ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ.Ε ΤΟΜΕΑΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ « ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ « Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ Η / Υ» ΕΚΠΟΝΗΣΗ : ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Α.Μ 94308 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΡΑΠΤΗΣ ΜΕΛΗ : ΕΞΑΡΧΑΚΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΝΤΖΙΑΧΡΗΣΤΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΛΟΣ
170
Embed
Διπλωματική Εργασία ΠΜΣ του ΠΤΔΕ του Πανεπιστημίου Αθηνών
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ.Ε
ΤΟΜΕΑΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ « ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ»
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
ΕΡΓΑΣΙΑ
ΘΕΜΑ
« Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ
ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ
ΒΟΗΘΕΙΑ Η / Υ»
ΕΚΠΟΝΗΣΗ : ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
Α.Μ 94308
ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΡΑΠΤΗΣ
ΜΕΛΗ : ΕΞΑΡΧΑΚΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ
ΝΤΖΙΑΧΡΗΣΤΟΣ
ΕΥΑΓΓΕΛΛΟΣ
ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 1997
- 2 -
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΕΛ. 6 - 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΕΛ. 9 -
10
ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ - ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΣΕΛ. 11
- 16
Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΣΕ ΕΥΡΩΠΗ - ΑΜΕΡΙΚΗ ΣΕΛ. 17
- 18
ΟΙ Η/Υ ΩΣ ΕΠΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ
ΜΑΘΗΣΗΣ / ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΕΛ. 18 - 21
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ
ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ / ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΕΛ. 23
- 29
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΣΕΛ. 30
- 34
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ MULTIMEDIA
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕΛ. 35 - 38
- 3 -
MULTIMEDIA ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΕΛ. 39 - 40
ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ
MULTIMEDIA ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ
ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕΛ. 41 – 45
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΕΣ
ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ / ΜΑΘΗΣΗΣ ΣΕΛ. 46 - 58
ΚΟΝΣΤΡΑΚΤΙΒΙΣΜΟΣ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
- S. PAPERT ΣΕΛ. 59 - 60
ΟΙ ΠΡΟΫΠΑΡΧΟΥΣΕΣ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ
ΚΑΙ ΠΩΣ ΑΥΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝΤΑΙ ΣΕΛ. 60 - 65
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο
Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΕΛ. 66
- 69
ΟΙ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ ΣΤ΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ
ΟΣΟΝ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΛ. 70 - 71
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑ-
ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ - Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ
- 4 -
ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕΛ. 71
- 73
ΟΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ
Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΣΕΛ. 74 - 77
ΟΨΕΙΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΕΛ. 77 - 78
ΑΝΤΙΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΥΣΕΙΣ ΣΤΗ
ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΕΛ. 79 - 83
ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΑΤΥΠΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΕΛ. 83
«ΕΠΙΣΗΜΟΙ» ΚΑΙ «ΑΝΕΠΙΣΗΜΟΙ»
ΤΡΟΠΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ
ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΕΛ. 84
- 87
ΤΡΟΠΟΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ
ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ - ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΕΛ. 88 - 90
Η ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
ΤΗΣ MULTIMEDIA ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ
ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ - Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ BLOOM ΣΕΛ. 91 - 93
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο
ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΣΩΣΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΑ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕΛ. 94
- 98
Η ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΕΛ. 99 - 100
- 5 -
ΓΙΑΤΙ ΚΟΜΙΚΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ - ΑΠΟΨΕΙΣ
ΚΑΙ ΘΕΣΕΙΣ ΣΕΛ.
101 - 105
ΤΑ ΚΟΜΙΚΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕΛ. 105 -
107
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο
ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ
ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ
ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ Η / Υ ΣΕΛ.
108
ΔΟΜΗΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ
ΣΕ ΕΝΟΤΗΤΕΣ
ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ
ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕΛ.
109 - 114
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΕΛ.
115 - 116
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
ΕΛΛΗΝΟΓΛΩΣΣΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΕΛ. 117 -
120
ΕΛΛΗΝΟΓΛΩΣΣΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΕΛ.
121 - 122
- 6 -
ΣΥΝΕΔΡΙΑ ΣΕΛ. 123 -
124
ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΣΕΛ.
125 -127
- 7 -
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η διπλωματική αυτή εργασία με θέμα «Παρουσίαση της έννοιας της
μεταβλητής και επίλυση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης με τη
βοήθεια Ηλεκτρονικού Υπολογιστή», εκπονήθηκε στα 3ο και 4ο
εξάμηνα του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών του Παιδαγωγικού
Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Εθνικού και Καποδιστριακού
Πανεπιστημίου Αθηνών στην κατεύθυνση «Πληροφορική στην
Εκπαίδευση».
Η επίβλεψη της διπλωματικής αυτής εργασίας ανήκει στον
Αναπληρωτή Καθηγητή Πληροφορικής του Π.Τ.Δ.Ε. κ. Αριστοτέλη
Ράπτη ενώ μέλη της τριμελούς επιτροπής κρίσης της υπήρξαν οι κ.κ
Εξαρχάκος Θεόδωρος, Καθηγητής των Μαθηματικών στο Π.Τ.Δ.Ε
καθώς και ο Ευάγγελος Ντζιαχρήστος, Λέκτορας των Μαθηματικών
στο Π.Τ.Δ.Ε. τους οποίους και ευχαριστώ θερμά για τις εύστοχες
παρατηρήσεις τους - τόσο στο θεωρητικό όσο και στο καθαρά
προγραμματιστικό μέρος - αυτής της διπλωματικής εργασίας
συμβάλλοντας έτσι ουσιαστικά στη βελτίωσή της.
Η διπλωματική εργασία περιλαμβάνει δύο κύρια μέρη :
Α. Το προγραμματιστικό μέρος. Σε αυτό φτιάχτηκε πρόγραμμα - με
τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού Visual Basic (Version 3.0) - το
οποίο χωρίζεται επίσης σε δύο μέρη :
1. Στο καθαρά θεωρητικό - παρουσίαση της έννοιας και τρόπος
επίλυσης της εξίσωσης - και
2. Στο πρακτικό με επίλυση εξισώσεων (με τη βοήθεια animation),
δημιουργία εξισώσεων από τους ίδιους τους μαθητές, τόσο με απευθείας
εισαγωγή των παραμέτρων όσο και με «μετάφραση» από τους ίδιους
δοσμένων προβλημάτων.
Β. Το θεωρητικό μέρος. Αυτό είναι χωρισμένο σε πέντε (5) κεφάλαια
μέσα από τα οποία επιχειρείται μια θεωρητική παρουσίαση / υποστήριξη
- 8 -
τόσο του προγράμματος όσο και η παρουσίαση των Multimedia
εκπαιδευτικών εφαρμογών και η συμβολή τους στην εκπαιδευτική
διαδικασία.
Πιο συγκεκριμένα, στο 1ο Κεφάλαιο υπάρχουν ενότητες με απόψεις
και θέσεις για την Εισαγωγή της Πληροφορικής στην Ελληνική και Διεθνή
Εκπαίδευση, για τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα από την
εισαγωγή της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση, για τα Multimedia στην
Εκπαίδευση, για τη στρατηγική ανάπτυξης multimedia εκπαιδευτικών
εφαρμογών, για τις Νέες Τεχνολογίες Πληροφόρησης στην Εκπαιδευτική
Διαδικασία καθώς επίσης και τις εκπαιδευτικές εφαρμογές των
Τεχνολογιών Πληροφόρησης και τις κατηγορίες εκπαιδευτικών
προγραμμάτων που υπάρχουν.
Στο 2ο Κεφάλαιο παρουσιάζονται επιγραμματικά τα στάδια
ανάπτυξης του παιδιού κατά τον J. Piaget. Επίσης επιχειρείται μια
παρουσίαση / σύνδεση των απόψεων του S. Papert με τους υπολογιστές
καθώς και με τις προϋπάρχουσες ιδέες των παιδιών (και πώς αυτές
δημιουργούνται) για κάθε τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας.
Στο 3ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται το επίπεδο γνώσεων των μαθητών
της ΣΤ΄ Δημοτικού όσον αφορά στη γλώσσα των Μαθηματικών, οι
αντιλήψεις των μαθητών για τη μεταβλητή καθώς και οι συνακόλουθες
αντιφάσεις και συγχύσεις στη χρήση της, ο υπολογιστής στην
Μαθηματική Εκπαίδευση και η επίδρασή του στα προγράμματα που
αφορούν στα Μαθηματικά.
Γίνεται ακόμα λόγος για τις παιδικές αναπαραστάσεις, τα συστήματα
αναπαραστάσεων και τη λειτουργία / επίδρασή τους στα σχολικά
Μαθηματικά.
Παρουσιάζονται ακόμα και ενότητες για τις όψεις της μεταβλητής
καθώς και για τους τρόπους παρουσίασης / διδασκαλίας της «άτυπης
άλγεβρας».
Επίσης γίνεται καταγραφή / κριτική του τρόπου με τον οποίο
παρουσιάζεται η έννοια της μεταβλητής και η επίλυση της εξίσωσης
πρώτου βαθμού στα σχολικά εγχειρίδια τόσο της ΣΤ΄ Δημοτικού όσο και
- 9 -
σε αυτά της Α΄ Γυμνασίου. Πρέπει να πω ότι αυτή η καταγραφή / κριτική
αφορά και το «Βιβλίο του Δασκάλου» της ΣΤ΄ Δημοτικού Σχολείου.
Στο 4ο Κεφάλαιο παρουσιάζονται τα γνωρίσματα ενός «σωστού» -
από παιδαγωγική άποψη - προγράμματος σύμφωνα με τη σχετική
βιβλιογραφία.
Στο τέλος αυτού του κεφαλαίου (λίγο πριν την παρουσίαση του
προγράμματος) επισημαίνεται η σπουδαία θέση των εικόνων στην
εκπαιδευτική διαδικασία, δικαιολογείται η επιλογή των κόμικς σαν μέσο
για την παρουσίαση του θέματος και γίνεται σύνδεση (με βάση πάντα τη
βιβλιογραφία) μεταξύ των κόμικς και των Μαθηματικών.
Στο 5ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται το πρόγραμμα και γίνεται μια
προσπάθεια κατανόησής του από τους χρήστες. Παρουσιάζονται και
εξηγούνται οι ενότητές του, επεξηγείται η λειτουργία του, η δομή και η
γενικότερη φιλοσοφία του, τα συμπεράσματα που ανακύπτουν μέσα από
την όλη προσπάθεια κ.λπ.
Στο τέλος παρατίθεται η βιβλιογραφία η οποία χωρίζεται σε ελληνική
(βιβλία - περιοδικά), συνέδρια, και ξενόγλωσση.
- 10 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ
ΣΗΜΕΡΑ
Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
Η εισαγωγή στην Εκπαίδευση των Τεχνολογιών Πληροφόρησης εγείρει
ζητήματα1 που αφορούν αυτή την ίδια την εισαγωγή τους όπως :
Τι ακριβώς σημαίνει εναλφαβητισμός στην Πληροφορική ;
Μπορεί να εννοηθεί αυτός ο εναλφαβητισμός ανεξάρτητα, δηλαδή
αποστασιο-ποιημένα, από τα υπόλοιπα μαθήματα του αναλυτικού
προγράμματος ;
Ποιος είναι κατάλληλος να διδάξει το μάθημα και πώς μπορεί να
εξασφαλιστεί η παιδαγωγική και διδακτική του κατάρτιση ;
Υπάρχει, και αν υπάρχει, ποια είναι η διδακτική της Πληροφορικής ;
αρκεί η απομνημόνευση πληροφοριών ή απαιτείται η κατανόηση εννοιών
και κανόνων ; πόσο δύσκολες είναι αυτές οι έννοιες και σε ποιο επίπεδο
μπορούν να τις κατανοήσουν οι μαθητές ; μπορεί η διδακτική αυτή να
βασισθεί σε απαγωγικές μεθόδους ή απαιτείται ανάπτυξη επαγωγικών
1 C. KYNIGOS - P. GEORGIADIS - G. GYFTODIMOS, PAPER «THE SCHOOL SUBJECT OF INFORMATICS AS AN OPPORTUNITY TO DEVELOP A NEW EDUCATIONAL PARADIGM». ATHENS 1996.
- 11 -
κλάδων ; πώς αυτές θα ταιριάξουν με τη γενικότερη φιλοσοφία που διέπει
την ελληνική εκπαίδευση ;
Πώς μπορεί να εννοηθεί αναλυτικό πρόγραμμα ενός γνωστικού
αντικειμένου για το οποίο η γνώση εξελίσσεται με ρυθμούς ασύγκριτα
πιο γρήγορους από αυτούς που μπορεί να παρακολουθήσει οποιοδήποτε
εκπαιδευτικό σύστημα και δη το ελληνικό ;
Υπάρχουν διαχρονικές γνώσεις, δεξιότητες και ικανότητες προς
απόκτηση μέσα από το μάθημα της Πληροφορικής ή οποιαδήποτε μάθηση
είναι εξαρτημένη από την χρησιμοποιούμενη τεχνολογία ;
Μια πρώτη απάντηση σε κάποια από αυτά τα ερωτήματα σε ότι αφορά,
για παράδειγμα, την εισαγωγή της πληροφορικής στην ελληνική
εκπαίδευση επιχειρείται να δοθεί σε τούτη την εργασία διότι πιστεύω ότι
η πληροφορική μπορεί να δώσει έμφαση στην ανάπτυξη ικανοτήτων2 στο
μαθητή χρήσιμων για την εκπαίδευσή του σε άλλα μαθήματα παράλληλα
με την απόκτηση γνώσεων για τη χρήση των υπολογιστών για αυτό το
σκοπό.
Επίσης προφανέστατα, ο κατάλληλος δάσκαλος είναι ο ίδιος ο
δάσκαλος που διδάσκει και τα άλλα μαθήματα, που έχει τη γνώση και την
πείρα στη γενικότερη μαθησιακή κατάρτιση των μαθητών, αποφεύγοντας
έτσι την τεχνοκρατική τάση που δείχνουν οι ειδικευμένοι (χωρίς
παιδαγωγική κατάρτιση όμως) πληροφορικοί όταν διδάσκουν το
αντικείμενό τους.
Βέβαια μεγάλο προβληματισμό3 στους ειδικούς προκαλεί το γεγονός
ότι τα περισσότερα παιδιά δεν έχουν καμία προηγούμενη επαφή με τους
υπολογιστές μέχρι να τους δουν για πρώτη φορά στο σχολείο. Επίσης
παρατηρήθηκε ότι παιδιά που χρησιμοποιούσαν υπολογιστές - έστω μόνο
για να παίζουν παιχνίδια - είχαν καλύτερες επιδόσεις με αξιοσημείωτη
διαφορά.
2 C. KYNIGOS - P. GEORGIADIS - G. GYFTODIMOS, PAPER «THE SCHOOL SUBJECT OF INFORMATICS AS AN OPPORTUNITY TO DEVELOP A NEW EDUCATIONAL PARADIGM». ATHENS 1996.
εικόνας (animation) πολύμορφη παρουσίαση κ.λπ. που δεν είναι εύκολα
εφικτά με παραδοσιακά εποπτικά ή εργαστηριακά μέσα.
ΤΑ ΕΠΕΚΤΑΣΙΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΑΘΗΣΗΣ /
ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Πρόκειται για τη δημιουργία / συμπλήρωση / επέκταση προγραμμάτων
κατευθυνόμενης ή ελεύθερης μάθησης / διδασκαλίας που παρέχουν τη
δυνατότητα στο μαθητή / χρήστη να επέμβει στο πληροφοριακό /
διδακτικό υλικό (πέραν του υπάρχοντος ή και εξαρχής) χωρίς να
απαιτούνται ιδιαίτερες γνώσεις προγραμματισμού ή άλλες τεχνικές
γνώσεις.
Σε αυτή την περίπτωση διατίθεται το πλαίσιο / δομή του
προγράμματος με στοιχειώδη πληροφορία / διδακτικό υλικό και τη
δυνατότητα, μέσω ειδικών επιλογών του προγράμματος, εύκολης
εισαγωγής από το χρήστη νέου υλικού (κειμένου, εικόνων, ήχου),
επέκτασης ή και ενημέρωσης και αλλαγών του υπάρχοντος.
