This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
(I)جزوة درس انتقال حرارت
:هاسرفصل
·Chapter(1) :مقدمه·Chapter(2) :رسانش·Chapter(3) :رسانش یک بعدي در حالت پایا·Chapter (4) :معادله حرارتی حالت دو بعدي·Chapter(5) :رسانش گذرا·Chapter(6) :جاییجابه·Chapter(7) :جریان خارجی·Chapter(8) :جریان داخلی·Chapter(11) :هاي حرارتیمبدل
مدار گرمایی معادل) ب(توزیع دما ) الف(انتقال گرما در دیوار مسطح
AhR
kAlR
AhR
232
11
11=== ,,
321 RRRRtot += + Series Resistances
...=-
=+-
=-
= ¥¥¥
2
21
21
2121
RTT
RRTT
RTTq
totx&
Parallel Resistance:
2121 R
TRTqqqq D+
D=+= &&&&
Chemie.ir
18
21
111RRR
+=
:دیوار مرکب
Chemie.ir
19
مدار گرمایی معادل براي دیوار مرکب سري
5432121 RRRRRR
RTTq t
t
++++=-
= ¥¥&
432
41
RRRTTq++
-=&
Themal contact Resistance: مقاومت حرارتی سطح تماس
افت دما بر اثر مقاومت تماسی گرمایی
Chemie.ir
20
:مقاومت سطح تماس به عوامل زیر وابسته است
نوع سیال -1
زبري سطح -2
فشار -3
.شوددما بیشتر میهرچه زبري بیشتر باشد افت*
ماس سیالی وجود دارد و خـود سـیال مقاومـت دارد در حالت واقعی چون بین دو سطح ت) 1
سیال بیشـتر اسـت kجامد همیشه از kکند و از طرف دیگر بنابراین انتقال حرارت را کم می
.شوددر نتیجه انتقال حرارت کمتر می
.شودچون مقاومت بیشتر می. شودهرچه زبري دو سطح بیشتر باشد افت دما بیشتر می) 2
مقاومت بیشتر . (شودبیشتر میدماکمتري باشد افت kو سطح داراي هر چه سیال بین د) 3
.شودو افت دما بیشتر می) است
شود در نتیجـه افـت دمـا بیشـتر کمتر میConvectionهرچه فشار سیال کمتر شود، ) 4
.دشومی
HeHHecHc KkRR >Û< 22 ,,
oilcAircoilAir RRkk ,, >Û<
ر دارد اکسیژن باشد افت دما بیشتر وجود دارد یـا اگر سیال که بین فصل مشترك قرا: سوال
نیتروژن؟
:تابع توزیع دما در دیوار با سطح متغیر
بدون منبع حرارتی ) 1: فرضیات
حالت پایدار) 2
Chemie.ir
21
.کاري شده استدور آن عایق) 3
:نویسیمبراي المان قانون اول را می
dtdEEEE outGin =-+ &&&
=¯=Þ= + A
qqconstontqqq xxdxxx
&&&& '',
¯¶¶
-=¯xTkq ''
kdTAdq
dxdTkAq xx
x -=Þ-=.&
&
axddAkdTAdq T
T
x
xxx ==-=Þ òò ,,.
4
2
1
p&
22
2
2
1
1
4xaA
xd
xd
xd p
=Þ==
( )121 2
2
4 TTkxdxaq
x
xx --=Þ òp/&
11
2
114 TTxxak
qx -=÷÷ø
öççè
æ-Þ
p&
÷÷ø
öççè
æ--+=Þ
121
114xxak
qTT x
p& تابع توزیع دما
:Heat condaction in cylinder.شود، شیب کم میxبا افزایش *
:هاانتقال حرارت در استوانهمعادلۀ
Chemie.ir
22
Assumption: one-dimensional; no Heat Generation, steads stotes
.انتقال حرارت فقط در راستاي شعاع است
جایی در سطحاستوانه توي خالی با شرایط جابه
tT
kq
rTr
rrG
¶¶
=+÷øö
çèæ
¶¶
¶¶
a11 &
drr
CdTcfedrdTr
drdTr
drd
r10
1=Þ=Þ=÷
øö
çèæÞ
( ) 21 CCrT +=Þ ln
توزیـع . (کنداي براساس شعاع به شکل تابع لگاریتمی تغییر میدر سیستمهاي استوانهدما*
).دما لگاریتمی است
A :مساحت جانبی استوانه:
( ) tconsqdrdTrlk
drdTkAqr tan=Þ-=-= && p2 .نرخ انتقال حرارت ثابت است
.شودیا افزایش شعاع شار حرارتی کم می*
:شار حرارتی ®=Aqq r
r&'' ثابت نیست
.شودبا افزایش شعاع، گرادیان دمایی کم می*
Chemie.ir
23
corstontdrdTr =
) کاهش(drdT
Þ افزایشr
:دو شرط مرزي داریمrثابت داریم پس نیاز براي حل معادله توزیع دما دو
on
i
oo
i rl
rrTTC
riroTTC
CrCTTCrCTT
CB
÷÷ø
öççè
æ-
=-
=Þîíì
+Þ=+Þ=
ln,
lnlnln
:. 122
121
212
211
توزیع دما ( ) =
÷÷ø
öççè
æ-
-+
÷÷ø
öççè
æ-
=Þ ro
rrTTTr
rrTTrT
i
o
i
o
lnln
lnln
122
12
÷÷ø
öççè
æ
÷÷ø
öççè
æ-
+=o
i
o rr
rrTTT ln
ln
122
( )
klrrTT
rrr
TTrlkq
i
o
i
or
p
p
2
2 2112
÷÷ø
öççè
æ-
=
úû
