33 4( ) 1 4 5card B C C= + = + إذن =
( ) 5 1( )
( ) 35 7
card BP B
card= = =
Ω
"الحصول على بيدقة بيضاء على األقل " Cالحدث) 3
) الثالث المسحوبة سوداءتالبيد قا(يعني " عدم الحصول على أية بيدقة بيضاء "Cالحدث المضاد
3لدينا 4( ) 4card C C= : إذن =
( ) 4( )
( ) 35
card CP C
card= =
Ω : إذن
( ) 1 ( )
4 1
3531
35
p C p C= −
= −
=
:ا ا
) لتكن )nu 0: المتتالية المعرفة بما يلي 2u 1 و =
1( 4 1)
5n nu u n+ = − .ℕمن n لكل −
1nنضع nv u n= + .ℕ من nلكل −
)بين أن ن ) 1 )nv متتالية هندسية أساسها 1
5.
1 1: ( 1) 1
1 ( 4 1)
51
( 4 1 5)51
( 1)51
5
n n
n
n
n
n
n v u n
u n n
u n n
u n
v
+ +∀ ∈ = + + −
= − − +
= − − +
= + −
=
ℕ
) ادن )nvسية أساسها متتالية هند1
5q =
.n بداللة nvحسب ن–أ ) 2
)لدينا )nv متتالية هندسية أساسها 1
5q 0 وحدها األول = 0 0 1 2 1 1v u= + − = − 0إذن =
nnv v q= أي ⋅
1
5
n
nv =
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,5 1
0,25
limب احس ثم n بداللة nuج ا استنت-ب nx
u→+∞
.
1nلدينا nv u n= + 1n إذن − nu v n= − ومنه فان . +1
15
n
nu n = − +
لدينا 1
1 15
− ≺ إذن ≻1
lim 05
n
x→+∞
=
)و لدينا )lim 1x
n→+∞
− + = limإذن ∞− nx
u→+∞
= −∞
3 ( 0 1 ..............n nT v v v= + + 0 و + 1 .............n nS u u u= + + +
: بين أن ن 1 1
54 5n n
T = −
0 1
1
0
1
1
1
1
..............
1
1
11
5 1
11
5
5 1 1
4 5
1 1 5 5
4 5
1 1 5 5
4 5
1 1 5
4 5
n n
n
n
n
n
n
n
T v v v
qv
q
+
+
+
+
+
= + + +
−= ⋅−
− = ⋅−
= −
= −
= − ⋅
= −
نبن أن ( 1)( 2)
2n n
n nS T
+ −= −
1nلدينا nu v n= − : اذن +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
0 1
0 1 2
0 1
.............
( 1) 0 1 ................ ( 1)
.............. ( 1) 0 1 2 ............. ( 1)
( 1) ( 1) 1
21 2
2
n n
n
n
n
n
S u u u
v v v v n
v v v n
n nT
n nT
= + + += − − + − + − + + − −
= + + + − − + + + + + −
− + − += −
+ −= −
: ا اا
: تحقق من أنن )12( 2 2 ) 2 4 2i i+ = − +
( )2 22( 2 2 ) 2 2 2 2 2
2 4 2 4
2 4 2
i i i
i
i
+ = + ⋅ +
= + −
= − +
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,75
0,5 1
0,5 1
2: المعادلة ℂحل في مجموعة األعداد العقدية ن) 2 ( 2 2) 2 2 2 0z z i− + + + − =
لدينا مميز المعادلة هو
( ) ( )2
2
2 2 4 2 2 2
2 4 2 4 8 4 2 4 2
2 4 2
( 2 2 )
i
i
i
i
∆ = − + − + −
= + + − − +
= − +
= +
: إذن اد ه( )
1
2 2 2 21
2
iz i
+ − += = و −
( )2
2 2 2 22 1 2
2
iz i
+ + += = + +
1 العددين العقديين لدينا)3 1z i= 2 و − 1 2z i= + + .