Αυτή η δυνατότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν τα δεδομένα
αλλάζουν ή όταν θέλουμε να συμπεριλάβουμε στη γενικότερη πληροφορία
και ειδική ή και, όταν νέες απόψεις ανατρέπουν τις παλιές.
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΥΤΟΕΛΕΓΧΟΥ / ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
Πρόκειται για τη δημιουργία (σχεδίαση, υλοποίηση, έλεγχο,
αξιολόγηση, παραγωγή) και χρήση προγραμμάτων αμφίδρομης
επικοινωνίας που με τη διαλογική διαδικασία ερωτήσεων / ασκήσεων /
προβλημάτων και καταγραφής / κρίσης / αξιολόγησης των απαντήσεων
δίνουν χαρακτηρισμούς ή και «βαθμολογία» όσον αφορά στην επίδοση
των χρηστών.
- 35 -
Σημειώνεται ότι οι ερωτήσεις που υποβάλλονται και οι ασκήσεις και
τα προβλήματα που τίθενται προς λύση από τα προγράμματα αυτά είναι
δυνατό να επιλέγει ο Η/Υ με τυχαίο τρόπο από ένα μεγάλο πλήθος
καταχωρημένων σε βάσεις δεδομένων, κατά θέμα, βαθμό δυσκολίας ή
διατιθέμενο χρόνο για απάντηση, αναλόγως των αναγκών και του
επιπέδου των εξεταζομένων. Έτσι εξασφαλίζεται η μη προβλεψιμότητα
των ζητουμένων, η μη συχνή επαναληπτικότητα κ.λπ.
Ένα χαρακτηριστικό στοιχείο (και συνάμα δυσκολία κατά τη
δημιουργία και τη λειτουργία) των προγραμμάτων αυτών - αλλά και όλων
που απαιτούν απαντήσεις - διάλογο με το χρήστη - είναι ο τρόπος των
απαντήσεων αυτών. Ο πλέον εύκολος κατασκευαστικά (αλλά παιδαγωγικά
μη προτιμητέος) τρόπος είναι αυτός των προτεινόμενων πολλαπλών
απαντήσεων - multiple choice από το πρόγραμμα εκ των οποίων ο
μαθητής / χρήστης επιλέγει μία.
Αντίθετα ιδιαίτερα απαιτητικός σε υπολογιστική ισχύ και μνήμη, αλλά
και δυσκολία προγραμματιστική, είναι ο τρόπος απάντησης (ή και
υποβολής ερωτήσεων) με κείμενο της καθομιλουμένης, πόσο μάλλον με
φωνή...
ΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
Πρόκειται για τη δημιουργία (σχεδίαση, υλοποίηση, έλεγχο,
αξιολόγηση, παραγωγή) και χρήση προγραμμάτων αναπαραγωγής και
αναπαράστασης της πραγματικότητας (προγράμματα προσομοίωσης). Τα
προγράμματα αυτά αφορούν σε δύο επίπεδα προσομοίωσης της
πραγματικότητας, όπως υποδηλώνει η διάκριση των δύο όρων :
αναπαραγωγή και αναπαράσταση. Πιστεύω ότι αυτό το είδος
εκπαιδευτικού λογισμικού βρίσκεται πέρα από τα ενδιαφέροντα αυτής της
διπλωματικής εργασίας και απλά αναφέρεται σε μια προσπάθεια
«πλήρους αναφοράς» των κατηγοριών που υπάρχουν για τη συγγραφή
εκπαιδευτικού λογισμικού.
- 36 -
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ MULTIMEDIA ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
Multimedia20, ένας νέος όρος που ήδη έχει αρχίσει να μας απασχολεί
αρκετά και σίγουρα θα μας απασχολήσει ακόμα περισσότερο στο μέλλον,
δεδομένου ότι είναι σίγουρο ότι θα επηρεάσει καταλυτικά τον τρόπο
επικοινωνίας και έκφρασης του σύγχρονου ανθρώπου. Ίσως να επηρεάσει
ακόμα και τον τρόπο της σκέψης του.
Η συνένωση διαφόρων τεχνολογιών μέσα στον ίδιο Ηλεκτρονικό
Υπολογιστή, που αποτελεί επίτευγμα των τελευταίων χρόνων, επιτρέπει
το συνδυασμό του ψηφιακού ήχου με την ψηφιακή εικόνα και τα ψηφιακά
δεδομένα εφαρμογών software.
Το αποτέλεσμα είναι κάτι εντελώς πρωτότυπο, που ξεφεύγει από τα
στενά πλαίσια της Πληροφορικής και των εφαρμογών της.
Μια φαντασμαγορική παρουσίαση, γεμάτη live video εικόνες, ήχους
και έγχρωμα γραφικά υψηλής ποιότητας.
Είναι ίσως ο χαμένος κρίκος στην αλυσίδα της καταναλωτικής
τεχνολογίας, κάτω από την ισχυρή παρουσία του υπολογιστή -
συντονιστή.
Η πληροφορία21 δεν είναι πια “στεγνή”, άχρωμη και άγευστη, αλλά
εύληπτη και κατανοητή, συνεπώς πιο αξιοποιήσιμη. Με άλλα λόγια, τα
“πολυμέσα” δεν αποτελούν στην ουσία μια νέα τεχνολογία, αλλά μια
πλατφόρμα που συνενώνει το hardware και το software, με κύριο στόχο
τη διάδοση της πληροφορίας, όχι πια με αφηρημένο, αλλά με σαφή και
συγκεκριμένο τρόπο μέσω των αισθήσεων.
Ο ίδιος ο όρος multimedia είναι αρκετά επεξηγηματικός, όσον
αφορά τη μορφή του συστήματος, καθώς αναφέρεται στη συντονισμένη
χρήση περισσοτέρων του ενός μέσων, όπως γραπτό κείμενο, γραφήματα,
animation, βίντεο, ήχος κ.λπ.
20 KRISTOFER JAMSA, INSTANT MULTIMEDIA FOR WINDOWS..., ΕΚΔ. ANUBIS, ΑΘΗΝΑ 1994.21 Σύμφωνα με τον αναπλ. καθηγητή του Π.Τ.Δ.Ε κ. Γ.Θ Καλκάνη η «πληροφορία» μπορεί να ορισθεί ως «οτιδήποτε αλλάζει το status της γνώσης μας».
- 37 -
Με αυτή την έννοια, ο κινηματογράφος θα μπορούσε να αποτελέσει
ένα σύστημα multimedia. Η ειδοποιός διαφορά, όμως, έγκειται σε ένα
ακόμη χαρακτηριστικό: τη διαλογική ικανότητα του υπολογιστή
(interactivity), με την οποία είναι προικισμένα τα διάφορα μέσα που
προαναφέραμε.
Αυτός ο χαρακτήρας αλληλεπίδρασης22 σε ένα περιβάλλον
multimedia οφείλεται κυρίως στην “εξυπνάδα” του υπολογιστή, που είναι
συνδεδεμένος και ελέγχει όλο το σύστημα, ανταποκρινόμενος στις
επιθυμίες του χρήστη. Ολόκληρο δηλαδή το σύστημα αποτελείται από
έναν υπολογιστή, που ελέγχει το κείμενο, τα γραφήματα, τη φωνή και το
βίντεο, και από μια μεγάλη βάση δεδομένων, την οποία μπορεί να
εξερευνήσει ο χρήστης με όποια σειρά και τρόπο εκείνος επιθυμεί.
Το περιβάλλον multimedia προσφέρει στο χρήστη τη δυνατότητα να
αντικαταστήσει τη γραμμική φύση του βιβλίου - με την αρχή, τη μέση και
το τέλος του - με μια δυναμική προσέγγιση, κατά την οποία ο χρήστης θα
μπορεί να ερευνά και να ζητά πληροφορίες για ένα θέμα, με τον τρόπο και
τη σειρά που εκείνος επιθυμεί, κατευθύνοντας τη διαδοχή των
πληροφοριών.
Στόχος των multimedia δεν είναι να μετατρέψουν εκπαιδευτικές
παρουσιάσεις σε ένα θαυμάσιο υλικό που θα βραβευτεί με Όσκαρ ή θα
αποτελέσει επίκεντρο συζήτησης για αρκετό καιρό. Στόχος τους είναι να
μετατρέψουν και να ομαδοποιήσουν μια πληθώρα πληροφοριών και να τις
παρουσιάσουν σε μια πιο εντυπωσιακή, ξεκούραστη και κατανοητή μορφή.
Τα πολυμέσα μεταβάλλουν τον τρόπο με τον οποίο παρουσιάζονται οι
πληροφορίες. Με την προσθήκη ήχου και κινούμενης εικόνας, οι
εφαρμογές πολυμέσων δίνουν ζωή στις πληροφορίες. Οι χρήστες παύουν
πια να διαβάζουν απλά τις πληροφορίες, τις βιώνουν.
22 ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΑΣΣΑΝΟ, «ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ MULTIMEDIA», Β΄ ΕΚΔΟΣΗ, ΕΚΔ. ANUBIS, ΑΘΗΝΑ 1993.
- 38 -
Η δημιουργία23 μιας Multimedia εκπαιδευτικής εφαρμογής δεν είναι
σαφέστατα κάτι πολύ απλό που μπορεί να υλοποιηθεί άμεσα. Ανακύπτει
λοιπόν φυσιολογικά το ερώτημα :
Ποιος δημιουργεί αυτές τις εφαρμογές ; Οι ιδιαίτερα απαιτητικές
σε γνώσεις, εξειδίκευση και εμπειρία μέθοδοι και τεχνικές δημιουργίας
τους, παραπέμπουν ασφαλώς σε πολυπληθείς ομάδες που περιλαμβάνουν
ειδικούς επιστήμονες του γνωστικού αντικειμένου, ψυχοπαιδαγωγούς,
Η επιτυχής ένταξη24 των multimedia στην εκπαιδευτική διαδικασία
προϋποθέτει ένα ευρύτερο σχεδιασμό καθώς και την ανάπτυξη
multimedia εκπαιδευτικών εφαρμογών οι οποίες πρέπει να
ανταποκρίνονται σε συγκεκριμένους στόχους.
Ας δούμε πώς μπορούν να ορισθούν25 τα multimedia.
«Τα multimedia είναι μία πλατφόρμα», θα πουν οι τεχνολόγοι.
«Και όχι μόνο», θα συμπληρώσουν οι επικοινωνιολόγοι και οι
κοινωνικοί επιστήμονες. «Τα multimedia είναι ο νέος τρόπος
επικοινωνίας».
«Ναι», θα πουν και οι εκπαιδευτικοί, «μόνο που εμείς τα
χρησιμοποιούμε και ως μαθησιακό εργαλείο».
«Τα multimedia είναι ο συνδυασμός διαφόρων μέσων» θα πει το
ευρύ κοινό. Τι είναι λοιπόν τα multimedia ( εκτός από μια λέξη της μόδας,
που ακούγεται σε όλα τα χείλη) ; Είναι το hardware ή και το software ;
Ένα σύνολο εργαλείων ή ένας ριζοσπαστικός τρόπος επικοινωνίας /
διδασκαλίας ; Είναι εργαλείο ή αυτοσκοπός ; Μας οδηγεί σε ένα
εναλλακτικό τρόπο παρουσίασης της πληροφορίας ή σε περισσότερους ;
Όταν μας δίνεται η δυνατότητα να χειριζόμαστε, έστω και στο
περιορισμένο περιβάλλον ενός «παραθύρου», τόσα μέσα μαζί και με
όλους τους πιθανούς συνδυασμούς τους τι αποτέλεσμα ή αποτελέσματα
έχουμε ή ελπίζουμε πως θα έχουμε ;
Οι απαντήσεις σε όλα αυτά τα ερωτήματα είναι ποικίλες και
εξαρτώνται από το χώρο από τον οποίο προέρχεται κανείς καθώς και από
τη χρήση που έχει στο νου του να κάνει όσον αφορά στα multimedia.
Για την εκπαίδευση πάντως πρόκειται όπως έχω αναφέρει και
προηγούμενα για «Μέσα Πολύμορφης Επικοινωνίας / Διδασκαλίας.
Καλό θα ήταν λοιπόν να αποφεύγεται ο αδόκιμος όρος «Πολυμέσα» διότι
24 L. LASKOU, G. KONSTANTINIDIS, ΔΙΔΑΚΤ. Ε.Μ.Π, ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΜΕ ΘΕΜΑ «IT IS ENOUGH TO INTRODUCE MULTIMEDIA TECHNOLOGY IN THE EDUCATIONAL PROCESS ?» ΣΤΟ 2ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, ΣΕΛ 185, ΑΘΗΝΑ 1996.
25 L. LASKOU, G. KONSTANTINIDIS, ΔΙΔΑΚΤ. Ε.Μ.Π, ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΜΕ ΘΕΜΑ «IT IS ENOUGH TO INTRODUCE MULTIMEDIA TECHNOLOGY IN THE EDUCATIONAL PROCESS ?» ΣΤΟ 2ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, ΣΕΛ 186 - 192, ΑΘΗΝΑ 1996.
- 40 -
αυτός σημαίνει απλά, - πολλά μέσα - όχι απαραίτητα συνεργαζόμενα
μεταξύ τους.
- 41 -
MULTIMEDIA ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
Η εικόνα ενός παιδιού που δε θέλει να πάει στο σχολείο γιατί, όχι
μόνον περνάει καλύτερα στο σπίτι, αλλά μαθαίνει και πιο ευχάριστα με
τις εφαρμογές multimedia είτε μέσω δικτύου είτε όχι, είναι μια ουτοπία26
ή μια εγγύς πραγματικότητα ; Ίσως, κιόλας να μην μπορούμε ακόμα να
φανταστούμε ποιες ενδέχεται να είναι οι εξελίξεις στο χώρο αυτό. Ο
χώρος είναι ακόμα σε εμβρυακή κατάσταση και τα ερωτήματα που
τίθενται σε σχέση με την ευρύτερη συνεισφορά των Multimedia στη
μάθηση και τη γνώση γενικότερα είναι πολύ περισσότερα από τα μέσα
που χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη μιας multimedia εφαρμογής.
Η επίδραση αυτού του νέου τύπου παρουσίασης των πληροφοριών στη
μαθησιακή διαδικασία δεν έχει ακόμα καταγραφεί. Και ενώ από τη μια
πλευρά έχουμε τα ερωτήματα που σχετίζονται άμεσα με το τι είναι τα
multimedia αφ’ ενός, και τι αντίκτυπο έχουν πάνω στις μαθησιακές
λειτουργίες, τις γνωστικές δεξιότητες και τις διαπροσωπικές σχέσεις αφ’
ετέρου, ένα τρίτο ερώτημα αποκτά όλο και μεγαλύτερη σημασία : ποιοι
και πώς αναπτύσσουν multimedia εφαρμογές και για ποιους ;
Για να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στην ευρεία ένταξη των
multimedia στην εκπαιδευτική διαδικασία θα πρέπει πρώτα να διεξαχθούν
έρευνες με θέματα όπως :
Ποιοι γράφουν τις multimedia εφαρμογές που κυκλοφορούν στην
αγορά ;
Στα σχολεία που χρησιμοποιούν υπολογιστές και multimedia
εφαρμογές, ποιοι έχουν αναπτύξει τις εφαρμογές, με τι κριτήρια έχουν
αγοραστεί και τέλος ποιοι και πώς τις χρησιμοποιούν (καθηγητές
συγκεκριμένων γνωστικών αντικειμένων στην τάξη τους ή ειδικοί
επιστήμονες σε αίθουσες υπολογιστών) ;
26 Το ότι προσωπικά, θεωρώ αδύνατη και απαράδεκτη (από παιδαγωγική άποψη) μια τέτοια προοπτική δε σημαίνει ότι αυτό το ενδεχόμενο δεν έχει πιθανότητες κάποια μέρα να πραγματοποιηθεί.
