Тема 4. Координатни системиweb.uni-plovdiv.bg/marta/tema-4.pdf · Пример 4.4. Нека n = 2, т. е. A е равнина. Координатната сис-тема

f

Тема 4.Координатни системи

4.1. Координатна система в равнина

Всяка координатна система в равнината (двумерно векторно прос-транство) се състои от фиксирана точка O, наречена координатноначало, и база на равнината {~e1, ~e2} от два неколинеарни вектора.

Оста, колинеарна с O и ~e1, се означава стандартно Ox и се наричаабсцисна ос, а оста, колинеарна с O и ~e2, се означава с Oy исе нарича ординатна ос. Координатната система стандартно сеозначава с Oxy.Нека точка M е от същата равнина. Тогава насочената отсечка−−→OM се нарича радиус-вектор на т. M . Тъй като векторът

−−→OM

е от векторното пространство (равнината) с база {~e1, ~e2}, то то-зи вектор еднозначно се разлага по тази база, т.е. съществуватеднозначно определение числа (x, y), за които

−−→OM = x~e1 + y~e2.

Наредената двойка (x, y) са координатите на−−→OM в базата {~e1, ~e2},

т.е.−−→OM(x, y).

Координатите на радиус-вектора−−→OM(x, y) на точка M относно

базата от координатни вектори {~e1, ~e2} се наричат координатина точката M относно координатната система, генерирана оттези вектори и точка O и записваме M(x, y).

Нека ~e1 =−−→OE1 и ~e2 =

−−→OE2. Тъй като {~e1, ~e2} е база, то

−−→OE1 = ~e1 = 1.~e1 + 0.~e2,

−−→OE2 = ~e2 = 0.~e1 + 1.~e2.

Следователно−−→OE1(1, 0) и

−−→OE2(0, 1), т.е. E1(1, 0) и E2(0, 1) в раз-

глежданата координатна система.

Тъй като−→OO = ~o = 0~e1 + 0~e2, то O(0, 0).

Теорема 4.1. Нека A(x1, y1) и B(x2, y2) в координатната сис-тема Oxy. Тогава

−→AB(x2 − x1, y2 − y1).

Доказателство. Тъй като A(x1, y1) и B(x2, y2), то съответно−→OA(x1, y1) и

−−→OB(x2, y2).

От тъждеството на Шал имаме−→AB =

−−→OB −

−→OA = (x2, y2) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1).

Видове координатни системи:

• Ако координатните вектори са взаимно перпендикулярни, токоординатната система се нарича ортогонална.

• Ако координатните вектори са единични, т.е. |~e1| = |~e2| = 1,то координатната система се нарича нормирана.

• Ако координатните вектори са взаимно перпендикулярни иединични, то координатната система се нарича ортонормира-на.

Ориентация на координатна система в равнината.Нека K = O~e1~e2 е координатна система в равнината и α ∈ (0, π) еъгълът, на който трябва да се завърти векторът ~e1 около точкатаO, за да стане еднопосочно колинеарен с вектора ~e2. Когато товазавъртане е въртене обратно на часовниковата стрелка, коорди-натната система се счита за дясна (положително ориентирана), ав противен случай се нарича за лява (отрицателно ориентирана).

Дясна и лява координатна система в равнинатаДекартовата координатна система Oxy, с която стандартно рабо-тим в равнината, е дясна ортонормирана.

Пример 4.1. В равнината са дадени точките A(2,−3), B(4, 5),C(0, 7). Докажете, че A, B и C са върхове на триъгълник и на-мерете координатите на средата M на отсечката AB и на меди-центъра G на M ABC.

Намираме координатите на две насочени отсечки от трите точки,например−→AB = (4, 5)−(2,−3) = (2, 8),

−→AC = (0, 7)−(2,−3) = (−2, 10).