ùêë
é÷÷ø
öççè
æ-
-=Þlnln
&
:استفاده از قانون فوریه: روش دوم
:راه دوم ( )drdTrlk
drdTkAqr p2-=-=&
( )ò ò -=÷÷ø
öççè
æÞ-=
o
i
r
r
T
Ti
orr TTlk
rrqldTk
rdrq 2
12122 pp ln&&
( )
÷÷ø
öççè
æ-
=Þ
i
or
rr
TTlkqln
212 p&
Chemie.ir
24
( )cylinderForlk
rr
R i
o
condt
ln
, p2
÷÷ø
öççè
æ
=
): ايبررسی مقاومت حرارتی در سیستم استوانه* )oi ¥¥ ,
فرضی 0=Radiation
ايتوزیع دما براي دیواره مرکب استوانه
( )lrhAhRR
iiiiConv p2
111 ===
( )lrhAhklrr
RRoooo
i
o
cond pp 211
22 ==÷÷ø
öççè
æ
==ln
( )lrhAhRR
ooooconv p2
113 ===
:multy layers Cylinder: هاي چندالیهاستوانه
Chemie.ir
25
ايتوزیع دما براي دیواره مرکب استوانه
( ) lkrr
RRlrhAh
RR condiiii
conv1
1
2
21 2211
pp
÷÷ø
öççè
æ
=====ln
,
( ) ( )lkRrRR
lkrrRR condcond
3
344
2
233 22 pp
/ln,/ln====
( )lrhAhRR
oooconv
45 2
11p
===
.......=++
-=
-=Þ++++= ¥¥
432
4154321 RRR
TTR
TTqRRRRRR
total
irt
o&
Heat conduction in sphere:
:معادلۀ انتقال حرارت در کره*
Chemie.ir
26
کنیمفقط روش دوم را بررسی می: دو روش وجود دارد
Assumption: one-Dimensional , steady state, no Heat Generation
:یاتفرض
بدون منبع حرارتی
شرایط پایدار
یک بعدي
نمی توانیم حرارت انتقال داشته باشیم، انتقال حرارت در جهت شعاع qدر راستاي *.)اگر دور بزنیم کاهش و یا افزایش دما وجود ندارد. (داریم
خطوط شعاع ثابت ، خطوط دما ثابت نیز هستند*
در نتیجه هر سطح شعاع ثابت یک . تدافانتقال حرارت فقط در راستاي شعاع اتفاق می*
.سطح دما ثابت است
First law of thermo:
drrrvcoutQin qqtEEEE +=Þ¶¶
=-+ &&&&&.
tconsqrqdr
rrqqq r
rrr tan=Þ=
¶¶
Þ¶¶
+=Þ &&&
&& 0
¯=Aqq r
r&''
.ثابت است) ياهکر-اياستوانه-تخت(نرخ انتقال حرارت در سه نوع دویواره *
Chemie.ir
27
و اي و کروي ثابت نیستولی در دیوارة استوانهشار حرارتی فقط در دیوار تخت ثابت است *
.شودبا افزایش شعاع کم می
÷در دیوارة کروي گرادیان دمایی *øö
çèæ
drdTشودبا افزایش شعاع کم می.
:حل از راه قانون فوریه ( ) ctedrdTrk
drdTkAqr =-=-= 24p&
( )212 411
42
1
TTkrr
qdTrdrq
oir
T
T
r
r ro
i-=÷÷
ø
öççè
æ-Þ-= òò pp && &
÷øöç
èæ -
-=Þ
oi
r
rr
TTq1121&
( ) 21
4
11
Cr
CrTspherefork
rrR o
i
condt +=-
=Þ , p
:توزیع دما
:سوال
شار حرارتی در استوانه کمتر است یا در کروي؟ *
کاهش شیب در استوانه بیشتر است یا در کره ؟*
www.forati.blogfa.com
Chemie.ir
28
Critical Radius of insulation: شعاع بحرانی عایق
AhR
AklR
KLR
oA
13
2
22
1
11 === ,,
++
-=¯ ¥
321
1
RRRTTqx&
:عایق شعاع بحرانی : صفحه تخت)1
ctehoA
Rconv
KinsARins
cte
cteRconv
L
AKLR
Ah ii
==
=
==
==
1
1
2
1
11
اي انتخاب کنیم که مجموع مقاومتها زیاد شود به گونهباید عایق رادر صفحه تخت*
عایق را بیشتر انتخاب کنیم انتقال حرارت به همان نسبت کم ) ضخامت(هرچه طول
RconvRRconvRtot
RtotToTiq
Rins +++=
-
=¯
1
Chemie.ir
29
lتوانیم فقط میاندکلیۀ مقادیر ثابت(کنیم شود چون مقاومت کل افزایش پیدا میمی
).عایق را تغییردهیم
در صفحۀ تخت شعاع بحرانی عایق نداریم و هرچه ما را بیشتر کنیم مقاومت بیشتر *.شودمی
در دیواره ي تخت هر چه ضخامت عایق را بیشتر کنیم نرخ انتقال حرارت کمتر*. می شود
پیدا می کند ولی مقاومت در دیواره ي تخت با افزایش عایق مقاومت هدایتی افزایش * .جابه جایی کاهش پیدا می کند
:ايدیوارة استوانه*
Chemie.ir
30
==¯
÷øöç
èæ
==lrhAh
Rlk
rr
RRooooin
o
cond pp 211
2 21
1 ,ln
21
1
RRTTq o
r +-
= ¥&
گاهی اوقات کاهش مقاومت جابه جایی به افزایش مقاومت هدایتی غلبه می کند که در * می شود بلکه به افزایش انتقال این حالت نه تنها افزایش عایق باعث کاهش انتقال حرارت ن