- 42 -
Τα παιδιά χρησιμοποιούν τα multimedia στο σπίτι ; Θεωρούν τη
χρήση multimedia προγραμμάτων σαν κάτι δεδομένο - ενταγμένο στο
σχολικό περιβάλλον - ή ως μια εξωσχολική δραστηριότητα ;
Ας δούμε όμως ποιες είναι (στο εξωτερικό κυρίως) ή ποιες θα
μπορούσαν να είναι (στην Ελληνική Δημόσια αλλά και εν πολλοίς και στην
Ιδιωτική Εκπαίδευση) οι πιθανές χρήσεις των multimedia προγραμμάτων :
1. Τα παιδιά χρήστες των multimedia εφαρμογών.
2. Μέσω των multimedia δικτύων, τα παιδιά όχι μόνο χρήστες
multimedia εφαρμογών αλλά και δημιουργοί, (τα παιδιά είτε κάνουν
ομαδικές εργασίες - απλά προγράμματα μέσω δικτύου ή η κάθε τοπική
ομάδα παρουσιάζει την εργασία της σε άλλη τοπική ομάδα). Τα ίδια τα
παιδιά συμμετέχουν στην ανάπτυξη του εκπαιδευτικού λογισμικού αφού :
Συλλέγουν το υλικό.
Αξιολογούν το υλικό ( σε συνεργασία με τον ειδικευμένο δάσκαλο).
Δημιουργούν το νέο υλικό.
Δομούν το υλικό τους ανάλογα με τις απαιτήσεις της εργασίας.
Παρουσιάζουν στα άλλα μέλη της μαθητικής κοινότητας ή άλλων
σχολείων την εργασία τους.
Συγκρίνουν την εργασία τους με τις εργασίες άλλων ομάδων.
Αξιολογούν τις εργασίες των άλλων ομάδων.
Με αυτό τον τρόπο τα παιδιά μαθαίνουν δημιουργώντας. Γίνονται
τα ίδια δημιουργοί multimedia εφαρμογών και μαθαίνουν να
επικοινωνούν και να εκφράζονται χρησιμοποιώντας πολλαπλά μέσα ή
μέσα πολύμορφης επικοινωνίας / διδασκαλίας, όπως αλλιώς λέγονται.
- 43 -
ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ MULTIMEDIA
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
Τι μπορεί να διαφοροποιεί μια «καλή» εκπαιδευτική multimedia
εφαρμογή από μια «κακή» ; Ποια εφαρμογή μπορεί να θεωρηθεί
multimedia ;
Τα στάδια ανάπτυξης27 μιας εκπαιδευτικής multimedia εφαρμογής
είναι συνήθως :
1. Επιλογή θέματος
2. Ανάλυση και καθορισμός αναγκών χρήστη
3. Καθορισμός των στόχων
4. Συλλογή και δημιουργία υλικού
5. Επιλογή της μεθοδολογίας
6. Σχεδιασμός σεναρίου
7. Συγγραφή multimedia σεναρίου
8. Ανάπτυξη multimedia εφαρμογής
9. Αξιολόγηση
1. ΕΠΙΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΟΣ
Το θέμα της εκπαιδευτικής multimedia εφαρμογής επιλέγεται
σύμφωνα με τις ανάγκες που έχουμε διαπιστώσει ότι υπάρχουν στο
συγκεκριμένο/α γνωστικό/α αντικείμενο/α που θέλουμε να αναπτύξουμε.
2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΧΡΗΣΤΗ
Καθορισμός του κοινού (ηλικία, γνωστικό επίπεδο, προϋπάρχουσες
γνώσεις κλπ). Πιο συγκεκριμένα, καθοριστικής σημασίας για την
κατεύθυνση του σχεδιασμού (σε επόμενο στάδιο) είναι να κατανοηθεί
27 L. LASKOU, G. KONSTANTINIDIS, ΔΙΔΑΚΤ. Ε.Μ.Π, ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΜΕ ΘΕΜΑ «IT IS ENOUGH TO INTRODUCE MULTIMEDIA TECHNOLOGY IN THE EDUCATIONAL PROCESS ?» ΣΤΟ 2ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, ΣΕΛ 188 - 191, ΑΘΗΝΑ 1996.
- 44 -
αυτό που αποκαλείται «μοντέλο του χρήστη», δηλαδή η κατά το δυνατόν
προσέγγιση του νοητικού μοντέλου, μέσω του οποίου αντιλαμβάνεται ο
χρήστης τη λειτουργία ενός προγράμματος και τις αναλογίες με άλλα
οικεία συστήματα, που του είναι απαραίτητες για να χτίσει την
αναπαράσταση του υπάρχοντος προγράμματος.
Έρευνα αγοράς για το συγκεκριμένο θέμα για υλικό σε όλες τις
μορφές.
Έρευνα και καθορισμός των αναγκών του τελικού χρήστη.
Καθορισμός της τεχνολογικής πλατφόρμας της εφαρμογής
σύμφωνα με το κοινό στο οποίο απευθυνόμαστε, τις ιδιαιτερότητές του
κλπ.
3. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΣΤΟΧΩΝ
Ποιοι είναι οι στόχοι σύμφωνα με τα αποτελέσματα των παραπάνω
σταδίων ; Οι παιδαγωγικοί στόχοι μιας multimedia εφαρμογής
καθορίζονται από τις γνώσεις, τις δεξιότητες, τις πληροφορίες και τις
αξίες που θέλουμε να αποκτήσει ο τελικός χρήστης (τα παιδιά) από την
εφαρμογή. Για να μπορέσουμε να δομήσουμε το σενάριο της εφαρμογής
μας θα πρέπει σε αυτό το στάδιο να ελέγχονται οι συσχετίσεις ανάμεσα
στους επιμέρους στόχους.
4. ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΥΛΙΚΟΥ
Ένα από τα σημαντικότερα στάδια της ανάπτυξης multimedia
εφαρμογών είναι αυτό της συλλογής του υλικού. Το υλικό μπορεί να έχει
τη μορφή κειμένου, φωτογραφιών, slides, video, μουσικής κ.λπ. Το υλικό
συνήθως δε χρησιμοποιείται αυτούσιο αλλά τροποποιείται ανάλογα με τις
ανάγκες της εφαρμογής κατά την κρίση του υπευθύνου. Τα multimedia
στοιχεία της εφαρμογής δεν έχουν διακοσμητικό ρόλο μέσα σε αυτήν.
Βέβαια τα πολλά μέσα σε μια εφαρμογή δεν είναι πανάκεια, ούτε την
καθιστούν αυτοδίκαια multimedia.
5. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ
- 45 -
Η επιλογή της παιδαγωγικής μεθοδολογίας που θα υιοθετηθεί
εξαρτάται άμεσα από το ρόλο που θα παίξει η multimedia εφαρμογή στην
πορεία του εκπαιδευόμενου μέχρι την ολοκλήρωση του τελικού στόχου.
6. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
Το σενάριο μιας multimedia εφαρμογής δε μοιάζει (και δε χρειάζεται)
να μοιάζει με το σενάριο ενός βιβλίου ή ενός έργου. Κατά το σχεδιασμό
του multimedia σεναρίου πρέπει να δομήσουμε το υλικό μας σύμφωνα με
τους στόχους μας. Επίσης αφού το υλικό μας δε βρίσκεται μόνο σε μία
μορφή θα πρέπει να προβούμε στις ακόλουθες ενέργειες :
Προκαθορισμός της μορφής, της θέσης, της ποιότητας και της
ποσότητας των πληροφοριών που θα δοθούν.
Καθορισμός του ρόλου κάθε μέσου ανάλογα με τη μορφή του (όταν
λέμε ότι έχουμε ήχο στην εφαρμογή τι εννοούμε ; αφηγήσεις ; μουσική ;
χαρακτηριστικούς ήχους που βοηθούν στην κατανόηση ορισμένων
λειτουργιών της εφαρμογής ; ή κάτι άλλο ; Και πάλι όταν λέμε ότι θα
χρησιμοποιήσουμε μουσική τι εννοούμε ; Θα χρησιμοποιήσουμε τη
μουσική σαν υπόκρουση σε αφηγήσεις ή σαν υπόκρουση σε ορισμένες
«σελίδες» της εφαρμογής μας ;
Επιλογή του μέσου παρουσίασης της πληροφορίας (γιατί για
παράδειγμα επιλέγουμε ένα animation και όχι ένα video ή μια εικόνα)
σύμφωνα με τη δυνατότητα παρουσίασης μιας πληροφορίας και σε σχέση
με το ρόλο του, αφ’ ενός στο σύνολο της εφαρμογής και αφ’ ετέρου στην
ενότητα που εντάσσεται.
Συνδυασμός των μέσων σε μια εφαρμογή από τεχνική άποψη (ο
οποίος βέβαια δεν είναι μια εύκολη εργασία), καθότι δεν υπάρχουν ακόμη
standards και προηγμένα εργαλεία γι’ αυτή τη δουλειά. Από την άλλη
άποψη βέβαια ο συνδυασμός πολλών πληροφοριών με διαφορετικά μέσα
στον περιορισμένο χώρο ενός ή περισσοτέρων «παραθύρων» μπορεί να
έχει το ακριβώς αντίθετο αποτέλεσμα από αυτό που επιθυμούμε.
- 46 -
Πρέπει να προσέχουμε να συνδυάζουμε τα μέσα όπου θεωρούμε ότι
συνεισφέρουν στη μετάδοση πληροφοριών και όχι όπου αποτελούν
τεχνολογική πρόκληση για την ομάδα εργασίας. Επίσης, αν μαζί με την
ελκυστικότητα του προγράμματος, μας ενδιαφέρει - μέσω του
προγράμματος - να αναπτύξουμε και εναλλακτικούς τρόπους
επικοινωνίας τότε έχουμε πολλά να διδαχθούμε (και να διδάξουμε) από τη
σημειολογία της κάθε τέχνης.
7. ΣΥΓΓΡΑΦΗ MULTIMEDIA ΣΕΝΑΡΙΟΥ
Σε αυτό το στάδιο καθορίζονται οι τρόποι δόμησης του εκπαιδευτικού
λογισμικού και σχεδιάζεται το λεγόμενο user interface (η γενική
παρουσίαση και δόμηση της εφαρμογής).
Η παραγωγή και επιμέλεια των πρωτογενών στοιχείων είναι μια
ιδιαίτερα κοπιαστική και χρονοβόρα διαδικασία. Μια τυπική φάση
παραγωγής και συλλογής υλικού περιλαμβάνει την ψηφιοποίηση εικόνων,
δημιουργία κινουμένων σχεδίων, ψηφιοποίηση ήχου και βίντεο και
μετατροπή τους στην κατάλληλη μορφή. Η δημιουργία και παρουσίαση
του πρωτοτύπου βοηθάει στο σχηματισμό μιας πρώτης εικόνας, καθώς
επίσης και στο σχεδιασμό του συστήματος πλοήγησης και ανάκτησης των
πληροφοριών πριν ξεκινήσει η υλοποίηση του μεγάλου όγκου της
εφαρμογής.
Βελτιωμένες εκδόσεις πρωτοτύπων μπορούν επίσης να
παρουσιάζονται και κατά τη διάρκεια της συγγραφής με σκοπό τις
πιθανές αλλαγές τόσο στην πλοήγηση όσο και στη λειτουργικότητα. Η
συγγραφή της εφαρμογής γίνεται με τη βοήθεια του συγγραφικού
προγράμματος. Όλα τα συγκεντρωμένα στοιχεία αφού επεξεργαστούν
“δένουν” μεταξύ τους αποτελώντας μια ενιαία εφαρμογή. Μια φάση με
έντονη την παρουσία του προγραμματιστή όπως και η τεχνική
επεξεργασία.
Εδώ, εκτός από τη δημιουργία κώδικα, χρειάζεται να λυθούν όλα τα
επιμέρους τεχνικά προβλήματα, όπως ο συγχρονισμός ήχου και εικόνας,
ελέγχου της κίνησης και του βίντεο. Στα τελικά στάδια της ανάπτυξης
υπάρχει η «μεταγλώττιση», η δημιουργία του εκτελέσιμου αρχείου και ο
- 47 -
έλεγχος της εφαρμογής. Όποια λάθη βρεθούν διορθώνονται στην πηγή
τους, στην παραγωγή στοιχείων, για παράδειγμα, αν υπάρχουν λάθη στην
ψηφιοποίηση των εικόνων, στη συγγραφή, αν υπάρχουν λάθη στην
πλοήγηση ή ανενεργά κουμπιά. Το τελικό προϊόν γράφεται στο μέσο
διανομής, συνήθως το CD - ROM ( Compact Disk - Read Only Memory).
Πρακτικά οι φάσεις της παραγωγής και επιμέλειας των στοιχείων,
της δημιουργίας πρωτοτύπων αλλά και της συγγραφής συνήθως γίνονται
παράλληλα, έτσι ώστε να εξοικονομηθεί πολύτιμος χρόνος. Άλλωστε οι
τρεις αυτές φάσεις εκτελούνται από διαφορετικά πρόσωπα.
Βεβαίως, όλα τα προηγούμενα αποτελούν μια γενική διαδικασία που
επιδέχεται μεγαλύτερες ή μικρότερες αποκλίσεις ανάλογα με τις ανάγκες
κάθε συγκεκριμένης εφαρμογής.
Σε αυτό το στάδιο επίσης καθορίζονται και οι αλληλεπιδράσεις με τον
τελικό χρήστη.
Αλληλεπίδραση - (interactivity) - μία μαγική λέξη στα χείλη χιλιάδων
ανθρώπων που ασχολούνται με τις multimedia εφαρμογές. Το να πατάς
ένα κουμπί και να σε οδηγεί η εφαρμογή στην επόμενη σελίδα σε
μετατρέπει ( ; ) αυτομάτως σε έναν ενεργό χρήστη και βαφτίζει την
εφαρμογή interactive multimedia.
Βέβαια όταν λέμε ότι ένα πρόγραμμα είναι γενικά interactive τι
εννοούμε ; Την αλληλεπίδρασή του με το χρήστη ; Την αλληλεπίδραση
των χρηστών μεταξύ τους ; Ας μην ξεχνάμε τη δυνατότητα διαδικτυακής
επικοινωνίας των εφαρμογών αυτού του είδους - network interactive
multimedia.
8. ΑΝΑΠΤΥΞΗ MULTIMEDIA ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ
Προκειμένου να έχουμε μια συνολική άποψη για την εφαρμογή, αφού η
πιλοτική εφαρμογή αξιολογηθεί από μια ομάδα χρηστών (μαθητών για
παράδειγμα), ειδικών επιστημόνων, γραφιστών, κ.λπ. αναπτύσσεται το
πρόγραμμα στην τελική του μορφή. Στη συνέχεια γίνονται οι αλλαγές που
θα προταθούν. Η ανάπτυξη interactive multimedia εκπαιδευτικών
εφαρμογών (ιδιαίτερα για την παρουσίαση μεγάλων ενοτήτων) απαιτεί τη
- 48 -
συνεργασία πολλών ατόμων που προέρχονται από διαφορετικούς
χώρους.
Ποια είναι η σύνθεση της ομάδας ; Ο σκηνοθέτης είναι το κεντρικό
πρόσωπο του έργου με την ευθύνη του συντονισμού και της σύνδεσης του
σεναρίου με τη συλλογή των επιμέρους στοιχείων και τη συγγραφή της
εφαρμογής. Ο σεναριογράφος μαζί με το σχεδιαστή διαμορφώνουν τη ροή
της εφαρμογής, τον τρόπο πλοήγησης και τον επιθυμητό τρόπο
επικοινωνίας με το χρήστη.
Τις περισσότερες φορές, ειδικά για μικρές εφαρμογές, ο σκηνοθέτης,
ο σεναριογράφος και ο σχεδιαστής αποτελεί ένα και το αυτό πρόσωπο.
Ό,τι ακριβώς συμβαίνει και με τις πατροπαράδοτες εφαρμογές όπου ο
αναλυτής της εφαρμογής κάνει την ανάλυση, σχεδιάζει την επικοινωνία
με το χρήστη και τις απαραίτητες λειτουργίες.