.1zحدد الشكل المثلثي للعدد العقدي ن –أ
#$%1 1 2z i= − : إذن =
1
2 2z 1 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 4 4 4 4i i i i
π π π π = − = − = + = − + −
1: بين أن ن –ب 2 2. 2z z z= ) 2z 2 هو مرافق العددz. ( :لدينا
( ) ( )
( )
1 2
2
1 1 2
1 2 2 1
2 2 2
2 2 1
2
z z i i
i i i
i
i
z
⋅ = − + +
= + + − − +
= + −
= + −
=
] : ا)'#'ج ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ≡
#$%1 2 2. 2z z z= اذن :( ) ( )[ ]1 2 2arg . arg 2 2z z z π≡ أي ( ) ( )[ ]1 2 2arg( ) arg( ) arg 2 arg 2z z z π+ ≡ +
)و* أن ) ( )[ ]2 2arg arg 2z z π≡ ) و − ) [ ]arg 2 0 2π≡ ن [ ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ≡
2zحدد عمدة للعدد ن –ج
]لدينا ]1 2arg( ) 2arg( ) 0 2z z π+ ) و ≡ ) [ ]1arg 24
zπ π≡ ) إذن − ) [ ]2arg 2
8z
π π≡ −
:
I (لدينا g الدالة العددية المعرفة على ] : بما يلي ∞+,0]1
( ) 2 lng x x xx
= − −.
بين أن ن) 12
2
( 1)'( )
xg x
x
[ من x لكل =− [على gستنتج منحى تغيرات الدالة ثم ن∞+,0] [0,+∞.
2007ة االستدراكيةالدور الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح
0,5
0,75
0,25
] [
( )
2
2
2
2
2
2
10, : '( ) 1 2ln
1 1 1 2
1 2
1
x g x xx
xx
x x
x
x
x
∀ ∈ +∞ = + −
= + − ⋅
+ −=
−=
[ من x لكل %$# [0,+∞ ( )21 0 x − 2 و ≤ 0x ≻.
[إذن [ ( )0, : ' 0x g x∀ ∈ +∞ [.-ا$%$ ا,ل g و*' ن ا%ا ≤ [0,+∞
[تزايدية على المجال g%$# ا%ا )2 [و 0/ ا,ل ∞+,0] إذن 0,1[
] ]0,1 0 1 ( ) (1)x x g x g∀ ∈ ⇒ ≤ ⇒ ≤≺
(1)* أن 0g ) ن = ) 0g x ≤ 1x 23 ا,ل ] ]0,1
]تزايدية على المجال g %$# ا%ا ] إذن ∞+,1] [1, 1 (1) ( )x x g g x∀ ∈ +∞ ⇒ ≤ ⇒ ≤
(1) بما أن 0g )ن = ) 0g x ≥ 1 x23 ا,ل [ [1,+∞
II( الدالة العددية f المعرفة على ] 21: بما يلي ∞+,0]( ) (ln ) 2f x x x
x= + − −
بين أن ن –أ )12(ln )
limx
x
x→+∞t يمكن وضع ( x= ( حسب ثم نlim ( )
xf x
→+∞
tنضع x= 2 إذنx t= عندما x → t فان ∞+ → +∞
لدينا( ) ( ) ( )
22 22 2
2 2
lnln 2ln ln4
tx t t
x t t t = = =
#$%ln
lim 0t
t
t→+∞إذن =
( )2 2ln lnlim lim 4 0x t
x t
x t→+∞ →+∞
= =
( ) ( ) ( )22
2
ln1 1 2ln 2 1
xf x x x x
x x x x
= + − − = + − −
لدينا ( )2
2
ln1 2lim lim و 0 lim و 0 0x x x
x
x xx→+∞ →+∞ →+∞= = ) إذن = )lim
xf x
→+∞= +∞
: تحقق من أن ن – ب 1
( ) ( )f f xx
[ من x لكل = [0,+∞.