.حرارت نیز می انجامددر نتیجه باید . شودجایی کم ولی مقاومت رسانش زیاد میبا افزایش عایق مقاومت جابه*
:شعاع بهینه را بیابیم:خواهیم شعاع بهینه را پیدا کنیممی
¯=
=
==
==
hoAo
lkinsr
roLn
Ctelk
Ln
ctehiA
RL
R
rr
R
R
1
2
)1
(
2
)(
1
1
3
2
1
2
1
p
p
Chemie.ir
31
:پیدا کردن شعاع بحرانی
.انتقال حرارت را داریم maxن شعاع شعاعی است که در آ
اضـافه کـردن rcrاضافه کردن عایق باعث افزایش انتقال حـرارت و بعـد از rcrقبل از
.عایق سبب کاهش انتقال حرارت می شود
00
2
1
1
2
1
)(
1
)(
1
1
2
1
2
12
1
02
12
1
0
0
0
21
2
)(
2
)1(
214321
2
2
3
2
22
332
32
2
2
2
1
1
2
ffro
ho
hohol
rlk
Rtot
lkins
kinslLinskho
kinshoho
kins
lrohokinslroroRtot
hkinsrcr
holrolkinsro
lroholkinsro
roRtot
roRtot
roq
lroholkins
roLnrirLn
khiRRRRRtot
RtotToTiq
kins
¶
=+-
=+-
=+-=¶
=®=
=-Þ=¶¶
=¶¶
=¶¶
+++=+++==-
=
¶
¶
p
ppp
pp
pp
pp
pppp
p
بودن یکبار دیگر مشتق می گیریم minوmaxبرای پبدا کردن
Chemie.ir
32
21 RRRt +=
باید 00 ==o
tot
o
r
drdRیا
drqd &
Þ=-
+Þ=+=Þ 02
12
1
0 221ooin
otot lrhlk
rdrodRtRRR
pp,
011
21
=úû
ùêë
é-
ooino rhklr p
o
incro
ooin hkr
rhk=Þ== 0
11
2
2
2
2322
2
2
2
2
122
21
0
o
in
o
inoooino
t
hkl
hklrhlrdr
Rd
ppppp
+-=+-Þ=
2
2
2
1
o
inh
klp=
:شعاع بحرانی کره
hokrcr 2
=
مم در نتیجـه انتقـال حـرارت ینـ پس شعاع بحرانی شعاعی اسـت کـه در آن مقاومـت مـی *
.ماکزیمم است
.کم باشدohو . ارد که قطر لوله کم باشدشعاع بحرانی عایق براي مسائلی اهمیت د*
Chemie.ir
33
اگـر در . با توجه به نمودار براي افزودن عایق فقط باید در ناحیۀ مشخص شـده اقـدام کـرد *
crror .است&baseqانتقال حرارت به اندازة همان . عایق اضافه کنیم<
:سوال
انی براي لوله هاي با شعاع کم داراي اهمیت است یا شعاع هاي زیاد؟ شعاع بحر*
هستیم پس با اضافه کـردن عـایق انتقـال rcrدر لوله هاي با شعاع زیاد ماهواره بعد از
. حرارت کم می شود ولی شعاع بحرانی براي لوله هاي با شعاع کم داراي اهمیت است
*rcrدر محیط هایی کهh اهمیت است یا زیاد است باh کم است ؟ در جاهایی کـه
h کم است باید دقت کنیم و داراي اهمیت است چون ضریب انتقال حرارت کم است و
دلیل باال
دیوار تختاستوانهکروي
0)(1 22 =
drdT
drd rr
0)(1=
drdTr
drd
r02
2
=dxd T :معادله
r
rT CC
1
21 +=cc rT 21ln +=
لگاریتمی
T=C1X+C2
خطی
توزیع دما:
krori
p4
11-
lkriro
p2
)ln(KAL :مقاومت حرارتی
hKins2
hKins- :شعاع بحرانی
Chemie.ir
34
cm10قطـر لولـه . اسـت Co15ف لولـه داریم دماي هواي اطـرا m50اي به طول لوله: مسئله
ضـریب . اسـت Co150دماي سطح دیرون لولـه . در داخل لوله نیز بخار آب جریان دارد. است
cmwجایی بیرون لوله انتقال حرارت جابه ./ .است220
.ن عایق بدست آوریدنرخ انتقال حرارت را بدو) الف
را بـه دسـت . اسـتفاده شـود k=/0350شعاع بحرانی عایق را در صورتی که از عایقی بـا ) ب
.آورید
.شودجویی میباشد چه مقدار از اتالف انرژي صرفهmm69اگر شعاع بیرونی با عایق برابر ) ج
( ) ( )( )¥¥ -´=-= TTDlcmwTTAhq ssobare p
.220&
( )( ) wqbare 4241215150501020 =-´´´= /p&
mmhkr
o
incr 7511000
200350 ..
=´==
شعاع بحرانی عایق از شعاع بیرون بدون عایق لوله کمتر اسـت پـس در ایـن در این مسئله *
مسئله شعاع بحرانی مطرح نیست یعنی همیشه اضـافه کـردن عـایق انتقـال حـرارت را کـم
.کندمی
rforcylindehkinr
ocr := spherefor
hkinr
ocr :2=
lrhAhRR
lkrr
RRoooo
convin
o
cond pp 211
2 21
1 ===÷÷ø
öççè
æ
== ,ln
Chemie.ir
35
( ) 50102692201
200350250
26915150
321
02 ´´´´
+
´´
÷øö
çèæ-
=+-
= -¥
.
.