Ο γραφίστας ή ο ειδικός εικόνας ψηφιοποιεί και επεξεργάζεται
εικαστικά τα στοιχεία. Φυσικά δεν απαιτούνται γνώσεις
προγραμματισμού αλλά γνώση πακέτων επεξεργασίας εικόνων και
γραφικών. Στις μικρότερες εφαρμογές το ίδιο άτομο χρησιμοποιείται για
την ψηφιοποίηση και επεξεργασία ήχου και βίντεο. Ο προγραμματιστής ή
συγγραφέας όπως επίσης αποκαλείται είναι το πρόσωπο που “δένει” τα
επιμέρους στοιχεία, όπως οι εικόνες, οι ήχοι, τα γραφικά με βάση φυσικά
το σενάριο. Ανάλογα με το πρόγραμμα συγγραφής, μπορεί να είναι άτομο
με περισσότερες ή λιγότερες τεχνικές γνώσεις.
Ο ρόλος των διαφόρων ομάδων εργασίας που συμμετέχουν σε όλα τα
39 JEAN PIAGET - BAΪRBEL INHELDER, THE PSYCHOLOGY OF THE CHILD (TRANSLATED BY H.WEAVER), COP. ROYTLEDGE & KEGAN PAUL, LONDON 1969, P. 51 - 56.40
- 57 -
Παρά το γεγονός ότι οι αρχές και η λογική που διέπουν την κατανόηση
της διατήρησης είναι ίδιες για όλες τις παραπάνω έννοιες, δεν
ολοκληρώνονται συγχρόνως στη σκέψη του παιδιού.
Μεταξύ των γνωστικών ικανοτήτων που τα παιδιά αποκτούν είναι η
ικανότητα να σειροθετούν και να ταξινομούν τα αντικείμενα. Η
σειροθέτηση (seriation) συνίσταται στη διευθέτηση ενός συνόλου
αντικειμένων σε σειρά προτεραιότητας με βάση τις διαφορές που έχουν
σε κάποιο χαρακτηριστικό τους, και ποικίλει ανάλογα με την ηλικία του
παιδιού.
Το παιδί στο στάδιο αυτό μπορεί να λύσει προβλήματα συγκρίσεων,
ενώ στο τέλος του σταδίου είναι ικανό να σχηματίζει νοητική
αναπαράσταση της λογικής σχέσης Α < Β < Γ. Μελετήθηκε επίσης και η
ικανότητα του παιδιού να πραγματοποιεί πολλαπλή σειροθέτηση, να
τοποθετεί δηλαδή σε σειρά ένα σύνολο αντικειμένων με βάση δύο ή
περισσότερα ποσοτικά χαρακτηριστικά, στα οποία διαφέρουν.
Η ταξινόμηση (classification) είναι η ικανότητα του παιδιού να
σχηματίζει ομάδες αντικειμένων με βάση κοινό ή κοινά τους
χαρακτηριστικά.
Το παιδί μπορεί να σχηματίζει λογικές τάξεις, τις οποίες εντάσσει σε
ευρύτερα ιεραρχικά συστήματα. Το παιδί από το 7ο ακόμη έτος μπορεί να
απομονώνει κάθε φορά ένα ή περισσότερα διαφοροποιητικά
χαρακτηριστικά των αντικειμένων και να σχηματίζει τάξεις με σαφή όρια.
Συγχρόνως όμως, ενώ ταξινομεί ένα αντικείμενο σε μια ορισμένη
τάξη, δεν παύει να γνωρίζει ότι το αντικείμενο αυτό μπορεί να
ταξινομηθεί παράλληλα και σε μια δεύτερη, μια τρίτη τάξη κτλ.
Επίσης μπορεί να συνενώνει διάφορες παράλληλες τάξεις για να
σχηματίσει μια υπερκείμενη τάξη - το ΟΛΟ -, δεν παύει να γνωρίζει ότι
παράλληλα μπορεί να σχηματίζει από τη συμπεριληπτική αυτή τάξη, τις
πρωτογενείς τάξεις - τα ΜΕΡΗ.
Η πιο ενδιαφέρουσα ικανότητα στην ταξινόμηση η οποία έχει και
περισσότερο μελετηθεί, είναι η συμπερίληψη υπο - ομάδων (class
inclousion). Τα παιδιά που αποκτούν την ικανότητα αυτή κατανοούν ότι,
? ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΑΘ. ΡΗΓΑΣ, ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ, ΤΟΜ. Α, ΑΘΗΝΑ 1982, ΣΕΛ.144 - 145.
- 58 -
εάν μια γενική τάξη αντικειμένων μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ή
περισσότερες υπο - ομάδες, ο αριθμός των αντικειμένων της γενικής
τάξης είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των αντικειμένων της κάθε υπο
- ομάδας.
Ένα θεμελιώδες γνώρισμα των λογικών πράξεων είναι ότι είναι
οργανωμένες σε συστήματα συνόλου (stuctures d’ ensemble). Μια
αληθής λογική πράξη ποτέ δε συμβαίνει μεμονωμένα και ανεξάρτητα από
άλλες, αλλά είναι μια περίπτωση σε ένα οργανωμένο σύνολο συναφών
δράσεων. Τα συστήματα συνόλου που διαθέτει το παιδί της σχολικής
ηλικίας περιγράφονται από τον Piaget με λογικομαθηματικά μοντέλα, τις
λεγόμενες συναγωγές (groupements)41.
Οι συναγωγές (οκτώ στον αριθμό) είναι θεωρητικά μοντέλα,
λογικομαθηματικής μορφής, που διέπουν και ερμηνεύουν τα διάφορα
νοητικά επιτεύγματα του παιδιού της σχολικής ηλικίας. Οι τέσσερις
αναφέρονται σε τάξεις (έννοιες) και οι άλλες τέσσερις σε σχέσεις. Σε
κάθε ομάδα υπάρχουν δύο συναγωγές που αναφέρονται σε λογική
πρόσθεση (συνένωση τάξεων ή σχέσεων) και δύο που αναφέρονται σε
λογικό πολλαπλασιασμό (εύρεση του κοινού μέρους, της δομής, τάξεων
και σχέσεων).
Ο συλλογισμός της αρίθμησης προέρχεται από πράξεις ταξινόμησης
και σειροθέτησης. Ο αριθμός π.χ. 5 προέρχεται από την ταξινόμηση κατά
τις δραστηριότητες του ατόμου πέντε ομοίων αντικειμένων αλλά
συγχρόνως και από σειροθέτηση του 5 μεταξύ του 4 και του 642.
Η απόκτηση λοιπόν της έννοιας του αριθμού προϋποθέτει την
κατανόηση τόσο της απόλυτης όσο και της τακτικής σημασίας του
αριθμού.
Την εξελικτική πορεία που ακολουθεί η απόκτηση και η συνοργάνωση
της έννοιας της διατήρησης της ποσότητας και της έννοιας του αριθμού
την έχει μελετήσει ο Piaget με διάφορα πειράματα αντιστοιχίας
ποσοτήτων και ισοδυναμίας συνόλων. Συμπέρασμα ήταν ότι η κατάκτηση
41 J. H. FLAVELL, THE DEVELOPMENT PSYCHOLOGY OF JEAN PIAGET, COP. VAN NOSTRAND, NEW YORK 1963.42 HAWORD E. GRUBER - JACQUES VANECHE, THE ESSENTIAL PIAGET, BASIC BOOK, USA 1977, P. 297 - 298.
- 59 -
εκ μέρους των παιδιών της έννοιας του αριθμού διέρχεται τρία
εξελικτικά στάδια43:
Στο πρώτο στάδιο, ως την ηλικία των 4 ετών, δεν υπάρχει αληθής
έννοια του αριθμού, όπως εξάλλου δεν υπάρχει πλήρως αναπτυγμένη η
ικανότητα για το μετασχηματισμό οποιασδήποτε έννοιας. Η κρίση του
παιδιού στηρίζεται σε αντιληπτικές εικόνες συνόλου, στις οποίες το
κυρίαρχο στοιχείο είναι μία εξωτερική διάσταση, χωρίς να μπορεί το
παιδί να κάνει συγκρίσεις και εκτιμήσεις.
Στο δεύτερο στάδιο, κατά το 5ο και 6ο έτος, είναι μια μεταβατική
φάση, η οποία από πολλές απόψεις προαγγέλλει την πλήρη κατανόηση του
αριθμού όπως την πραγματοποιούν τα μεγαλύτερα παιδιά. Το παιδί
αρχίζει να κάνει καταμερισμό της προσοχής του σε περισσότερες της
μιας όψεις του προβλήματος συγχρόνως. Ακόμη όμως δεν μπορεί να
προβεί σε συνεξέταση των διαφόρων όψεων του προβλήματος. Οι
απαντήσεις του είναι σωστές μόνο στις εύκολες περιπτώσεις.
Ένα άλλο επίτευγμα του παιδιού των 5 και 6 ετών είναι ότι αρχίζει να
αντιλαμβάνεται ότι για να καταστήσει δύο σύνολα ίσα, πρέπει να προβεί
σε προσθέσεις ή αφαιρέσεις στοιχείων.
Στο τρίτο στάδιο, από το 7ο έτος και ύστερα, το παιδί εμπεδώνει
πλέον και τελειοποιεί τα γνωστικά λογικά του επιτεύγματα. Το παιδί
μπορεί και κατανοεί αντιστοιχίες μεταξύ δύο συνόλων και η γνώμη του
για την ισοδυναμία τους δεν εξαρτάται από αλλαγές στη διάταξή τους
στο χώρο, αλλά μόνο από προσθέσεις ή αφαιρέσεις στοιχείων44.
Η κατάκτηση της έννοιας του αριθμού από το παιδί φαίνεται σε
πολλούς τομείς, που μπορούν να συνοψιστούν στα ακόλουθα45:
1. Μπορεί να υπολογίσει με την πρώτη ματιά το αριθμητικό μέγεθος
μιας μικρής ομάδας αντικειμένων, χωρίς να καταφύγει στην αρίθμησή
τους,
43
? ΙΩΑΝΝΟΥ Ν. ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΥ, ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ, ΤΟΜ. 3, ΑΘΗΝΑ, ΣΕΛ.61 - 63.44 ΓΕΩΡΓΙΟΥ Ε. ΚΡΑΣΑΝΑΚΗ, Η ΓΕΝΕΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΠΑΙΔΙ, ΑΘΗΝΑ 1978.45
? J. H. FLAVELL, COGNITIVE DEVELOPMENT, COP. PRENTICE - HALL, 1977.
- 60 -
2. Η μέτρηση - αρίθμηση είναι ακριβής και πολυπλοκότερη,
3. Κατανοεί την απόλυτη και τακτική διάσταση του αριθμού,
4. Γνωρίζει ότι δύο σύνολα είναι αριθμητικά ίσα, αν υπάρχει πλήρης
αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων τους,
5. Αναγνωρίζει ότι το «περισσότερο από» ή «το λιγότερο» ή το
«ίσο», αναφέρεται στη σχέση ποσότητας μεταξύ των δύο συνόλων και όχι
σε σύγκριση με μια τρίτη απόλυτη ποσότητα. Έτσι το παιδί προβαίνει σε
αριθμητικές πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης που ανάλογα διατηρούν ή
μεταβάλλουν αυτή τη σχέση,
6. Επίσης κατανοεί τη φύση και τον τρόπο δημιουργίας των ακεραίων
αριθμών.
7. Η νοητική ανάπτυξη, παρά της έκδηλες προόδους που έχει
επιτελέσει το παιδί στις ηλικίες 7 - 11 χρόνων, δεν έχει ακόμη
ολοκληρωθεί. Το παιδί της σχολικής ηλικίας υπερτερεί μεν σε σύγκριση
με το νήπιο, υστερεί όμως σε σύγκριση με τον έφηβο και τον ώριμο
άνθρωπο.
Ο κύριος περιορισμός της σκέψης του παιδιού των 7 έως 11 ετών είναι
ότι παραμένει συγκεκριμένη. Οι συλλογισμοί γίνονται σε συγκεκριμένα
πράγματα και στο άμεσο παρόν. Επίσης κάθε συλλογισμός παραμένει
απομονωμένος και δεν αποτελεί ενσωματωμένο σύστημα στην όλη σκέψη.
Οι δύο αυτοί περιορισμοί αναγκάζουν το παιδί να εξαρτάται πολύ από την
αρχή του συγκεκριμένου και να μην μπορεί να πλησιάσει την καθαρή
αφαίρεση.
ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΥΠΙΚΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ
(11 έτος - ενηλικίωση)
Ενώ η γνωστική λειτουργία κατά την προηγούμενη περίοδο στηρίζεται
στη συγκεκριμένη πραγματικότητα, η τυπική λειτουργική σκέψη
συντελείται με πιο αφηρημένη και πολύπλοκη συλλογιστική.
- 61 -
Τα παιδιά που η σκέψη τους λειτουργεί με συγκεκριμένες νοητικές
πράξεις είναι ικανά να επεξεργάζονται πληροφορίες και να προβαίνουν σε
λογικούς συλλογισμούς, μόνο όταν βρίσκονται σε άμεση αντιληπτική
επαφή με τα πράγματα όπως είναι.. Η τυπική λειτουργική σκέψη
επιτρέπει στο άτομο να σκέφτεται για τον κόσμο όπως θα μπορούσε να
είναι.
Η σκέψη πλέον αρχίζει να λειτουργεί με υποθέσεις και να έχει
μεγαλύτερη ικανότητα να υπολογίζει τις λογικές συνέπειες μιας
κατάστασης. Τα παιδιά αρχίζουν να σκέφτονται τα μεγάλα και σοβαρά
προβλήματα του κόσμου και της ζωής. Μπορούν να εμπλέκονται σε
μακρές συζητήσεις για τις αξίες της ζωής, τα μεγάλα προβλήματα του
κόσμου και για το νόημα της ζωής46.
Η ανάπτυξη της τυπικής λειτουργικής σκέψης τους παρέχει τη
δυνατότητα να σχηματίζουν γενικές και αφηρημένες έννοιες, όπως
είναι η έννοια της δικαιοσύνης, της ελευθερίας, της φιλίας, της ειρήνης
και των ανθρωπίνων δικαιωμάτων. Η ικανότητα να σκέπτονται
πώς τα θέματα και τα ζητήματα σχετίζονται μεταξύ τους, τους επιτρέπει
να θέτουν υπό αμφισβήτηση τους κοινωνικούς θεσμούς και την αυθεντία
των μεγαλύτερών τους, αλλά και να εξετάζουν τα όρια και τις
δυνατότητες που έχουν για προσωπική και ομαδική δράση.
Η απότομη ανάπτυξη των γνωστικών ικανοτήτων του εφήβου
δημιουργεί κάποια σύγχυση ως προς τα όρια μεταξύ του εγώ και του
κοινωνικού περιβάλλοντος, καθώς δεν είναι σε θέση να ξεχωρίσουν
ανάμεσα στις νέες απρόβλεπτες ικανότητές τους και την κοινωνική και
κοσμική πραγματικότητα στην οποία εφαρμόζονται οι ικανότητες
αυτές47. Με τον καιρό όμως ο διανοητικός τους εκεντρισμός μειώνεται, η
πίστη τους στο απεριόριστο των δυνατοτήτων τους υποχωρεί και
αντιμετωπίζουν με περισσότερο ρεαλισμό τα θέματα και τα προβλήματα
? JEAN PIAGET - BAΪRBEL INHELDER, THE GROWTH OF LOGICAL THINKING FROM CHILDHOOD TO ADOLESCENCE (TRANSLATED FROM A.PARSONS & ST. MILGRAM), COP. BASIC BOOK, LONDON 1958, P. 345.
- 62 -
Κατά την περίοδο της τυπικής λειτουργικής σκέψης οι έφηβοι
αποκτούν τέσσερις νέες βασικές γνωστικές ικανότητες:
α) να χρησιμοποιούν τον υποθετικό - παιδαγωγικό συλλογισμό,
β) να σκέφτονται επαγωγικά,
γ) η σκέψη τους να περιλαμβάνει συναισθηματικά στοιχεία48,
δ) να στοχάζονται, και
ε) να χρησιμοποιούν την προτασιακή λογική.