[ من xلكل لدينا ∞+,0]
( )
( )
2
2
2
1 1 1 1ln 2
1
1 ln 2
1 ln 2
( )
fx x x
x
x xx
x xxf x
= + − −
= + − − −
= + − −
=
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتموضوع االمتحانتصحيح 0,5
0,5
1,5 1
حسب ن – ج 0
0
lim ( )xx
f x→≻
نضع 1
tx
0x إذن عندما = tفان →+ → و منه فان ∞+0 0
0 0
1lim ( ) lim lim ( )x x tx x
f x f f tx→ → →+∞
= = = +∞
≻ ≻
)إذن المنحنى )C 0يقبل مقاربا رأسي معادلتهx = )بين أن ن – -د )C يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المقارب هو المستقيم الذي معادلته هي :y x=
)لدينا )limx
f x→+∞
= ) و∞+ ) ( )2
2
ln1 2lim lim 1 1x x
xf x
x x x→+∞ →+∞
= + − − =
( ) 21lim lim (ln ) 2x x
f x x xx→+∞ →+∞
− = − − = ) إذن ∞− )Cيقبل فرعا شلجميا اتجاهه المقارب هو المستقيم الذي معادلته
y: هي x=
: بين أن )2( )
'( )g x
f xx
[ من x لكل = [0,+∞
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
1' 1 2 ln ln '
1 1 1 2 ln
1 1 2 ln
f x x xx
xx x
x xx x
g x
x
= − −
= − − ⋅
= − −
=
)إشارة )'f xهي إشارة( )g x
f جدول تغيرات الدالة
0 1 +∞ x
- φφφφ + ( )'f x
+∞ +∞ 0
( )f x
ا##) 3
2007الدورة االستدراكية الوطني الموحد للباكالوريا مادة الرياضياتع االمتحانموضوتصحيح
0,5
0,75
0,75
:بين أن الدالة ن -أ ) 4 lnG x x x− دالة أصلية للدالة : lng x x→ على ] [0,+∞
لدينا
] [ ( ) ( )0, : ' ' ln ln ' 1
1 ln 1
ln 1 1
ln
x G x x x x x
x xx
x
x
∀ ∈ +∞ = + −
= + ⋅ −
= + −=
.gدالة أصلية للدالة G الدالة إذن
2: بين أن نباستعمال مكاملة باألجزاء ، - ب
1(ln ) 2
ex dx e= −∫
نضع ( ) ( )( )
2ln
' 1
u x x
v x
=
= إذن
( )
( )
ln' 2
xu x
xv x x
= =
إذن
( ) ( )
( )
( ) [ ]
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
22
1 11
2
11
2
11
2 2
lnln ln 2
ln 2 ln
ln 2 ln
ln 1 ln1 2 ln 1ln1 1
2
ee e
e e
e e
xx dx x x x dx
x
x x x dx
x x x x x
e e e e e
e
= − ⋅
= −
= − −
= − − − − −
= −
∫ ∫
∫
)مساحة حيز المستوى المحصور – ج )C 1: و محور األفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهماx x و = e=
] دالة موجبة و متصلة على المجال f نا لدي ]1,eإذن المساحة المطلوبة هي
( )
( )
( )
2
1 1
2
1 1
2
1
2
2
1 (ln ) 2 dx
1 2 dx ln dx
ln 2 22
1 ln 2 ln1 2 2
2 2
12
e e
e e
e
A f x dx x xx
x xx
xx x e
ee e e
e
= = + − −
= + − −
= + − − −
= + − − + − − +
= + −
∫ ∫
∫ ∫
2
12 2 2
29
32 2
e e
ee
− + − +
= − +
إذن2 9
3 e2 2
eA = − بوحدة قياس المساحة +
KV„JR)’RcXT)‡„t)Kc„K‚R)’†KŠ‚„Kj)
KŠ‚„j†R)UKX„‚T„J)‡„u„J)’Rul))
a[†„J)r„J)ÉK[T†¤J)\[nT))
’aKu„J)‘ca„J)Kc„K‚R„„)2008))
c†T„Jhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)…¦J)ÉC))
راشمبو نعتبر في الفضاء المنسوب إللى معلم متعامد ممنظم ( ), , ,O i j k تين النقط( )0, 1,1A )و − )1, 1,0B −
والفلكة ( )S 2 :التي معادلتها 2 2 2 4 2 0y z x zx + + − − + = .