Тъй като (2, 8) и (−2, 10) не са пропорционални, 2−2 6= 8

10, товекторите

−→AB и

−→AC не са колинеарни. Следователно и точките

A, B и C не са колинеарни (не лежат върху една права) и затоваса върхове на триъгълник.Точката M е средата на отсечката AB, точно когато

−−→OM =

1

2(−→OA +

−−→OB),

където O е произволна точка. Ако O е центърът на координат-ната система, то горното равенство е в сила за координатите на

трите точки. Следователно

M =1

2(A + B) =

1

2[(2,−3) + (4, 5)] = (3, 1).

Точката G е медицентър на M ABC, точно когато−−→OM =

1

3(−→OA +

−−→OB +

−→OC),

където O е произволна точка. Ако O е центърът на координат-ната система, то горното равенство е в сила за координатите начетирите точки. Следователно

M =1

3(A + B + C) =

1

3[(2,−3) + (4, 5) + (0, 7)] = (2, 3).

Пример 4.2. В равнината са дадени точките A(2,−3), B(4, 5),C(0, 7). Намерете точка D от равнината, такава че фигурата ABCDда бъде успоредник и намерете координатите на пресечната точкана диагоналите му.

Нека неизвестната точка D(x, y). Едно необходимо и достатъчноусловие за ABCD да бъде успоредник е

−→AB =

−−→DC. Пресмятаме

−→AB = (2, 8),

−−→DC = (0, 7) − (x, y) = (−x, 7 − y).

Тогава−→AB =

−−→DC, точно когато∣∣∣∣−x = 2

7 − y = 8,

откъдето намираме x = −2, y = −1. Следователно D(−2,−1).Тъй като установихме, че точките A, B и C са неколинеарни, точетирите точки не лежат върху една права и фигурата е успоред-ник. Пресечната точка на диагоналите AC и BD на успоредникаABCD е средата на AC и BD. Използвайки формулата за средана отсечка, намираме E(1, 2).

Пример 4.3. Нека ABCD е успоредник. Точките M и N са сре-дите съответно на BC и CD, а т. P е такава, че фигурата AMPNсъщо е успоредник. Докажете, че т. A, C и P са колинеарни.

Нека въведем координатна система в равнината на успоредникас начало т. A и координатни вектори ~e1 =

−→AB и ~e2 =

−−→AD. Следо-

вателно A(0, 0), B(1, 0), D(0, 1). Тъй като ABCD е успоредник,то −→

AC =−→AB +

−−→AD = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1).

Тъй като M е среда на BC, то−−→AM =

1

2

[−→AB +

−→AC

]=

1

2[(1, 0) + (1, 1)] =

(1,

1

2

).

Аналогично, от това че N е средата на CD имаме−−→AN =

1

2

[−−→AD +

−→AC

]=

1

2[(0, 1) + (1, 1)] =

(1

2, 1

).

Отчитайки, че AMPN е успоредник, имаме−→AP =

−−→AM +

−−→AN =

(3

2,3

2

).

Следователно−→AP = 3

2(1, 1) = 32−→AC, което означава, че точките

A, C и P са колинеарни.

4.2. Координатна система в тримерното пространство

Всяка координатна система в тримерното пространство се състоиот фиксирана точка O, наречена координатно начало, и база напространството {~e1, ~e2, ~e3} от три некомпланарни вектора.

Оста, колинеарна с O и ~e1, се означава стандартно Ox и се наричаабсцисна ос, оста, колинеарна с O и ~e2, се означава с Oy и сенарича ординатна ос, а остта колинеарна с O и ~e3, се означавастандартно O и се нарича апликатна ос. Координатната системастандартно се означава с Oxyz.Координатите на произволна точка M от пространството се де-финират по аналогичен начин. Точката M има координати (x, y, z),т.е. M(x, y, z), точно когато

−−→OM = x~e1 + y~e2 + z~e3.

Нека ~e1 =−−→OE1, ~e2 =

−−→OE2 и ~e3 =

−−→OE3. Тъй като {~e1, ~e2, ~e3} е

база, то −−→OE1 = ~e1 = 1.~e1 + 0.~e2 + 0.~e3,−−→OE2 = ~e2 = 0.~e1 + 1.~e2 + 0.~e3,−−→OE3 = ~e1 = 0.~e1 + 0.~e2 + 1.~e3.