Το κύριο χαρακτηριστικό της νοημοσύνης αυτής της περιόδου είναι
ότι δημιουργείται ένα νέο είδος κρίσης, η οποία δε στηρίζεται πια στα
αντικείμενα αλλά σε καταστάσεις και υποθέσεις που αναπαριστάνονται
εσωτερικά. Οι συλλογισμοί των παιδιών στηρίζονται σε δύο κύρια
χαρακτηριστικά : τη συνδιαστικότητα και τη δυνατότητα αντιστροφής
και αμοιβαιότητας.
Αποτέλεσμα της συνδιαστικότητας των συλλογισμών είναι να
αποκτούν μεγάλη κινητικότητα, να μπορούν δηλαδή να απομακρυνθούν
μακριά από τις πρώτες συνδέσεις τους. Το παιδί των 12 - 13 ετών
παραδέχεται τη διατήρηση της ύλης, του βάρους, του όγκου και των
σχέσεων των αντικειμένων και μπορεί να σκέφτεται επί μιας μόνο
ιδιότητας, να απομονώνει τις άλλες και να μελετά πιθανές μεταβολές.
Είναι σε θέση να προβαίνει σε ποικίλες υποθέσεις για τη λύση ενός
προβλήματος, να αποκλείει πολλές από αυτές και να καταλήγει σε μία ή
δύο υποθέσεις που συγκεντρώνουν τις περισσότερες πιθανότητες, να έχει
παραγωγική σκέψη, να κατανοεί θεωρίες, να ελέγχει μεταβλητές, να
προχωρεί σε συστηματική ανάλυση κάποιου προβλήματος και να εξετάζει
πολλές λύσεις49.
Μπορεί να βρει αναλογίες μεταξύ των αντικειμένων ή των μερών
αυτών, να προβαίνει σε σύνθετες ταξινομήσεις και σε ποικίλους
συνδυασμούς. Στην περίοδο αυτή η σκέψη αποκτά αυτάρκεια και
αυτοδυναμία και στηρίζεται στον υποθετικό - επαγωγικό
58 Μ. ΤΖΕΚΑΚΗ Π.Τ.Ν - Α.Π.Θ, «ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΓΝΏΣΗΣ ΣΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΑ : ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ», ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β΄ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ», ΚΥΠΡΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995, ΣΕΛ. 337 - 338, ΛΕΥΚΩΣΙΑ 1995.
- 68 -
Πρόκειται βέβαια για μια ιδιαίτερα λεπτή διαδικασία στην οποία ο
δάσκαλος καλείται να αποκαταστήσει την επιστημονική άποψη για ένα π.χ
μαθηματικό θέμα στη διάρκεια της εκπαιδευτικής διαδικασίας.
Η διαδικασία αυτή είναι, όπως είπαμε σύνθετη και η επιτυχής έκβασή
της καθορίζεται από διάφορους παράγοντες :
Έχει ο μαθητής τον εννοιολογικό έλεγχο των πράξεων και των
αποφάσεών του ; Ο παράγοντας αυτός είναι πολύ σημαντικός γιατί οι
μαθητές συχνά πραγματοποιούν κάποια δραστηριότητα σύμφωνα με τις
συγκεκριμένες εντολές του δασκάλου χωρίς να μπορούν να κατανοήσουν
αυτό που κάνουν (άρα δεν «ξεριζώνουν» και την - πιθανότατα - λαθεμένη
ή ελλιπή επιστημονικά, προϋπάρχουσα γνώση τους), χωρίς δηλαδή η
δράση τους να αποκτά στην αντίληψή τους ένα νόημα. Σε μια τέτοια
περίπτωση ο μαθητής δεν είναι σε θέση να γενικεύσει αυτό που κάνει και
ούτε, πολύ περισσότερο, να το εφαρμόσει σε ανάλογες περιπτώσεις.
Είναι το εννοιολογικό πλαίσιο των προβλημάτων / εφαρμογών μέσα
στο οποίο κινείται ο μαθητής αρκετά ευρύ ώστε να επιτρέπει και να
δικαιολογεί μια τέτοια γενίκευση ; Το σύνολο των προβλημάτων μέσα από
το οποίο «εσωτερικεύεται» μια νέα έννοια είναι καθοριστικός
παράγοντας για την ολοκληρωμένη προσέγγισή της. Πολύ συχνά
περιμένουμε ο μαθητής να βγάλει ένα γενικό συμπέρασμα από ένα πολύ
περιορισμένο αριθμό καταστάσεων ή προβλημάτων, με αποτέλεσμα η
γενικευμένη χρήση της έννοιας που του παρουσιάζουμε (για παράδειγμα η
έννοια της μεταβλητής) να μη γίνεται κατανοητή.
- 69 -
ΠΩΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝΤΑΙ ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ
Πώς άραγε αναπτύσσονται οι ιδέες ή οι παρανοήσεις των παιδιών ;
Ποιοι παράγοντες είναι περισσότερο «ευνοϊκοί» ;
Οι ιδέες αναπτύσσονται στην προσπάθεια των παιδιών να δώσουν
νόημα στον κόσμο μέσα στον οποίο ζουν με αναφορά στις εμπειρίες
τους, τις τρέχουσες γνώσεις τους και τη γλώσσα που χρησιμοποιούν. Τα
παιδιά, όπως και οι επιστήμονες, χρησιμοποιούν τις ομοιότητες και τις
διαφορές για να οργανώσουν τα φαινόμενα και τα γεγονότα, και στην
παρατήρηση των γεγονότων και των φαινομένων ψάχνουν για στοιχεία
καθώς και για σχέσεις μεταξύ των στοιχείων για να οικοδομήσουν δομές
σχέσεων. Όπως οι επιστήμονες, έτσι και τα παιδιά συγκεντρώνουν
στοιχεία και χτίζουν μοντέλα για να ερμηνεύσουν τα γεγονότα και να
κάμουν προβλέψεις.
Οι ιδέες των παιδιών διαμορφώνονται με την επίδραση των
αντιλήψεων των μεγάλων, των μέσων επικοινωνίας, την αλληλεπίδραση
με άλλα παιδιά από τη διδασκαλία, τα σχολικά εγχειρίδια κ.λ.π.
Πολλές ιδέες των παιδιών φαίνεται να αναπτύσσονται καθώς αυτά
προσπαθούν να ερμηνεύσουν το περιβάλλον τους.
Σημαντικό ρόλο σε αυτήν την διαδικασία φαίνεται να παίζει η
γλώσσα που χρησιμοποιείται από τους μεγάλους.
Παρανοήσεις δημιουργούνται και κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας
λόγω έλλειψης επικοινωνίας μεταξύ του δασκάλου και των μαθητών.
Όπως γράφει ο Papert ο δάσκαλος έχει κάποιες ιδέες τις οποίες
προσπαθεί να περάσει στους μαθητές του μεταφράζοντάς τες σε
σχήματα, λέξεις, διαγράμματα, σύμβολα. Ο μαθητής μπορεί να τα
προσέξει όλα αυτά, αλλά πρέπει να βρει και κάποιο νόημα που θα τους
αποδώσει. Υπάρχει μεγάλη πιθανότητα το νόημα που θα αποδώσει το
παιδί να μην είναι το ίδιο με εκείνο του δασκάλου. Βέβαια η πιθανότητα
πολλαπλασιάζεται αν η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο δάσκαλος δεν είναι
εύκολα αντιληπτή από το μαθητή.
- 70 -
Σύμφωνα με τα συμπεράσματα59 που διατυπώνουν οι Van Hieles :
1. Υπάρχει ασυνέχεια στη διαδικασία μάθησης. Ο μαθητής δέχεται
παθητικά τις εξηγήσεις του δασκάλου χωρίς να τις κατανοεί. Δάσκαλος
και μαθητής φαίνεται σαν να μιλούν διαφορετική γλώσσα.
2. Οι ικανότητες που εκδηλώνει ο μαθητής σε κάθε επίπεδο
ενυπήρχαν στο προηγούμενο επίπεδο σε λανθάνουσα κατάσταση.
3. Κάθε επίπεδο έχει τη δική του γλώσσα, τα δικά του σύμβολα και τις
δικές του σχέσεις που συνδέουν αυτά τα σύμβολα.
4. Δύο μαθητές που ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα έχουν
προβλήματα επικοινωνίας και αλληλοκατανόησης.
Με την έκφραση «εννοιολογική αλλαγή» εννοούμε60 την
τροποποίηση των διαισθητικών αντιλήψεων των μαθητών για
οποιαδήποτε έννοια προς γνώσεις που θα είναι πιο συμβατές με το
αντίστοιχο επιστημονικό πρότυπο.
Αν και υπάρχουν πολλές παραλλαγές στη σημασία που αποδίδεται στον
όρο «εννοιολογική αλλαγή» φαίνεται να υπάρχει μια δεσπόζουσα τάση
συμφωνίας ότι η εννοιολογική αλλαγή έχει να κάνει με σπουδαία
αναδόμηση της ήδη προϋπάρχουσας διαισθητικής γνώσης. Πολλές
έρευνες έχουν αποδείξει την τεράστια απόκλιση μεταξύ διαισθητικής
γνώσης των παιδιών και επιστημονικής τεκμηρίωσης (όρισης) του ίδιου
γνωστικού πεδίου.
59 Ε. ΝΤΖΙΑΧΡΗΣΤΟΥ - Δ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ, «ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ», ΕΚΔ. «ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ» ΣΕΛ. 384 - 385, ΑΘΗΝΑ 1995. 60 Π. ΚΟΚΚΟΤΑ, «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΙ», «Η ΕΠΟΙΚΟΔΟΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ», Π.Τ.Δ.Ε ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΣΕΛ 17, ΑΘΗΝΑ 1995.
- 71 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γ΄
«Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΑΠΟΨΕΙΣ / ΙΔΕΕΣ /
ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ»
Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠ/ΣΗ -
ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τα μαθηματικά, ως γνωστικός χώρος πάντα προκαλούσαν μεγάλα
προβλήματα στους μαθητές, δασκάλους και αξιολογητές, σε όλα τα
εκπαιδευτικά συστήματα διεθνώς, με ποικίλες επιπτώσεις, μερικές φορές
ακόμα και πολιτικές. Η έρευνα61 στη μαθηματική παιδεία δείχνει ότι οι
δυσκολίες μάθησης του αντικειμένου έχουν βαθιές ρίζες, που οφείλονται
κυρίως σε :
Αδυναμίες νοητικής διασύνδεσης εννοιών με τα σύμβολα και
το φορμαλισμό τους από το μαθητή.
Αδυναμίες εφαρμογής της απαιτούμενης αφαιρετικής σκέψης
αλλά και έλλειψης ικανότητας προς συσχέτιση αφηρημένου
και συγκεκριμένου.
Έλλειψη εμπειρίας μαθηματικής σκέψης.
61 Χ. ΚΥΝΗΓΟΣ - Π. ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ - Γ. ΓΥΦΤΟΔΗΜΟΣ, Φ.Π.Ψ ΠΑΝΕΠ. ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠ. ΑΘΗΝΩΝ - ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝ. ΑΘΗΝΩΝ «ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ», ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β΄ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ», ΚΥΠΡΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995, ΣΕΛ. 491, ΛΕΥΚΩΣΙΑ 1995.
- 72 -
Αδυναμία ενεργοποίησης και συσχέτισης διαισθητικών αντιλήψεων
για μαθηματικές έννοιες.
Οι διάφορες μέθοδοι Διδακτικής των Μαθηματικών έχουν εν γένει να
επιδείξουν φτωχά αποτελέσματα, και τα σημαντικότερα αίτια γι’ αυτό
εντοπίζονται στην ακαταλληλότητα των μοντέλων μετάδοσης της
γνώσης και των διαθέσιμων εκπαιδευτικών εργαλείων. Οι δυνατότητες
που προσφέρει και τα οφέλη που μπορεί να προκύψουν από τη χρήση της
υπολογιστικής τεχνολογίας και γενικότερα των Νέων Τεχνολογιών στη
Μαθηματική παιδεία είναι επιστημονικό πεδίο μελέτης, εδώ και πολλά
χρόνια.
Ο σημαντικότερος και πιο ερευνημένος ρόλος του υπολογιστή είναι η
χρήση του ως εργαλείου έκφρασης και διερεύνησης μαθηματικών εννοιών
μέσα από ειδικά σχεδιασμένες multimedia εκπαιδευτικές εφαρμογές
βασισμένες στο δομημένο και πιο πρόσφατα, στον αντικειμενοστραφή
προγραμματισμό.
Ο υπολογιστής επηρεάζει (ή θα πρέπει να επηρεάζει) το σχεδιασμό των
αναλυτικών προγραμμάτων σε επίπεδο στόχων και περιεχομένου διότι η
κοινωνία ζητά εξοικείωση με τις τεχνολογικές εξελίξεις, ιδιαίτερα τους
υπολογιστές και την πληροφορία, ζητά επικέντρωση στις αλγοριθμο-
κατασκευαστικές διαδικασίες και ανάπτυξη του μυαλού στην αλγοριθμική
και αναδρομική αντίληψη.
Η ουσία της διδασκαλίας62 των Μαθηματικών έγκειται στη
χρησιμοποίηση της λογικής και στη συστηματική αναζήτηση αρχών και
δομών σε κάθε μαθηματικό πρόβλημα. Έχει περάσει ανεπιστρεπτί η εποχή
που ο δάσκαλος «προσέφερε» κάποιο τέχνασμα που θα οδηγούσε στη
λύση ορισμένων προβλημάτων και στην απομνημόνευση για μελλοντική
χρήση του με μηχανικό τρόπο.
Η εισαγωγή δε των υπολογιστών στην Εκπαίδευση63 μας δίνει τα εξής
πλεονεκτήματα :
62 ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΤΡΙΛΙΑΝΟΣ, «Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΝΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ», ΠΡΑΚΤΙΚΑ 1ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ «ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΑ», σελ. 21, ΑΘΗΝΑ 1996.
Πολλές φορές ένα μαθηματικό σύμβολο αντιστοιχεί σε εντελώς
διαφορετικές προφορικές εκφράσεις.
Πολλές λέξεις έχουν στα μαθηματικά διαφορετικό νόημα από αυτό
που έχουν στην κοινή γλώσσα ( όπως : «λόγος», «ρίζα», «βάση»,
«εκθέτης», «διαφορά» κλπ).
Στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο καλείται το παιδί να αποκτήσει το
βασικό του λεξιλόγιο στα Μαθηματικά. Το λεξιλόγιο αυτό, (αναφ. από τον
Τ. Πατρώνη, 1985, 148), είναι ξένο προς τη γλώσσα των παιδιών γιατί
δεν έχει κάποιο αντίκρισμα σε προηγούμενες κοινωνικές / διαισθητικές
του εμπειρίες και αυτό υποθηκεύει την επιτυχία τους στα Μαθηματικά.
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ -
ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Από πολύ μικρή ηλικία, ο άνθρωπος καλείται να χειρισθεί ένα μεγάλο
αριθμό αναπαραστάσεων. Οι αναπαραστάσεις65 αυτές μπορούν να
διακριθούν σε δύο κατηγορίες : σ’ αυτές που παράγει ο ίδιος για να
κατανοήσει μια κατάσταση ή να επικοινωνήσει με το περιβάλλον του και
σε αυτές που καλείται να ερμηνεύσει.
Αν και η σημασία των αναπαραστάσεων στην καθημερινή ζωή και
κυρίως στην απόκτηση και μετάδοση της γνώσης είναι δεδομένη, το
ενδιαφέρον για το ρόλο τους στη διαδικασία μάθησης εμφανίζεται
αυξημένο μόλις τα τελευταία χρόνια. Οι ραγδαίες εξελίξεις στον χώρο
των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών συνέβαλαν ουσιαστικά στην τοποθέτηση
του θέματος των αναπαραστάσεων στο κέντρο του ενδιαφέροντος της
εκπαιδευτικής κοινότητας.
65 Χ. ΣΑΚΟΝΙΔΗΣ, Π.Τ.Δ.Ε - Δ.Π.Θ, «ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ : Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ», ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β΄ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ», ΚΥΠΡΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995, ΣΕΛ. 187 - 194, ΛΕΥΚΩΣΙΑ 1995.
