Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (задачник)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 4 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7

У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин

Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М.,

Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хаки-мов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубо-ва Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государст-

венного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 4 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Изда-тельство УГНТУ, 2007. – 103 с.

Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 4 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», предназначенный для оценки знаний сту-дентов.

Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517.2(07)

ББК 22.161.1 я 7 © Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ 1. Дифференцирование основных элементарных функций. 5 2. Дифференцирование сложной функции. 11 3. Логарифмическое дифференцирование. 25 4. Дифференцирование неявной функции. 32 5. Дифференцирование функций, заданных параметрически. 38 6. Приращение и дифференциал функции. 44 7. Производные и дифференциалы высших порядков. 49 8. Механический и геометрический смысл производной. 55 9. Основные теоремы дифференциального исчисления. 65 10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. 69 11. Возрастание и убывание функции. 77 12. Экстремум функции. 81 13. Наименьшее и наибольшее значения функции. 90 14. Точки перегиба графика функции. Асимптоты. 96 15. Формула Тейлора. 100

Представлены тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дис-циплины математика.

Система нумерации тестовых заданий Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов

(КИМ) по разделу: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» 1. Дифференцирование основных элементарных функций. 2. Дифференцирование сложной функции. 3. Логарифмическое дифференцирование. 4. Дифференцирование неявной функции. 5. Дифференцирование функций, заданных параметрически. 6. Приращение и дифференциал функции. 7. Производные и дифференциалы высших порядков. 8. Механический и геометрический смысл производной. 9. Основные теоремы дифференциального исчисления. 10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. 11. Возрастание и убывание функции. 12. Экстремум функции. 13. Наименьшее и наибольшее значения функции. 14. Точки перегиба графика функции. Асимптоты. 15. Формула Тейлора.

сложность номер темы порядковый номер

1 2 А

5

1. Дифференцирование основных элементарных функций

Номер: 1.1.А Задача: Найти производную функции 5xx2y 12 +−= −− в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 4− 2). 5− 3). 7− 4). 3− 5). 6−

Номер: 1.2.А Задача: Найти производную функции 234 x7,0x3xy −−− ⋅−−= в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 4,6 2). 4− 3). 4,5 4). 4,4 5). 9

Номер: 1.3.А

Задача: Найти значение производной ϕd

dr функции

ϕ+ϕ−ϕ= −− 24,011,032,0r 13 в точке 10 =ϕ . Ответы: 1). 51,0− 2). 63,0− 3). 49,0− 4). 61,0− 5). 53,0−

Номер: 1.4.А

Задача: Найти производную функции 432 x6

x5

x4

x2y −+−= в точке

1x 0 = . Ответы: 1). 15 2). 17 3). 19 4). 21 5). 13

Номер: 1.5.А


x3

x2

x1y −−−= в точке

1x 0 = . Ответы: 1). 25 2). 27 3). 28 4). 26 5). 23

Номер: 1.6.А

Задача: Найти производную функции 43

41

x8x4y ⋅−⋅= в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 3− 2). 1− 3). 2− 4). 5− 5). 4−

Номер: 1.7.А Задача: Найти производную функции 313223 x9x3x4y +−= в точке 1x 0 =

6

Ответы: 1). 9 2). 7 3). 11 4). 3 5). 5

Номер: 1.8.А Задача: Найти производную функции 1x3x6y 3231 +⋅−⋅= −− в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 1− 2). 4 3). 3 4). 2 5). 0

Номер: 1.9.А Задача: Найти производную функции 43 x8x3x6y ⋅−⋅+⋅= в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 5 2). 4 3). 2 4). 1 5). 3

Номер: 1.10.А


x6

x2y −+= в точке

1x 0 = . Ответы: 1). 3 2). 0 3). 4 4). 1 5). 2

Номер: 1.11.А Задача: Найти производную функции xctg5xsin3x4y 5 +−= .

Ответы: 1). xsin

5xcos3x20 24 −− 2). xtg5xcos3x 4 ++

3). xtg5xcos3x20 +− 4). xsin

5x20 2+ 5). xtg5x4 −

Номер: 1.12.А

Задача: Найти производную функции xlog3xlogy 32 += .

Ответы: 1). 0 2). 3ln2lnx

24ln⋅⋅

3). x2

4). x4

5). 1

Номер: 1.13.А

Задача: Найти производную функции xctgxtgxcos7xln5y ++−= .


1xcos

1xsin7x5

22 −++ 2). x2ctg4xsinx5

⋅−−

3). x2ctg4 ⋅ 4). xcos

1xsin7x5 2−+ 5). xtgxctgxsin7x5

++−

7

Номер: 1.14.А Задача: Найти производную функции 6xcos5xsin3y +−= . Ответы: 1). xsin5xcos3 − 2). xsin5xcos3 +

3). xsin5xcos3 +− 4). 6xsin5xcos3 ++ 5). xsin5xcos3 −−

Номер: 1.15.А Задача: Найти производную функции 543e2y xx +⋅−⋅= .

Ответы: 1). 4ln43e2 xx ⋅⋅−⋅ 2). 4ln

43e2x

x ⋅−⋅ 3). 1x1x 4x3ex2 −− ⋅−⋅

4). 12ln12e2 xx −⋅ 5). xx 43e2 ⋅−⋅

Номер: 1.16.А Задача: Найти производную функции 6xln3xarctg2y +⋅−⋅= .

Ответы: 1). x3

x112

2−

−⋅ 2).

x3

x112 2 −+

⋅ 3). x3

x112 −+

⋅

4). x2 e3

x112 ⋅−+

⋅ 5). x3

x12

2−

+

Номер: 1.17.А

Задача: Найти производную функции 8xarcsin382y x +⋅−⋅= .

Ответы: 1). 2

1x

x138x2−

−⋅⋅ − 2). 2

x

x1316ln16−

−⋅

3). 2x

x138ln82+

−⋅⋅ 4). 2

x

x138ln82−

−⋅⋅ 5). x1

38ln82 x

−−⋅⋅

Номер: 1.18.А

Задача: Найти производную функции 2xarccos4xlog3y 2 +⋅−⋅= .

Ответы: 1). 22

x14elog

x13

−−⋅⋅ 2).

2x14

x3

−+

3). 2x14

2lnx3

+−

⋅ 4).

x14elog

x3

2 −+⋅ 5).

2x14

2lnx13

−+

⋅⋅

Номер: 1.19.А

Задача: Найти производную функции 5,0xtg5xarcctg2y +⋅−⋅= .

Ответы: 1). xcos

5x1

222 −+

2). xsin

5x1

222 −+

−

8

3). xcos

5x1

222 −+

− 4). xcos

5xctg2 2−⋅ 5). xcos

5x1

222

+−

Номер: 1.20.А Задача: Найти производную функции 2exarccos3y x +−⋅= .

Ответы: 1). x2

ex1

3−

− 2). x

2e

x13

−−

− 3). 1x

2ex

x13 −⋅−−

−

4). x2 e

x13

−+

5). 1x2 ex

x13 −⋅+

+−

Номер: 1.21.А

Задача: Найти производную функции ( )( )4x72x3y +−= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 4− 2). 3− 3). 5− 4). 6− 5). 2−

Номер: 1.22.А Задача: Найти производную функции ( )( )2x32x45x2y −++= в точ-

ке 0x 0 = . Ответы: 1). 24 2). 21 3). 22 4). 25 5). 20

Номер: 1.23.А Задача: Найти производную функции ( )( )2x7x3x5x2x4y 223 +−+−−= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 29− 2). 33− 3). 28− 4). 31− 5). 27−

Номер: 1.24.А Задача: Найти производную функции ( )( )2x8x53x36y −−−= в точке 0x 0 = Ответы: 1). 31− 2). 39− 3). 37− 4). 33− 5). 41−

Номер: 1.25.А Задача: Найти производную функции ( )( )x3x42x2x37y 34 +−−−=

в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 16 2). 11 3). 17 4). 15 5). 18

Номер: 1.26.А Задача: Найти производную функции xcosx2y ⋅= в точке 0x 0 = .

9

Ответы: 1). 2 2). 5 3). 1 4). 3 5). 4

Номер: 1.27.А Задача: Найти производную функции ( )xcosxsinx3y +⋅= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 6 2). 3 3). 5 4). 2 5). 4

Номер: 1.28.А Задача: Найти производную функции ( ) xarcsin1x2y ⋅+= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 3 2). 0 3). 2 4). 5 5). 1

Номер: 1.29.А Задача: Найти производную функции xlnxy 2 ⋅= в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 2 2). 0 3). 1 4). 3 5). 4

Номер: 1.30.А Задача: Найти производную функции ( )2x3xey 3x ++⋅= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 6 2). 3 3). 1 4). 5 5). 2

Номер: 1.31.А


3

x1x3y+

= в точке 1x 0 = .

Ответы: 1). 3 2). 1− 3). 2 4). 1 5). 4

Номер: 1.32.А


3

x1x1y

+−

= в точке 1x 0 = .

Ответы: 1). 5,2− 2). 1− 3). 3− 4). 5,1− 5). 2−

Номер: 1.33.А

Задача: Найти производную функции ( )1x31xy 2

2

−⋅+

= в точке 2x 0 = .

Ответы: 1). 43− 2). 278− 3). 98− 4). 32− 5). 275−

10

Номер: 1.34.А

Задача: Найти производную функции 1x3x5x7xy 2

2

++++

= в точке 0x 0 =

Ответы: 1). 11− 2). 6− 3). 8− 4). 9− 5). 7−

Номер: 1.35.А

Задача: Найти производную функции 2x8x

x25y 3 ++−

= в точке 0x 0 = .

Ответы: 1). 11− 2). 9− 3). 13− 4). 5− 5). 7−

Номер: 1.36.А

Задача: Найти производную функции 1xtg

x2xcosy++

= в точке 0x 0 = .

Ответы: 1). 0 2). 3 3). 2 4). 1− 5). 1

Номер: 1.37.А

Задача: Найти производную функции xcos3x4

xtg32y−−

= в точке 0x 0 = .

Ответы: 1). 21 2). 41 3). 61 4). 91 5). 31

Номер: 1.38.А

Задача: Найти производную функции 1xarcsin2xarctgy++

= в точке 0x 0 = .

Ответы: 1). 3− 2). 1− 3). 0 4). 2− 5). 1

Номер: 1.39.А

Задача: Найти производную функции xln24xln32y

+−

= в точке 1x 0 = .

Ответы: 1). 2 2). 0 3). 1 4). 1− 5). 3

Номер: 1.40.А

Задача: Найти производную функции xcosxsin3xsinxcos2y

+−

= в точке

0x 0 = . Ответы: 1). 2 2). 7 3). 6 4). 8 5). 9

11

2. Дифференцирование сложной функции

Номер: 2.1.А

Задача: Найти производную функции ( )32 1xy += в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 32 2). 16 3). 12 4). 24 5). 8

Номер: 2.2.А

Задача: Найти производную функции ( )33 2xy += в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 54 2). 27 3). 81 4). 64 5). 32

Номер: 2.3.А

Задача: Найти производную функции ( )4x 1ey += в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 16 2). 32 3). 54 4). 64 5). 8

Номер: 2.4.А

Задача: Найти производную функции ( )423 1xxy +−= в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 16 2). 32 3). 8 4). 63 5). 4

Номер: 2.5.А

Задача: Найти производную функции ( )54 3x3xy +−= в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 20 2). 10 3). 25 4). 5 5). 15

Номер: 2.6.А

Задача: Найти производную функции ( ) 212xx3y −= в точке 1x 0 = .

Ответы: 1). 42 2). 21 3). 32 4). 23 5). 43

Номер: 2.7.А

Задача: Найти производную функции ( ) 213 4x2xy ++= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 25 2). 21 3). 43 4). 23 5). 45

Номер: 2.8.А

Задача: Найти производную функции 2xx21y ++= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 21 2). 41 3). 1 4). 43 5). 2

12

Номер: 2.9.А

Задача: Найти производную функции 3 4xx28y ++= в точке 0x 0 = . Ответы: 1). 32 2). 61 3). 34 4). 31 5). 38

Номер: 2.10.А

Задача: Найти производную функции 3 2 x7xy += в точке 1x 0 = . Ответы: 1). 43 2). 21 3). 32 4). 31 5). 37

Номер: 2.11.А Задача: Найти производную функции ( )4x3xsiny 2 ++= . Ответы: 1). ( )3x2sin + 2). ( ) ( )4x3xcos3x2 2 ++⋅+ 3). ( )3x2cos +

4). ( ) ( )3x24x3xcos 2 +⋅++− 5). ( )4x3xcos 2 ++

Номер: 2.12.А

Задача: Найти производную функции 2xarcsin2y = .

Ответы: 1). ( )22x1

12−

⋅ 2). ( )22x1

1

−− 3).

( )22x1

1

−

4). ( )22x12

+ 5).

( )22x11

+

Номер: 2.13.А

Задача: Найти производную функции ( )5x2x3lny 2 +−= .

Ответы: 1). ( )2x6ln − 2). 5x2x3

12 +−

3). 2x6

1−

4). elg5x2x3

2x62 ⋅

+−−

5). 5x2x3

2x62 +−

−

Номер: 2.14.А

Задача: Найти производную функции xctg3y = .


13ln3 2xctg ⋅⋅− 2). 1xctg3xctg −⋅ 3). xsin

123

−

4). xcos

13ln3 2xctg ⋅⋅ 5). xarcctg3

13

Номер: 2.15.А Задача: Найти производную функции xlnarctg2y ⋅= .

Ответы: 1). x1arctg2 ⋅ 2).

( ) x1

xlncos2

2 ⋅ 3). ( ) x

1xln1

22 ⋅+

4). ( ) x

1xln1

22 ⋅+

− 5).

x1

x12

2 ⋅+

Номер: 2.16.А

Задача: Найти производную функции xarccose3y ⋅= .

Ответы: 1). 1xarccosexarccos3 −⋅⋅ 2). 2

xarccos

x11e3−

⋅⋅−

3). 2x1

1

e3 −

−

⋅ 4). ( ) ( )2

xarccos

x11e3lne3−

−⋅⋅ 5). 2

xarccos

x11e3+

⋅

Номер: 2.17.А

Задача: Найти производную функции ( )xsinarccos4y ⋅= .

Ответы: 1). ( )xcosarccos4 ⋅ 2). xcosx1

42⋅

−

− 3).

xsin14

2−

−

4). xcosxsin1

42

⋅−

− 5). xsin

x14xcosxarccos4

2⋅

−

−+⋅

Номер: 2.18.А

Задача: Найти производную функции xsinlogy 2= .

Ответы: 1). xcoslog 2 2). xcosxsin

1⋅ 3). xcos

xsin2ln1

⋅⋅

4). elogxsin

12⋅ 5). xcoslog

xsin1

2⋅

Номер: 2.19.А

Задача: Найти производную функции ( )xarcsintgy = .

Ответы: 1). ( ) 22 x1

1xarcsincos

1−

⋅ 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− 2x11tg

3). 22 x1

1xcos

1−

⋅ 4). ( ) 22 x1

1xarcsinsin

1−

⋅

14

5). ( ) 22 x1

1xarcsin1

1−

⋅+

Номер: 2.20.А

Задача: Найти производную функции x2ey = .

Ответы: 1). 12x xe2 −⋅ 2). ( ) 1x2ex

−⋅ 3). 2lne

x2 ⋅ 4). x2 2ex⋅

5). 2ln2e x2x⋅⋅

Номер: 2.21.А

Задача: Найти производную функции xlny 3= .

Ответы: 1). 22 xxln3 ⋅⋅ 2). x1xln3 2 ⋅⋅ 3). xln3 2⋅ 4). 22 xln3 ⋅

5). 2

x13 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

Номер: 2.22.А

Задача: Найти производную функции xarcsin2y 4⋅= .

Ответы: 1). 4

2x112 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅ 2). xarcsin8 3⋅ 3).

23

x11xarcsin8−

⋅⋅

4). 2

3

x11xarccos8−

⋅⋅ 5). xarccos8 3⋅

Номер: 2.23.А

Задача: Найти производную функции 4 3xarctg4y ⋅= .

Ответы: 1). 4 2 xarctg34 ⋅⋅ 2). 24 2

x11xarctg3+

⋅⋅

3). 24 2

x11xarctg34+

⋅⋅ 4). 24

x11xarctg3+

⋅⋅ 5). 24 x11

xarctg3

+⋅

Номер: 2.24.А

Задача: Найти производную функции 32 xlog2y += .