.ln p
p
RRTTq s&
4241242412 ==Þ bareqwq && ,
.ایمجویی کردهده برابر با اضافه کردن عایق از افت حرارت صرفه*
:جاییبا توجه به انواع انتقال حرارت جابهhتغییرات *
Type of convection h
îíì
--
100010
252
liquidsgass
ofconvectionFree
îíì
--
2000050
25025
liquidsgasses
convectionForced
1000002500 -condensionBoiling &
Chemie.ir
36
Heat conduction with internal Heat (Energy) Generation
:انتقال حرارت با وجود منبع حرارتی
ïî
ïí
ìÞ
EnergynaclerenergyThermalHeatEnergychemical
EnergyElectical
VEqRIE G
Gg
&&& == 2
eunit volumperGenerationHeatof: RateqQ& نرخ انتقال حرارت بر واحد حجم
، مرتبه دو ، خطی ، همگن) pde(معادله دیفرانسل با مشتقات جزیی
).متغیر وابسته(بدست آوردن توزیع دما : دف از حل ه
.حل با استفاده از روش جدا سازي متغیرها
شار حرارتی از قانون فوریه : ) توزیع دما(
)( ijYTli
XTkqqq
ijilx ¶¶
+¶¶
-=¢¢+¢¢=¢¢
. حل با استفاده از روش جداسازي متغیرها
Y
W
T1
X
T1 L
T2
T1
Chemie.ir
57
ز آن استفاده کنیم و باید شـرایط مـرزي را همگـن شرایط مرزي همگن نیست ونمی توانیم ا
). شرایط مرزي را همگن می کنیم(با یک تغییر متغیر . کنیم تا بتوانیم از آنها استفاده کنیم
êëé =
=
TT
SBYOT
YLT
1
1
),(
),(.
TTTT
12
1
-
-=q
êëé =
=
0),(
0),(.
YO
YLSB
q
q
êêê
ë
é
-
==¢¢
-=¢¢
Þ=¢¢+¢¢Þ +o
CteYY
XXXYYX
ll
2
20
022 =+¢¢Þ-=¢¢
xxxx ll
,.......4,1
.
sincos)(
10)0(0),0(
0sinsin20)(0),0(
21
=
êê
ë
é
+=
==Þ=
=Þ=Þ=Þ=Þ=
--
n
CB
xxxX
CXy
lnn
nnlllCLXY
cc
q
llllq
ll
T(X,O)=T1
T(X,W)=T2
0),(
1),(
=
=
OX
WX
q
q
ll itt ±=Þ=+ 022
Chemie.ir
58
)sin()sinh()()(
)sinh(32)(
sinh32)2
(32)(
34430
0)0()(0)0,(
43)(
0
,.....4,1
sin2)(
22
xlnny
lnnbyYxX
yl
nnCyY
yCCyy
CCCC
yxXx
CCyY
yyyy
n
xlnnCxX
ee
ee
yy
yy
--
-
-
-
-
®=
=
=-
=
-==+=
===
+=
=-=¢¢Þ-=¢¢
-
=
=
qq
l
q
ll
ll
ll
êë
é
+=Þ=¢Þ=¢¢Þ=¢¢
==®=
==Þ==
=Þ==Þ==
-
=
-
--
å
å
20)0()()0(0),0(
0110)()()(0),(
1
.
21)0(100
)sin()sinh(
1),()sin()sinh(),(
CXYYXY
CLCLXYYLXYL
n
n
SB
CXCXCxxxx
xlnny
lnnbn
wxxlnny
lnnyx b
q
q
qq
ll ±=Þ=+ tt 022
Chemie.ir
59
0)(2
.
21)(
0
0
0210)0(0),0(
210)(0),(
22
22
=+=
êëé
+=
±Þ=-
=-¢¢Þ+=¢¢
-
=+Þ=Þ=
+Þ=Þ=
-
-
-
ee
ee
t
lL
CCXy
CCLXYL
XX
Cee
SB
CCxX
t
XXX
X
ll
ll
q
q
ll
ll
ll
ll
{
ee
TXX
NCXYYXY
CLCLXYYLXYL
CCXX
t
XXX
X
CB
CXCxxx
xXx
ll
q
q
l
q
l
ll
-
==Þ=
=Þ==Þ=
+=
±=Þ=-
=-¢¢Þ+=¢¢
==¢=¢¢Þ=¢¢
Þ=Þ=
21)(
0
0
.
2100
00)(
22
22
20)0()()0(0),0(
0110)()()(0),(
1
ell 02101
==Þ¹- CCe ll
Chemie.ir
60
îíì =+Þ=
=+-Þ=+ÞÞ=--
0210),0(
0)(2021)(0),(
CCy
CCCLXyl eeee lLLL
q
qllll
02101
==Þ¹- CCe ll
1
eLl
îíì
+=
±=Þ=+Þ=+¢¢Þ-=¢¢
=Þ=
===Þ=
îíìÞ==Þ=
=
010)0(0),0(
20)(0),0(
2222
02.