- 77 -
Με απλά λόγια μπορούμε να πούμε πως μια συγκεκριμένη έννοια66 όταν
αναφέρεται σε νοητικά αντικείμενα με τα οποία είναι ήδη εξοικειωμένος
ο μαθητευόμενος, γίνεται εύκολα κατανοητή, και αποτελεί ένα μέσο για
την προσέγγιση του θεωρητικού νοήματος που αντιπροσωπεύει. Το
αφηρημένο αντικείμενο - έννοια προσεγγίζεται από το μαθητή μέσα από
ένα «τριγύρισμά του» από τέτοιες συγκεκριμενοποιήσεις, οι οποίες τον
βοηθούν να κτίσει τις νοητικές του αναπαραστάσεις.
Ο όρος αναπαράσταση67 έχει χρησιμοποιηθεί με πολλές σημασίες
στους διάφορους χώρους της ανθρώπινης γνώσης και δημιουργίας :
ομοιότητα, αναπαραγωγή, απεικόνιση, μοντέλο, είναι μερικές μόνο από
αυτές τις σημασίες. Ανεξάρτητα όμως από τις ιδιαιτερότητες που
προσδίδει στον όρο αναπαράσταση καθεμιά από τις παραπάνω σημασίες,
κοινό τους στοιχείο αποτελεί το γεγονός ότι όλες αναφέρονται σε μια
οντότητα η οποία αντιπροσωπεύει μια άλλη οντότητα.
Έτσι, η οντότητα που αντιπροσωπεύεται και αυτή που
αντιπροσωπεύει, αποτελούν τα βασικά συστατικά μέρη μιας
αναπαράστασης. Ωστόσο, εκτός από τα δύο αυτά συστατικά, η διαδικασία
αναπαράστασης μιας οντότητας από μία άλλη καθορίζεται και από τον
τρόπο που γίνεται η αντιστοίχιση της μιας οντότητας στην άλλη.
Τα τελευταία χρόνια, ο όρος σύστημα αναπαράστασης
χρησιμοποιείται για να συμπεριλάβει και τα τρία συστατικά στοιχεία μιας
αναπαράστασης : την οντότητα που αναπαρίσταται, την οντότητα που
αναπαριστά και τον κανόνα αντιστοίχισης μεταξύ των δύο.
Ο όρος «αναπαράσταση» έχει χρησιμοποιηθεί με δύο, κυρίως, τρόπους
στην ψυχολογία :
κάποια οργάνωση συμβόλων που αντιστοιχεί σε κάποια οντότητα ή
αποτελεί μοντέλο διανοητικών διαδικασιών και
66 Μ. ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ - Γ. ΓΥΦΤΟΔΗΜΟΣ - Α. ΡΟΥΒΑΣ, ΠΑΝ. ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, «Η ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΩΣ ΜΕΣΟ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΑΦΗΡΗΜΕΝΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΩΣ ΜΕΣΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΑΠΟΚΤΗΣΕΙ Ο ΜΑΘΗΤΕΥΟΜΕΝΟΣ» ΠΡΑΚΤΙΚΑ Β΄ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ», ΚΥΠΡΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995, ΣΕΛ. 441, ΛΕΥΚΩΣΙΑ 1995.
67 ΟΠΩΣ ΑΝΩΤΕΡΩ Χ. ΣΑΚΟΝΙΔΗΣ Κ.ΛΠ
- 78 -
την οργάνωση της γνώσης στο ανθρώπινο νοητικό σύστημα ή στη
μακροπρόθεσμη μνήμη.
Ο Piaget θεωρεί την ικανότητα αναπαράστασης καταστάσεων,
ποσοτήτων, εννοιών πολύ σημαντική για την ανάπτυξη του παιδιού. Ο
Piaget διακρίνει τις αναπαραστάσεις σε αυτές που γίνονται με τη βοήθεια
συμβόλων (που προσομοιάζουν τα πράγματα που αναπαριστούν) και
αυτές που γίνονται με σημάδια (που αναπαριστούν πράγματα με ένα
αρκετά αυθαίρετο τρόπο).
Η έννοια της αναπαράστασης στη γνωστική ψυχολογία έχει
επηρεασθεί σημαντικά από τις ιδέες της Johnson - Laird (1983) ο οποίος
διακρίνει τρεις βασικούς τύπους νοητικών αναπαραστάσεων :
1. Τις προτασιακές : σειρές από σύμβολα τα οποία αντιστοιχούν στη
φυσική γλώσσα,
2. Τα νοητικά μοντέλα
3. Τις νοητικές εικόνες68 αντιλήψεις μοντέλων από μια ορισμένη
οπτική γωνία.
Τα νοητικά μοντέλα και οι προτασιακές αναπαραστάσεις είναι
σημαντικές στην εξήγηση ανωτέρων γνωστικών διαδικασιών και
ιδιαίτερα στην κατανόηση και την εξαγωγή συμπερασμάτων. Τα νοητικά
μοντέλα διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην αναπαράσταση
αντικειμένων, καταστάσεων, σειράς γεγονότων κ.λπ.
Τα συστήματα αναπαράστασης βρίσκονται στο κέντρο της
εκπαιδευτικής διαδικασίας, γιατί αποτελούν τα κυριότερα μέσα
μετάδοσης και λήψης γνώσης. Στα Μαθηματικά, όπου η ανάγκη
έκφρασης, επικοινωνίας και χειρισμού αφηρημένων γενικεύσεων
αποκτά μεγαλύτερη σημασία καθώς τα παιδιά προχωρούν προς τις
μεγαλύτερες τάξεις, τα συστήματα αυτά αποκτούν μεγαλύτερη σημασία.
Καλό θα ήταν στο σημείο αυτό, να αναφερθούν έστω, έξι συστήματα
αναπαράστασης που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά : η γλώσσα, τα
68 Χ. ΣΑΚΟΝΙΔΗΣ, Π.Τ.Δ.Ε - Δ.Π.Θ, «ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ : Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ», ΣΤΟ Β΄ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ», ΚΥΠΡΟΣ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 1995, ΣΕΛ. 187 - 194, ΛΕΥΚΩΣΙΑ 1995.
- 79 -
σύμβολα, τα διαγράμματα, οι εικόνες, οι γραφικές παραστάσεις και τα
φυσικά μοντέλα.
- 80 -
ΟΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΙΑ
ΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ
Οι μαθητές69 των πρώτων τάξεων του Γυμνασίου σε γενικές γραμμές
φαίνεται να έχουν γνώσεις βασικών αλγεβρικών ικανοτήτων. Ωστόσο
έρευνες δείχνουν ότι οι μαθητές συχνά δεν είναι ικανοί να μεταφράζουν
αυτή τη γνώση σε μια διαδικασία κατανόησης (επίλυσης ενός
προβλήματος με μεταβλητές). Έτσι πολλοί μαθητές δεν είναι ικανοί να
σχηματίσουν μια εξίσωση - σχηματοποιώντας προβλήματα εξισώσεων.
Αν δεχτούμε ότι η διδασκαλία της Άλγεβρας70 είναι στενά συνδεδεμένη
με την έννοια της μεταβλητής, τότε θα πρέπει να πούμε πως τα παιδιά
δέχονται τα πρώτα μηνύματα της Άλγεβρας ήδη από τη ΣΤ΄Δημοτικού. Η
χρήση του γράμματος στη ΣΤ΄ Δημοτικού και την Α΄ Γυμνασίου
περιορίζεται σε τρεις περιπτώσεις : στους τύπους, τις εξισώσεις και τις
γενικευμένες διατυπώσεις των ιδιοτήτων της Αριθμητικής.
Για το λόγο αυτό θα μπορούσαμε να πούμε ότι από την άποψη της
σχολικής Άλγεβρας οι δύο αυτές χρονιές χαρακτηρίζονται προ -
εισαγωγικές των μαθητών στο κεφάλαιο «Άλγεβρα». Μετά από τα δύο
αυτά χρόνια ο μαθητής έχοντας εξοικειωθεί ( ; ) με το γράμμα ως
μαθηματικό σύμβολο ξεκινά την αβέβαιη όπως ξέρουμε πορεία του στη
σχολική άλγεβρα.
Οι καθηγητές71 θα πρέπει να γνωρίζουν τη διαφορά μεταξύ άλγεβρας
και αριθμητικής για να μην εισάγουν τους μαθητές τόσο γρήγορα στην
69 CAROLYN KIERAN, UNIVERSITY OF MONTREAL, «THE LEARNING AND TEACHING OF SCHOOL ALGEBRA», HANDBOOK OF RESEARCH ON MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING - A PROJECT OF THE NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, 390 - 414.
70 Ε. ΔΕΜΙΡΗ, Α. ΜΑΡΚΕΤΟΣ, Γ. ΜΠΑΡΜΠΑΣ, «ΟΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ», ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ «ΔΙΑΣΤΑΣΗ» , ΣΕΛ. 63 - 70, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Ε.Μ.Ε ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ, ΟΚΤ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1994.
71 NICOLAS HERSCOVICS - LIORA LINCHEVSKI, (DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND STATISTICS - MONTREAL CANADA - HEBREW UNIVERSITY JERUSALEM, ISRAEL), «A COGNITIVE GAP BETWEEN ARITHMETIC AND ALGEBRA, IN «EDUCATIONAL STUDIES IN MATHEMATICS», VOL 27, JULY 1994.
- 81 -
άλγεβρα γιατί τα παιδιά έχουν σχηματισμένες προαλγεβρικές έννοιες. Η
έλλειψη ετοιμότητας εκ μέρους των παιδιών εξηγεί και την αποτυχία
τους στις έννοιες αυτές στο Γυμνάσιο.
Οι περισσότεροι δάσκαλοι και συγγραφείς βιβλίων είναι ανενημέρωτοι
για τις σοβαρές γνωστικές δυσκολίες που αναμιγνύονται στη μάθηση της
Άλγεβρας. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα πολλοί μαθητές να μην έχουν το
χρόνο να σχηματίσουν μια καλή διαισθητική βάση για τομείς της
Άλγεβρας ή να τις συνδέσουν με τις προαλγεβρικές ιδέες που έχουν
αναπτύξει στο Δημοτικό, έτσι δεν καταλαβαίνουν για παράδειγμα τη
χρήση (και την ουσία) των συμβόλων που χρησιμοποιούνται σαν
μεταβλητές. Πολλοί μαθητές, ενώ γνωρίζουν στη θεωρία τα σύμβολα,
εντούτοις δεν μπορούν να τα χειρισθούν (ή κάποιοι από αυτούς μπορούν,
με σαφώς όμως μικρότερη ευκολία, απ’ ότι χειρίζονται άλλα μαθηματικής
φύσεως ζητήματα).
Έχει λοιπόν ιδιαίτερη σημασία72 να γνωρίζουμε ποιες αντιλήψεις έχουν
διαμορφωθεί, ή τείνουν να διαμορφωθούν στο μυαλό των παιδιών για τη
μεταβλητή τη στιγμή που ξεκινά η διδασκαλία της σχολικής άλγεβρας.
Στη ΣΤ΄ Δημοτικού η μεταβλητή εμφανίζεται στους μαθητές με τρεις
διαφορετικές μορφές που δε συνδέονται μεταξύ τους :
1) Ως γενίκευση κανόνων αριθμητικής
2) Ως άγνωστος στις εξισώσεις
3) Ως ποσότητα στα πλαίσια μιας σχέσης (τύποι εμβαδού, τριγώνου
κλπ)
Οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι στον ίδιο βαθμό με τη χρήση κάθε
μιας από αυτές τις μορφές. Επίσης χειρίζονται τα γράμματα στα διάφορα
προβλήματα, ή ως μεταβλητές, ή αντικαθιστώντας τα με αριθμούς και
κάνοντας πράξεις με αυτούς. Όταν ρωτηθούν, απαντούν ότι μπορούν να
αντικαταστήσουν τη μεταβλητή με οποιοδήποτε γράμμα θέλουν. Η
μεταβλητή συμβολίζει ένα οποιοδήποτε γράμμα, αλλά συνήθως
προτιμούν ένα.
72 Ε. ΔΕΜΙΡΗ, Α. ΜΑΡΚΕΤΟΣ, Γ. ΜΠΑΡΜΠΑΣ, «ΟΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ», ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ «ΔΙΑΣΤΑΣΗ» , ΣΕΛ. 63 - 70, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Ε.Μ.Ε ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ, ΟΚΤ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1994.
- 82 -
Σε ορισμένες περιπτώσεις, το γράμμα συμβολίζει ένα συγκεκριμένο
αλλά άγνωστο αριθμό, που με κάποιο τρόπο οι μαθητές πρέπει να βρουν.
Η αντίληψη αυτή ξεκινά από την επεξεργασία των εξισώσεων, αλλά δε
σταματά εκεί. Επεκτείνεται και διαχέεται σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις
όπου εμφανίζεται το γράμμα. Παρατηρείται διαφορετικός βαθμός
εξοικείωσης των μαθητών στη χρήση του γράμματος / μεταβλητής. Ο
μεγαλύτερος βαθμός εξοικείωσης εμφανίζεται με τη χρήση των τύπων
(εμβαδόν, περίμετρος κλπ), ενώ ο μικρότερος στις αλγεβρικές σχέσεις.
Σε όλες τις περιπτώσεις πάντως το γράμμα δε θεωρείται αριθμός, γι’
αυτό οι μαθητές δηλώνουν ότι δεν μπορούν να γίνουν οι πράξεις. Η
παράσταση με μεταβλητές εκφράζει τη διαδικασία παραγωγής και όχι το
ίδιο το αποτέλεσμα. Το αποτέλεσμα θα προκύψει αν αντικαταστήσουν το
γράμμα με αριθμό. Παρουσιάζεται λοιπόν ένα σύνολο διαφορετικών
εκδοχών της μεταβλητής λιγότερο ή περισσότερο οικείο στους μαθητές.
Επίσης για τους μαθητές αυτής της ηλικίας η μεταβλητή παίρνει τιμές
στο σύνολο των φυσικών αριθμών, επειδή ακόμα δεν έχουν ενιαιοποιηθεί
οι φυσικοί αριθμοί με τους κλασματικούς και τους δεκαδικούς αριθμούς,
αν και τους έχουν διδαχθεί κατά τα προηγούμενα πέντε χρόνια φοίτησής
τους στο Δημοτικό Σχολείο.
Σύμφωνα με μια έρευνα στη Μ. Βρετανία73 (1994) όταν ζητείται από τα
παιδιά να προσθέσουν 4 + 3ν το 36% μόνο απαντά σωστά, το 31%
απαντά 7ν, ενώ το 16% απαντά απλά επτά (7). Βλέπουμε λοιπόν ότι
μεγάλο κομμάτι των μαθητών δεν αντιλαμβάνεται την έννοια αφού είτε
αγνοεί την ύπαρξη του αγνώστου είτε θεωρεί ότι « ίσως λείπει !!»
από το 4.
Χειρότερα (από πλευράς ποσοστών απαντήσεων) αποτελέσματα είχαμε
όταν ζητήθηκε από τους μαθητές να επιλύσουν την παράσταση (V + 5) .
4. Εδώ, οι σωστές απαντήσεις μειώνονται στο 17%, ενώ το 19% απαντά
4V + 5, το 31% απαντά V + 20 ενώ το υπόλοιπο 33% απαντά απλά 20. Τα
παιδιά λοιπόν δεν αντιλαμβάνονται ότι, για παράδειγμα, το 6X είναι 6
73 NICOLAS HERSCOVICS - LIORA LINCHEVSKI, (DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND STATISTICS - MONTREAL CANADA - HEBREW UNIVERSITY JERUSALEM, ISRAEL), «A COGNITIVE GAP BETWEEN ARITHMETIC AND ALGEBRA», IN «EDUCATIONAL STUDIES IN MATHEMATICS», VOL 27, JULY 1994.
- 83 -
φορές το Χ και βλέπουν σαν έναν αριθμό (περίεργο βέβαια για αυτούς) το
6Χ.