): لدینا . 1 ) ( ) 22 22 2 2 22 4 2 0 1 2 3y z x z x y zx + + − − + = − + + − =⇔.
)إذن )S فلكة مرآزها( )1,0,2Ω 3وشعاعهاR ): ولدینا . = )22 210 1 2 0 4 1 2 0−+ + − × − × + )، إذن = )A S∈ .
:لدینا . 21
10
OB⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
و −0
11
OA⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
:ومنه فإن ، −1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 1OA OB i j k i j k
− −− + = + +
− −∧ =
): وبالتالي فإن )1,1,1OA OB∧.
): لدینا . 3 )1,1,1OA OB∧ ى المستوىلية عممتجهة منظ( )OAB .إذن معادلة المستوى( )OAB تكتب على شكل
0x y z d+ + + )، وبما أن = )O OAB∈ 0، فإنx y z+ + )معادلة دیكارتية للمستوىهي = )OAB.
)عن المستوى Aلنحسب مساقة النقطة )OAB : ( )( ) 2 2 2
1 0 2 3, 331 1 1
OAB Rd + +Ω = = = =
+ +.
)وعليه فإن المستوى )OAB مماس للفلكة( )S طة قفي النA على اعتبار أن ( )A S∈ و( )A OAB∈.
J„T†cÉ)J„VKhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)C))
2 : ةلداعملا ةعومجملا يف ربتعن .1 6 34 0z z− + ) : وه ةلداعملا هذه زيمم . = ) ( )2 23 1 34 9 34 25 5i− − × = − = − =∆ =. : امه نيقفارتم نيیدقع نيلح ةقباسلا ةلداعملل نإف يلاتلابو
( )1
3 51
3 5ib iza
i− − += =
′ ′− + −∆= و +( )
2
3 51
3 5ib iza
i− − −= =
′ ′− − −∆= −
: يه ةلداعملا لولح ةعومجم نإف يلاتلابو 3 5 , 3 5S i i= − +.
)رشابمو مظنمم دماعتم ملعم ىلإ بوسنملا يدقعلا ىوتسملا يف .2 )1 2, ,O e e، طقنلا ربتعنA وB وC يلاوتلا ىلع اهقاحلأ يتلا
3 5a i= 3 و + 5b i= 7 و − 3c i= ) ةطقنلا نكتل . + )M z′ ) ةطقنلا ةروص ′ )M z ةحازالابT ةهجتملا تاذu يتلا 4اهقحل 2i− . ) : انیدل -أ ) ( ) 4 2M T M MM u z z aff u z z i′ ′ ′= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + −′
4 : نأ امبو 2 3 5 4 2 7 3a i i i i c+ − = + + − = + ) :نإف ، = )AC T= يأ C ةروص يه A ةحازالابT .
: انیدل -ب ( )2 4 23 5 7 3 4 8
3 5 7 3 4 2 4 22i ib c i i i
a c i i i ii− +− − − − − −= = = =
− + − − − + − +.
2 : انیدل -ـج 2,2
b c ia c
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
− = =−
: نذإ . ( )
( )
, arg 2
, 22
b cCA CBa c
CA CB
π
π π
⎛ ⎞⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎣ ⎦
−≡−
≡
2CB : انیدلو Cيف ةیوازلا مئاق ثلثم ABC نإف هنمو b cCA a c
−= =−
2BC : نذإ . AC=.