21)(
00
00)(
CXY
LSINCLXYC
LSIN
CB
XSINCXCOSCxx
iTXXXX
XX
t
q
pql
ll
l
q
lll
Chemie.ir
61
)sin()sinh(),(
)sin()sinh()()(
)(32
32)2
(32)(
34430
0)0()0()(0)0,(
43)(
0
0
,....3,2,12)(
,......3,2,1
)()(
22
22
xl
nyl
nyx
xl
nyl
nbyYxX
yl
nSINhC
ySINhCCyY
CCCC
yYxXx
CCYY
T
yyyy
hxl
hSINCxx
nl
h
yYxcXhL
b
ee
ee
t
n
yy
Yy
ppq
ppqq
p
l
q
l
p
pl
pl
ll
ll
l
ll
å=Þ
=Þ=
=
=-
=
-=Þ+=
=Þ==
+=
±=Þ=-
=-¢¢Þ-=¢¢
-
=®
=®=
=Þ
-
-
òò
å
-=´=
=
=
==¥
=
ll
n
nN
nn
xl
n
lnl
xdxl
nl
wl
nxF
xl
nwl
nwx
B
bB
b
00
1
cos12sin12
)sinh(
1)(
)sin()sinh(1),(
pp
p
p
ppq
Chemie.ir
62
TTT
bb
T
xl
n
wl
nl
n
nyx
wl
nnnw
ln
n
n
n
nn
n
12
1
1
1
1
)sin(.)sinh(
)sinh((12),(
)sinh(
)(1(2)(1(2)sinh(
)1
)11
-
-=
+=
+=Þ-=
å-
--
¥
=
+
+
q
pp
p
pq
pppp
.حل میشوندعددي و با روشاین مثایل حل تحلیلی ندارند
:)روش عددي براي حل معادله هدایت(روش حل معادله دو بعدي:Finite Differenceروش اختالف محدود
هر چه تعداد نواحی در این روش دماي اطراف ناحیه مورد نظر را ثابت در نظر میگیریم و.ولی در عوض معادالت بیشتري بدست می آیدبیشتر باشد دقت معادله نیز باالتر خواهد بود
y.n
x,m
m-n
Chemie.ir
63
:اولروش 02
2
2
2
=¶¶
+¶¶
YT
XT
XTT
XT nmnm
mm D
-=÷
øö
¶¶ -
-
,1,
21
XT
XT nmnm
mm D
-=÷
øö
¶¶ +
+
,,1
21
2
X
XT
XT
XT nmnm
nm D
÷øö
¶¶
-÷øö
¶¶
=÷÷ø
ö¶¶ -+ ,2
1,21
,2
2
XDفاکتورX
XTT
XTT
XT
nmnmnmnm
nm DD
--
D
-
=÷÷ø
ö¶¶
-+ ,1,2
,,1
,2
2
2,,1,1 2
XTTT nmnmnm
D
-+= -+
y
yT
yT
yT nmnm
nm D
÷÷ø
ö¶¶
-÷÷ø
ö¶¶
=÷÷ø
ö¶¶ -+ 2
1,21,
,2
2
yTT
yT nmnm
nm D
-=÷÷
ø
ö¶¶ +
+
,1,
21,
yTT
yT nmnm
nm D
--=÷÷
ø
ö¶¶
-
1,1,
21,
2,1,1,
,2
2
)(2
yTTT
yT nmnmnm
nm D
-+=÷÷
ø
ö¶¶ ++
Chemie.ir
64
4
04
0
1,1,,1,1,
,1,1,,1,1
2
2
2
-+-+
-+-+
+++=
=-+++D=D
=¶¶
+¶¶
nmnmnmnmnm
nmnmnmnmnm
TTTTT
TTTTTyXifyT
XT
.4تقسیم برگره برابر با دماي گره هاي اطراف 1دماي
:روش دوم
)حالت خاص حجم محدود(روش موازنه انرژي
:فرضیات
.با استفاده از قانون اول ترمودینامیک است*
.در این روش منبع حرارتی هم میتوان در نظر گرفت*
.داشتن انرژي خروجی فرض درستی استدر این روش فرض ن*
.yتغییرات را برابر xدر این روش المان بعد سوم را صفر در نظر میگیریم و تغییرات *
*kرا ثابت در نظر میگیریم.
Chemie.ir
65
:مثال
XTT
yKq nmnm
D
-D= - ,,1
1 )(
yTTXKq nmnm
D
-D= - ,1,
2 )2
(
yTTXKq nmnm
D
-D= + ,1,
3 )2
(
0)2(2
)()(2
1
)(
,1,1,,1
,4
=D
--D
+¥D
+++
-D=
-+-
¥
KxhT
KXq
TK
xhTTT
TTyhq
nmG
nmnmnm
nm
:مثال
m,n+1
3q
4q
m,nm-1,n
1q
¥Tوhm,n-1
2q
Chemie.ir
66
XTT
ykq nmnm
D
-D= - ,,1
1
0.)3()(21
)(2
))(12
(
2
2
,1,,11,,1
,,5
,1,3
,,12
,1,2
=¥++-+++
-D
+-´D
=
D
-D=
D
-D=
D
-D=
-++-
¥¥
-
=
+
TBiBiTTTTT
TTyhTTxhq
yTTXKq
XTTyKq
yTT
Xkq
nmnmnmnmnm
nmnm
nmnm
nmnm
nmnm
:مثال
m,n+1
q4
q2
q1
m+1,nm,nm-1,nq
5
hT¥q3
m,n-1
KXhBi D
=.
q3
¥Th,
q2
1q
T1
2T
Chemie.ir
67
?1
40
7070
,4
200
1
0
03
02
==D=D
=
=
=
=
=
¥
TcmyX
CT
CTCTkm
wk
h
cTT
KXhBi
TK
XhK
XhTTT
TTXhq
XTTyKq
yTTXKq
*645/2
1600405/0)5/02(7070
5/04
01/0200
.)2(
))(12
(
))(2
(
))(2
(
11
132
13
132
121
==Þ=´++-+
=´
=D
=
¥D
+D
+-+
-¥´D
=
D-D
=
D-D
=
Chemie.ir
68
Chapter 5
رارسانش گذ:فصل پنجم
2
2
2
2
2
22
.