Ответы: 1). ( ) 2lnx

1

xlog23

13 2

2⋅

⋅+⋅

2). 32lnx

1

15

3). ( ) 322 xlog2

31 −+ 4). elog

x1

xlog231

232

⋅⋅+⋅

5). ( )31lnx1

xlog231

32 ⋅

⋅+⋅

Номер: 2.25.А

Задача: Найти производную функции x21y −= .

Ответы: 1). 2ln2x ⋅− 2). x

x

212ln2

−

⋅ 3).

x

x

2122ln2

−⋅

⋅− 4).

x212x2−

−

5). x2

212elogx2

−

⋅−

Номер: 2.26.А

Задача: Найти производную функции xcosxsiny 44 += . Ответы: 1). x4sin− 2). xcosxsin 33 + 3). 1 4). ( )xcosxsin4 +

5). x2sin4

Номер: 2.27.А

Задача: Найти производную функции xsin

1y 2= .

Ответы: 1). xcosxsin2

1⋅

2). xcosxsin2 ⋅− 3). xcos

12 4). xctg−

5). xsin

xcos23

⋅−

Номер: 2.28.А

Задача: Найти производную функции 9x

1y2 −

= .

Ответы: 1). ( )32 9x

x

−− 2).

x21

3). x9x 2 ⋅−− 4). 9x

x2 −

−

5). ( )32 9x

x2

−−

16

Номер: 2.29.А

Задача: Найти производную функции xtg

1y 4= .

Ответы: 1). xtg4xcos

3

2

2). xcos

1xtg4

25 ⋅−

3). ( )42cos11

x

4). xcos

1xtg4

23 ⋅−

5). xsin

1xtg

425 ⋅

Номер: 2.30.А

Задача: Найти производную функции xarctg

1y 3= .

Ответы: 1). 22 x11

xarctg3

+⋅

− 2).

22 x11

xarctg31

+⋅

⋅ 3).

xarctg3x1

2

2

⋅+

4). 24 x11

xarctg3

+⋅

− 5).

24 x11

xarctg3

−⋅

−

Номер: 2.31.В

Задача: Найти производную функции x5tglny = .

Ответы: 1). x10sin

10 2).

x5tg5

3). x5

4). xtg5 ⋅ 5). x5cos

5

Номер: 2.32.В

Задача: Найти производную функции ( )x4earcsiny = .

Ответы: 1). x8e1

1+

2). x8

x4

e1e4−

⋅ 3).

x8

x4

e1e+

4). x4e1− 5). 1

Номер: 2.33.В

Задача: Найти производную функции xcossintgy = .

Ответы: 1). xcosxsin

1⋅

2). xsinxcos + 3). xcosxsin ⋅

4). ( )( )xcossin

xcoscos− 5).

( )( )xcossincos

xcoscosxsin2⋅

−

Номер: 2.34.В

Задача: Найти производную функции xsinlny 5= . Ответы: 1). xsinln5 2). xcosxsinln5 + 3). xtg

17

4). xsinlnxctg5 4⋅⋅ 5). xcoslnxsin

1 4⋅

Номер: 2.35.В

Задача: Найти производную функции ( )3x5lnarctgy += .

Ответы: 1). 3x5

1+

2). 2x25161

+ 3).

( )3x5cos5

2 + 4). ( )3x5tg5 2 +⋅

5). ( ) ( )( )3x5ln13x5

52 +++

Номер: 2.36.В

Задача: Найти производную функции ( )edxsinbcxcosay 2 +⋅+⋅= , где e,d,c,b,a - постоянные величины.

Ответы: 1). ( )edxcosbcxsinca +⋅+⋅⋅ 2). ( )edxcosdbcx2sinca +⋅⋅+⋅⋅− 3). ( )edxcoscx2sinca ++⋅⋅ 4). ( )edxcosbcxcosa2 +⋅+⋅ 5). ( )edxcosdbcxsina2 +⋅⋅+⋅

Номер: 2.37.В

Задача: Найти производную функции xcos1

ey =

Ответы: 1). 1

xcos1

excos

1 −⋅ 2). xcos

1

e 3). xcos

xsine 2xcos

1

⋅

4). xtge xcos1

⋅ 5). xsine xcos1

⋅−

Номер: 2.38.В

Задача: Найти производную функции 2xecosy = .

Ответы: 1). 2xesinx2 ⋅ 2).

22 xx esinxe2 ⋅ 3). 2xesinx ⋅

4). 22 xx esinxe2 ⋅− 5).

2xesinx ⋅−

Номер: 2.39.В

Задача: Найти производную функции xsin2ey = .

Ответы: 1). xsin 2ex2sin ⋅ 2). xsin2

exsin ⋅ 3). xsin 2exsin2 ⋅

4). xsin2excos ⋅ 5). xsin 2

excos2 ⋅

18

Номер: 2.40.В

Задача: Найти производную функции 2x11arctgy+

= .

Ответы: 1). 2x3x

x224 ++

− 2). 2x2x

x224 ++

3). 2x2x

x224 ++

−

4). 2x3x

x24 ++

− 5). 2x3x

x224 ++

Номер: 2.41.В Задача: Найти производную функции ( )1xtglny += .

Ответы: 1). ( )2x2sin

2+

− 2). ( )2x2sin

2+

3). ( )2x2sin1+

4). ( )2x2sin1+

− 5).

( )1xcosx12 +⋅

Номер: 2.42.В

Задача: Найти производную функции ( )x2xlnctgy 2 += .

Ответы: 1). ( )x2xlnsinx2x

2x2 222 +⋅++ − 2). ( )x2xlnsin

x2x2x2 22

2 +⋅++

− −

3). xsinx2x2x2 2

2−⋅

++

− 4). xsinx2x2x2 2

2−⋅

++

5). x2xxsin

2

2

+−

−

Номер: 2.43.В

Задача: Найти производную функции x1arctgy 2= .

Ответы: 1). 24 xx2+

− 2). 1x

x1arctg2

2 +

− 3). 2x1

xarctg2+

− 4). 2x1

xarctg2+

⋅

5). 1x

x1arctg2

2 +

⋅

Номер: 2.44.В

Задача: Найти производную функции x4sinlogy 6= .

Ответы: 1). x4ctg4 ⋅ 2). x4ctg4 ⋅− 3). 6lnx4ctg

4). x4ctg6ln

4⋅

19

5). x4ctg6ln

4⋅−

Номер: 2.45.В

Задача: Найти производную функции 2x1arcsiny −= .


1−

− 2). 2x1x

x−⋅

− 3). 2x1

1−

4). 2x1x

x−⋅

5). 2x1x−

−

Номер: 2.46.В

Задача: Найти производную функции xlnsiny 2= .

Ответы: 1). x

x2sin 2).

xx2sin

− 3). ( )

xxln2sin

4). ( )

xxln2sin

−

5). x

xcos2

Номер: 2.47.В

Задача: Найти производную функции 1x5arctgy −= .

Ответы: 1). 1x5x2

1−

2). 1x5x2

1−

− 3). 1x510

1−

4). 1x510

1−

− 5). ( ) 1x5x125

2 −+

Номер: 2.48.В

Задача: Найти производную функции ( )3x2siny 2 += . Ответы: 1). ( )6x4sin + 2). ( )6x4sin2 + 3). ( )6x4sin2 +−

4). ( )6x4sin +− 5). ( )3x2cos4 +

Номер: 2.49.В Задача: Найти производную функции ( )2xsincosy = . Ответы: 1). 22 xcosxcosx2xsinxsin ⋅⋅+⋅ 2). ( ) 22 xcosxsinsinx2 ⋅⋅

3). ( ) 22 xcosxcosx2xsinsin ⋅⋅+− 4). ( ) 22 xcosxsinsinx2 ⋅⋅− 5). x−

Номер: 2.50.В Задача: Найти производную функции ( )2xsinarctgy = .

20

Ответы: 1). 2

2

x1xcosx2

+ 2). 2

2

x1xcosx2

+− 3). 22

2

xsin1xcosx2

+

4). 22

2

xsin1xcosx2

+− 5). 2x1

xcosx2+

Номер: 2.51.С

Задача: Найти производную функции ( )1eelny x4x2 ++= .

Ответы: 1). 1e

ex4

x

+ 2).

1ee

x4

x2

+ 3).

1ee2x4

x2

+ 4).

1ee2x4

x

+

5). ( )

1ee11ee2

x4x2

x4x

++

++

Номер: 2.52.С

Задача: Найти производную функции ( )2x1xarcctgy +−= .

Ответы: 1). ( )2x121+

2). ( )2x121+

− 3). 2x11+

4). 2x12

1+

−

5). 2x12

1+

Номер: 2.53.С

Задача: Найти производную функции ( )5xxlny 2 ++= .

Ответы: 1). 5xx5xx

2

2

+⋅

++ 2).

5x12 +

3). 5x2

12 +

4). 5xx25xx

2

2

+⋅

++

5). 5xx5xx2

2

2

+⋅

++

Номер: 2.54.В

Задача: Найти производную функции ( )xsin1lny 2+= .

Ответы: 1). xsin1

x2sin2+

2). x2sin1

1+

3). ( )xcosxsin2ln ⋅

4). xsin1

xsin2+

5). x2sin1

x2sin+

21

Номер: 2.55.С Задача: Найти производную функции ( )xsinexcoselny xx −+= .

Ответы: 1). ( )( )

xsinexcoseeexcosxsin

xx

xx

−

−

++−

2). xsinexcosexcosexsine

xx

xx

−

−

+−−

3). ( )( )

xsinexcoseeexsinxcos

xx

xx

−

−

+−−

4). ( )( )

xsinexcoseeexsinxcos

xx

xx

−

−

++−

5). ( )( )

xcosexsineeexsinxcos

xx

xx

−

−

++−

Номер: 2.56.В


2

x1x1arccosy

+−

= .

Ответы: 1). ( ) 222 x1x1

x4

−⋅+ 2).

( ) 22 x1x1x4−⋅+

−

3). ( ) 222 x1x1

x4

−⋅+

− 4). ( )2x1x

x2+⋅

− 5). ( )2x1x

x2+⋅

Номер: 2.57.В

Задача: Найти производную функции 1e1earcctgy x

x

−+

= .


ex2

x

+−

2). 1e

ex2

x

+ 3).

1eex2

x2

+−

4). 1e

e2x2

x2

+ 5).

1eex2

x2

+

Номер: 2.58.В


2

x11xlny

−+

= .

Ответы: 1). 2x21x4

− 2). 4x1

x2−−

3). 4x1x4

− 4). 4x1

x4−−

5). 4x1x2

−

Номер: 2.59.В

Задача: Найти производную функции 2x2xarctgy

−+

= .

Ответы: 1). 4x

x22 +

2). 4x

x22 +−

3). 4x

22 +−

4). 4x

22 +

5). 4x

12 +−

22

Номер: 2.60.С

Задача: Найти производную функции x21x21lny

−+

= .


− 2). 2x41

1−

3). 2x412

−−

4). 2x411

−−

5). 2x212

−

Номер: 2.61.С

Задача: Найти производную функции x1coslogy 9 += .

Ответы: 1). 9lnx12

x1tg⋅++

2). 9lnx1

x1tg⋅++

3). 9lnx12

x1tg⋅++−

4). 9lnx1

x1tg⋅++−

5). 9lnxtg

−

Номер: 2.62.С

Задача: Найти производную функции 1xarctglny 2 −= .

Ответы: 1). 1xarctg1xx

222 −⋅−

2). 1xarctg1xx

222 −⋅−

−

3). 1xarctg1xx

122 −⋅−

4). 1xarctg1xx

122 −⋅−

−

5). ( ) xarctg1xx1

2 ⋅−

Номер: 2.63.С

Задача: Найти производную функции x32 ecosy = .

Ответы: 1). x3x3 esine6 ⋅− 2). x3x3 esine6 ⋅ 3). ( )x3x3 e2sine3 ⋅−

4). ( )x3x3 e2sine3 ⋅ 5). xcose3ex2sin 2x3x3 ⋅+⋅−

Номер: 2.64.В

Задача: Найти производную функции 4 3 23 xxxy ⋅⋅=

Ответы: 1). ( ) 433 23 xxx41 −

⋅ 2). x2

1 3). 2423x 4). 241x

2423 −⋅ 5). 0

23

Номер: 2.65.С

Задача: Найти производную функции ( )2xaxsinxlny −⋅⋅= , где consta = .

Ответы: 1). ( )2xaxxctg

x1

−−+ 2).

2xaxsinx1

−

3). xsinx

xaxcos2 2−⋅ 4).

xxctg2 ⋅

5). 2xa1−

Номер: 2.66.С

Задача: Найти производную функции 5d

bxsinlnay += , где

constd,b,a = .

Ответы: 1). 5 4

dbxsinlna

dbxctg

d5a

+⋅

+

⋅ 2). 5 4

dbxsinlna5

1+

⋅⋅

3).

54

dbxcos

1

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+ 4).

dbxcosa 41 +

⋅ 5). d

bxctg +

Номер: 2.67.С

Задача: Найти производную функции 2earctgy 5 x5 += .

Ответы: 1). ( ) 5 x54x10

x5

earctge1e⋅+

2). 2earctg5

15 x54

+⋅

3). 1e

1x5 +

4). x5 5). x5x5 earctg54e +

Номер: 2.68.С

Задача: Найти производную функции ( )3

234

dxbxcosaxsiny

+⋅

= , где

constd,b,a = .

Ответы: 1). dx

3bxtgbx6axctga4 2

+−⋅−⋅

24

2). dx

3bxtgb6axctg4 2

++⋅+⋅ 3). 3xtgb6axctg4 2 −⋅−⋅

4). ( )dx3bxtgb6axctga4 23 ++⋅+⋅ 5). dx

3+

Номер: 2.69.С


1xlnsinarccosy 2 += .

Ответы: 1). ( )

( )4

1xln1x2

1 ++

− 2). ( ) 4

1xln

41xlncos

41xlncos

1x21

2

2+

⋅+

+

⋅+

−

3). ( ) 41xln

41xlncos

41xlncos

1x21

2

2+

⋅+

+

⋅+

4). ( ) 4

1xln1xx1

xcos22

+⋅

+−

5). ( )

( )4

1xln1x2

1 ++

Номер: 2.70.С

Задача: Найти производную функции ( )1elnearctg5y x5x5 +−= .

Ответы: 1). ( )( )x5

x5x5

e12e52e5

+−

2). ( )( )x5

x5x5

e15e25e2

+−

3). ( )( )x5

x5x5

e12e25e

+−

4). ( )( )x5

x5x5

e12e25e5

+−

5). ( )

x5

x5x5

e1e25e

+−

25

3. Логарифмическое дифференцирование

Номер: 3.1.В

Задача: Значение производной функции ( )xxsiny = в точке 2

x 0π

= рав-

но … .

Ответы: 1). 1 2). 0 3). 2

ln π 4). 2

ln π− 5). 1−

Номер: 3.2.В

Задача: Значение производной функции ( ) 1x2xy +−= в точке 3x 0 = равно…

Ответы: 1). 0 2). 2− 3). 1 4). 2 5). 1−

Номер: 3.3.В

Задача: Значение производной функции ( ) 3x2 1xy += в точке 1x 0 = равно … .

Ответы: 1). 3 2). 6 3). 2ln3 4). ( )18ln2 + 5). ( )18ln4 +

Номер: 3.4.В Задача: Значение производной функции xlnxy = в точке ex 0 = равно ...

Ответы: 1). 2 2). 1 3). e2 4). e2

5). ( )1eln2 −

Номер: 3.5.В

Задача: Значение производной функции xxey = в точке 1x 0 = равно …

. Ответы: 1). 1 2). e 3). 2e 4). e2 5). 2e2

Номер: 3.6.В Задача: Найти производную функции ( ) x4sinx4cosy = .

Ответы: 1). ( ) ( )x4tg4x4sinx4coslnx4cos4x4cos x4sin ⋅−⋅

2). ( ) ( )x4sinx4cosln4x4cos 2x4sin −⋅

3). ( ) ( )x4tgx4sinx4cos4x4cos x4sin ⋅+ 4). ( )x4tg4x4cosln4x4cos ⋅−⋅⋅

5). x4cosx4sin

1⋅

26

Номер: 3.7.В

Задача: Найти производную функции 2xxy = .

Ответы: 1). 1x2 2xx − 2). 3x2

x + 3). 2x 4). ( )1xlnx 21x2++

5). 2x xlnx

Номер: 3.8.В

Задача: Найти производную функции 2xsinxy = .

