空空空空空空 4 空空 空空空空空空空空 体
Mar 18, 2016
空间向量应用 4在立体几何证明中的应用
前段时间我们研究了用空间向量求角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离 )
今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。
立体几何中的有关证明问题,大致可分为“平行”“垂直”两大类:
平行:线面平行、面面平行垂直:线线垂直、线面垂直和面面垂直
平行与垂直的问题的证明,除了要熟悉相关的定理之外,下面几个性质必须掌握。1 、已知 b α⊥ , a 不在 α 内,如果 a b⊥ ,则 a α∥ 。2 、如果 a α⊥ , a β⊥ ,则 α β∥ 。3 、如果 a b∥ , a α⊥ ,则 b α⊥ 。(课本 P22.6 )4 、如果 a α⊥ , b β⊥ , a b⊥ ,则 α β⊥ 。
设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b ,平面 ,
的法向量分别为 ,u v ,则
l ∥ m a
∥ b
a kb
;
线面平行
∥ u
∥ v
.u kv
注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合.
线线平行
l ∥ a
u
0a u
;
面面平行
一、 用空间向量处理“平行”问题
一、 用空间向量处理“平行”问题
↑n
→m
0mn
↑m
n m
↑n
G
A
E
DC
B
F
HM
N
例 1. 如图: ABCD与 ABEF 是正方形,CB⊥平面 ABEF ,H 、 G 分别是 AC 、BF 上的点,且 AH=GF. 求证: HG∥平面 CBE.MH AB,NG AB MH NG∥ ∥ ∥AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG
G
A
E
DC
B
F
H
P
PH CB,PG BE ∥ ∥平面 HPG∥平面 CBE
HG∥平面 CBE
G
A
E
DC
B
F
H
o
z
y
证明:由已知得: AB 、BC 、 BE 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz.
x
设正方形边长为 1, AH=FG=a, 则 H(0,1- a , a) 、 G(1- a , 1- a,0),
22
22
22
22
故 , 而平面 CBE 的法向量为 (0,1,0), 故 , 而 平面 CBE 故 HG∥平面 CBE
)22,0,
221( aaHG
nHG n H
R
D
B
C
A
A1
Q
P
NM
D1C1
B1
例 2. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 、Q 分别是 A1B1 和 BC 上的动点,且 A1P=BQ , M 是 AB1 的中点, N 是 PQ 的中点 . 求证: MN∥平面 AC.
M 是中点, N 是中点 MN R∥Q
MN∥平面 AC
D
B
C
A
A1
Q
P
NM
D1C1
B1
作 PP1 AB⊥ 于 P1 ,作 MM1 AB⊥ 于M1 ,连结 QP1 , 作 NN1 QP⊥ 1 于N1 ,连结 M1N1
N1
M1P1
NN1 PP∥ 1
MM1 AA∥ 1又 NN1 、 MM1 均等于边长的一半故 MM1N1N 是平行四边形,故 MN M∥ 1N1
MN∥平面 AC
D
B
C
A
A1
Q
P
NM
D1C1
B1
z
y
x
o
证明:建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz设正方形边长为 2 ,又 A1P=BQ=2x则 P(2 , 2x , 2) 、Q(2-2x , 2 , 0) 故 N(2-x, 1+x, 1), 而M(2, 1, 1)
MN所以向量 (-x, x, 0) ,又平面 AC 的法向量为 (0, 0, 1) ,∴ ∴ n 0 nMN
又 M 不在平面 AC 内,所以 MN∥平面AC
nMN
D C
BA
D1 C1
B1A1
例 3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证: 平面 A1BD∥平面 CB1D1
平行四边形 A1BCD1 A1B D∥ 1C
平行四边形 DBB1D1
B1D1 BD∥于是平面 A1BD∥平面 CB1
D1
D C
BA
D1 C1
B1A1
o
z
y
x
证明:建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz设正方形边长为 1 ,则向量 )1,0,1(1 DA)0,1,1(DB设平面 BDA1 的法向量为 ),,( zyxn
则有x+z=0
x+y=0令 x=1, 则得方程组的解为
x=1 y=-1 z=-1故平面 BDA1 的法向量为)1,1,1( n
同理可得平面 CB1D1 的法向量为 )1,1,1(m
则显然有 mn 即得两平面 BDA1 和 CB1D1 的法向量平行所以 平面 BDA1 CB∥ 1D1
通过本例的练习,同学们要进一步掌握平面法向量的求法:即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于 0 ,利用解方程组的方法求出平面法向量 ( 在解的过程中可令其中一个未知数为某个数 ) 。
※ 例 1 、 2 与例 3 在利用法向量时有何不同?
