МГТУ - 2008 Федеральное агентство по образованию РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет им Н.Э.Баумана» Курсовая Работа По курсу «Гироскопические приборы» «Исследование устойчивой и автоколебательной гиросистемы с сопутствующей нелинейностью» Вариант #15 Симкин А.В. Студент группы ИУ Руководитель работы Черников С.А.
31
Embed
Оптимизация динамических характеристик и исследование устойчивости и автоколебаний гиросистемы
Данный курсовой проект выполнялся на четвертом курсе в МГТУ им. Баумана по дисциплине "Гироскопические приборы". Работа предствляла собой оптимизацию динамических характеристик и исследование устойчивости и автоколебаний гиросистемы с сопутствующей нелинейностью по заданой кинематической схеме и параметрам механической части. Курсовой проект был защищен на отлично.
This course project was carried out on the four year at the MSTU n.a. Bauman on discipline «Gyroscopic systems and instruments». Anatoly made optimizing the dynamic features, analyzing of stability, self-oscillation with complementary nonlinearity of the gyroscopic system. Anatoly got excellent mark.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
МГТУ - 2008
Федеральное агентство по образованию РФ Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет им Н.Э.Баумана»
Курсовая Работа По курсу «Гироскопические приборы»
«Исследование устойчивой и автоколебательной гиросистемы с
сопутствующей нелинейностью»
Вариант #15
Симкин А.В. Студент группы ИУ Руководитель работы Черников С.А.
1. Запись уравнений движения гиросистемы с сопутствующей
нелинейностью Учитывая нелинейность – зона нечувствительности датчика угла ДНГ – составим систему
уравнений, описывающей движение гиросистемы. Уравнение движения динамического демпфера (ДД):
22 2 2 1 2 12 2 2 2( ) ( )A C M
Уравнение движения платформы:
11 1 2 1 2 11 1 1 0 2 2 1( ) ( ) ( )A C C M
Уравнение движения внешней рамки:
00 00 1 1 0 1 0( ) ( ) ( )A C k p M
Получили систему уравнений движения гиросистемы:
2
1
0
2 2 2 1 2 12 2 2 2
1 1 2 1 2 11 1 1 0 2 2 1
0 00 1 1 0 1 0
( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) .
A C M
A C C M
A C k p M
(1)
2. Преобразование системы уравнений движения ОГС к векторно-
матричной форме и запись выражений для передаточных функций
гиросистемы Пренебрегая нелинейностью в уравнениях движения, идеализируем исходную гироскопическую систему (1):
2 2 2 2 1 2 2 1 2
1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 1 1
0 0 1 1 0 1 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A C M
A C C M
A C k p M
Выполнив преобразование Лапласа, получим: 2
2 2 2 2 1 2 2 1 2
2
1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 1 1
2
0 0 1 1 0 1 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A p C p M
A p C C p M
A p C k p M
Запишем передаточную функцию в матричной форме идеализированной системы : 2
2 2 22 2 2 2 2
2
0 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1
2
1 0 10 0 0
0
0 ( )
MA p p C p C
W p C A p p C C C M
k p C A p C M
(2)
6
2.а. ПФ как объекта управления
Найдем передаточную функцию от входного возмущающего момента 0M к углу
1 как
соответствующий элемент матрицы 1
0W , обратной W0:
2 2 2
2 1 0
1 1 1
2 1 0
0 0 0
2 1 0
2 2 2
1
1 1 0 1
0 0 0
M M M
M M M
M M M
W W W M M
W W W M W M
M MW W W
(3)
Искомая передаточная функция 1
0
MW выглядит так:
1
0
2
1 0 2 2
6 5 4
0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 1 2 1 0 1 2 0 2 2
3 2
0 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
M
C A p p CW
A A A p A A A A p A A C A A C A AC A A C p
A C AC C A p A C C AC C C C A C A k p p C C C p k p
(4)
2.б. ПФ как объекта стабилизации
Найдем передаточную функцию от входного возмущающего момента 1M к углу
1 как
соответствующий элемент матрицы 1
0W , обратной W0:
1
1
2 2
2 1 0 2 2
6 5 4
0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 1 2 1 0 1 2 0 2 2
3 2
0 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( )( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
M
A p C A p p CW
A A A p A A A A p A A C A A C A AC A A C p
A C AC C A p A C C AC C C C A C A k p p C C C p k p
(5)
3. Оптимизация параметров упруго-диссипативной связи
динамических элементов гиросистемы по критерию )(max min jW
При оптимизации параметров 2 - коэффициента вязкого трения, и 2C - коэффициента
упругости пружин, будем рассматривать разомкнутую передаточную функцию курсового гироскопа как объекта стабилизации, положив 0)p(k .
Запишем выражение для передаточной функции курсового гироскопа как объекта стабилизации с вышеуказанными допущениями, преобразовав выражение (5):
1
0
2 2
2 1 0 2 2
6 5 4
0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 1 2 1 0 1 2 0 2 2
3 2
0 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 2 1 2 2
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
M
A p C A p p CW
A A A p A A A A p A A C A A C A AC A A C p
A C AC C A p A C C AC C C C A p
Данная передаточная функция обладает следующим свойством: при одном значении 2C ,
но при разных 2 на АЧХ будет существовать две инвариантные точки (все АЧХ пересекаются в
них). При изменении 2C данные точки будут перемещаться. С увеличением 2C АЧХ смещается
вправо, а с уменьшением 2C - влево.