Ο τρόπος με τον οποίο εμφανίζεται και χρησιμοποιείται η μεταβλητή
στα Μαθηματικά της ΣΤ΄ Δημοτικού και της Α΄ Γυμνασίου, είναι
ουσιαστικά ίδιος. Αντίστοιχα, και οι αντιλήψεις που διαμορφώνονται στη
ΣΤ΄ Δημοτικού για τη μεταβλητή θα πρέπει να περιμένουμε να
εμφανίζονται στην Α΄ Γυμνασίου ίδιες στα βασικά τους χαρακτηριστικά.
Μπορούμε βέβαια να εντοπίσουμε ορισμένες διαφορές ανάμεσα στους
μαθητές των δύο αυτών τάξεων, όπως είναι η διαφορά της ηλικίας και
του περιβάλλοντος μάθησης. Η διαφορά στη διαδικασία των
Μαθηματικών και κυρίως στην εκφορά του μαθηματικού λόγου ανάμεσα
στο δάσκαλο και το μαθηματικό επηρεάζει τον τρόπο και το ρυθμό
εξέλιξης των αντιλήψεων των μαθητών. Από τη στιγμή όμως που η
διδασκαλία της μεταβλητής στην Α΄ Γυμνασίου δεν εισάγει καινούριες
χρήσεις της, καινούργια πεδία εφαρμογής, δε θα ήταν πιθανό να
αναμένεται εμφάνιση καινούριων αντιλήψεων γι’ αυτή στους μαθητές.
Στο δωδεκάχρονο παιδί δε συναντούμε μια ενιαία εικόνα της
μεταβλητής, αλλά πολλές επιμέρους όψεις της. Αυτές οι διάφορες και
διαφορετικές όψεις της μεταβλητής συνυπάρχουν ταυτόχρονα είτε
ανεξάρτητα η μία από την άλλη μέσα στην αποσπασματικότητά τους είτε
σε διάφορα αντιφατικά, συγκεχυμένα και πάντως ρευστά συμπλέγματα.
Ας δούμε όμως ποιες είναι οι διάφορες όψεις της μεταβλητής στο
δωδεκάχρονο παιδί.
ΟΨΕΙΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
1. Το γράμμα μπαίνει στη θέση του αριθμού
Η εκδοχή αυτή της μεταβλητής συναντιέται συχνά και είναι
αναμενόμενη. Εκφράζει την πορεία γενίκευσης της πρακτικής
αριθμητικής, των ιδιοτήτων των πράξεων και των μεταξύ τους σχέσεων.
Για παράδειγμα πολλά παιδιά όταν ερωτηθούν αν το χ + 3 = λ + 3
απαντούν ότι αυτό ισχύει αν το χ και το λ εκφράζουν τον ίδιο αριθμό.
- 84 -
Άλλα παιδιά όμως οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι διαφορετικά
γράμματα αντικαθιστούν ή εκπροσωπούν διαφορετικούς αριθμούς. Στο
ίδιο παράδειγμα τα παιδιά λένε ότι έχουμε το 3 και το 3 και στα δύο μέρη
συν κάποιο διαφορετικό αριθμό.
2. Αριθμός στη θέση του γράμματος
Την αντίληψη αυτή τη συναντούμε σε περιπτώσεις όπου οι μαθητές
χρησιμοποιούν τύπους (π.χ τύποι περιμέτρου και εμβαδού). Φαίνεται ότι
αυτή η εκδοχή χρήσης της μεταβλητής είναι πιο οικεία στους μαθητές
και ίσως περισσότερο από την προηγούμενη. Βέβαια πρέπει να τονισθεί
ότι δεν είναι στον ίδιο βαθμό οικεία η χρήση της μεταβλητής σε όλες τις
περιπτώσεις των τύπων. Παρατηρείται σοβαρή διαφορά ανάμεσα στους
τύπους όπου η μεταβλητή εκφράζει ένα μέγεθος γεωμετρικό ή φυσικό και
στους τύπους όπου η μεταβλητή εκφράζει αφηρημένο αριθμό.
Στη δεύτερη αυτή περίπτωση η κατανόηση και η χρήση της
μεταβλητής συναντά περισσότερες δυσχέρειες. Οι μαθητές συχνά
αδυνατούν να χειρισθούν τη μεταβλητή και να την αντικαταστήσουν
με προτεινόμενες αριθμητικές τιμές. Η διαπίστωση αυτή οδηγεί και σε
ένα άλλο κριτήριο διάκρισης δύο ακόμα όψεων της μεταβλητής :
Η μεταβλητή ως σύμβολο ορισμένου απτού μεγέθους και
Η μεταβλητή ως γενικευμένος αλλά άγνωστος αριθμός.
3. Η μεταβλητή, ένας συγκεκριμένος αλλά άγνωστος αριθμός
Στην περίπτωση αυτή το παιδί δεν κατέχει την έννοια της μεταβλητής
παρά ενός συμβόλου, που μπαίνει στη θέση ενός αριθμού που δε
γνωρίζουμε. Η άγνοια του αριθμού που πρέπει να βρίσκεται στην
αντίστοιχη θέση, οδηγεί στην πρόσκαιρη αντικατάστασή του από ένα
άλλο σύμβολο. Στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού ήταν ένα κενό
τετραγωνάκι, τώρα είναι ένα γράμμα. Φαίνεται λοιπόν ότι η εξίσωση
είναι μια περίπτωση χρήσης του γράμματος με πολύ απλό και σαφές
νόημα. Επιπλέον βρίσκεται πολύ κοντά στην πρακτική αριθμητική.
- 85 -
Τέλος μια ακόμα όψη της μεταβλητής συναντούμε στη Γεωμετρία όπου
για παράδειγμα το πεζό γράμμα στο γεωμετρικό σχήμα συμβολίζει για
τους μαθητές ταυτόχρονα το μήκος και το όνομα της πλευράς.
- 86 -
ΑΝΤΙΦΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΥΣΕΙΣ ΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Σε όλες τις όψεις της μεταβλητής στις οποίες αναφέρθηκα παραπάνω,
το γράμμα συμβολίζει για τα παιδιά αριθμό αλλά δεν είναι αριθμός. Κατά
συνέπεια δεν μπορούν (κατά την εκτίμηση των παιδιών) να γίνουν
πράξεις με τα γράμματα. Τα πιο πολλά παιδιά αντιμετωπίζουν παρόμοια
ένα πρόβλημα της μορφής : Πόσο κάνει α + α + α.
Συνήθως απαντούν πως δε γίνονται οι πράξεις γιατί δεν ξέρουμε το α
ή βάζουν στη θέση του αποτελέσματος το X εξηγώντας πως είναι το
άγνωστο αποτέλεσμα της πράξης.
Παραπάνω αναφέρθηκε ότι οι διάφορες εκδοχές της μεταβλητής
συνυπάρχουν είτε ανεξάρτητα η μία από την άλλη είτε μέσα σε
αντιφατικά συγκεχυμένα συμπλέγματα. Η πιο χαρακτηριστική περίπτωση
αντίφασης και σύγχυσης εντοπίζεται ανάμεσα στην περίπτωση της
μεταβλητής που συμβολίζει έναν οποιοδήποτε αριθμό και στην περίπτωση
της μεταβλητής που συμβολίζει έναν συγκεκριμένο αλλά άγνωστο
αριθμό. Τα αίτια οφείλονται σε αρκετούς παράγοντες όπως :
I. Τα περισσότερα παιδιά είναι ακόμα δέσμια στη σκέψη τους από την
πρακτική αριθμητική, στα πλαίσια της οποίας καλούνται να συνδυάσουν
συγκεκριμένες και μοναδικές αριθμητικές τιμές. Η αντίληψη αυτή
επιβιώνει και στις παραστάσεις με γράμματα.
II. Ένας άλλος παράγοντας είναι η ρευστότητα που χαρακτηρίζει τις
αντιλήψεις τους γι’ αυτό το θέμα σε όλη τη διάρκεια της περιόδου όπου η
έννοια της μεταβλητής δεν είναι διαμορφωμένη και κατασταλαγμένη.
Στην περίοδο που η έννοια της μεταβλητής δεν έχει ακόμα διαμορφωθεί,
που οι επιμέρους αποσπασματικές εικόνες φαίνεται να αντιφάσκουν και
πάντως συγχέονται μεταξύ τους, που οι αντιλήψεις είναι ρευστές, τότε
απαιτείται ένα ιδιαίτερα σαφές και οργανωμένο περιβάλλον μάθησης.
- 87 -
Γι’ αυτό θα πρέπει με ιδιαίτερη προσοχή, σαφήνεια και πληρότητα να
δίνεται στους μαθητές η έννοια της μεταβλητής. Η διεξοδική
επεξεργασία του συνόλου των περιπτώσεων όπου εμφανίζεται η έννοια
της μεταβλητής, δηλαδή του εννοιολογικού της πεδίου, μέσα από τα
ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της κάθε μιας, θα οδηγήσει αργότερα, στο
Λύκειο, στη σύνθεση της έννοιας της μεταβλητής. Είναι παράλογο να
θεωρείται στη Β΄ Γυμνασίου η έννοια της μεταβλητής δεδομένη, όπως
δυστυχώς γίνεται σήμερα στα ελληνικά Γυμνάσια.
III. Και έτσι αγγίζουμε τον τρίτο παράγοντα που αναφέρεται στον
τρόπο παρουσίασης της μεταβλητής από το διδάσκοντα και το βιβλίο74. Η
μεταβλητή παρουσιάζεται στους μαθητές σαν μία ενιαία και ίδια σε όλες
τις περιπτώσεις μαθηματική οντότητα. Η ισοπεδωτική αυτή παρουσίαση
της έννοιας της μεταβλητής επιτείνει τη σύγχυση, αφού δεν αποσαφηνίζει
τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της σε κάθε περίπτωση χρήσης της. Αξίζει
να σημειωθεί ότι δεν παρατηρείται σύγχυση των μαθητών ανάμεσα στις
εξισώσεις και στους γεωμετρικούς τύπους.
Πολλές φορές τα «αδύνατα75» παιδιά μπερδεύονται όταν ο άγνωστος
βρίσκεται στο δεξιό μέρος της εξίσωσης και τον φέρνουν αριστερά με ότι
αυτό μπορεί να συνεπάγεται (αμέλεια αλλαγής πρόσημου κ.λπ), ένα ακόμα
σημάδι ότι οι μαθητές - όχι όλοι βέβαια αλλά ένα αξιοπρόσεκτο ποσοστό
τους - μάλλον μηχανικά «μαθαίνουν» τη λύση εξισώσεων παρά
ουσιαστικά.
Άλλα παιδιά όταν έχουν να αντιμετωπίσουν μια εξίσωση της μορφής
364 = 796 - n διαβάζουν n -796 = 364. Επίσης δυσκολίες παρουσιάζονται
όταν σε μια παράσταση υπάρχουν πολλά νούμερα με έναν άγνωστο. Τέλος
όταν ο άγνωστος είναι και στις δύο πλευρές της εξίσωσης τότε το 60%
των μαθητών των πρώτων τάξεων του Γυμνασίου δεν μπορεί να λύσει την
εξίσωση.
74 ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΤΕΡΗ ΠΑΡΑΘΕΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΑΡΕΧΕΤΑΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ
75 NICOLAS HERSCOVICS - LIORA LINCHEVSKI, (DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND STATISTICS - MONTREAL CANADA - HEBREW UNIVERSITY JERUSALEM, ISRAEL), «A COGNITIVE GAP BETWEEN ARITHMETIC AND ALGEBRA», IN «EDUCATIONAL STUDIES IN MATHEMATICS», VOL 27, JULY 1994.
- 88 -
Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης η σύγχυση76 που κάνουν οι μαθητές
μεταξύ της γραμμικής διάταξης στο αλφάβητο και της γραμμικής
διάταξης των ακεραίων αριθμών είναι ένα κοινό λάθος τους όταν για
πρώτη φορά συναντούν τα γράμματα - σύμβολα.
Όταν τα παιδιά του Δημοτικού συναντούν για πρώτη φορά τα
γράμματα - σύμβολα, σίγουρα θα ήταν παιδαγωγικά σωστό να
επισημαίνονται μερικά από τα χαρακτηριστικά, που τα νέα σύμβολα
μοιράζονται (έχουν κοινά) με τα αριθμητικά σύμβολα και με τις λέξεις,
δηλαδή με δύο συστήματα συμβόλων με τα οποία τα παιδιά είναι ήδη
εξοικειωμένα.
Βέβαια αυτό ενέχει τον κίνδυνο τα παιδιά υπεργενικεύοντας να
νομίσουν ότι τα γράμματα - σύμβολα δεν είναι τίποτε άλλο από μια
καινούργια γραφή. Βέβαια τα παιδιά ενδεχόμενα αδυνατούν να διακρίνουν
τις μοναδικές ιδιότητες που έχουν τα γράμματα - σύμβολα, να δίνουν
δηλαδή στη μαθηματική γλώσσα τόση από την ακρίβειά της, τη
γενικότητα και την ευκαμψία της.
ΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ
Πολλές φορές ιδιαίτερα τα παιδιά του Δημοτικού Σχολείου μπορούν να
μπερδευτούν με τα γράμματα και τους αριθμούς και τότε βέβαια
αρχίζουν τα προβλήματα. Πολλοί αριθμοί έχουν ομοιότητες (και διαφορές
φυσικά) με τα γράμματα (στη μαθηματική γλώσσα βέβαια). Οι ομοιότητες
και οι διαφορές αυτές είναι :
Ομοιότητες77 : Τα γράμματα έχουν τη γνωστή τους διάταξη στο
αλφάβητο, όπως και οι ακέραιοι αριθμοί. Υπάρχουν όμως λίγα γράμματα
όπως π.χ το π που είναι αριθμός. Μια άλλη «ομοιότητα» είναι ότι συχνά
γράμματα και αριθμητικά ψηφία εμφανίζονται μαζί σε μαθηματικές
εκφράσεις.
76 SIGRID WAGNER, «WHAT THE VARIABLES ARE ?», ΠΕΡ. «MATHEMATICS TEACHER», ΣΕΛ.82 - 83, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 1983.77 SIGRID WAGNER, «WHAT THE VARIABLES ARE ?», ΠΕΡ. «MATHEMATICS TEACHER», ΣΕΛ.82 - 83, ΟΚΤΩΜΒΡΙΟΣ 1983.
- 89 -
Στην πραγματικότητα οι πρώτες τέτοιες εμπειρίες των μαθητών
προέρχονται από εξισώσεις του τύπου Χ + 3 = 12 όπου τα γράμματα
εμφανίζονται δίπλα σε αριθμούς και σε σύμβολα πράξεων και σχέσεων. Με
άλλα λόγια τα γράμματα δίνουν την εντύπωση ότι πρέπει να
συμπεριφέρονται ακριβώς όπως οι αριθμοί.
Κατά την επίλυση αυτών των εξισώσεων θα πρέπει να δείχνουμε στους
μαθητές την πιο εντυπωσιακή ομοιότητα μεταξύ γραμμάτων και αριθμών,
ότι δηλαδή ένα γράμμα στην πραγματικότητα λειτουργεί προς στιγμήν
σαν αριθμός, ωσότου μπορέσουμε να υπολογίσουμε ποιος είναι αυτός ο
αριθμός που λείπει και να τον γράψουμε.
Διαφορές : Για να μιλήσουμε μαθηματικά, η σπουδαιότερη διαφορά
μεταξύ γραμμάτων και αριθμών είναι μία : ενώ κάθε αριθμητικό ψηφίο
παριστάνει ένα μοναδικό αριθμό, κάθε γράμμα μπορεί να παριστάνει
ταυτόχρονα έναν από πολλούς (διαφορετικούς μεταξύ τους) αριθμούς.
Είναι και αυτή η ιδιότητα, της ταυτόχρονης παράστασης πολλών
αριθμών, μια εξήγηση γιατί τα γράμματα - σύμβολα τα ονομάζουμε
μεταβλητές αν και γνωρίζουμε πολύ καλά ότι είναι δυνατό κάποια από
αυτά τα σύμβολα να παριστάνει το καθένα ένα μοναδικό άγνωστο αριθμό
ή ακόμα και μια σταθερά.