J„T†cÉ)JV„„Khhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)WC))) ))
) سمللاب اهنيب زييمتلا نكمی ال ( ءارضخ تارآ ثالثو ءارمح تارآ تس ىلع قودنص يوتحی : pא : فنصلا تيبثت .قودنصلا نم تارآ ثالث ) مهم ريغ بيترتلا ( א يفو ايئاوشع بحسن .1
nC .
: وه RRV ءارضخ ةرآو نیوارمح نيترآ ىلع لوصحلا لامتحا - أ 2 16 3
39
15 384
1528
C CC× ×= = .
: وه VVVوأ RVVوأ RRVلقألا ىلع ةدحاو ءارضخ ةرآ ىلع لوصحلا لامتحا : 1 ةقیرط - ب 2 1 1 2 36 3 6 3 3
39
15 3 6 3 14
1618 2
C C C C CC
+ + × + × += =.
. لقألا ىلع ةدحاو ءارضخ ةرآ ىلع لوصحلا A: ثدحلا عضن : 2 ةقیرط . - RRR- ءارمح تارآ ثالث ىلع لوصحلا A: : وه Aثدحلل داضملا ثدحلا
) : انیدل ) ( )3639
20 641 184 84
1621
1 CA AC
p p = − = − = == −.
.قودنصلا نم تارآ ثالث ) دراو ريغ راركتلاو مهم بيترتلا ( ايئاوشع بحسن .2
: pאא : فنصلا تيبثت nA .
: وه ءارمح تارآ ثالث ىلع لوصحلا لامتحا 3639
120504
521
AA
= = .
J„T†cÉ)J„cJRhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhv)C))
J„Xi•)J¦…)C))
⎤,0لاجملا ىلع ةفرعملا ةیددعلا ةلادلا gنكتل ⎡⎦ ) : يلی امب ∞+⎣ ) 2lnx x xg = − .
x,0نكيل -أ .1 ⎤ ⎡⎦ ⎣∈ ) : انیدل ، ∞+ ) ( )2ln 21 2x x xg xx x
′= − = − =′ − .
) : نأ ملعن - ب ) 20, : xxx
x g⎤ ⎡⎦ ⎣−+∞ =∀ ∈ ) ةراشإ نذإ . ′ )xg ⎤,0لاجملا ىلع ′ ⎡⎦ 2x ةراشإ يه ∞+⎣ − .
0,2 : انیدلو 2 2 0x x x⎤ ⎤⎦ ⎦ ⇒ ≤ ⇒ − ,2 و ∋≥ 2 2 0x x x⎡ ⎡⎣ ⎣∈ +∞ ⇒ ≥ ⇒ − : نذإ . ≤
g 0,2لاجملا ىلع ةيصقانت⎤ ⎤⎦ ⎡,2لاجملا ىلع ةیدیازتو ⎦ ⎡⎣ : ةصالخ .∞+⎣
2 : نأ امب .2 1 ln 2 1 ln 2 0e > ⇒ > ⇒ − ) : نإف ، < ) ( )2 2 1 ln 2 0g = − > .
) : انیدلو ) ( )2 2 1 ln 2g = ⎤,0لاجملا ىلع gةلادلل ةقلطم ةیوند ةميق − ⎡⎦ :ن إف هنمو . 2 ددعلا دنع ∞+⎣
( ) ( )0, 2 0: xx g g⎤ ⎡⎦ ⎣+∞ >∀ ∈ ≥
J„Xi•)J„VK)C))
⎤,0لاجملا ىلع ةفرعملا fةیددعلا ةلادلا ربتعن ⎡⎦ ) : يلی امب ∞+⎣ ) ( )2lnx x xf = − .
) : انیدل .1 ) ( )2
0 00 0
lim lim lnx xx x
f x x x→ →> >
= − = : نأل ، ∞−0
0
lim lnxx
x→>
= −∞ .