Целью оптимизации является минимизация максимумов АЧХ передаточной функции, а именно минимизация резонансных пиков АЧХ. Таким образом, учитывая особенности рассматриваемой передаточной функции, оптимизация сводится к следующим пунктам:
7
a) Поиск оптимального значения коэффициента упругости пружин *
2C , при котором
точки, инвариантные относительно 2 , будут располагаться на одном уровне (в
данном случае обеспечивается равенство значений амплитуд обеих инвариантных точек);
b) Поиск оптимального значения коэффициента вязкого трения *
2 , обеспечивающее
минимальное значение амплитуд резонансных пиков.
а) Поиск оптимального значения коэффициента упругости пружин *
2C
Для определения частот 1 и
2 , при которых амплитуды резонансных пиков будут равны,
Данное уравнение разрешим относительно . В результате получено четыре корня. Два из них отрицательных, не удовлетворяющих области допустимых значений. Два других соответствуют
инвариантным точкам 1 и 2 . При подстановке численных значений получаем:
11
37500
550
1035156251010759
550
3
11
37500
550
1035156251010759
550
3
6
2
42
22
2
6
2
42
22
1
ССС
ССС
Для определения *
2C решим уравнение:
2
1
11
1
1)()( jWjW MM
Получили 677336*
2 C
Подставив полученное значение *
2C в выражения для значений 1 и 2 , получим:
с
рад
с
рад
90.55
77.51
2
1
б) Поиск оптимального значения коэффициента вязкого трения *
2
Для определения значения *
2 следует определить значения *
21 и*
22 , при которых в каждой из
инвариантных точек будет экстремум АЧХ (это обеспечивает минимум «всплеска» АЧХ в
соответствующих инвариантных точках). Среднее арифметическое величин *
21 и *
22 является *
2 Значения, *
21 и *
22 определим из условий:
8
( )0
1
W j
, ( )
0
2
W j
.
Решим данные уравнения. Из множества полученных решений области допустимых значений принадлежат два решения:
2576.94155.52378.6 *
2
*
22
*
21 .
Таким образом, получены оптимальное значение коэффициента упругости пружин
677336*
2 C и оптимальное значение коэффициента вязкого трения 2577*
2
9
4. Построение АЧХ механической части гиросистемы с
оптимальными параметрами
2 и
2С При помощи пакета MathCad построим АЧХ передаточной функции как объекта стабилизации
без учёта вязкого трения в опорах и коэффициента стабилизации двигателя.
АЧХ передаточной функции системы как объекта стабилизации (5)
2143124115867
11928344
104187.5100616.2105128.1100923.310
107734.610577.2103547,25153921021
ppppp
ppppW
M
Рис. 03. АЧХ передаточной функции как объекта стабилизации с различными значениями
2 и
2С
60 100
80 100
100 100
120 100
2 106
4 106
6 106
8 106
10 106
W ( )
W1 ( )
W2 ( )
10
5. Синтез цепи обратной связи из условия заданной статической
точности и необходимых запасов устойчивости
Определение статического коэффициента усиления стk в цепи обратной
связи По условию, синтезированная система должна обладать следующими параметрами:
Запас по фазе > 30˚ Запас по амплитуде > 8 дБ
По условию статическая погрешность контролируемой величины:
рад5''*
1 104.84510 .
Из условия заданной статической устойчивости и необходимых запасов устойчивости определим
значение стk :
7
5*
1
1 10064.210845.4
1000
Mkст
Таким образом: 710064.2 стk
ЛЧХ разомкнутой цепи Запишем передаточную функцию разомкнутой цепи подставив значения в (5):
2
21
3
21
4
12
5
2
6
22
2
1
800800)70000+120000(12000010000000
)100(
)(1
0
pССpСpССpp
СppСk
pWkW
ст
Mстраз
Подставим численные значения в данные выражения. (Знак «-» в числителе выносится за пределы обратной связи, следовательно, в разомкнутой ПФ не учитывается)
2143124115867
1916215
10419.510062.210513.110092.310
10398.110319.510064.2
ppppp
ppW раз
Построим АЧХ (сверху) и ФЧХ (снизу) разомкнутой системы (Рис. 03) (Приложение 1).
Из АЧХ и ФЧХ видно, что замкнутая система обладает следующими запасами по фазе и амплитуде.
Запас по фазе - 174˚ Запас по амплитуде -26.3 дБ
Система неустойчива.
Необходимо использовать корректирующий контур (КК) в цепи обратной связи для достижения статической устойчивости и требуемого качества.
11
Рис. 04. АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы
Синтез корректирующего контура в цепи обратной связи
Применим корректирующий контур 1
2 3
( 1)( )
( 1)( 1)kk kk
T pW p K
T p T p
, данная коррекция
позволяет опустить АЧХ ниже уровня 0 Дб до того момента как ФЧХ пересечет -180˚ , что обеспечит нужный запас устойчивости.
Построим АЧХ (сверху) и ФЧХ (снизу) разомкнутой системы при вводе корректирующего контура
(Рис. 05) (Приложение 2).
12
Рис. 05. ЛЧХ и ФЧХ разомкнутой системы при вводе КК
Из рисунка видно, данные параметры корректирующего контура, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и удовлетворяют требованиям по запасу устойчивости.
Запас по фазе 30.1˚ Запас по амплитуде 8.23 дБ
АЧХ и ФЧХ корректирующего контура смотри Приложение 3.
6. Построение переходных процессов по интересующим
координатам при действии постоянного возмущающего момента При помощи пакета Matlab построим переходный процесс (Рис 07) (Приложение 4), реакция
системы на единичную ступеньку на входе скорректированной гиросистемы ( M ).
Рис. 06. Замкнутая система
13
Рис 07. Переходной процесс замкнутой системы при подаче на вход единичной ступени