2 1
zT
yT
xTT
tT
kqT
¶¶
+¶¶
+¶¶
=Ñ
¶¶
=+Ña
Assumption : One Dimensional- Steady state – No heat generation
: PDE EquationtT
xT
¶¶
=¶¶
a1
2
2
Initial Condition T(x,0) =f(x)
T(0,t)
Boundary condition :
T(L,t)=0
T(x,t)=XnT(x)
2l+
0'
1"'1TX" ==Þ=TT
XXXT aa
2l-
.حرارتی فشرده استفاده می شود جهت حل مسله از روش .تغییر دما به صورت یکنواخت انجام می شود :فرض اول
.باید جسم کوچک فرض شود .12.Kجسم زیاد باشد.3.h سیال حاوي جسم کمتر باشد .
)())((
¯¯
=¯K
LhBi
Chemie.ir
69
:قانون اول اصل بقاي انرژي
vcoutGin tEEEE .¶¶
=-+ &&&
vcout tEE .¶¶
=- &
mvtTvCTThA p =¶¶
=- ¥ rr)(
vcoutGin tEEEE .¶¶
=-+ &&&
dtdT
dtdTT =Þ-= ¥qq
dtvChAd
vChA
dtd t
pp i
òò -=Þ-=0 rq
qqr
q q
q
i
i
TTt
TT
==
=-= ¥
0
qq
( )
).exp(
.
ln
0
2000
0
FBTTTT
Ltff
khLt
CLhfB
eTTTT
kA
Vh
khLB
eTTTTe
tvChA
ii
c
c
pci
fB
i
ci
tvChA
i
tvChA
i
pi
i
pp
-=--
=Þ==-
=--
Þ==
=--
Þ=
-=
¥
¥
-
¥
¥
÷÷ø
öççè
æ-
¥
¥÷÷ø
öççè
æ-
ar
qq
rqq
rr
:مثال
گـرم شـده بـا فـرو C0850ساچمه هاي فوالدي ضدزنگ ها به طور یکنواخت تا دماي
و ضریب جابـه جـایی 20mmدرجه خنک می شد قطر ساچمه ها 40بردن در روغن
برسد مـدت C0100اگر سرمایش تا زمانی ادامه یابد تا دماي سطح ساچمه به1000
.زمان را حساب کنید
Chemie.ir
70
CTKm
Wh
CT
01
2
0
100
1000
40
=
=
=¥
ز جدول ا l =7900 3mkg
®cp,l مربوط به جسم جامد Ckkg
JCP .477=
1-جدول الف
SecTt
Ln
RR
RVAS
Tkkgmm
kgW
e km
95/32079/0)810
60(
3
344
.47701/07900
10004085040100
3
2
3
2
=Þ-=
Þ
===
´¶´´
-=
--
p
p
Chemie.ir
71
جاییانتقال حرارت جابه: فصل ششم
Chapter 6:Introduction of convection (fundamental of converection)
( ) ( )¥¥ -=Þ-= TThAqTThdq sss''
*h خواص سیال(به پارامترهاي زیر بستگی دارد(
îíì
Geometrysurfacep),cp,(k,proprtios mfluid
h
( ) ( ) ( )òò ¥¥¥- -=-== TThAhdATTdATThq sssAssSs
òò ==l
As sS
hdxl
hhdAA
h0
11
(the velocity Boundary Layer):الیه مرزي سرعت
تحـت تـأثیر اصـطکاك سـطح اسـت را الیـۀ مـرزي الیه نازکی اطراف سطح موردنظر کـه *
جریان در الیـۀ . در واقع قسمتی که سرعت در آن از سرعت سطح آزاد کمتر است. گویندمی
.مرزي، جریان ویسکوز و خارج آن جریان غیرویسکوز است
The thermal Boundary Layer:الیۀ مرزي گرمایی
Chemie.ir
72
9902
.=--
¥ TTTT S
. بیشتر استturbulentمرزي در قسمت رشد الیۀ*
Chemie.ir
73
vxUxpu ¥¥ ==
mRe
( )plateflatforRe 5105´=cril
هر چه زبري سطح بیشتر باشد رینولـدز . رینولدز بحرانی به زبري سطح خیلی وابسته است*
.شودیعنی جریان سریعتر بحرانی می. بحرانی کمتر است
براي ما مهم است ضریب اصطکاك است چون با داشتن پارامتري که در الیه مرزي سرعت*
. ضریب اصطکاك می توانیم برشی را حساب کنیم
. و با داشتن تنش برشی نیروي مقاومت سیال اصطکاك را بدست می آوریم
2
21 PV
PCF =
(h)در الیۀ مرزي حرارت پارامتر کلیدي ضریب حرارت است *
xا افزایش بhنمودار تغییرات *
Chemie.ir
74
:الیۀ اول ''''convecond qq =
( )¥-=¶¶
-Þ TThyTk s
¥
=
-¶¶
-=
TTyTk
hs
y 0
رزي صفر است در نتیجه مدر ابتداي سطح ضخامت الیۀ ) 1yT¶اندازه بزرگـی دارد ولـی بـا ¶
تیجه تغییرات شود در نرزي بیشتر میمپیش رفتن در جهت ضخامت الیۀyT¶کمتر اسـت و ¶
. ناگهانی نیست
چون تغییرات بسیار مغشوش است در نتیجه انتقال حرارت بیشتر Turbuleatدر ناحیۀ ) 2