Ответы: 1). 1xsin2 2xxsin −⋅ 2). xlnxsin 2 ⋅

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

xxsinxcosxlnx2x

22xsin 2

4). ( )22xsin xsinxcosx2x2

+⋅

5). ( )22xsin xsinxlnx2x2

+

Номер: 3.9.В

Задача: Найти производную функции ( )xexarcsiny = .

Ответы: 1). ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅−+

xarcsinx1exarcsinlnexarcsin

2

xxex

2). xarcsinex 3). 2

x

x1e−

4). 2

x

x1x2e

−

⋅

5). ( ) [ ]1ex1xarcsin x2ex+⋅−

Номер: 3.10.В

Задача: Найти производную функции ( ) x2sin2 3xy += . Ответы: 1). ( ) x2cos3x 2 + 2). x2sinlnx2

3). ( ) ( )( )3xlnx2cos23x 2x2sin2 +⋅+

4). ( ) ( ) ( )3x

x2sinx23xlnx2cos6x23x 2

22x2sin2

+++⋅+

+

5). ( ) ( ) ( )( )x2sinx23xln6x23x 22x2sin2 ++⋅++

Номер: 3.11.В

Задача: Найти производную функции ( )3xxtgy = .

Ответы: 1). ( ) ( )1xlnxxtg 32x3+⋅ 2). x2

xcos1

3x

2 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3).

xcosx22

27

4). ( ) ( )1x3xtg 2x3− 5).

xcosxsinx 3

3 ⋅

Номер: 3.12.В

Задача: Найти производную функции ( ) x4sinx4siny = .

Ответы: 1). ( ) [ ]4x4sinlnx4cos4x4sin x4sin +⋅

2). ( ) ( )1x4sinlnx4cos4x4sin x4sin +⋅⋅ 3). x4sin 2 4). 0 5). ( )x4cos4x4sinlnx4sin4 +

Номер: 3.13.В

Задача: Найти производную функции ( ) xxy = .

Ответы: 1). ( ) 1xx

− 2).

x21

3). ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

xln21

x2xlnx

x

4). ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +x2

1xlnxx 5).

x21

x21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Номер: 3.14.В

Задача: Найти производную функции ( ) bxlnaxlny = , где constb,a = .

Ответы: 1). ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅+⋅

axlnxbxlnaxlnaxlnlnaxln bxln 2). axlnbxlna ⋅

3). ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +x

bxlnaxlnaxlnab2

bxln 4). xbalnab ⋅

5). ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅

xbxlnaxlnlnaxlnab

2

Номер: 3.15.В

Задача: Найти производную функции xsinxy = .

Ответы: 1). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅

xxsinxlnxcosx xsin 2). xcosxxsin ⋅ 3). xsinxx2sin ⋅

4). x1xlnxcosx xsin +⋅⋅ 5). xsinxlnxcosx 1xsin +⋅−

Номер: 3.16.В

Задача: Найти производную функции xcosaxy = .

28

Ответы: 1). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅

xxcosaxlnxsinaxx xcosa 2). 1xcosaxxcosa −⋅⋅

3). xcosaxa ⋅⋅ 4). ( )xcosaxxsina ⋅⋅ 5). xcosax 2⋅

Номер: 3.17.В Задача: Найти производную функции ( )( )2x1xy ++= .

Ответы: 1). 2x3x 2 ++ 2). 1 3). ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+++++

⋅+ +

1x2x1xln1x1x 2x

4). ( )( ) 1x1x2x +++ 5). ( )xx1−

Номер: 3.18.В

Задача: Найти производную функции 3cos

3tgy

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

= .

Ответы: 1). 0 2). 1 3).

3cos

3sin

2 π

π−

4). 3

1 5). 4 3

Номер: 3.19.С

Задача: Найти производную функции ( ) xsinlnxsiny = .

Ответы: 1). 0 2). ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ xsinlnxctg

x1xsin

xsinln

3). [ ]1xctgxsin +⋅ 4). ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡x

xsinlnxsinxsinln

5). xcoslnx2

1⋅

Номер: 3.20.В

Задача: Найти производную функции ( ) xsinxtgy = .

Ответы: 1). ( ) 1xsinxtgxcos − 2). ( ) 1xsinxtgxsin − 3). ( ) xcosxtg2xsin ⋅

4). ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅

xcos1xtglnxcosxtg xsin 5). нет правильного ответа

29

Номер: 3.21.В

Задача: Найти производную функции x2tg

xxcosxsiny ⋅⋅= .

Ответы: 1). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅−+−⋅

⋅⋅x2cosx2sin

2x1xtgxctg

x2tgxxcosxsin

2). xsinxcos ⋅− 3). xcos

xsin2−

4). ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⋅

⋅⋅xsin

2xtgxctgx2tg

xxcosxsin 5). x2tg1−

Номер: 3.22.В

Задача: Найти производную функции ( ) ( )

( )4

32

3x2x1xy

+++

= .

Ответы: 1). ( ) ( )

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

++

++++

3x4

2x3

1x2

3x2x1x

4

32

2). ( )( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⋅

+++

22x3x5

3x2x1x 2

5

2

3). ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

⋅+++

3x2xx

3x2x1x 22

4). 121

5). ( )53x

1+

Номер: 3.23.В

Задача: Найти производную функции ( ) ( ) ( )432 3x2x1xy +++= .

Ответы: 1). ( )( ) ( ) ( )29x34x93x2x1x 232 +++++

2). ( )( )( )3x2x1x2 +++ 3). ( )( ) ( )32 3x2x1x24 +++ 4). 5x3 + 5). 0

Номер: 3.24.В

Задача: Найти производную функции ( ) ( )

( )324 3

9x27x45x6

y+

−⋅+= .

Ответы: 1). ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−−

++

⋅+

−⋅+9x2

67x4

85x62

99x2

7x45x63

24 3

2). ( ) ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+

+⋅

+

−⋅+9x2

27x4

45x6

69x2

7x45x63

24 3

30

3). ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−

++

⋅+

−⋅+9x2

67x4

85x62

99x2

7x45x63

24 3

4). ( ) ( )

( )2

41

9x267x45x636

+−⋅+⋅ −

5). ( ) ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+

+⋅

+

−⋅+9x2

17x4

15x6

19x2

7x45x63

24 3

Номер: 3.25.В

Задача: Найти производную функции 1x

xarcsiney 2

x

−⋅

= .


⎜⎝⎛

−−+⋅

−⋅

1x1

xarcsin1

e1

1xxarcsine

2x2

x

2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−⋅

+⋅−

⋅1x

x2x1xarcsin

111x

xarcsine222

x

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−⋅

+⋅−

⋅1x

x2x1xarcsin

111x

xarcsine222

x

4). 1x

x2x1

1e 22x

−−

−+ 5).

( )22

2xx

1xx1

1exarcsine

−−

⋅+⋅

Номер: 3.26.В

Задача: Значение производной функции ( )

( ) ( )3x2x1xy 2

3

+++

= в точке

0x 0 = равно … .


2). 0 3). 365

4). 367

5). 3613

Номер: 3.27.А

Задача: Найти производную функции xexcosxsiny ⋅⋅= .

Ответы: 1). xtgxctg − 2). ( )1xtgxctgexcosxsin x +−⋅⋅⋅

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⋅⋅⋅1xcos1xsinexcosxsin 2

2x 4). xe 5). x2cosex ⋅

31

Номер: 3.28.В Задача: Найти производную функции ( ) x4sin1xxy 3 ⋅+⋅= .

Ответы: 1). ( )[ ]( )

x2x4sin1xx4ctgx8x8x71 22 ++++

2). ( ) x4cos41x3x2

1 2 ⋅+⋅ 3). x4ctgx2

1⋅

4). ( )

x2x4sin1x3x10 2 −+

5). нет правильного ответа

32

4. Дифференцирование неявной функции

Номер: 4.1.А

Задача: Найти производнуюdxdy

, если 015y7x3 =−+ .

Ответы: 1). 37− 2). 715 3). 73− 4). 37 5). 73

Номер: 4.2.А


, если 8yx 33 =+ .

Ответы: 1). 22 xy 2). 22 yx 3). 22 xy− 4). 22 yx−

5). ( ) 232

3 x3x831

⋅−−

Номер: 4.3.А


, если 19y

4x 22

=− .

Ответы: 1). y4x9

2). y9x4

3). y4x9

− 4). x9y4

5). x4y9

Номер: 4.4.А


, если 4y3x2 22 =+ .

Ответы: 1). y3x2

2). x2y3

3). x2y3

− 4). y2x3

− 5). y3x2

−

Номер: 4.5.А


, если 0y2yx 22 =−− .

Ответы: 1). 1y

x+

2). 1x

y+

3). 1y

x−

4). y1

x−

5). 1y

x+

−

Номер: 4.6.В


, если 2cx22 ebycosyax =+⋅ , где

constc,b,a = .

33


by2sinbaxayecx2

2

cx 2

−−⋅

2). 2

1cx

axaec

2−⋅ −

3). bdysinbax

aye2

cx2

++

4). bycosx

aye2

cx2

++

5). by2sinx

ay⋅

Номер: 4.7.А


, если 1yey 2y +=+ .

Ответы: 1). 0 2). y2e1 y −+ 3). y2e y − 4). ye1y +

5). ( ) yey21 ⋅−

Номер: 4.8.В


, если ( )

32

2 byln1x

yycosa =+

+⋅ , где

constb,a = .

Ответы: 1).

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⋅−+

y3

1x1y2sina1x

y2

23

2). ( )31xy3ysinycos2 +⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅− 3). ( )31x + 4). ( )21x

y21

++

5). ( )31x

y2+

Номер: 4.9.В


, если 242 xyysinyarctg ⋅=+ .


( ) ( )4234

44

y1xy4ycosy1y2y1xy2

+−+++⋅⋅

2). 24 x

y11ysin=

++

3). 1y1

1ysin4 −

++

4). ( )44 y1xy2 +− 5). 0

34

Номер: 4.10.В


, если 3

2

x1y1yln4

++

= .

Ответы: 1). 2

3

x31yx

++−

2). ( )

2

2

y2x314 +

3). ( )

( ) ( )3223

22

x1y2x14

yy1x3

+−+

⋅+−

4). yx3 2 5). ( )3x1y31 +−

Номер: 4.11.В


, если 32ex5cosy xy4 +=+ .

Ответы: 1). y4

x

e4x5cosx5siny52ln2

++

2). y4

x

e4x5sin52ln2 −

3). 5

2ln2x5sin x−− 4).

x5cos52ln2e4 xy4 −

5). y4

x

e2ln2x5cos5

+−−

Номер: 4.12.А


, если cabxlntgy y ++= , где

constc,b,a = .

Ответы: 1). ( ) bxlncosxalna11

2y ⋅− 2). ( )xalna1 y−

3). 1bxlncos2 + 4). alnabxlnb y+ 5). alna

xcos1 y

2 +

Номер: 4.13.В


, если ( )x1y2yxtgy 34 =+− .


xcos2yy4 2

23 +− 2).

2y3xcosxy4

2

223

+−

3). ( )( )xtg2y3y4xcosxyx2xyxcos

2322

2232

+−++−

4). xcosx

122 5).

( )3

322

y4y2ycosx +

Номер: 4.14.А


, если 2xylnycosysin +=+ .

35

Ответы: 1). 1ysinyycosy

yx2−−

⋅ 2). 1ytg − 3). ( )ysinycosy

x2+

4). ycosy

1⋅

5). ( )1ycosyx2−

Номер: 4.15.В


, если xyy1ylnln += .

Ответы: 1). ylnyylny

ylny2

3

−+ 2).

ylnxyylnyylny

2

3

−+ 3). ( )2xyylny

1ylny−+

4). yylnylnx

1yln−−⋅

+ 5).

ylnxyxyln

2 ⋅+

Номер: 4.16.А


, если xye y4 =+ .

Ответы: 1). ( )1e4x21

y4 +⋅ 2).

x21

3). 1e y4 + 4). 1

5). 1x2 +

Номер: 4.17.В


, если 3ylnxyarcsin 2 =+ .

Ответы: 1). ylny1x2y

ylny1y2

22

⋅−⋅+

⋅−− 2).

yx2yln2+

3). xy21

4). 2

2

y1xy2

y1y3

−−

−⋅ 5). 2y11 −−

Номер: 4.18.В

Задача: Найти производную y′ , если ( ) ylnedyctgcbxtga 2 =+⋅+⋅ , где conste,d,c,b,a = .

Ответы: 1). ( )edytgyxctgb

+−⋅

2). ( )

( ) ( )[ ]edyctgycd2edysinbxcosedysinyba

2 +⋅⋅+++⋅⋅⋅

36

3). ( )

( )[ ]edytgy2ycosbxsinedycosy

+⋅++⋅

4). ( )

( )dyctgbxcosycd2edysin

2 +⋅⋅+

5). ylncdab

⋅

Номер: 4.19.В


, если y22 ebylnaxy ⋅=⋅+ , где

constb,a = .

Ответы: 1). y2

2

beyylna2xy2y

⋅−⋅+−

2). ylnxy2 2 + 3). bylna2

y2−⋅

4). y

2

ea2x2y

−+ 5). ye1−

Номер: 4.20.А


, если yeby ya =⋅+ , где constb,a = .

Ответы: 1). ( )y1a ebyay21

⋅+⋅ − 2). ( )ybe1y2 +

3). y

2ebya y1a =⋅+⋅ − 4). ( )

ybya2 1a +⋅⋅ −

5). ( ) y1a ebya1 ⋅⋅⋅− −

Номер: 4.21.С

Задача: Значение производной неявно заданной функции

( )22 yxln21

xyarctg += в точке ( )0;1 равно … .

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 1− 4). 2 5). 2−

Номер: 4.22.В Задача: Значение производной неявно заданной функции

0exylnx y23 =−+ в точке ( )1;e равно … .

Ответы: 1). 3

2

e1e+

− 2). 3

2

e1e−

3). 1e

e3

2

− 4). 3

2

e1e2+

5). 3

2

e1e2−

37

Номер: 4.23.В

Задача: Значение производной неявно заданной функции 5yxyln =+ в

точке ( )1;5 равно … .

Ответы: 1). 0 2). 5 3). 31

4). 21

5). 41

Номер: 4.24.А

Задача: Значение производной неявно заданной функции yarctgxy +=

в точке ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π−

33;

633

равно … .

Ответы: 1). 4 2). 4− 3). 41

4). 41

− 5). 0

38

5. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Номер: 5.1.В

Задача: Производная dxdy

функции ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

2tcosy

t5sinx, заданной параметриче-

ски, равна … .

Ответы: 1). ( )2tcos5

t5sin 2).

( )t5sin2tcos−

3). ( )

t5cos102tsin−

4). tsin

tcos10−

5). ( )2tcost5sin5

Номер: 5.2.В



⎪⎨⎧

=−=

tarcsinyt1x 2

, заданной параметриче-


Ответы: 1). 2t1t2

−− 2).

2t12t−

3). 2t1t2 − 4). t− 5). t1

−

Номер: 5.3.В



⎪⎨⎧

=+

=

tarctgyt1

1x 2 , заданной параметриче-


Ответы: 1). ( )22 1t

t2

+− 2).

t2t1 2+

− 3). ( )22 1t

1

+ 4).

1tt2

2 +

5). ( ) t21t32 ⋅+

Номер: 5.4.В


функции ⎩⎨⎧

+==

1t2ytsinx 4



Ответы: 1). t

tcos4 4

2). 43 tcost21

3). 4tcos2

4). 43 tsint4

5). 43 tcost4

39

Номер: 5.5.В


функции ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

= −

2

t

3ty

2x, заданной параметриче-


Ответы: 1). 3t

2ln2 t

+

−

2). ( )

2ln3t2t +−

3). ( )2ln

3t2 1t +− +

4). ( )

22ln3t +

5). ( ) 2ln3t2t

+

Номер: 5.6.В



⎪⎨⎧

=

=

t21y

t4lnx, заданной параметрически,

равна … .

Ответы: 1). 2

t4ln 2). 2t

2− 3).

t4lnt2

4). t2

1− 5). 2t4

1

Номер: 5.7.В



⎪⎨⎧

=

=

ttgytcos

1x, заданной параметрически,

равна … .