)ىنحنملا )C 0 هتلداعم ایدومع ابراقم لبقیx = .
t : عضن - أ .2 x= . نذإ : t
x→+∞→ lnlim نأ ثيحو . ∞+ 0
tt
t→+∞ : نإف ، =
( ) ( )22 22 2lnln ln lnlim lim lim lim 2 0
x x t t
tx x tx t tx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = = × =
) : انیدل - ب ) ( ) ( )22 ln
ln 1lim lim limx x x
xf x x x x
x→+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − = − = : نأل ، ∞+( )2ln
lim 0x
xx→+∞
=.
: انیدلو ( ) ( )2ln
1lim lim 1x xx
f x xx→+∞ →+∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =.
) : انیدل -ـج ) ( ) ( )22 lnlnlim lim limx x x
xf x x xx x→+∞ →+∞ →+∞
−= − = =− − ىنحنملا نإف ، قباسلا لاؤسلا بسحو ،∞−
( )C ميقتسملا ههاجتا ∞+راوجب ايمجلش اعرف لبقی( y : هتلداعم يذلا ∆( x= .
) : انیدل -د ) ( )20, ln 0: x x xfx ⎤ ⎡⎦ ⎣+∞ − = − ≤∀ ) ىنحنملا نذإ . ∋ )C ميقتسملا تحت دجوی( )∆.
x,0نكيل - أ .3 ⎤ ⎡⎦ ) : انیدل ، ∋∞+⎣ ) ( )( ) ( ) ( )2 2ln 2lnln 1 2 ln 1 x x xx x x ln x xx
g xxx
f ′ −′= − = − = − = =′.
) ةراشإ بسحو )xg انیدل ، لوألا ءزجلا يف : ( )0, : 0xfx ⎤ ⎡⎦ ⎣+∞ ′∀ ∈ ⎤,0 ىلع ةیدیازت fنذإ .< ⎡⎦ ⎣+∞ .
: fةلادلا تاريغت لودج - ب
)ىنحنملل سامملا ةلداعم -ـج )C يه 1 اهلوصفأ يتلا ةطقنلا يف : ( )( ) ( )1 1 1f x f yy x= − + ⇔ =′ .
⎤,0لاجملا ىلع اعطق ةیدیازتو ةلصتم f: انیدل .4 ⎡⎦ 1f ةيسكع ةلاد لبقت f :نذإ .∞+⎣ : ثيح Jلاجملا نم ةفرعم −
( ) ( ) ( )00
0, lim , lim ,x xx
J f f x f x→ →+∞>
⎤ ⎡⎥ ⎢⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎥ ⎢⎦ ⎣
= +∞ = = −∞ +∞ I,0 لاجملا وحن = ⎤ ⎡⎦ ⎣= 0نأ امبو ، ∞+ J∈، نإف
)ةلداعملا ) 0xf I,0لاجملا يف α اديحو الح لبقت = ⎤ ⎡⎦ ⎣= +∞ .
1 : نأ امبو 1 11 0ee e e
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−= − = ) و > )21 1 ln 2 02 2
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= − ) تايطعملا بسح هنأل ( < )2 1ln 22
< (.
1 : انیدل ، ةيطيسولا ميقلا ةنهربم بسح هنإف 12e α< < .
)ىنحنملا ءاشنإ .5 )C : 0,4948664145α ≈. ( ), 1I e e ) ىنحنملل فاطعنا ةطقن − )C . 2,7e ≈.