Turbulentناحیه hهمیشه مقدار (هاي پایین به باال ها از الیهبه علت انتقال مولکول. است
.ر استبیشتluminerناحیۀ hاز مقدار
Chemie.ir
75
.شودبحث نمیTransitionدر مورد ناحیۀ ) 3
براي جریان روي سطح همیشه الیۀ مرزي سرعت وجـود دارد ولـی در یـک جریـان روي ) 4
.سطح الیۀ مرزي گرمایی زمانی وجود دارد که بین سطح و سیال اختالف دما داشته باشیم
¯¶¶
¯¢¢¯®
¯¶¶
¯¯®
YT
qh
YU
CFPS
St
S
.رامتر از قسمت لمینار است آCFدر قسمت توربولنت کاهش .5laminarبیشتر از ضریب اصطکاك در قسمت Turbolentضریب اصطکاك در قسمت .6
. است
:(laminar)تغییرات سرعت در قسمت خطی *
0=¶¶
= yyumt
Chemie.ir
76
¶=0مقدار *¶
yyu براي الیۀlaminar کوچکتر از الیۀturbulent در نتیجه چون ایـن است
.استlaminarبیشتر از turbuleitتنش برش . شیب بیشتر است
arlotubulenty yu
yT
minttÞ¶¶
¶¶
=0
:ناحیۀ آشفته از ناحیۀ خطیfCچون کنش برش در سطح آشفته بیشتر است پس *
The Boundary Layer Equationsمعادالت الیۀ مرزي
The conservation of mass Equation) معادلۀ بقاي جرم(
ÞD=-åå vcei mmm .&&&
( ) ( ) ( ) ( )+´úûù
êëé ¶
+=´+´Þ 111 dydxDxpupudxpvdgpu
( ) ( ) ( )01 =
¶¶
+¶
¶Þ´ú
û
ùêë
鶶
++ypv
xpudxdy
ypvpv معادلۀ پیوستگی در دو بعد
( ) ( ) ( )0=
¶¶
+¶
¶+
¶¶
zpw
ypv
xpu معادلۀ پیوستگی در سه بعد
Unsteady:( ) ( ) ( ) ( )
tp
zpw
ypv
xpu
tddpd
m zyxvc ¶
¶=
¶¶
+¶
¶+
¶¶
Þ¶
¶=D .& معادلۀ پیوستگی براي حالت ناپایدار
Chemie.ir
77
( ) ( )tppvDivPV¶¶
==Ñ.r
pwkpvjpuivp ++=r
kz
jy
iDx ¶
¶+
¶¶
+¶
=Ñr
If: p=de (incompressible fluid):
0=¶¶
+¶¶
+¶¶
Þzw
yv
xx ناپذیرمعادلۀ پیوستگی براي سیال تراکم
.براي سیال تراکم ناپذیر دیورژانس سرعت برابر صفر است**
Conservation of momentum Equation: )قانون دوم نیوتن(توم نبقاي موممعادلۀ
ïïî
ïïí
ì
)propertiesconsteact()dy)شرایط(stea-پایدار)
sible)(incompres)l)dimensionaدوبعدي(two)
:
4
3
21
Assumption
yuv
xuu
ty
yv
tx
xu
tuQx ¶
¶+
¶¶
=¶¶
¶¶
+¶¶
¶¶
=¶¶
= ..
( )dyxdxPm .=d
( ) ( )-´úûù
êëé
¶¶
+-´Þ=å 11 dydxxppdypFx max
راکم ناپذیرت
خواص سیال ثابت
Chemie.ir
78
( ) ( ) ( ) dypddxdydzdxdyy
dx x=´+´úû
ùêë
鶶
++´- 11t
tt
÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
yuv
xuu
÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
=+¶¶
-¶¶
Þyuv
xuupX
xp
yt
2
2
yu
yu
yyyu
¶¶
=÷÷ø
öççè
涶
¶¶
=¶¶
Þ¶¶
= mmt
mt
2
2
yu
yu
yxuu
¶¶
=÷÷ø
öççè
涶
¶¶
=¶¶
Þ mm
÷÷ø
öççè
æ+
¶¶
+¶¶
=¶¶
+¶¶
Þ xxp
yu
pyuv
xuu 2
21m
xp
pyuv
yuv
xuux
¶¶
-¶¶
=¶¶
+¶¶
Þ=1
0 2
2
x-direction momentum Equation
directionxyyp
pyvv
yvv
xvu -=
¶¶
-¶¶
=¶¶
+¶¶
01
2
2
0=¶¶
yp
.شوندترم نیروي حجمی فقط در سیاالت که سرعت باالست مانند صورت مدنظر گرفته می*
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )ïî
ïí
ì
====¥=¥¥®
===
¥
¥
0000
0
00000
yvUyuxxvUxuy
xvxuyCB
,,,,,,
,,,. خارج الیه مرزي
xu
yyvU
¶¶
>>¶¶
>>
v,uورزي سـرعت صـفر اسـت یعنـی باشد و در مرز الیـۀ صفر میvدر خارج الیۀ مرزي ) 1
.صفراند
.سرعت صورت باشد0.3گویند که سرعت آن کمتر از جریان تراکم ناپذیر به جریان می) 2
0=¶¶xpplateflatfor
نیروي حجمی
Chemie.ir
79
2
2
yuv
yvv
xuu
¶¶
=¶¶
+¶¶ معادلۀ مومنتوم براي صفر است
3.Conservation of Energy Equation: معادلۀ بقاي انرژي for laminar flow
ïïî
ïïí
ì
propertiesconstract.fluidecompresiblin.
statesteady.lDimensiona.