Ответы: 1). tsin 2). tsin− 3). tcos

14 4).

tsin1

5). tcos

tsin2−

Номер: 5.8.В



⎪⎨⎧

=

=

tcosy

tsinx2

3



Ответы: 1). 2

tcos3 2).

tsin3tcos2

2 3). tsin3tcos2

2− 4). tcos3

tsin22 5).

tsin32

−

Номер: 5.9.В



==

tsinlnytsinx 2



40

Ответы: 1). tsin2

12 2). tctg2 3). ttg2 4). tsin2 5).

tsintcos2 2

Номер: 5.10.В



⎪⎨⎧

=

−=t5ey

tx, заданной параметрически,

равна … .

Ответы: 1). te10 t5 −− 2). t2

e5 t5

− 3).

t2e t5

− 4). te5,2 t5 5). t5et2

−−

Номер: 5.11.А



+=+=

ectybatx , где constec,b,a, = , задан-

ной параметрически, равна … .

Ответы: 1). ac

2). eb 3).

ceab 4).

ea 5). 0

Номер: 5.12.А



⎪⎨⎧

=

=c ety

a btx , где constec,b,a, = , задан-

ной параметрически, равна … .

Ответы: 1). ceabt − 2). act 3). 1tae − 4). cacbea

tbcea −⋅

⋅⋅ 5). 0

Номер: 5.13.В



+=

=

tsintsin2y

ttg2x32 , заданной пара-

метрически, равна … .


2tcostcostsin3tcostsin4 22+

2). tcos

22

3). ( )

2tsintcostsin3tcos4 2⋅+

4). ( )

2t2sintcos3tsin4 −

5). tcostsin4

41

Номер: 5.14.В


функции

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

ttln23y

ttln1x 2

, заданной параметри-

чески, равна … .

Ответы: 1). ( )( )tlnt2t

ttln21 2

−−⋅+−

2). t 3). ( )tln1t 2 − 4). t23+− 5). t

Номер: 5.15.В



=

=

tcosy

tsinx3 , заданной параметриче-

ски, равна … . Ответы: 1). tsintcos3− 2). tctg3 3). tsintcos3 2 ⋅ 4). t2sin


Номер: 5.16.А



⎪⎨⎧

−=

+=32

2

t2ty

tt2x, заданной параметриче-



t1t31t

+−

2). 1 3). t2t3 2 + 4). 1tt3t 2

−−

5). 1t1t3

+−

Номер: 5.17.В



⎪⎨⎧

=

=

tcosey

tsinext

t



Ответы: 1). tcostsintsintcos

+−

2). tctgttg + 3). ( )tsintcose t + 4). tctge t2

5). 1

Номер: 5.18.А

Задача: Производная dxdy функции

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

++=

fetgtycbtatx

45

23

, где constfg,d,c,b,a, = ,

заданной параметрически, равна … .

Ответы: 1). fc

ga − 2).

2bt3at4et5gt

2

34

++ 3).

fc 4). ( )1tt

geab 2 ++

42

5). 13t2tt 234 −++

Номер: 5.19.В



⎪⎨⎧

=

=

t4sinay

t4cosax2

2

, consta = , заданной

параметрически, равна … . Ответы: 1). 1− 2). t4ctga 2 3). t4tg4 4). 0 5). нет правильного отве-

та

Номер: 5.20.В


функции ( )

⎩⎨⎧

=−=

tcostytsin1tx



Ответы: 1). tctgt 2). tcosttsin1

tsinttcos−−−

3). tcostsin

t+

4). tsin1

tcos−

5). 1ttg +

Номер: 5.21.А


функции ( )

⎩⎨⎧

=−=tcosx

tsint2y, заданной парамет-

рически, равна … .


tsintcos12 −

− 2). tcos1− 3). tsintcos ⋅ 4). t2sin

5). tsin

2−

Номер: 5.22.В


функции ( )

⎩⎨⎧

−=+=

tarctgtxt1lnx 2



Ответы: 1). 1t

t2 +

2). 2t

3). 1t + 4). 1tt 2 −+


43

Номер: 5.23.В


функции

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

2

2

2

t1t2y

t1t2x



Ответы: 1). 2t1t2

− 2). 2t2 3).

( )22t1

t4

+ 4). t4


Номер: 5.24.В


функции ( )( )⎩

⎨⎧

+=−=

tsinttcosaytcosttsinax

consta = , за-

данной параметрически, равна … .

Ответы: 1). tsin21tcos − 2). t2sint 3). tctg 4). ttg 5). 1

Номер: 5.25.А



⎪⎨⎧

=

=−t

t

ey

ex, заданной параметрически,

равна … . Ответы: 1). 1− 2). 1 3). 0 4). te 5). t2e

Номер: 5.26.А


функции ( )( )⎩

⎨⎧

−=−=

tcos1aytsintax

consta = , заданной

параметрически, равна … .

Ответы: 1). 2tctg 2). tcosa 2 3). tsintcosa ⋅⋅ 4). tsintcost ⋅⋅ 5). a

Номер: 5.27.А



⎪⎨⎧

=

=bt

at

ey

ex constb,a = , заданной па-

раметрически, равна … .

Ответы: 1). ba

2). ( ) tabeab ⋅− 3). te 4). 0 5). 1

44

6. Приращение и дифференциал функции

Номер: 6.1.В Задача: Разность между приращением и дифференциалом функции

xxy 3 += в точке 1x = при 1,0x =Δ равна … . Ответы: 1). 023,0 2). 03,0 3). 031,0 4). 035,0 5). 042,0


1x2y 3 −= в точке 2x = при 2,0x =Δ равна … . Ответы: 1). 296,0 2). 196,0 3). 246,0 4). 598,0 5). 496,0


( ) x2xxf 3 −= в точке 4x = при 1,0x =Δ равна … . Ответы: 1). 121,0 2). 101,0 3). 111,0 4). 122,0 5). 123,0


5x2y 3 +−= в точке 4x = при 1,0x −=Δ равна … . Ответы: 1). 241,0 2). 242,0 3). 236,0− 4). 238,0− 5). 252,0−


( ) 2x3xf 3 +−= в точке 1x −= при 1,0x =Δ равна … . Ответы: 1). 08,0 2). 087,0 3). 085,0 4). 081,0 5). 083,0

Номер: 6.6.В Задача: Если функция ( )xf дифференцируема, то предел ( ) ( )

x2x3xfxxflim

0x ΔΔ+−Δ−

→Δ равен … .

Ответы: 1). ( )xf ′ 2). ( )xf2 ′ 3). ( )xf2 ′− 4). ( )xf4 ′− 5). ( )xf ′−

Номер: 6.7.В Задача: Если функция ( )xf дифференцируема, то предел ( ) ( ) ( )

x3xfx4xf2xxflim

0x Δ+Δ+−Δ−


Ответы: 1). ( )xf ′− 2). ( )xf4 ′− 3). ( )xf ′ 4). ( )xf2 ′ 5). ( )xf3 ′−

45


x2x5xfxxflim

0x ΔΔ−+Δ−−


Ответы: 1). ( )xf ′− 2). ( )xf ′ 3). ( )xf2 ′ 4). ( )xf3 ′− 5). ( )xf2 ′−


x5xfx4xf2x2xflim

0x Δ−Δ++Δ−−


Ответы: 1). ( )xf2 ′ 2). ( )xf4 ′ 3). ( )xf ′ 4). ( )xf ′− 5). ( )xf2 ′−


x2x3xfx3xflim

0x ΔΔ+−Δ−


Ответы: 1). ( )xf ′− 2). ( )xf ′ 3). ( )xf3 ′− 4). ( )xf2 ′− 5). ( )xf6 ′−


x3xfxxf2x8xflim

0x Δ+Δ+−Δ+


Ответы: 1). ( )xf2 ′− 2). ( )xf ′ 3). ( )xf ′− 4). ( )xf2 ′ 5). ( )xf3 ′−


x3xxfx8xflim

0x ΔΔ++Δ−−


Ответы: 1). ( )xf ′ 2). ( )xf3 ′ 3). ( )xf2 ′− 4). ( )xf ′− 5). ( )xf3 ′−


x3xfx5xf2xxflim

0x Δ+Δ+−Δ+


Ответы: 1). ( )xf3 ′− 2). ( )xf ′ 3). ( )xf ′− 4). ( )xf2 ′ 5). ( )xf2 ′−

46


xxfx4xf2x7xflim

0x Δ−Δ++Δ+−


Ответы: 1). ( )xf2 ′ 2). ( )xf3 ′− 3). ( )xf ′− 4). ( )xf2 ′− 5). ( )xf ′


x2x7xfxxflim

0x ΔΔ+−Δ+


Ответы: 1). ( )xf ′− 2). ( )xf ′ 3). ( )xf3 ′− 4). ( )xf2 ′− 5). ( )xf4 ′−

Номер: 6.16.В Задача: Для любой дифференцируемой в точке 0x функции ( )xf имеет

место равенство Ответы: 1). ( ) ( ) ( )00 xdfxfxf += 2). ( ) ( )00 xxoxf −=Δ

3). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 xxoxxxfxfxf −+−⋅′+= 4). ( ) ( ) ( ) ( )000 xxoxdfxfxf −⋅+= 5). ( ) ( ) ( )000 xxxfxf −⋅′=Δ

Номер: 6.17.С

Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 5xy = в точке 001,2x =

Ответы: 1). 08,32 2). 09,32 3). 06,32 4). 05,32 5). 03,32

Номер: 6.18.С Задача: Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение

функции 3x4y −= в точке 98,0x = Ответы: 1). 99,0 2). 98,0 3). 97,0 4). 96,0 5). 94,0


функции 3xy = в точке 02,1x = . Ответы: 1). 04,1 2). 02,1 3). 05,1 4). 06,1 5). 03,1



47


функции 3 xy = в точке 03,1x = . Ответы: 1). 02,1 2). 01,1 3). 04,1 4). 03,1 5). 05,1


функции xy = в точке 996,3x = Ответы: 1). 997,1 2). 993,1 3). 991,1 4). 999,1 5). 995,1


функции xsin1y += в точке 02,0x = . Ответы: 1). 01,1 2). 09,1 3). 07,1 4). 05,1 5). 03,1


функции xcosx2y += в точке 01,0x = . Ответы: 1). 05,1 2). 07,1 3). 01,1 4). 03,1 5). 09,1


функции 1x4y += в точке 97,1x = . Ответы: 1). 92,2 2). 96,2 3). 94,2 4). 91,2 5). 98,2


функции 5xy 2 += в точке 97,1x = . Ответы: 1). 93,2 2). 98,2 3). 94,2 4). 96,2 5). 91,2


функции xtgy = в точке o46x = Ответы: 1). 0329,1 2). 0372,1 3). 0312,1 4). 0349,1 5). 0389,1


функции 4 xy = в точке 5,80x = . Ответы: 1). 935,2 2). 995,2 3). 975,2 4). 915,2 5). 955,2

48




функции ( )x1x1,0ey −⋅⋅= в точке 05,1x = . Ответы: 1). 955,0 2). 935,0 3). 995,0 4). 975,0 5). 915,0

49

7. Производные и дифференциалы высших порядков

Номер: 7.1.А Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции

xx2x5x3y 234 −+−= .

Ответы: 1). 1x4x15x12 23 −+− 2). x30x36 2 − 3). 2x30x36 2 +− 4). 4x10x24 3 +− 5). 4x30x36 2 +−

Номер: 7.2.А

Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции ( )35x2y += .

Ответы: 1). ( )25x26 + 2). ( )5x23 + 3). ( )5x224 + 4). x6

5). ( )25x2 +

Номер: 7.3.А

Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции 1x

1y−

= .

Ответы: 1). ( )31x

2−

2). ( )31x

1−

3). ( )31x

2−−

4). ( )31x

1−−

5). ( )21x

1−−

Номер: 7.4.А

Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции xcosy 2= . Ответы: 1). xsin 2− 2). x2cos2− 3). xcos2 4). xsin2

5). x2sin2−

Номер: 7.5.А

Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции 2xey −= .

Ответы: 1). ( )1x2e 2x2−− 2). ( )2xe2 2x2

−− 3). ( )1x2e2 2x2−−

4). ( )xx2e 2x2−− 5). ( )1x2e 2x2

+−

Номер: 7.6.А Задача: Найти производную второго порядка y ′′ функции x3arctgy = .

Ответы: 1). ( )22x91

x27

+ 2).

( )22x91

x54

+ 3). 2x91

x27+

4). 2x91

x54+

5). ( )22

2

x91

x27

+

50

Номер: 7.7.А Задача: Найти производную VIy функции 5xy = .

Ответы: 1). 5 2). 4x5 3). 0 4). x 5). 1

Номер: 7.8.А Задача: Найти производную IVy функции taey = , где consta = .

Ответы: 1). tae 2). a 3). 1 4). 0 5). 1teta −⋅⋅

Номер: 7.9.А

Задача: Найти производную IIIy функции 6

cos2y π= .

Ответы: 1). 0 2). 23

3). 3 4). 1 5). 6

sin3

ππ−

Номер: 7.10.А Задача: Найти производную IIIy функции edxcxbxaxy 234 ++++= .

Ответы: 1). 0 2). a24 3). b6ax24 + 4). c2bx9ax16 2 ++ 5). 3ax4

Номер: 7.11.А Задача: Найти производную IIIy функции xlnxy 3 ⋅= .

Ответы: 1). 11xln6 + 2). x3 3). x5xlnx6 +⋅ 4). x1

5). 11x +

Номер: 7.12.А

Задача: Найти производную IIIy функции xcosay ⋅= , где consta = . Ответы: 1). xsina− 2). 0 3). ( )xcosxsina − 4). xsina 5). xcosa

Номер: 7.13.А Задача: Найти производную IIIy функции bxcosaxsiny += . Ответы: 1). bxsinbaxcosa 33 +− 2). bxsinbaxcosa −

3). ax2sinab ⋅ 4). ba + 5). x2

basin +

Номер: 7.14.В

Задача: Найти производную IVy функции bax

1y+

= .

Ответы: 1). ( )5

4

baxa24+

2). ( )5

4

5axba

+

+ 3).

( )34

baxba+

4). bax

a+

5). a

51

Номер: 7.15.А Задача: Найти производную IVy функции axlny = , где consta = .

Ответы: 1). 0 2). a 3). 4x6

− 4). ax1

5). x1

Номер: 7.16.В

Задача: Найти производную IIIy функции 2xarctgy = .

Ответы: 1). 0 2). 21

3). 2x1

2−

4). ( )( )32

2

x4

4x34

+

− 5).

( )22

2

x4

x12

−

Номер: 7.17.А

Задача: Найти производную IIIy функции xexy −⋅= .

Ответы: 1). ( )x3e x −− 2). xxe−− 3). xxe − 4). xe− 5). x3

Номер: 7.18.А Задача: Найти производную IIIy функции xcosey x ⋅= .

Ответы: 1). ( )xsinxcose2 x +− 2). xsinex 3). xcosxsin +−

4). xe 5). ( ) xexcos1−

Номер: 7.19.А Задача: Найти производную IIIy функции xlnxy ⋅= .

Ответы: 1). 1 2). x1− 3). 2x1

− 4). x1

5). x1+

Номер: 7.20.А

Задача: Найти производную Vy функции x2y = .

Ответы: 1). ( )5x 2ln2 2). x2 3). 2ln 4). 1 5). 0

Номер: 7.21.А Задача: Найти производную VIIy функции ( )5baxy += . Ответы: 1). ( )baxa 7 + 2). 0 3). ( )baxa1000 +⋅ 4). a5 5). ba5 +

Номер: 7.22.А Задача: Вторая производная функции ( ) x23 exxf ⋅= в точке 1x −= рав-

на...

52

Ответы: 1). 2e− 2). 2e−− 3). 2e24 −− 4). 2e18 −− 5). 2e2 −−

Номер: 7.23.В

Задача: Вторая производная 2

2

dxyd


=

=3ty

tlnx, заданной парамет-

рически, равна…

Ответы: 1). 3t6− 2). t6 3). 3t3 4). 3t9 5). 2t1

−

Номер: 7.24.В


2

dxyd


⎪⎨⎧

−=

+=

7ty

3tx5

2

, заданной пара-

метрически, равна… Ответы: 1). 4t15 2). 5t12 3). t215 4). 7t12 5). 7t20

Номер: 7.25.В


2

dxyd


==

tsin3ytcos3x, заданной пара-

метрически, равна…

Ответы: 1). tsin

13

− 2).

tsin323

− 3).

tsin21

3−

4). tsin2

13 5).

tsin31

3−

Номер: 7.26.В


2

dxyd


=

=2ty

tlnx, заданной парамет-

рически в точке 1t = равна… . Ответы: 1). 3 2). 5 3). 2 4). 4 5). 1

Номер: 7.27.С Задача: Вторая производная функции ( )xf в точке 0x равна

Ответы: 1). ( ) ( )

xxfxxflim

0x Δ′−Δ+′

→Δ 2).