Следователно E1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0) и E3(0, 0, 1) в разглежданатакоординатна система.

Тъй като−→OO = ~o = 0~e1 + 0~e2 + 0~e3, то O(0, 0, 0).

Аналогично се доказва, че ако A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то−→AB(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

Ориентация на координатна система в тримерното пространство.Нека K = O~e1~e2~e3 е координатна система в пространството инаблюдателят е изправен по посока на ~e3. Тогава, ако от глед-на точка на този наблюдател векторът ~e1 трябва да се завъртина ъгъл α ∈ (0, π) в посока, обратна на часовниковата стрелка,за да стане еднопосочно колинеарен на ~e2, то координатната сис-тема се нарича дясна (положително ориентирана). В противенслучай, т.е. ако ~e1 се завърта по часовниковата стрелка, за дастане еднопосочно колинеарен на ~e2, координатната система сенарича лява (отрицателно ориентирана).

Дясна и лява координатна система в равнината

Стандартната координатна система, с която ще работим в три-мерното пространство, ще бъде дясна ортонормирана (декарто-ва).

Пример 4.4. Нека ABCDA1B1C1D1 е паралелепипед и G е ме-дицентърът на M A1BD. Докажете, че точките A, G и C1 саколинеарни.

Нека решим задачата, като въведем координатна система, за ко-ято A е координатното начало, а ~e1 =

−→AB, ~e2 =

−−→AD, ~e3 =

−−→AA1.

Тогава A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1).

Тогава, тъй като G е медицентърът на M A1BD, то−→AG =

1

3(−→AB +

−−→AD +

−−→AA1) =

1

3(1, 1, 1).

За−−→AC1 имаме

−−→AC1 =

−→AC +

−−→CC1 =

−→AB +

−−→AD +

−−→AA1 = (1, 1, 1).

Следователно−→AG = 1

3−−→AC1, което доказва, че двете насочени от-

сечки и следователно трите точки са колинеарни.

Пример 4.5. Даден е успоредник ABCD с пресечна точка надиагоналите AC ∩ BD = P . Въведете координатна система сцентър точката A и намерете координатите на P относно тазисистема.

Координатната система ще се състои от т. A(0, 0) и два линейнонезависими вектора с начало т. A. Такива са например

−→AB и

−−→AD.

Затова можем да положим ~e1 =−→AB и ~e2 =

−−→AD. Координатите на

точките B и D съвпадат с тези на съответните им радиус-вектори.Следователно, B(1, 0), D(0, 1). Известно е, че диагоналът

−→AC =−→

AB+−−→AD = ~e1+~e2 = (1, 0)+(0, 1) = (1, 1), т. е. C(1, 1). Знаем още,

че P е среда на AC, откъдето получаваме−→AP = 1

2−→AC. Същата

зависимост е изпълнена и за съответните координати на двететочки. Така получаваме P

(12,

12

).

Друг избор на координатна система с начало т. A може да бъде,например, с координатни вектори ~e ′1 =

−→AB, ~e ′2 =

−→AC. Относно та-

зи система B(1, 0), а C(0, 1). Тогава от−→AP = 1

2−→AC следва P (0, 1

2).

Пример 4.6. Адитивната цветова система RGB (кубчето на цве-товете).

Литература

1. Д. Мекеров, Н. Начев, Ст. Миховски, Е. Павлов, Линейна ал-гебра и аналитична геометрия, Пловдив, 1997.

2. D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald, Linear algebra and itsapplications, 5th ed. Pearson, 2016.

3. G. Strang, Linear algebra and its applications, 4th ed., NelsonEngineering, 2007, ISBN-13: 978-813-150-172-6.

4. H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Angebra (applicationsversion), 11th ed., Wiley, 2014, ISBN 978-1-118-43441-3.

5. S. Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed., Springer, 2015.

6. K. Singh, Linear Algebra Step by Step, Oxford University Press,2014.

7. C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM,2000.

8. S. J. Leon, Linear Algebra with Applications, 9th ed., Pearson,2015.