) : انیدل - أ .6 ) ( )0, ln ln 1 ln: x x x x x x xln x xx H⎤ ⎡⎦ ⎣
′ ′ ′+∞ = − = + − =∀ ∈ :: نذإ .′ lnH x x x x−
ln ةلادلل ةيلصأ ةلاد يه : lnx x 0 لاجملا ىلع,⎤ ⎡⎦ : انیدلو ، ∞+⎣
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11
ln 11 0 1e e
x dx H x H e H⎡ ⎤⎣ ⎦= = − = − − =∫ : انیدل ،ءازجألاب ةلماكملا لامعتساب -ب
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 11ln ln ln
ee e ex dx H x x dx H x x H x ln x dx⎡ ⎤
⎣ ⎦= = −′ ′∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1
lnln 1 ln 1e x x xH e e H dx
x−= − − ∫
( )( ) ( ) ( )1 1
ln 1 ln 1 2e e
x dx x dx e e= − − = − + − = −∫ ∫
- هالعأ لاؤسلا بسح -)ىنحنملا نيب روصحملا يوتسملا زيحلا ةحاسم -ـج )C ميقتسملاو( 1x نيتلداعملاب نيفرعملا نيميقتسملاو ∆( xو = e= يه :
( ) ( )( ) ( ) ( )2
1 1 1ln 0,7 . .2e e e
f x x dx x f x dx x dx u ae− = − = = ≈−∫ ∫ ∫=A
J„Xi•)J„VK„W)C))
)ةیددعلا ةيلاتتملا ربتعن )n nu∈
) : يلی امآ ةفرعملا )0
1
2;nn
uu f u n+
⎧⎪⎨⎪⎩
== ∈
: : نأ عجرتلاب نيبنل .1 1 2nn u ≤∀ ∈ ≤ .
0n لجأ نم 0 : انیدل ، = 2u 0 : نذإ ، = 21 u ≤≤ .
n نكيل ∈ . 1 : نأ ضرتفن 2nu≤ ≤. 11 : نأ نيبنل 2nu +≤ ≤ :
⎤,0لاجملا ىلع ةیدیازت fنأ ملعن ⎡⎦ ) : نذإ .∞+⎣ ) ( ) ( ) 11 21 2 1 2nn nf u fu f u +≤ ≤≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤
) : نأل ) ( ) ( )22 2 ln 2 0 2 2ff − = − ≤ ⇒ ≤ .
: : نإف يلاتلابو 1 2nn u ≤∀ ∈ ≤ .
nنكيل .2 ) : انیدل .∋ ) ( )( )21 ln 0n n n nn u u u uu f+ − = − = − ) : نذإ . ≥ )n nu
∈ .ةيصقانت ةيلاتتم
) نأ امب .3 )n nu∈
: انیدلو .ةبراقتم اهنإف ، 1 ددعلاب ةروغصمو ةيصقانت ةيلاتتم
f 1,2لاجملا ىلع ةلصتم ةلاد⎡ ⎤⎣ ⎦.
f 1,2لاجملا ىلع اعطق ةیدیازتو ةلصتم ةلاد⎡ ⎤⎣ ) : نذإ .⎦ ) ( ) ( )1,2 1 , 2 1,2f ff ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦= ) : نأل ، ⊃ )2 2f ≤.
0 2 1,2u ⎡ ⎤⎣ ⎦= ∈ .
( )n nu∈
. l اهتیاهن ةبراقتم ةيلاتتم ) : انیدل ، براقتلا قیداصم بسح )l lf 1,2l و = ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ .
) : انیدلو ) ( )( ) ( )2
ln ln 0 1l l ll ll lf = ⇔ = ⇔ == ⇔ lim : نإف يلاتلابو . − 1nn u→+∞ = .
JTŠhhhhhhhhhhhhhhhhhh“)))ىنحنملا نيب روصحملا يوتسملا زيحلا ةحاسم )Cميقتسملاو( 1xنيتلداعملاب نيفرعملا نيميقتسملاو∆( xو = e= لامعتساب Maple 7
> f:=x->x-(ln(x))^2;
> A:=Int(abs('f'(x)-x),x=1..exp(1))=int(abs(f(x)-x),x=1..exp(1));
> A:=evalf(rhs(A),20);
:= f → x − x ( )ln x 2
:= A = d⌠⌡⎮⎮1
e
− + ( )f x x x − e 2
:= A .7182818284590452354
) ةیددعلا ةيلاتتملل ىلوألا ةتسلا دودحلا ليثمت )n nu∈
: Archimède II لامعتساب ليصافألا روحم ىلع