( ) ( )( )2

00

0x xxfxxf

limΔ

−Δ+→Δ

3). ( ) ( )

xxfxxf

lim 00

0x Δ−Δ+

→Δ 4).

( ) ( )x

xfxxflim 00

0x Δ′−Δ+′

→Δ

5). ( ) ( )

xxfxxf

lim 00

0x Δ′−Δ+′

→Δ

53

Номер: 7.28.С Задача: Второй дифференциал функции ( )xf в точке x имеет вид…

Ответы: 1). ( ) xxdf Δ⋅ 2). ( ) 2dxxf ⋅ 3). ( )( )xdfd 4). ( )( )xxfd Δ⋅

5). ( ) xxfd2 Δ⋅

Номер: 7.29.С Задача: Если x - независимая переменная, то второй дифференциал функ-

ции ( ) ( )1xlnxf 2 −= в точке 2x = при 1,0x =Δ равен


2). 901

− 3). 901

4). 53

− 5). 100

1

Номер: 7.30.С

Задача: Если x - независимая переменная, то значение дифференциала

второго порядка для функции 3 2x8y = в точке 8x 0 = при 1,0x =Δ равно…


1− 2).

9001

3). 800

1 4).

8001

− 5). 9901

Номер: 7.31.В

Задача: Второй дифференциал yd2 функции x2x5x3y 34 +−= имеет вид… .

Ответы: 1). ( ) 22 dxx30x36 ⋅− 2). ( ) 22 dxx18x24 ⋅−

3). ( ) 22 dxx12x18 ⋅− 4). ( ) 22 dxx30x72 ⋅− 5). ( ) 22 dxx30x36 ⋅+

Номер: 7.32.С

Задача: Третий дифференциал yd3 функции 2xey = имеет вид … .

Ответы: 1). ( ) 33x dxx8x12e2

+ 2). ( ) 33x dxx12x8e2

+

3). ( ) 33x dxx4x8e2

+ 4). ( ) 323x dxx4x6e2

+ 5). ( ) 32x dxx12x8e2

+

Номер: 7.33.С Задача: Третий дифференциал yd3 функции ( )1x4cosy += имеет вид

... Ответы: 1). ( ) 3dx1x4cos64 + 2). ( ) 3dx1x4sin48 +

3). ( ) 3dx1x4sin64 + 4). ( ) 3dx1x4sin64 +− 5). ( ) 3dx1x4cos16 +

54

Номер: 7.34.В Задача: Второй дифференциал yd 2 функции 3x7x4y 25 +−= имеет

вид … . Ответы: 1). ( ) 23 dxx14x80 − 2). ( ) 23 dxx14x20 − 3). ( ) 23 dx14x60 −

4). ( ) 23 dx14x80 − 5). 22 dxx240 ⋅

Номер: 7.35.B Задача: Второй дифференциал yd 2 функции x2cosy = имеет вид … .

Ответы: 1). 2dxx2sin4 ⋅− 2). 2dxx2cos8 ⋅− 3). 2dxx2cos2 ⋅ 4). 2dxx2sin2 ⋅ 5). 2dxx2cos4 ⋅−

55

8. Механический и геометрический смысл производной

Номер: 8.1.А Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

( ) 1t22t3ttS

23 −+−= . В какой момент времени ускорение будет равно 9

2см ? Ответы: 1). 2 2). 3 3). 4 4). 5 5). 10


( ) 1t3t25t2tS 23 ++−= . В какой момент времени ускорение будет равно 10 2см ? Ответы: 1). 2 2). 1 3). 0 4). 5 5). 6


( ) 3t42t3ttS

23 +−−= . В какой момент времени ускорение будет равно 9

2см ? Ответы: 1). 1 2). 3 3). 2 4). 5 5). 6


( ) 3t72t5t2tS


2см ? Ответы: 1). 5,0 2). 6,0 3). 7,0 4). 8,0 5). 1


( ) 5,02t

2tt

31tS


2см ? Ответы: 1). 5,2 2). 5,5 3). 5 4). 6 5). 7

56


( ) 7t2t6tS 3 −+= . В какой момент времени ускорение будет равно 72 2см ?Ответы: 1). 5,0 2). 1,0 3). 2 4). 3 5). 6

Номер: 8.7.А

Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

( )81t

21t

41tS 24 +−= . В какой момент времени ускорение будет равно 11

2см ? Ответы: 1). 3 2). 5 3). 4 4). 1 5). 2


( ) 6t3t121tS 24 +−= . В какой момент времени ускорение будет равно 10

2см ? Ответы: 1). 5 2). 4 3). 7 4). 3 5). 6


( ) 7t2ttS 24 ++= . В какой момент времени ускорение будет равно 16 2см ? Ответы: 1). 2 2). 6 3). 5 4). 1 5). 3

Номер: 8.10.А

Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

( ) t42t3ttS

24 −−= . В какой момент времени ускорение будет равно 9 2см ?

Ответы: 1). 5 2). 3 3). 8 4). 7 5). 1

Номер: 8.11.А Задача: Составьте уравнение касательной к графику функции

6x3x2x2y 23 +−+= в точке с абсциссой 1x −= . Ответы: 1). x8y −= 2). 8xy += 3). 8xy −= 4). 1x8y +=

5). 1x8y −=

Номер: 8.12.А Задача: Составьте уравнение касательной к графику функции

22x3x2x3y 23 −−+−= в точке с абсциссой 2x = .

57

Ответы: 1). 18x31y −= 2). x3118y −= 3). 31x18y −= 4). 31x18y −−= 5). x1831y −=

Номер: 8.13.А

Задача: Составьте уравнение касательной к графику функции 8x5x2y 23 ++−= в точке с абсциссой 2x = .

Ответы: 1). 4x20y −= 2). 4x20y += 3). 20x4y −−= 4). x420y −= 5). 20x4y +=

Номер: 8.14.А

Задача: Составьте уравнение касательной к графику функции 12x3x3x2y 23 ++−= в точке с абсциссой 2x = .

Ответы: 1). 15x8y += 2). 15x8y −= 3). 15x8y −−= 4). 8x15y −−= 5). 8x15y −=

Номер: 8.15.А

Задача: Составьте уравнение касательной к графику функции 18x6x4x3y 23 −−+= в точке с абсциссой 2x −= .

Ответы: 1). 14x14y += 2). 14x14y −= 3). 6x12y −= 4). 6x12y += 5). x126y −=

Номер: 8.16.С

Задача: Уравнение касательной, проведенной к графику кривой, заданной уравнением xylny2 =⋅ в точке ( )1;0 , имеет вид

Ответы: 1). 1x21y += 2). 1x2y += 3). x

211y −= 4). x21y −=

5). 2xy =

Номер: 8.17.В

Задача: Уравнение касательной к линии x3arccosy = в точке ее пересе-чения с осью ординат имеет вид

Ответы: 1). 03y6x2 =π−− 2). 03y6x2 =π+− 3). 03y6x2 =π++ 4). 0y2x6 =π−− 5). 0y2x6 =π−+

Номер: 8.18.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 1xxf 2 += перпендику-лярна прямой 01yx2 =+−− , то точка касания имеет координаты:

58


⎜⎝⎛ −

1615;

41

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1615;

41

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

1617;

41

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1617;

41

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43;

21

Номер: 8.19.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 2x2xf 2 += перпенди-кулярна прямой 01y4x =+− , то точка касания имеет координаты:

Ответы: 1). ( )4;1− 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

818;

41

3). ( )4;1 4). ( )4;1 −− 5). ( )4;1 −

Номер: 8.20.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 1xxf 2 −= перпендику-лярна прямой 01yx2 =+− , то точка касания имеет координаты:


⎜⎝⎛ −−

1615;

41

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1615;

41

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1617;

41

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1617;

41

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43;

21

Номер: 8.21.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 1xxf 2 −= перпендику-лярна прямой 01yx2 =+−− , то точка касания имеет координаты:


⎜⎝⎛ −

1615;

41

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1615;

41

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1617;

41

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1617;

41

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43;

21

Номер: 8.22.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 2xxf 2 +−= перпенди-кулярна прямой 01yx =+− , то точка касания имеет координаты:


⎜⎝⎛ −−

47;

21

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

47;

21

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

47;

21

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

43;

21

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43;

21

59

Номер: 8.23.В Задача: Если касательная к графику функции ( ) 1xxf 2 −= перпендику-

лярна прямой 05yx2 =−− , то точка касания имеет координаты:


⎜⎝⎛ −−

1615;

41

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1615;

41

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

1617;

41

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1617;

41

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43;

21

Номер: 8.24.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 1xxf 2 −−= перпенди-кулярна прямой 01yx2 =+− , то точка касания имеет координаты:


⎜⎝⎛−

1615;

41

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1615;

41

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

1617;

41

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1617;

41

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43;

21

Номер: 8.25.В

Задача: Если касательная к графику функции ( ) 1x2xf 2 −= перпенди-кулярна прямой 01yx =+− , то точка касания имеет координаты:


⎜⎝⎛−

87;

41

2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

87;

41

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

87;

41

4). ( )31;4

5). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21;

21

Номер: 8.26.В

Задача: Если касательная к графику функции ( )( )2x5xy −−= перпен-дикулярна прямой 01y3x =++ , то абсцисса точки ее пересечения с осью OX равна

Ответы: 1). 2 2). 4− 3). 5 4). 5− 5). 4

Номер: 8.27.В Задача: Если касательная к линии 32 x2y = перпендикулярна прямой

02y3x4 =+− , то сумма координат точки касания равна…

Ответы: 1). 0 2). 161

3). 161

− 4). 163

5). 81

60

Номер: 8.28.В Задача: Уравнение касательной к линии 5x3xy 23 −+= и перпендику-

лярной прямой 01y6x2 =+− имеет вид… Ответы: 1). 6x3y +−= 2). 6x3y −= 3). 6x3y −−=

4). 6x31y += 5). 6x

31y −−=

Номер: 8.29.В

Задача: Сумма ординат точек кривой 2xxy 3 −+= , в которых каса-тельные к этой кривой параллельны прямой 1x4y −= , равна…

Ответы: 1). 1− 2). 0 3). 3− 4). 3 5). 4−

Номер: 8.30.С Задача: Пусть ( )4;2x 0 −∈ . Если касательная к графику функции

( )5x

2xf+

= , проведенная в точке с абсциссой 0x , параллельна отрезку, со-

единяющему точки ( )( )2f;2 −− , ( )( )4f;4 , то 0x равно…

Ответы: 1). 335 +− 2). 345+− 3). 3− 4). 325 +− 5). 3

Номер: 8.31.С

Задача: Если касательная к графику функции ( )4x

1xf+

−= , проведен-

ная в точке с абсциссой ( )4;2x 0 −∈ , параллельна отрезку, соединяющему точки ( )( )2f;2 −− , ( )( )4f;4 , то 0x равно…

Ответы: 1). 0 2). 2 3). 21+ 4). 21− 5). 2

Номер: 8.32.С

Задача: Если касательная к графику функции ( )x2

2xf−

= , проведенная

в точке с абсциссой ( )0;4x 0 −∈ , параллельна отрезку, соединяющему точки ( )( )4f;4 −− , ( )( )0f;0 , то 0x равно…

Ответы: 1). 332 − 2). 323− 3). 322 − 4). 321− 5). 333−

61

Номер: 8.33.С Задача: Пусть ( )1;3x 0 −−∈ . Если касательная к графику функции

( )x1

2xf−


единяющему точки ( )( )3f;3 −− , ( )( )1f;1 −− , то 0x равно

Ответы: 1). 244 − 2). 232 − 3). 2− 4). 221− 5). 22−


( )2x

5xf+

−= , проведенная в точке с абсциссой 0x , параллельна отрезку, со-


Ответы: 1). 31− 2). 32 − 3). 32 +− 4). 0 5). 323−


( )x2

5xf−



Ответы: 1). 332 − 2). 321− 3). 3− 4). 32− 5). 322 −

Номер: 8.36.С

Задача: Пусть ( )2;2x 0 −∈ . Если касательная к графику функции

( )x3

3xf−



Ответы: 1). 51+− 2). 0 3). 523 − 4). 522 +− 5). 53−


( )4x

4xf+

−= , проведенная в точке с абсциссой 0x , параллельна отрезку, со-


Ответы: 1). 224 − 2). 234 +− 3). 0 4). 223+− 5). 222 +−

62


( )x4

2xf−



Ответы: 1). 53 +− 2). 536 − 3). 524 − 4). 525 +− 5). 52 −

Номер: 8.39.В

Задача: Уравнение нормали к линии 2x6

x31y +−= в точке с абсциссой

3x 0 = имеет вид… Ответы: 1). 079y3x27 =++ 2). 079y3x27 =+−

3). 075y5x27 =+− 4). 079y3x27 =−− 5). 079y27x3 =−−

Номер: 8.40.С Задача: Острый угол пересечения кривых ( )22xy −= и 4xx4y 2 +−=

в точке с ненулевой абсциссой равен…

Ответы: 1). 3arctg 2). 4arctg− 3). 158arctg 4). 0 5).

1815arctg

Номер: 8.41.С

Задача: Острый угол между касательной к линии xlny = в точке ее пе-ресечения с осью абсцисс и прямой 5x3y +−= равен

Ответы: 1). 3arctg 2). 2arctg 3). o45 4). o60 5). 21arctg

Номер: 8.42.С

Задача: Уравнение касательной в точке ( )2;2M к кривой

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

t21

t23y

tt1x

2

3,

заданной параметрически, имеет вид… Ответы: 1). 06y10x7 =+− 2). 06y7x10 =++

3). 07y6x10 =+− 4). 06y7x10 =+− 5). 06y10x7 =++

63

Номер: 8.43.С Задача: Уравнение касательной в точке ( )1;3M − к кривой

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

−=

3tty

1tx2

2

, заданной параметрически, имеет вид…

Ответы: 1). 013y4x3 =−− 2). 013y3x4 =−− 3). 011y4x3 =−− 4). 011y3x4 =−− 5). 09y3x2 =−−

Номер: 8.44.С

Задача: Уравнение касательной к кривой ⎩⎨⎧

==

tsin4ytcos2x в точке

4t π= имеет

вид... Ответы: 1). 024yx2 =++ 2). 024yx2 =−+

3). 024y2x =−+ 4). 024y2x =+− 5). 04y4x3 =−+

Номер: 8.45.С

Задача: Уравнение нормали к кривой ⎩⎨⎧

−=−=

tcos1ytsintx

в точке 2

t π= имеет

вид… Ответы: 1). 0y3x2 =π−+ 2). 0y2x3 =π−+ 3). 0y3x3 =π−+

4). 0yx =π−+ 5). 0y2x2 =π−+

Номер: 8.46.С

Задача: Уравнение нормали к кривой ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=2

2

tt2y

tt2x в точке 1t = имеет

вид… Ответы: 1). 04x =− 2). 03x =− 3). 02x =− 4). 01x =−

5). 02x =+

Номер: 8.47.С


==

tsinytcos3x в точке

6t π= имеет

вид… Ответы: 1). 02yx =−− 2). 02y3x2 =−− 3). 02y2x2 =−−

4). 02y2x3 =−+ 5). 02y3x2 =++

64

Номер: 8.48.С


⎪⎨⎧

−=

−=3

2

tty

ttx в точке 1t = имеет ви-

д… Ответы: 1). 01y2x =++ 2). 0y2x =+ 3). 02y2x =+−

4). 0y3x =+ 5). 01y3x =−+

Номер: 8.49.С


⋅=⋅=

tsintytcostx в точке

2t π= имеет

вид… Ответы: 1). 0y2x =π+−π 2). 0y2x =−π 3). 0y3x =π+−π

4). 0yx =π+−π 5). 02y2x =π++π

Номер: 8.50.С


⎪⎨⎧

=

=

tsiny

tcosx3

3

в точке 4

t π= имеет

вид… Ответы: 1). 0xy2 =− 2). 01yx =+− 3). 01y2x =−−

4). 0xy =− 5). 01xy =−−

65

9. Основные теоремы дифференциального исчисления

Номер: 9.1.С Задача: Удовлетворяет ли функция x2x3y 2 += условиям теоремы

Ферма на отрезке [ ]1;0 ? Если да, то указать 0x . Ответы: 1). Да, 21x 0 = 2). Нет 3). Да, 41x 0 = 4). Да, 61x0 =

5). Да, 81x 0 =

Номер: 9.2.С Задача: Удовлетворяет ли функция 28x7y 2 +−= условиям теоремы

Ферма на отрезке [ ]2;4 −− ? Если да, то указать 0x . Ответы: 1). Да, 2x 0 −= 2). Да, 3x 0 −= 3). Да, 5,2x 0 −=

4). Да, 1x 0 −= 5). Нет

Номер: 9.3.С Задача: Удовлетворяет ли функция xlnxy ⋅= условиям теоремы Ферма

на отрезке ( )1;0 ? Если да, то указать 0x .