D C
BA
D1 C1
B1A1
FG
H
E
例 4. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 、 F 、G 、 H 分别是 A1B1 、B1C1 、 C1D1 、 D1A1的中点 . 求证: 平面 AEH∥平面 BDGFAD GF∥ , AD=GF
又 EH B∥ 1D1 , GF B∥ 1D1 EH GF∥平行四边形 ADGE AE D∥G
故得平面 AEH∥平面 BDGF
D C
BA
D1 C1
B1A1
HG
F
E
o
z
y
x
略证:建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz则求得平面 AEF 的法向量为 )1,2,2(n
求得平面 BDGH 的法向量为 )1,2,2(m
显然有 nm
故 平面 AEH∥平面 BDGF
设直线 ,l m的方向向量分别为 ,a b ,平面 ,
的法向量分别为 ,u v ,则
线线垂直
线面垂直
⊥ u⊥ v .0 vu
l⊥ m a
⊥ b
0a b
;
l⊥ a
∥ u
a ku
;
面面垂直
画出图形意会
二、 用空间向量处理“垂直”问题
二、 用空间向量处理“垂直”问题
0mn n m
↑nm
n
m
: ' ' ' ' ',' .
ABCD A B C D CC BDA F BDE
例5 在正方体 中. E, F分别是 的中点.求证: 平面
F
E
X
Y
Z, , '
'
DA DC DD x y z
A
证明:如图取 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), (2, 0, 2)E(0, 2, 1), F(1, 1, 0)
' ( 1,1, 2), (2,2,0), (0,2,1)
' ( 1,1, 2) (2,2,0) 0
' ( 1,1, 2) (0,2,1) 0
' , ' , . '
A F DB DE
A F DB
A F DE
A F DB A F DE DB DE D A F BDE
又 平面
已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平面 , 、M N 分别是 、AB PC 的中点 , 并且PA AD ,求证: MN 平面 PDC
A
D
B
P
C
M
N分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路水到渠成.
. 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 , 、M N 分别是 、AB PC 的中点 , 并且PA AD ,求证: MN 平面 PDC
A
D
B
P
C
M
N证明 :
分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 , ,i j k
A xyz
x
y
z, ,
, , , 1
PA AD AB PA AC AD AB
DA i AB j AP k PA
且 平面
可设
(0,0,0), (0,1,0), ( 1,1,0), ( 1,0,0),A B C D (0,0,1)P 1 1 1 1(0, ,0), ( , , )
2 2 2 2M N
1 1( ,0, )2 2
MN
( 1,0, 1)PD
(0,1,0)DC
1 1( ,0, ) ( 1,0, 1) 02 2
MN PD MN PD
1 1( ,0, ) (0,1,0) 02 2
MN DC MN DC
PD DC D MN PDC 又 平面
A
D C
B
⑴ 求证:平面 MNC⊥平面 PBC ;⑵ 求点 A 到平面 MNC 的距离。
已知 ABCD 是矩形, PD⊥平面 ABCD ,PD = DC = a, AD = , M 、 N 分别是 AD 、 PB 的中点。a2 P
M
N
练习 1
小结: 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题,是近年来很“热”的话题,其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子,结合我们以前讲述立体几何的其他问题 ( 如:求角、求距离等 ) ,大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势,而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具,故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。