:
4
3
2
1 two
Assumption
کار، حرارت، جرم: شودانرژي از یک سیستم به شکل با محیط خود مبادله می*
dxQyQE
QE
x
xxxHeatout
xxHeatin
¶+=
=&
&
&&
,,
,,
( ) dxx
dyxTk
dxx
QEE xxHeatoutin ¶
÷øö
çèæ
¶¶
-¶=
¶¶
=-Þ&
&&,
( ) dxdyyTkdy
y
dxyTk
yHeatEE byoutin 2
2
¶¶
-=¶
÷÷ø
öççè
涶
-¶=- ,&&
( ) dxdyxTkxHeatEE byoutin 2
2
¶¶
-=- ,&&
udyepE streamxmassin && =,,
Chemie.ir
80
CpThpekeutpoestrem ==++=
( ) dxx
pudyCpTudypeE stramxmassin ¶¶
+=,,&
( ) ( ) dxdyxuT
dxdTupCCpdxdy
xuTEE pxmassbyoutin ÷
øö
çèæ
¶¶
+-=¶¶-
=- ,,&&
( ) dxdyyvT
yTvpcEE pymassbyoutin ÷÷
ø
öççè
涶
+¶¶
-=- ,.&&
( ) ( ) úû
ùêë
é÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
+¶¶
+¶¶
-=-yv
xuT
yTv
xTudxdypcEE pyxmassbyoutin ,,,
&& )تراکم ناپذیر(معادلۀ پیوستگی
:قانون اول ترمو vcoutGin tEEEE .¶¶
=-+ &&&
( ) ( ) 0=-+- Heatoutinmassoutin EEEE &&&
02
2
2
2
=÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
+úû
ùêë
鶶
+¶¶
-yT
xTkdxdy
yTv
xTudxdypc p
÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
=¶¶
+¶¶
Þ 2
2
2
2
yT
xT
pck
yTv
xTu
p
÷÷ø
öççè
涶
+¶¶
=¶¶
+¶¶
Þ 2
2
2
2
yT
xT
yTv
xTu a
www.forati.blogfa.com
Chemie.ir
81
Assumption: Steady , laminar, incompressible flow, with constant
Properties. 0=¶¶
+¶¶
yv
xu continuity Equation ) معادلۀ پیوستگی(
xp
pyuv
yuv
xuu
¶¶
-¶¶
=¶¶
+¶¶ 1
2
2
momentum E q.
2
2
2
4342132143421Qm
a
npissipatioviscousconductionadvection
yu
Cpv
yT
yTv
xTu ÷÷
ø
öççè
涶
+¶¶
=¶¶
+¶¶ Energy Eq.
درنتیجه فقط تـرم ,vu=0اگر در رابطۀ انرژي سرعت صفر باشد یعنی سیال ساکن باشد ) 1
ماند که بیانگر آن است که انتقال حرارت فقـط ناشـی از رسـانش رسانش در معادله باقی می
.است
For flot plate:îíì =
¶¶
Þ===Þ> ¥ 00x
cteuuvy bd ,
در معادلۀ انرژي از ترم ) 22
÷÷ø
öççè
涶
yu
cu
p
نظـر کـرد کـه داراي تـوان صـرف فقط در مواقعی نمی
تـوان در این معادالت از اتالفات لزجت مـی .هاي با لزجت باال باشیمسرعت صورت و یا روغن
.صرفنظر کرد
توم ساده شده نمعادالت موم( )ï
ïî
ïïí
ì
¶¶
=¶¶
+¶¶
÷øö
çè涶
¶¶
=¶¶
+¶¶
viscousnogligible
plateflatfor:
2
2
2
2
yT
yTv
xTu
xQ
yuv
yuv
xuu
a
و آنگاه نیـروي اصـطکاك دیـواره را حسـاب یتوان تنش برشسرعت مشخص باشد میاگر*
.کرد
ASsys Fyu
.tmt =Þ¶¶
= =0
(T)دما و(v,u)مجهوالت سرعت
Chemie.ir
82
هـاي باشـند و مؤلفـه هاي مومنتوم و پیوستگی قابل حـل مـی اند، معادلهچون خواص ثابت*
توان نمی. ولی تا زمانی که میدان سرعت مشخص نشده باشد(u,v)آیند سرعت به دست می
.وزیع دما را به دست آوردت
تـوان ضـریب انتقـال آیـد مـی با به دست آوردن توزیع دما که از رابطۀ انرژي به دست می*
.را به دست آورد(h)جایی حرارت جابه
:اعداد بدون بعد
عدد رینولدز ( )¥== uV:pbteflatforRem
pVl
L :طول مشخصه
vvl
forceviscousforceinertiaRe ==
شد به این مفهوم است که نیروهـاي ویسـکوز بیشـتر از نیروهـاي اگر عدد رینولدز پایین با*
. کندرینولدز بحرانی، رینولدزي است که جریان را از آرام به آشفته تبدیل می. اینرسی هستند
بزرگ بود به این معنی است که نیروهاي اینرسی بیشـتر از نیروهـاي وبیسـکوزیته Reاگر *
Turbolentمثل ناحیه . است
شـود یعنـی در رینولـدزهاي زبري سطح بیشتر باشد، جریان سـریعتر آشـفته مـی هر چه*
.باشندعدد پرانتل جزء خواص سیال است چون تمام مقادیر رابطۀ آن از خواص سیال می*. تنها عدد بدون بعدي است که به نوع سیال بستگی دارد . است پرانتل جز خواص یک سیال
در نتیجه الیه مرزي حرارتی بزرگتر . یعنی انتقال حرارت سریعتر انجام می شود Pr<1اگر .از الیه مرزي سرعت است
:تل براي مواد مختلفعدد پران
1<<metalliguidpr 0.004-0.03
1»gasspr 0.7-1
1>waterpr 1.3-17
1>>oilspr 50-105
*1»gassprیعنی الیۀ مرزي حرارت و سرعت با یکدیگر برابرند.
ddبراي فلزات مایع * >t
tddها براي روغن* >
و ظرفیت گرمایی باالیی دارند ولی )شوندبخار میزود(ن فلزات مایع داراي فشار بخار پایی*