Ответы: 1). Нет 2). Да, e1x 0 = 3). Да, 20 e1x = 4). Да, e2x 0 =

5). Да, e21x 0 =

Номер: 9.4.С Задача: Удовлетворяет ли функция 42 xx28y −+= условиям теоремы

Ферма на отрезке ( )5,0;5,1− ? Если да, то указать 0x . Ответы: 1). Да, 1x 01 −= , 0x 02 = 2). Нет 3). Да, 1x 0 −=

4). Да, 41x 01 = , 41x 02 −= 5). Да, 0x 0 =

Номер: 9.5.С Задача: Удовлетворяет ли функция 2x3y −= условиям теоремы Ферма

на отрезке [ ]4;1 ? Если да, то указать 0x . Ответы: 1). Нет 2). Да, 2x 0 = 3). Да, 3x 0 = 4). Да, 5,1x 0 =

5). Да, 5,2x 0 =

Номер: 9.6.С Задача: Удовлетворяет ли функция 35x6xy 2 −+= условиям теоремы

Ролля на отрезке [ ]1;5 −− ? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, 3c −= 3). Да, 2c −= 4). Да, 4c −=

66

5). Да, 5,2c −=

Номер: 9.7.С Задача: Удовлетворяет ли функция 5x3xy 2 +−= условиям теоремы

Ролля на отрезке [ ]2;1 ? Если да, то указать c . Ответы: 1). Да, 23c = 2). Нет 3). Да, 45c = 4). Да, 56c =

5). Да, 2c =

Номер: 9.8.С Задача: Удовлетворяет ли функция 1xxxy 23 +−−= условиям теоре-

мы Ролля на отрезке [ ]1;1− ? Если да, то указать c . Ответы: 1). Нет 2). Да, 0c = 3). Да, 21c −= 4). Да, 21c =

5). Да, 31c −=

Номер: 9.9.С Задача: Удовлетворяет ли функция 3x4xy 2 −+−= условиям теоремы

Ролля на отрезке [ ]4;0 ? Если да, то указать c . Ответы: 1). Да, 1c = 2). Да, 2c = 3). Нет 4). Да, 3c = 5). Да, 5,2c =

Номер: 9.10.С Задача: Удовлетворяет ли функция xcosy = условиям теоремы Ролля на

отрезке ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

23;

2? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Да, 4

3c π= 2). Нет 3). Да, π=c 4). Да,

34c π

=

5). Да, 3

2c π=

Номер: 9.11.С

Задача: Удовлетворяет ли функция 2xx2y −= условиям теоремы Ла-гранжа на отрезке [ ]1;0 ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Да, 43c = 2). Да, 41c = 3). Да, 21c = 4). Нет 5). Да, 54c =

Номер: 9.12.С

Задача: Удовлетворяет ли функция xy = условиям теоремы Лагранжа на отрезке [ ]4;1 ? Если да, то указать c .

67

Ответы: 1). Да, 2c = 2). Да, 3c = 3). Да, 25c = 4). Да, 49c = 5). Нет

Номер: 9.13.С

Задача: Удовлетворяет ли функция xlny = условиям теоремы Лагранжа на отрезке [ ]e;1 ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, 2ec = 3). Да, 1ec −= 4). Да,

3e2c =

5). Да, 4e3c =

Номер: 9.14.С

Задача: Удовлетворяет ли функция 3xy = условиям теоремы Лагранжа на отрезке [ ]0;3− ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, 2c −= 3). Да, 1c −= 4). Да, 3c −= 5). Да, 25c −=

Номер: 9.15.С

Задача: Удовлетворяет ли функция xlny = условиям теоремы Лагранжа

на отрезке [ ]2e;e ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, 2

ec2

= 3). Да, eec 2 −= 4). Да, 1ec 2 −=

5). Да, 1ec +=

Номер: 9.16.С Задача: Удовлетворяют ли функции ( ) 3xxf = и ( ) 2xxg = условиям

теоремы Коши на отрезке [ ]2;1 ? Если да, то указать c .


14c = 3). Да, 23c = 4). Да,

34c = 5). Да,

45c =

Номер: 9.17.С

Задача: Удовлетворяют ли функции ( ) 3x2xxf 2 +−= и

( ) 5x20x7xxg 23 −+−= условиям теоремы Коши на отрезке [ ]4;1 ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, 2c = 3). Да, 3c = 4). Да, 25c = 5). Да, 35c =

68

Номер: 9.18.С Задача: Удовлетворяют ли функции ( ) 1xxf 3 += и ( ) 5xxg 2 += усло-

виям теоремы Коши на отрезке [ ]3;0 ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Нет 2). Да, 1c = 3). Да, 2c = 4). Да, 23c = 5). Да,

32c =

Номер: 9.19.С

Задача: Удовлетворяют ли функции ( ) xsinxf = и ( ) xcosxg = услови-ям теоремы Коши на отрезке [ ]2;0 π ? Если да, то указать c .


c π= 3). Да,

6c π= 4). Да,

4c π= 5). Да,

9c π=

Номер: 9.20.С

Задача: Удовлетворяют ли функции ( ) 9xxf += и ( ) xxg = услови-ям теоремы Коши на отрезке [ ]16;0 ? Если да, то указать c .

Ответы: 1). Да, 4c = 2). Нет 3). Да, 3c = 4). Да, 6c = 5). Да, 2c =

69

10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Номер: 10.1.А

Задача: Вычислить предел функции xsin1elim

x

0x

−→

.

Ответы: 1). 1 2). 21 3). 1− 4). 21− 5). 2

Номер: 10.2.А

Задача: Вычислить предел функции xtgxxsinxlim

0x −−

→.

Ответы: 1). 21 2). 1 3). 21− 4). 1− 5). 2

Номер: 10.3.А

Задача: Вычислить предел функции xcosexcoselim x

x

0x β−α−

β

α

→.

Ответы: 1). β−αe 2). βα 3). βα

coscos

4). αβ 5). βα−

Номер: 10.4.А

Задача: Вычислить предел функции xsinx

x2eelimxx

0x −−− −

→.

Ответы: 1). 1 2). 2− 3). 1− 4). 2 5). 21

Номер: 10.5.А

Задача: Вычислить предел функции xsinlnx2sinlnlim

0x→.

Ответы: 1). 1− 2). 2 3). 2− 4). 21 5). 1

Номер: 10.6.А

Задача: Вычислить предел функции 12xxcos

1x2x6xelim 2

23x

0x −+−−−−

→.

Ответы: 1). 1 2). 2− 3). 1− 4). 21 5). 2

Номер: 10.7.А

Задача: Вычислить предел функции xsinln

xlnlim0x→

.

Ответы: 1). 2 2). 1 3). 1− 4). 21 5). 21−

70

Номер: 10.8.А

Задача: Вычислить предел функции axaxlim

33

ax −−

→.

Ответы: 1). 6 a32⋅

2). 3 a23⋅

3). 6 a23⋅

4). a3

2⋅

5). a2

3⋅

Номер: 10.9.А

Задача: Вычислить предел функции 30x xxsinxlim −

→.

Ответы: 1). 0 2). 61 3). 31 4). 41− 5). 4

Номер: 10.10.А

Задача: Вычислить предел функции 20x xxcos1lim −

→.

Ответы: 1). 21 2). 0 3). 1 4). 41− 5). предел не существует


Задача: Вычислить предел функции x

1elimx

0x

−→

.

Ответы: 1). 1 2). 0 3). ∞ 4). 2 5). 1−


Задача: Вычислить предел функции ee

xln1xlim x

2

1x −+−

→.

Ответы: 1). e3

2). 0 3). 1 4). e1

5). 2


Задача: Вычислить предел функции 3x4x2x3xlim 23

23

1x +−+−

→.

Ответы: 1). 53 2). 0 3). 73− 4). 1− 5). ∞


Задача: Вычислить предел функции ( )x1lneelim

xx

0x ++ −

→.

Ответы: 1). 1 2). ∞ 3). 0 4). 2 5). 3−

71


Задача: Вычислить предел функции ( )

4

xx

0x xxcosee2lim

−

→

+−.

Ответы: 1). 31 2). 3 3). ∞ 4). 1− 5). предел не существует


Задача: Вычислить предел функции xsinx

eelimxsinx

0x −−

→.

Ответы: 1). 1 2). 1− 3). 0 4). 4 5). 21−


Задача: Вычислить предел функции

1x1xln

21

xarctg2lim

x

+−

−π

∞→.

Ответы: 1). 2π 2). 1− 3). ∞+ 4). 0 5). 3π−


Задача: Вычислить предел функции xarctg2

x11ln

lim2

x −π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→.

Ответы: 1). 0 2). 1 3). ∞ 4). 21− 5). π


Задача: Вычислить предел функции 1e

xarctg2lim x3x −−π

∞→


2). e 3). 0 4). ∞ 5). 1


Задача: Вычислить предел функции xxlnlim

x +∞→.

Ответы: 1). 0 2). e 3). e− 4). ∞ 5). предел не существует


Задача: Вычислить предел функции 2

x

x xelim

+∞→.

Ответы: 1). ∞+ 2). 1 3). 0 4). 2 5). 31

72



xctg1xlnlim

1x π−

→.

Ответы: 1). 0 2). π 3). 1 4). ∞ 5). предел не существует


Задача: Вычислить предел функции ( )x1ln

x2

tglim

1x −

π

→.

Ответы: 1). 1 2). 2 3). 2− 4). ∞ 5). 0


Задача: Вычислить предел функции x

alimx

x +∞→, consta = .

Ответы: 1). ∞+ 2). 0 3). a 4). 1 5). предел не существует


Задача: Вычислить предел функции ( )( )axax eeln

axlnlim−−

→, consta = .

Ответы: 1). 1 2). 1− 3). e 4). ∞ 5). a

Номер: 10.26.В Задача: Вычислить предел функции xlnxlim

0x +→.

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 41− 4). 21 5). 31

Номер: 10.27.В Задача: Вычислить предел функции ( )xctgxarcsinlim

0x⋅

→

Ответы: 1). 1 2). 2 3). ∞ 4). 0 5). 1−

Номер: 10.28.А Задача: Вычислить предел функции . x

xexlim −

+∞→⋅ .

Ответы: 1). 1 2). ∞ 3). 0 4). 21− 5). предел не существует

Номер: 10.29.В

Задача: Вычислить предел функции ( ) x2

tgx1lim1x

π⋅−

→.

Ответы: 1). π2

2). 1 3). 1− 4). 0 5). ∞

73


Задача: Вычислить предел функции ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−→ xln1

1x1lim

1x.

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 21− 4). 21 5). 3



⎜⎝⎛

−−

−→ 1x1

1x2lim 21x

.

Ответы: 1). 21− 2). 0 3). 1 4). 4− 5). 2



⎜⎝⎛ −

→ x1

xsin1lim

0x.

Ответы: 1). 0 2). 1 3). π 4). 3π 5). предел не существует

Номер: 10.33.С Задача: Вычислить предел функции x

0xxlim

+→.

Ответы: 1). 1 2). 0 3). ∞+ 4). 81− 5). 31

Номер: 10.34.С Задача: Вычислить предел функции ( ) xcos2

2x

xtglimπ

→.

Ответы: 1). 1 2). 0 3). 2π

4). ∞ 5). предел не существует

Номер: 10.35.С

Задача: Вычислить предел функции ( )x

0xxsinlim

→.

Ответы: 1). 0 2). ∞ 3). 1 4). 91− 5). 1−

Номер: 10.36.С Задача: Вычислить предел функции ( ) x2sin

2x

xtglimπ

→.

Ответы: 1). 1 2). 0 3). 3π

4). π− 5). 2π

−

74

Номер: 10.37.С Задача: Вычислить предел функции ( ) xln

0xx1lim +

→.

Ответы: 1). 0 2). e− 3). 1 4). 51− 5). 61



x2x31lnlim

0x

−→

.

Ответы: 1). 23− 2). 21 3). 4− 4). 0 5). ∞−

Номер: 10.39.A

Задача: Вычислить предел функции x3tgxtglim

2x π→

.

Ответы: 1). 3 2). 0 3). π 4). π− 5). 2π−


Задача: Вычислить предел функции ( )x24xtglim

2x−

π→

.

Ответы: 1). π4

2). 0 3). 2 4). 2− 5). 4


Задача: Вычислить предел функции xtg

0x x1lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→.

Ответы: 1). 1 2). 0 3). π 4). 3π

− 5). 21


Задача: Вычислить предел функции xctgxlnlim

0x→.

Ответы: 1). 0 2). e 3). e− 4). π 5). ∞


Задача: Значение ( )x1

x

x3xlim +

+∞→ равно … .

Ответы: 1). 3 2). 4 3). 9 4). e 5). 2e

75


Задача: Значение ( )x1

x

0xxelim +

→ равно … .

Ответы: 1). e 2). 2e− 3). 2e 4). 3e 5). 1


Задача: Значение ( )cos3x0x

lim2sin

1

→

x равно … .

Ответы: 1). 1 2). 29e− 3). 23e− 4). 1e− 5). 31e−


Задача: Значение ( ) 2x1

0xx3coslim


Ответы: 1). 5,4e− 2). 5,3e− 3). 5,1e− 4). 5,0e− 5). 1


Задача: Значение ( ) xln1

0xxctglim

+→ равно … .

Ответы: 1). e 2). 1e− 3). 1 4). 2e− 5). 21

e−


Задача: Значение ( ) x11

01x1x2lim −

+→− равно … .

Ответы: 1). 21e− 2). 1e− 3). 2e− 4). 21e 5). 1


Задача: Значение ( ) x3sin1

0xx2coslim


Ответы: 1). 32e− 2). 31e− 3). 1e− 4). 1 5). 2e−


Задача: Значение ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+∞→ x1

xlnxlim10

x равно … .

Ответы: 1). 1 2). ∞ 3). 2 4). 21

5). 10

76


Задача: Значение ( )

6xx7xlnlim 2

3

2x −+−


Ответы: 1). 4,2 2). 2,2 3). 1,2 4). 2 5). 8,1


Задача: Значение ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

∞→ xx3xlnxlim 2

52

x равно … .

Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 31

5). 32

77

11. Возрастание и убывание функции

Номер: 11.1.А Задача: Найдите длину промежутка возрастания функции

2x3x20y 53 +−= . Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 5). 4

Номер: 11.2.А Задача: Найдите длину промежутка убывания функции

5x21x9xy 23 +−−= . Ответы: 1). 5 2). 9 3). 7 4). 8 5). 6

Номер: 11.3.А Задача: Найдите суммарную длину промежутков убывания функции

( ) x15x18x4xf 23 +−= . Ответы: 1). 2 2). 4 3). 5 4). 3 5). 6

Номер: 11.4.В

Задача: Найдите длину промежутка убывания функции x23xy −= .

Ответы: 1). 0 2). 3 3). 6 4). 9 5). 16

Номер: 11.5.В Задача: Найдите длину промежутка убывания функции

( ) 322xln16xy 2 −−−= . Ответы: 1). 6 2). 5 3). 4 4). 3 5). 2

Номер: 11.6.В Задача: Найдите длину промежутка возрастания функции

( ) 74xln52

xy2

−++−= .

Ответы: 1). 3 2). 4 3). 5 4). 6 5). 2

Номер: 11.7.В

Задача: Найдите длину промежутка убывания функции 7x

x3y 2 +−

= .