Η πιο ουσιαστική διαφορά μεταξύ γραμμάτων και αριθμών οφείλεται
στο ότι η κάθε λέξη έχει ένα περιορισμένο σύνολο εννοιών, δε συμβαίνει
το ίδιο με τα γράμματα. Δηλαδή δεν υπάρχουν λεξικά που να περιέχουν
τις μαθηματικές έννοιες των γραμμάτων. Μπορούμε ελεύθερα να
καθορίζουμε το σημαινόμενο και ειδικότερα το πεδίο ορισμού των
περισσότερων γραμμάτων - συμβόλων με όποιο τρόπο θέλουμε. Αυτή την
ιδιότητα μπορούμε να την ονομάσουμε ελευθερία οριοθετήσεως
( freedom of delimitation property).
Από την άλλη μεριά είμαστε ελεύθεροι να χρησιμοποιήσουμε σχεδόν
οποιοδήποτε γράμμα - σύμβολο για να παραστήσουμε κάτι που έχουμε στο
νου μας - είναι η ιδιότητα της ελευθερίας επιλογής (freedom of choice).
- 90 -
Για την ιδιότητα της ελευθερίας επιλογής78 των γραμμάτων -
συμβόλων υπάρχουν ενδείξεις ότι χρειάζεται χρόνος στα παιδιά για να
την κατανοήσουν σε βάθος. Έτσι πολλοί μαθητές που λένε ότι
διαφορετικά γράμματα είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για να
παραστήσουν το ίδιο αντικείμενο, συχνά πιστεύουν πως διαφορετικά
γράμματα πρέπει να σημαίνουν διαφορετικά πράγματα. Για παράδειγμα
μερικοί μαθητές στην αρχή νομίζουν πως αν αλλάξει σε μια εξίσωση το
γράμμα που παριστάνει τον άγνωστο, τότε θα αλλάξει και η λύση της.
Η ιδιότητα της ελευθερίας οριοθετήσεως των γραμμάτων - συμβόλων
είναι που δίνει στη μαθηματική γλώσσα τόσο μεγάλη γενικότητα. Γιατί
αφού τα γράμματα - σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να
παραστήσουμε οποιοδήποτε σύνολο ή μεταβλητά στοιχεία ενός συνόλου,
για το λόγο αυτό μπορούμε με μια απλή δήλωση να ορίσουμε μια έννοια ή
να γράψουμε με σαφήνεια μια μαθηματική σχέση. Μπορεί κάλλιστα να
μεταβάλλεται ότι αναφέρεται / κωδικοποιείται με ένα γράμμα, χωρίς
όμως να χρειάζεται να το αλλάξουμε αυτό το γράμμα.
Τα γράμματα - σύμβολα προσφέρουν την ελευθερία οριοθετήσεως
γιατί από τη φύση τους δεν είναι φορτισμένα με την ποικιλία σημασιών,
εννοιών και βιωμάτων που μεταφέρει η κάθε λέξη.
ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΑΤΥΠΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Καθώς οι μαθητές79 μπαίνουν στην Άλγεβρα θα πρέπει να αρχίσουν να
συνειδητοποιούν ότι ένα γράμμα συμπεριφέρεται σαν ένας μοναδικός
αριθμός και επομένως είναι δυνατό με αυτό το γράμμα να γίνονται
πράξεις ή αυτό το γράμμα να μπαίνει σε διάφορες αριθμητικές σχέσεις.
Είναι ακόμα απαραίτητο να συνειδητοποιήσουν ότι ένα γράμμα
συμπεριφέρεται πολύ διαφορετικά (από έναν αριθμό) με το πρόσημο που
78 SIGRID WAGNER, «WHAT THE VARIABLES ARE ?», ΠΕΡ. «MATHEMATICS TEACHER», ΣΕΛ. 95, ΟΚΤΩΜΒΡΙΟΣ 1983.
79 SIGRID WAGNER, «WHAT THE VARIABLES ARE ?», ΠΕΡ. «MATHEMATICS TEACHER», ΣΕΛ. 93, ΟΚΤΩΜΒΡΙΟΣ 1983.
- 91 -
βάζουμε μπροστά του, καθώς και με τους άλλους αριθμούς ή τα
γράμματα που βρίσκονται δίπλα του.
Η άλγεβρα περιγράφεται80 ως «η γλώσσα διαμέσου της οποίας τα
περισσότερα στοιχεία των μαθηματικών γίνονται
επικοινωνήσιμα». Για πολλά χρόνια η Άλγεβρα αναφερόταν σαν ένα
απλό μάθημα ή ως χαρακτηριστικές επιδεξιότητες χειριζόμενες και
διακοπτόμενες από άλλα μαθήματα, την «προάλγεβρα» και τη γεωμετρία.
Στο πνεύμα του συνόλου των μαθημάτων είναι περισσότερο κατάλληλο
να σκέφτεσαι την Άλγεβρα ως ένα συνεκτικό σώμα ιδεών στενά
συνδεδεμένο με άλλα τμήματα μαθηματικών.
80 JAMES E. SCHULTZ, OHIO STATE UNIVERSITY, U.S.A, «TEACHING INFORMAL ALGEBRA», IN «ARITHMETIC TEACHER 38, Νο 9», ΜΑΪΟΣ 1991, ΣΕΛΙΔΕΣ 1-3, http://www.enc.org//online/ENC2194/2194.html
- 92 -
«ΕΠΙΣΗΜΟΙ» ΚΑΙ «ΑΝΕΠΙΣΗΜΟΙ» ΤΡΟΠΟΙ
ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
Το να χειρίζεσαι μια εξίσωση είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο81 που
εμπλέκει την παρουσίαση των ίδιων διαδικασιών και στις δύο πλευρές της
εξίσωσης. Αυτό όμως δε διδάσκεται πρωταρχικά στα σχολεία. Σε πρώτο
στάδιο οι μαθητές μαντεύουν - δοκιμάζουν αριθμούς που επαληθεύουν
την εξίσωση καθώς και άλλες ανεπίσημες τεχνικές όπως :
Χρήση αριθμητικών γεγονότων
Χρήση υπολογιστικών Τεχνικών
COVER UP
Ακύρωση
Δοκιμή
Μετάθεση - Μετατόπιση
Παρουσίαση των ίδιων διαδικασιών και στις δύο πλευρές της
εξίσωσης.
Ενδεικτικά μιλώντας για την πρώτη, τεχνική οι μαθητές λύνοντας το
5 + Χ = 8 ανακαλούν το γεγονός πως 5 + 3 κάνει 8. Για τη δεύτερη
τεχνική επίλυσης εξίσωσης μπορούμε να πούμε σαν παράδειγμα ότι στην
ίδια εξίσωση ο μαθητής μετρά από το 5 έως το 8, υπολογίζει και
παρατηρεί πως τρία νούμερα ονομάζει μέχρι να φθάσει στο 8. Τα δύο
αυτά στάδια αφορούν «εντελώς» αρχάριους - όσον αφορά μεταβλητές και
εξισώσεις - μαθητές.
Για την COVER UP στρατηγική - και για δοσμένη εξίσωση 2Χ + 9 =
5Χ, - οι μαθητές σκέφτονται τα εξής : αφού 2Χ + 9 κάνει 5Χ, το 9 πρέπει
να είναι το ίδιο με το 3Χ επειδή 2Χ + 3Χ = 5Χ έτσι Χ = ή αλλιώς
. Σύμφωνα με έρευνες οι μαθητές που έμαθαν
81 CAROLYN KIERAN, UNIVERSITY OF QUEBEK, «THE LEARNING AND TEACHING OF
SCHOOL ALGEBRA HANDBOOK OF RESEARCH ON MATHEMATICS TEACHING AND
LEARNING - A PROJECT OF THE NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, 400
- 403.
- 93 -
πρώτα να λύνουν εξισώσεις με την Cover Up και στη συνέχεια έμαθαν και
την επίσημη μέθοδο παρουσιάστηκαν πολύ καλύτεροι από άλλους
μαθητές που έμαθαν μόνο την επίσημη μέθοδο.
Οι μαθητές που διδάχθηκαν μόνο την επίσημη μέθοδο δεν ήταν αρκετά
έτοιμοι να χειρίζονται τις εξισώσεις ως μαθηματικά αντικείμενα με
επίσημες δομικές διαδικασίες.
Η μέθοδος της «ακύρωσης» είναι ανάλογη με τη μέθοδο «λύσης προς
τα πίσω» που χρησιμοποιείται στη λύση αριθμητικών προβλημάτων. Για
παράδειγμα, στην εξίσωση 2 4 18x ο μαθητής παίρνει το αριθμητικό
αποτέλεσμα στη δεξιά πλευρά και προχωρώντας από τα δεξιά στα
αριστερά ακυρώνει κάθε διαδικασία καθώς αυτός (ο μαθητής) έρχεται
προς αυτή και την αντικαθιστά με το αντίστροφό της.
Σε ένα άλλο παράδειγμα - το 2 5 13x - η μέθοδος της δοκιμής
συνίσταται στη δοκιμασία - εκ μέρους των μαθητών - διαφορετικών τιμών
για το Χ. Βέβαια η διαδικασία αυτή είναι πολύ χρονοβόρα και μόλις οι
μαθητές μάθουν την επίσημη τεχνική ελαττώνουν τη χρήση των μη
επίσημων.
Δυστυχώς οι μαθητές δε φαίνεται να ελαττώνουν - πάντα - τη μέθοδο
αυτή παρά τη χρησιμοποιούν ως τέχνασμα ελέγχου της ορθότητας των
λύσεών τους σε μια εξίσωση. Αποδεικνύεται όμως πως οι μαθητές που
χρησιμοποιούν υποκατάστατα (μέθοδος δοκιμής) πετυχαίνουν την
κατανόηση της ισορροπίας μεταξύ δεξιάς - αριστερής σχέσης της
εξίσωσης και του εξισορροποιητικού ρόλου του σημαδιού της ισότητας.
Η μέθοδος αυτή βοηθά τα παιδιά να έχουν πολύ καλύτερα
αποτελέσματα όταν «μπαίνουν» στην επίσημη μέθοδο λύσης της
εξίσωσης. Ο συνδυασμός διαισθητικών και επίσημων μεθόδων λύσης
εξισώσεων δίνει - σύμφωνα και με διεθνείς μελέτες - καλύτερα
αποτελέσματα στην προσπάθεια κατανόησης της έννοιας της μεταβλητής
και της επίλυσης της πρωτοβάθμιας εξίσωσης.
Οι «επίσημοι» μέθοδοι λύσης της εξίσωσης περιλαμβάνουν :
A. Τη μετάθεση82
82 ΠΟΛΛΑ ΠΑΙΔΙΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΘΕΣΗΣ ΣΑΝ «ΤΥΦΛΟΣΟΥΡΤΗ» ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΠΕΙΘΟΥΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΒΑΘΥΤΕΡΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ.
- 94 -
B. Την παρουσίαση της ίδιας διαδικασίας και στα δύο μέλη της
εξίσωσης83
Όσο για την τελευταία μέθοδο - Παρουσίαση των ίδιων διαδικασιών
και στις δύο πλευρές - οι μαθητές καλούνται να κάνουν τις ίδιες
ενέργειες και στις δύο πλευρές της εξίσωσης προκειμένου να φθάσουν
στο τελικό αποτέλεσμα. Η μέθοδος αυτή έχει μεγαλύτερη απήχηση στους
μαθητές που βλέπουν την εξίσωση σαν ισορροπία ανάμεσα στη δεξιά και
την αριστερή πλευρά - συμμετρική ισορροπία της εξίσωσης -.
ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Οι αλγεβρικές σχέσεις84 μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας
ποικιλία από αναπαραστάσεις, περιλαμβάνοντας συγκεκριμένα
αντικείμενα, εικόνες, πίνακες, αντικείμενα από την καθημερινή ζωή και
τελικά οι μαθητές σχηματίζουν εξισώσεις.
Οι μαθητές στα αρχικά στάδια χρησιμοποιούν σπίρτα, κουτάκια,
τριγωνάκια για να βρουν κάτι που δεν ξέρουν - τον άγνωστο που θα
παρουσιαστεί αργότερα - στις πρώτες τάξεις του αντίστοιχου
αμερικανικού γυμνασίου - με τη μορφή της μεταβλητής και τη
χρησιμοποίηση ενός γράμματος της αγγλικής γλώσσας του X δηλαδή. Να
δώσω όμως ένα παράδειγμα. Κατά την «προαλγεβρική» φάση τα παιδιά
για να λύσουν την εξίσωση X + 2 = 9 αναπαριστούν την εξίσωση με
φλιτζάνια και κέρματα κ.λπ.
Σε επόμενο - πιο δύσκολο στάδιο - για τη λύση της εξίσωσης 2X + 1 =
7, οι μαθητές αφαιρούν (σε πρώτο στάδιο) και από τα δύο μέλη τη
μονάδα για να αποκτήσουν την εξίσωση 2X = 6, και μετά διαιρούν το
κάθε μέλος της εξίσωσης με το 2 για να αποκτήσουν τη λύση και να
βρουν την αριθμητική τιμή του αγνώστου.
Στα αμερικανικά85 Curriculum οι μαθητές σε ότι αφορά στις εξισώσεις
πρώτου βαθμού στο Δημοτικό Σχολείο (Κ - 6) (σε αντιστοιχία με τις 83 ΠΟΛΛΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΟΥΝ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΠΙΟ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΝΩ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΩΡΟΥΝ ΟΤΙ ΔΙΝΕΙ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ, ΜΙΑ ΕΜΦΑΣΗ ΠΟΥ ΛΕΙΠΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΜΕΘΟΔΟ.84 JONES LESLEY, «ALGEBRA IN THE PRIMARY SCHOOL», VOL 21, JUNE 1993.
- 95 -
τελευταίες τάξεις του Ελληνικού Δημοτικού) και τις τάξεις του High
School ( Κ - 12), δηλαδή για τις ηλικίες 10 - 15 θα πρέπει :
Να παρουσιάζουν απλές εξισώσεις με καλούπια.
Να ανακαλύπτουν / συνθέτουν μια εξίσωση με μια μεταβλητή η
οποία αναπαριστά ένα πραγματικό πρόβλημα.
Να λύνουν απλές γραμμικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας
συγκεκριμένα - καθημερινά υλικά ή και πίνακες.
Να σχεδιάζουν και να λύνουν προβλήματα τα οποία αναμιγνύουν
διάφορες ποσότητες με μεταβλητές, εκφράσεις, εξισώσεις κ.λπ.
Να αξιολογούν τις αλγεβρικές εκφράσεις για τις δοσμένες αξίες
της μεταβλητής.
Να λύνουν και να δικαιολογούν, προφορικά ή γραπτά, την αλγεβρική
λύση σε ένα πραγματικό πρόβλημα.
Να γράφουν μια εξίσωση, χρησιμοποιώντας μία ή δύο μεταβλητές
που αναπαριστά ένα πραγματικό πρόβλημα.
Να λύνουν εξισώσεις και ανισότητες με τυπικές και άτυπες
αλγεβρικές μεθόδους.
Να χρησιμοποιούν πίνακες και σχεδιαγράμματα σαν εργαλεία για να
μεταφράζουν εκφράσεις, εξισώσεις και ανισότητες.
Να λύνουν εξισώσεις χρησιμοποιώντας γραφικούς υπολογιστές
όπως και κατάλληλες τεχνικές με χαρτί και μολύβι.
Να σχεδιάζουν προβλήματα με εξισώσεις και να τις λύνουν και με
τη βοήθεια της τεχνολογίας όσο και με τη βοήθεια χαρτιού και μολυβιού
και τέλος
Να κατανοούν τη λογική και τους σκοπούς των αλγεβρικών
διαδικασιών και εννοιών.
85 TIM KURTZ, PROFESSOR OF MATHEMATICS UNIVERSITY OF NEW HAMPSHIRE, U.S.A,
PAPER «MATHEMATICS CURRICULUM FAMEWORK FUNCTIONS, RELATIONS AND