Ответы: 1). 5 2). 8 3). 6 4). 7 5). 4

Номер: 11.8.А Задача: Найдите длину промежутка возрастания функции

11x12xy 3 ++−= . Ответы: 1). 6 2). 4 3). 3 4). 5 5). 7

78

Номер: 11.9.В Задача: Пусть производная функции ( )xf имеет вид

( ) ( )( )16xx1xxf 23 −−=′ . Вычислить суммарную длину промежутков возрас-тания функции ( )xf

Ответы: 1). 6 2). 9 3). 7 4). 8 5). 10


( ) ( )( )3x1xxxf 222 −−=′ . Определить количество промежутков возрастания функции ( )xf .

Ответы: 1). 5 2). 4 3). 2 4). 3 5). 1

Номер: 11.11.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , не превышающих по моду-

лю 5 и принадлежащих промежутку (или промежуткам) возрастания функции ( ) 15x45x6x4xf 23 +−+= .

Ответы: 1). 2 2). 5 3). 1 4). 3 5). 4

Номер: 11.12.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , не превышающих по моду-

лю 5 и принадлежащих промежутку (или промежуткам) возрастания функции ( ) 10x45x24x4xf 23 ++−= .

Ответы: 1). 3− 2). 4− 3). 2− 4). 5− 5). 1−

Номер: 11.13.А Задача: Вычислите сумму целых значений x , принадлежащих промежут-

ку (или промежуткам) возрастания функции ( ) 7x63x12x4xf 23 −+−−= . Ответы: 1). 2− 2). 5− 3). 3− 4). 6− 5). 4−


ку (или промежуткам) возрастания функции ( ) 9x63x30x4xf 23 −−+−= Ответы: 1). 3 2). 1 3). 2 4). 5 5). 4


ку (или промежуткам) убывания функции ( ) 10x15x18x4xf 23 −++= . Ответы: 1). 3− 2). 5− 3). 2− 4). 6− 5). 4−

79

Номер: 11.16.В Задача: Найдите количество целых чисел, принадлежащих промежутку

возрастания функции ( ) ( ) x5,0x6xf 5,0 −−= . Ответы: 1). 5 2). 8 3). 6 4). 9 5). 7


Задача: Количество целых значений x , принадлежащих интервалам убы-

вания функции ( )x

54x2xf 3 −−= и находящихся в промежутке [ ]5;5− , равно:

Ответы: 1). 8 2). 9 3). 6 4). 7 5). 5

Номер: 11.18.С Задача: Сумма целых значений x , принадлежащих интервалам убывания

функции ( )xcos

1xf = и находящихся в промежутке [ ]π2;0 , равна:

Ответы: 1). 15 2). 12 3). 6 4). 11 5). 9


Задача: Функция x

16xy3 +

= возрастает на интервале…

Ответы: 1). ( )8;−∞− 2). ( )4;6 −− 3). ( )0;1− 4). ( )2;0 5). ( )∞;2


Задача: Функция 2x1xy 2

2

+−


Ответы: 1). ( )6;−∞− 2). ( )1;6 −− 3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21;1 4). ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

21

5). ( )5;1


Задача: Функция 4x

x2y 2

2

−= возрастает на интервале…

Ответы: 1). ( )3;−∞− 2). ( )1;0 3). ( )2;1 4). ( )5;3 5). ( )12;6


Задача: Функция 2

3

x4xy−


Ответы: 1). ( )10;−∞− 2). ( )4;6 −− 3). ( )0;1− 4). ( )10;4 5). ( )∞;10

80


Задача: Функция ( )

1x1xy 2

2

+−

= убывает на интервале…

Ответы: 1). ( )5;−∞− 2). ( )3;4 −− 3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21;

21

4). ( )5;2 5). ( )∞;6


Задача: Функция ( )

2

2

x1xy −


Ответы: 1). ( )4;−∞− 2). ( )0;4− 3). ( )1;0 4). ( )4;1 5). ( )∞;5


Задача: Функция ( )2

23

1xx2xy

−+


Ответы: 1). ( )5;−∞− 2). ( )2;5 −− 3). ( )1;0 4). ( )4;2 5). ( )∞;5


Задача: Функция ( )( )2

3

1x1xy

−+


Ответы: 1). ( )5;−∞− 2). ( )2;4 −− 3). ( )8;6 4). ( )4;2 5). ( )∞;10


Задача: Функция ( )( )3

2

1x1xy

+−


Ответы: 1). ( )2;4 −− 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;0 3). ( )4;2 4). ( )6;4 5). ( )∞;6


Задача: Функция ( )( )x29

x4y3

−−


Ответы: 1). ( )4;−∞− 2). ( )2;1 3). ( )3;2 4). ( )9;4 5). ( )∞;10

81

12. Экстремум функции

Номер: 12.1.А Задача: Точкой максимума функции ( ) 8x36x6,3xf 35 −−= является

точка x , равная: Ответы: 1). 1 2). 6 3). 6− 4). 0 5). 1−

Номер: 12.2.А Задача: Найдите точку минимума функции

( ) 24x40x40x8xf 345 +−−−= . Ответы: 1). 2− 2). 3− 3). 6− 4). 1− 5). 4−

Номер: 12.3.А Задача: Найдите точку максимума функции 3x9x2y 23 ++−= . Ответы: 1). 3 2). 1 3). 1− 4). 2 5). 4

Номер: 12.4.А Задача: Определить точку максимума функции ( ) x9x3xxf 23 −+= . Ответы: 1). 2 2). 1− 3). 1 4). 3− 5). 2−

Номер: 12.5.А Задача: Найдите точку максимума функции

( ) 15x40x5,17x2xf 345 +++= . Ответы: 1). 3− 2). 4− 3). 2 4). 1− 5). 1

Номер: 12.6.А Задача: Точкой минимума функции ( ) 1x4x2xf 34 −+= является точка

x , равная: Ответы: 1). 0 2). 1− 3). 5,1− 4). 2− 5). 1

Номер: 12.7.В Задача: Функция x2 ex2y −⋅−= имеет минимум в точке… Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 1− 5). 3

Номер: 12.8.В Задача: Функция ( ) x3e1xy ⋅−= имеет минимум в точке… Ответы: 1). 1− 2). 21− 3). 31 4). 32 5). 23

Номер: 12.9.В Задача: Функция ( ) x2 ex3y ⋅−= имеет максимум в точке…

82

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 23 5). 4

Номер: 12.10.В Задача: Функция x1exy −⋅= имеет максимум в точке… Ответы: 1). 2− 2). 1− 3). 1 4). 2 5). 4


Задача: Найти max и min функции ( )3xx

xxxf 2

2

+−−

= .

Ответы: 1). min21x −= 2). max21x −= 3). min0x −= , max1x −= 4). max0x −= 5). нет точек max и min


Задача: Найти max и min функции ( ) 2x12x4x3xf 234 +−−= . Ответы: 1). max0x −= 2). min2x −= 3). min1x1 −−= ,

min2x 2 −= , max0x3 −= 4). max2x1 −= , max0x 2 −= 5). нет точек экстремума


Задача: Найти max и min функции ( ) ( )52xxf −= . Ответы: 1). max2x −= 2). min2x −= 3). min0x1 −= ,

min2x 2 −= 4). max1x1 −= , min2x 2 −−= 5). нет точек экстремума


Задача: Найти max и min функции ( )x

1xxf2 +

= .

Ответы: 1). min1x1 −= , max1x 2 −−= 2). min1x −= 3). min0x1 −= , min1x 2 −= 4). max0x1 −= , max1x 2 −−= 5). нет точек

экстремума


Задача: Найти max и min функции ( )2x

xxf2

−= .

Ответы: 1). max0x −= , min2x −= 2). max0x −= , min4x −= 3). max4x −= 4). max2x −= 5). нет точек экстремума

83


Задача: Найти max и min функции ( ) 2

23

x46x14x5x2xf −+−

= .

Ответы: 1). max3x −−= , max1x −= , min2x −= 2). min0x −= , max1x −= 3). max0x −= , max1x −= 4). max3x −−= 5). нет точек экс-

тремума


Задача: Найти max и min функции ( )xxlnxf = .

Ответы: 1). maxex −= 2). maxex −= , min0x −= 3). max0x −= 4). min1x −= , max1x −−= 5). нет точек экстремума


Задача: Найти max и min функции ( ) xlnxxf ⋅= .

Ответы: 1). mine1x −= 2). max

e1x −= 3). min

e1x1 −= ,

maxe1x 2 −−= 4). min0x −= , max1x −= 5). нет точек экстремума

Номер: 12.19.A

Задача: Найти max и min функции ( ) xlnxxf −= . Ответы: 1). min1x −= , maxex −= 2). min1x −= 3). max0x −=

4). max1x1 −= , min0x 2 −= 5). нет точек экстремума



xln1xf +=

Ответы: 1). max1x −= 2). max1x −= , min0x −= 3). min1x −−= , max0x −= 4). min1x −= 5). нет точек экстремума



exfx

= .

Ответы: 1). min1x −= 2). min1x1 −= , max0x 2 −= 3). min0x −=

4). min2x1 −= , min2x 2 −−= , max0x3 −= 5). нет точек экстремума

84

Номер: 12.22.В Задача: Найти max и min функции ( ) x12 exxf ⋅= . Ответы: 1). max0x1 −= , min1x 2 −= 2). min21x1 −= 3).

max1x1 −−= 4). max4x −= 5). нет точек экстремума

Номер: 12.23.В Задача: Найти max и min функции ( ) ( ) xex1xf ⋅−= . Ответы: 1). max0x −= 2). max0x −= , min1x −= 3). min2x −=

4). min3x1 −= , max3x 2 −−= 5). нет точек экстремума

Номер: 12.24.А Задача: Найти max и min функции ( ) 5x4x3xf 32 +−= . Ответы: 1). min0x1 −= , min1x 2 −= 2). min1x −= 3).

max0x1 −= , min2x 2 −= 4). min2x1 −= , max3x 2 −= 5). нет точек экстремума


Задача: Найти max и min функции ( )21xxy −= . Ответы: 1). max31x1 −= 2). min31x1 −= , max1x 2 −= 3).

max31x1 −= , min1x 2 −= 4). max0x1 −= , min1x 2 −= 5). нет точек экстремума


Задача: Найдите точку максимума функции ( ) 1x3xy 2 −⋅−= .

Ответы: 1). 56 2).

57

3). 1 4). 3 5). 2


Задача: Найдите точку минимума функции x2xy 2 −⋅= .

Ответы: 1). 0 2). 1 3). 56

4). 58 5). 2


Задача: Найдите точку максимума функции ( ) xex7y ⋅−= . Ответы: 1). 2 2). 4 3). 5 4). 1 5). 6

85

Номер: 12.29.В Задача: Найдите точку минимума функции ( )x1lnxy +−= . Ответы: 1). 3 2). 1 3). 4 4). 0 5). 2

Номер: 12.30.С Задача: Точка максимума функции ( ) ( )x3x4arccosxf 3 −= есть… Ответы: 1). 21− 2). 0 3). 21 4). 1 5). не существует

Номер: 12.31.С Задача: Точка минимума функции ( ) ( )x3x4arccosxf 3 −= есть… Ответы: 1). 1− 2). 21− 3). 0 4). 21 5). не существует

Номер: 12.32.С Задача: Точка минимума функции ( ) ( )8xx6arcsinxf 34 −+= есть… Ответы: 1). 2π− 2). 81− 3). 0 4). 1 5). не существует

Номер: 12.33.С Задача: Точка максимума функции ( ) ( )34 xx68arcsinxf +−= есть… Ответы: 1). 1− 2). 0 3). 81 4). 2π 5). не существует

Номер: 12.34.А Задача: Найдите количество точек экстремума функции

1x35x42x15y 357 +⋅+⋅−⋅= . Ответы: 1). 4 2). 3 3). 2 4). 1 5). 0

Номер: 12.35.А Задача: Найдите количество точек экстремума функции

3x16x3y 34 −−= . Ответы: 1). 4 2). 3 3). 2 4). 1 5). 0

Номер: 12.36.В Задача: Найдите количество точек экстремума функции

3

23

x61x3x4y +−

= .

Ответы: 1). 4 2). 3 3). 2 4). 1 5). 0

86


3

23

x36x2x3y +−

= .

Ответы: 1). 3 2). 2 3). 1 4). 0 5). 4


3

23

x615x5x5y +−

= .

Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 4 5). 0

Номер: 12.39.В Задача: Найти число точек экстремума функции ( ) ( )22 3x1xy −−= . Ответы: 1). 3 2). 1 3). 4 4). 5 5). 2


( ) ( ) ( )( )4x2x1xxf 222 −−−=′ . Найдите число точек экстремума функции ( )xf .

Ответы: 1). 4 2). 6 3). 5 4). 3 5). 2


Задача: Число точек экстремума функции 2x4 exy −⋅= равно…

Ответы: 1). 3 2). 0 3). 1 4). 5 5). 2

Номер: 12.42.В Задача: Число точек экстремума функции ( ) x1e2xy ⋅+= равно… Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 0 5). 5

Номер: 12.43.В Задача: Число точек экстремума функции x3 exy −⋅= равно… Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 5). 4


Задача: Число точек экстремума функции 2x2 exy −⋅= равно…

Ответы: 1). 1 2). 2 3). 4 4). 3 5). 5

87


Задача: Число точек экстремума функции ( ) 2xex1y −⋅−= равно… Ответы: 1). 2 2). 3 3). 1 4). 0 5). 4


Задача: Число точек экстремума функции 2xx3exy −⋅−= равно…

Ответы: 1). 1 2). 3 3). 0 4). 2 5). 4

Номер: 12.47.В Задача: Найдите значение функции ( ) 1xx4xf −+= в точке минимума. Ответы: 1). 2 2). 4 3). 1 4). 6 5). 3

Номер: 12.48.А Задача: Найдите значение функции x4x6x4xy 234 −+−= в точке

минимума. Ответы: 1). 1 2). 4 3). 1− 4). 3− 5). 2

Номер: 12.49.В Задача: Найдите значение функции ( ) x2e1x2y += в точке минимума.


1− 2). 2e2

1− 3).

e1

− 4). e2

1− 5). 3e

2−


Задача: Найдите значение функции ( )

2x1xy

2

−−

= в точке максимума.

Ответы: 1). 4 2). 0 3). 1 4). 3 5). 2


Задача: Найдите значение функции x1xy += в точке минимума.

Ответы: 1). 1− 2). 0 3). 2− 4). 2 5). 1


Задача: Если m и M - значения функции ( )2x

10x52xf

++= в точках

минимума и максимума соответственно, то значение выражения M2m + рав-но:

Ответы: 1). 6,1 2). 11− 3). 4,6− 4). 1− 5). 6,1−

88


Задача: Если m и M - значения функции ( )2x

20x54xf

++= в точках

минимума и максимума соответственно, то значение выражения M2m + рав-но:

Ответы: 1). 2,3 2). 11− 3). 8,12− 4). 1− 5). 2,3−

Номер: 12.54.А Задача: Вычислить сумму значений функции ( ) 2x3xxf 3 +−= в точках

экстремума. Ответы: 1). 3 2). 5 3). 4 4). 6 5). 7

Номер: 12.55.С Задача: Если в точке максимума функция дифференцируема, то в этой

точке при любом ненулевом приращении аргумента дифференциал функции. Ответы: 1). больше нуля 2). равен нулю 3). меньше нуля 4). может

иметь разные знаки 5). не существует


Задача: Если в точке максимума функция дифференцируема, то в этой точке дифференциал функции.

Ответы: 1). равен нулю 2). больше нуля 3). меньше нуля 4). не сущест-вует 5). может иметь любой знак


Задача: Если в некоторой окрестности точки 0x функция ( )xf дважды непрерывно дифференцируема, и 0x является точкой максимума, то…

Ответы: 1). ( ) 0xf 0 =′′ 2). ( ) 0xf 0 ≥′′ 3). ( ) 0xf 0 ≤′′ 4). ( ) 0xf 0 ≠′′ 5). ( )0xf ′′ не существует


Задача: Если в некоторой окрестности точки 0x функция ( )xf дважды непрерывно дифференцируема, и 0x является точкой минимума, то...

Ответы: 1). ( ) 0xf 0 ≠′′ 2). ( ) 0xf 0 ≥′′ 3). ( ) 0xf 0 ≤′′ 4). ( ) 0xf 0 =′′ 5). ( )0xf ′′ не существует


Задача: Если у функции ( )xf в точке 0x первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал отрицателен, то точка 0x …

89

Ответы: 1). является точкой максимума 2). является точкой минимума 3). не является точкой экстремума 4). принадлежит интервалу возрастания 5). принадлежит интервалу убывания функции


Задача: Если у функции ( )xf в точке 0x первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал при 0dx ≠ положителен, то точка 0x .

Ответы: 1). является точкой максимума 2). является точкой минимума 3). не является точкой экстремума 4). принадлежит интервалу возрастания 5). принадлежит интервалу убывания


Задача: Если в точке минимума функция дифференцируема, то в этой точке дифференциал функции.

Ответы: 1). не существует 2). может иметь любой знак 3). больше нуля 4). меньше нуля 5). равен нулю

90

13. Наименьшее и наибольшее значения функции

Номер: 13.1.А Задача: Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции

( ) 4x12x3x2xf 23 +−−= на отрезке [ ]2;2− , то значение выражения mM + равно: Ответы: 1). 5 2). 6 3). 5− 4). 6− 5). 4−


( ) 16x12x3x2xf 23 −+−−= на отрезке [ ]2;1− , то значение выражения M3m − равно: Ответы: 1). 1− 2). 2− 3). 3− 4). 4− 5). 5−


( ) 3x12x9x2xf 23 −++= на отрезке [ ]2;2− , то значение выражения Mm2 + равно: Ответы: 1). 35− 2). 52− 3). 57 4). 59 5). 65

Номер: 13.4.В Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

4x25xy+

+= на отрезке [ ]6;2− , то значение выражения M2m + равно:

Ответы: 1). 7 2). 27 3). 5,22 4). 5,26 5). 32


2x49xy+

+= на отрезке [ ]8;3 , то значение выражения Mm2 − равно:

Ответы: 1). 9,12 2). 42 3). 1,11 4). 1,10 5). 8,9


( )2x

152x35y

+++= на отрезке [ ]4;1− , то значение выражения m3M − рав-

но:

Ответы: 1). 3113− 2).

315 3).

3121− 4). 8 5).

32

91


1x3

31xy

++

+= на отрезке [ ]5;1 , то значение выражения M6m + равно:

Ответы: 1). 19 2). 21 3). 17 4). 214 5).

219

Номер: 13.8.В

Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

4x8

24xy

−+

−= на отрезке [ ]10;2 , то значение выражения Mm + равно


2). 32

− 3). 107

4). 2− 5). 3

Номер: 13.9.В

Задача: Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции

( )3x

123x3y−

+−= на отрезке [ ]9;4 , то значение выражения Mm2 − равно

Ответы: 1). 5 2). 10 3). 4 4). 12 5). 9


3x16xy−

+= на отрезке [ ]11;4 , то значение выражения Mm4 − равно

Ответы: 1). 31 2). 12 3). 20 4). 24 5). 36


5x365xy−

+−= на отрезке [ ]14;8 , то значение выражения Mm3 − равно

Ответы: 1). 24 2). 21 3). 23− 4). 26 5). 18−


2x8x2y−

+= на отрезке [ ]10;3 , то значение выражения M2m + равно

Ответы: 1). 49 2). 36 3). 42 4). 80 5). 54

92


( )3x

273x3y+

++= на отрезке [ ]7;2− , то значение выражения Mm2 − рав-

но Ответы: 1). 7,2 2). 3,27 3). 3,3 4). 4 5). 30

Номер: 13.14.А Задача: Сумма наибольшего и наименьшего значений функции

( ) 2x4xxf 2 −−= на отрезке [ ]3;1− равна: Ответы: 1). 4 2). 2 3). 7− 4). 3− 5). 5


( ) 2x12x2xf 2 +−= на отрезке [ ]4;4− равна: Ответы: 1). 66 2). 98 3). 30− 4). 68 5). 30


( ) 1x6xxf 2 −−= на отрезке [ ]4;4− равна: Ответы: 1). 29 2). 48 3). 16− 4). 33 5). 14


Задача: Сумма наибольшего и наименьшего значений функции ( ) 5x4xxf 2 +−= на отрезке [ ]3;1− равна:

Ответы: 1). 0 2). 9 3). 11 4). 8 5). 12

Номер: 13.18.А Задача: Какому промежутку принадлежит наибольшая разность

( ) ( )21 xfxf − значений функции ( ) 23x10x4xf 25 ++= на отрезке [ ]21;2− ?

Ответы: 1). ]2;1( 2). ]40;2( 3). ]80;40( 4). ]90;80( 5). Ни один из приведенных промежутков не годится


Задача: Какому промежутку принадлежит наибольшая разность ( ) ( )21 xfxf − значений функции ( ) 25x10x8xf 45 +−= на отрезке [ ]23;1− ?


93

Номер: 13.20.А Задача: Какому промежутку принадлежит наибольшая разность

( ) ( )21 xfxf − значений функции ( ) 21x10x8xf 45 ++= на отрезке [ ]1;23− ?



Задача: Какому промежутку принадлежит наибольшая разность ( ) ( )21 xfxf − значений функции ( ) 9x10x2xf 5 −−= на отрезке [ ]2;23− ?



Задача: Найдите наибольшее значение функции 3xx12y −= на отрезке [ ]1;3−

Ответы: 1). 8 2). 11 3). 10 4). 9 5). 12

Номер: 13.23.А Задача: Найдите наибольшее значение функции ( ) x12x9x2xf 23 +−=

на отрезке [ ]3;0 Ответы: 1). 10 2). 8 3). 9 4). 12 5). 14


Задача: Найдите наименьшее значение функции 3x2x

x2xy 2

2

+++

= на от-

резке [ ]0;2−


2). 0 3). 31

− 4). 21

− 5). 32

−


Задача: Наибольшее значение функции ( ) ( )3x32x24arccosxf 34 −+−= равно

Ответы: 1). 21− 2). 21 3). 32π 4). π 5). не существует

Номер: 13.26.С Задача: Наименьшее значение функции ( ) ( )3x32x24arccosxf 34 −+=

равно Ответы: 1). 21− 2). 0 3). 21 4). 3π 5). не существует

94

Номер: 13.27.С Задача: Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен с трех

сторон забором. Найти наименьшую длину забора Ответы: 1). 80 2). 100 3). 90 4). 110 5). 70

Номер: 13.28.С Задача: Площадь участка в форме параллелограмма с острым углом o30

равна 8. Какое наименьшее значение принимает его периметр? Ответы: 1). 18 2). 20 3). 16 4). 14 5). 22

Номер: 13.29.С Задача: Площадь участка, имеющего форму равнобочной трапеции с ост-

рым углом o30 , равна 50 . Какое наименьшее значение принимает его пери-метр?

Ответы: 1). 36 2). 32 3). 44 4). 50 5). 40

Номер: 13.30.С Задача: Участок имеет форму прямоугольной трапеции с острым углом

o30 . Периметр трапеции равен 24. Определить максимально возможную пло-щадь участка.

Ответы: 1). 36 2). 40 3). 20 4). 24 5). 32

Номер: 13.31.С Задача: Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукру-

гом. Площадь участка равна 5,12 . При каком радиусе полукруга периметр уча-стка является наименьшим?

Ответы: 1). 4

3+π

2). 4

5+π

3). π5

4). π

5 5).

23+π


Задача: Площадь трапеции, описанной вокруг окружности, равна 2. Най-ти радиус окружности, если известно, что сумма длин боковых сторон и высо-ты трапеции принимает минимально возможное значение

Ответы: 1). 32 2). 43 3). 45 4). 23 5). 1

Номер: 13.33.С Задача: Сумма длин боковых сторон и высоты трапеции, описанной около

окружности, равна 4. Найти максимально возможное значение площади трапе-ции

Ответы: 1). 3 2). 5,2 3). 2 4). 5,1 5). 2,3

95

Номер: 13.34.С Задача: Периметр параллелограмма с острым углом o30 равен 4. Найти

максимально возможное значение площади параллелограмма Ответы: 1). 43 2). 21 3). 1 4). 41 5). 31

Номер: 13.35.С Задача: В равнобочной трапеции меньшее основание и боковая сторона

равны 4. При какой длине большего основания площадь трапеции окажется наибольшей

Ответы: 1). 8 2). 12 3). 9 4). 6 5). 10

Номер: 13.36.С Задача: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8. Какое наи-

меньшее значение может принять сумма квадратов длин сторон параллело-грамма?

Ответы: 1). 42 2). 36 3). 24 4). 32 5). 48

96

14. Точки перегиба графика функции. Асимптоты

Номер: 14.1.В

Задача: Число точек перегиба графика функции ( )32 1xy −= равно: Ответы: 1). 1 2). 3 3). 4 4). 0 5). 2

Номер: 14.2.В

Задача: Число точек перегиба графика функции 3 2 16xy −= равно: Ответы: 1). 2 2). 1 3). 0 4). 3 5). 4

Номер: 14.3.А Задача: Число точек перегиба графика функции x5x6xy 24 +−= рав-

но: Ответы: 1). 0 2). 1 3). 2 4). 3 5). 4

Номер: 14.4.А Задача: Число точек перегиба графика функции 2x3x5x3y 45 −+−=

равно: Ответы: 1). 1 2). 2 3). 3 4). 4 5). 0

Номер: 14.5.В

Задача: Число точек перегиба графика функции ( )32 5x125

1y −= равно:

Ответы: 1). 2 2). 3 3). 4 4). 0 5). 1

Номер: 14.6.С Задача: Точка ( )3;2A является точкой перегиба кривой

xbxaxy 23 −+−= , если…

Ответы: 1). 41b;

121a == 2).

815b;

165a == 3).

43b;

21a == 4).

43b;2a −== 5).

41b;

165a ==

Номер: 14.7.С

Задача: Точка ( )1;2A является точкой перегиба кривой

7bxaxy 23 −+= , если…

Ответы: 1). 6b;1a == 2). 4b;31a =−= 3). 3b;

21a =−= 4).

5b;1a == 5). 4b;2a −==

97

Номер: 14.8.С Задача: Точка ( )2;1A − является точкой перегиба кривой

xbxaxy 23 ++= , если… Ответы: 1). 1b;2a −== 2). 6b;4a −== 3). 2b;4a −== 4).

29b;

23a −== 5).

35b;

32a −==

Номер: 14.9.С

Задача: Точка ( )2;2A − является точкой перегиба кривой 4bxaxy 23 −+= , если…

Ответы: 1). 41b;

81a == 2).

49b;

83a == 3).

43b;

23a == 4).

3b;2a == 5). 9b;81a ==


Задача: Точка ( )3;1A является точкой перегиба кривой 23 bxaxy += , если…

Ответы: 1). 5,4b;5,1a =−= 2). 4b;1a =−= 3). 1b;2a =−= 4). 2b;1a =−= 5). 5,2b;1a =−=


Задача: Уравнение наклонной асимптоты графика функции

2x1x3x2y

2

−++−

= имеет вид…

Ответы: 1). 3x2y −−= 2). 1x2y −−= 3). 3x2y += 4). 1x2y −= 5). 3x2y +−=



1x3x4x2y

2

−−+−


Ответы: 1). x2y −= 2). 2x2y −−= 3). 2x2y +−= 4). 3x3y += 5). 1x3y −=

98

Номер: 14.13.С Задача: Уравнение наклонной асимптоты графика функции

4x11x4x2y

2

−−−


Ответы: 1). 1x3y −= 2). 3x3y += 3). 5x2y += 4). 4x2y += 5). 3xy −=



4x3x6x2y

2

−++−


Ответы: 1). 1x3y −−= 2). 1x2y +−= 3). 2x3y −−= 4). 2x3y +−= 5). 2x2y −−=



5x7x22x4y

2

+++


Ответы: 1). 4x3y += 2). 1x4y −= 3). 3x3y += 4). 2x4y += 5). 1x2y −=



5x12x3xy

2

+−+


Ответы: 1). 2xy −= 2). 1xy −−= 3). 1xy += 4). 3xy −−= 5). 1x2y +=



5x16x22x5y

2

−−−


Ответы: 1). 1x5y += 2). 1x4y −= 3). 3x5y += 4). 2x4y += 5). 1x3y −=



4x7x17x5y

2

+−+

= имеет вид

99

Ответы: 1). 2x5y +−= 2). 2x5y −= 3). 1x5y −= 4). 1x5y +−= 5). 3x5y −=



1x4x5x3y

2

+−−−


Ответы: 1). 1x2y −−= 2). 2x3y +−= 3). 1x3y −−= 4). 2x3y −−= 5). 1x2y +−=



3x5x4xy

2

+−−−


Ответы: 1). 1xy −−= 2). 1xy −= 3). 2xy −−= 4). 3xy −−= 5). 1xy +=

100

15. Формула Тейлора

Номер: 15.1.В Задача: В разложении функции 3 xy = по формуле Тейлора по степеням

1x + коэффициент при ( )21x + равен…


2). 91

− 3). 181

4). 181

− 5). 92

Номер: 15.2.В

Задача: В разложении многочлена 1x2x 25 +− по формуле Тейлора по степеням 1x + коэффициент при ( )31x + равен…

Ответы: 1). 6 2). 4 3). 3 4). 10 5). 1

Номер: 15.3.В Задача: В разложении многочлена 3xx4x 24 +−+ по формуле Тейлора

по степеням 1x − коэффициент при ( )31x − равен… Ответы: 1). 8 2). 6 3). 4 4). 12 5). 24

Номер: 15.4.В Задача: В разложении многочлена x2x3x 26 −+ по формуле Тейлора по

степеням 1x + коэффициент при ( )31x + равен… Ответы: 1). 20 2). 20− 3). 30 4). 30− 5). 60

Номер: 15.5.В

Задача: В разложении функции x

2y = по формуле Тейлора по степеням

4x − коэффициент при ( )24x − равен…


2). 643

− 3). 128

3 4).

1283

− 5). 256

3

Номер: 15.6.С Задача: В разложении функции 2xy += по формуле Тейлора по сте-

пеням 2x − коэффициент при ( )22x − равен…


2). 321

− 3). 161

4). 641

− 5). 641

101

Номер: 15.7.С Задача: В разложении функции 3 x6y −= по формуле Тейлора по сте-

пеням 2x + коэффициент при ( )22x + равен…


1− 2).

1441

3). 288

1 4).

2881

− 5). 92

−

Номер: 15.8.С

Задача: В разложении функции 4x

1y+

= по формуле Тейлора по сте-

пеням 3x + коэффициент при ( )23x + равен…


2). 43

− 3). 83

4). 83

− 5). 163

Номер: 15.9.С

Задача: В разложении функции ( )6xlogy 3 += по формуле Тейлора по

степеням 3x + коэффициент при ( )23x + равен…

Ответы: 1). 93ln

− 2). 91

3). 61

− 4). 61

5). 3ln18

1−


Задача: В разложении функции ( )2xlogy 2 −= по формуле Тейлора по

степеням 4x − коэффициент при ( )24x − равен…


2). 42ln

− 3). 81

4). 21

− 5). 2ln8

1−


Задача: В разложении функции xsiny 2= по формуле Маклорена коэф-фициент при 4x равен


2). 31

− 3). 32

4). 32

− 5). 61


Задача: В разложении функции xcosy 2= по формуле Маклорена коэф-фициент при 4x равен…


2). 31

− 3). 32

4). 32

− 5). 61

102


Задача: В разложении функции 32 x1xy += по формуле Маклорена коэффициент при 8x равен…


2). 21

− 3). 0 4). 81

− 5). 81


Задача: В разложении функции 3 2x1xy += по формуле Маклорена коэффициент при 5x равен…


2). 31

− 3). 0 4). 91

5). 91

−


Задача: В разложении функции 3xex3y ⋅= по формуле Маклорена ко-

эффициент при 7x равен…


2). 21

3). 43

4). 3 5). 31


Задача: В разложении функции 22

xcos3

xy = по формуле Маклорена

коэффициент при 8x равен…


− 2). 61

3). 721

4). 721

− 5). 0


Задача: В разложении функции ( )xcos1xy 3 −= по формуле Маклорена коэффициент при 8x равен…


2). 241

− 3). 121

4). 121

− 5). 0


Задача: В разложении функции 3xsin3xy = по формуле Маклорена ко-

эффициент при 7x равен…

Ответы: 1). 0 2). 61

3). 61

− 4). 181

5). 181

−

103

Номер: 15.19.С Задача: В разложении функции ( )22 x1lnx2y +⋅= по формуле Макло-

рена коэффициент при 6x равен…

Ответы: 1). 1 2). 1− 3). 2 4). 2− 5). 21


Задача: В разложении функции 2

eey22 xx −+

= по формуле Маклорена

коэффициент при 6x равен…


2). 61

− 3). 0 4). 31

5). 31

−

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной (задачник)

Documents