1 1 Лекция 4. РЕШЕНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ В математической физике разработаны различные способы решения дифференциального уравнения в частных производных параболического типа. 1. Метод Фурье Одним из распространенных методов решения уравнения диффузии является метод разделения переменных - метод Фурье. В данной лекции мы изложим основные положения этого метода и применим его для решения дифференциального уравнения параболического типа с постоянным коэффициентом диффузии. Рассмотрим уравнение нестационарной диффузии в плоской неограниченной пластине: 2 2 x C D t C ∂ ∂ = ∂ ∂ . (1) Нужно найти решение (для конечного твердого тела), в котором переменные x и t разделены, т.е. функцию вида: ( ) ( ) t g x f C m m m m α = . (2) Легко показать, что всегда можно найти общее решение Ур.1 в виде суммы бесконечного ряда членов вида (2), . ∑ = = n m m C C 1 Для этого достаточно ввести в Ур.2 две произвольные независимые постоянные, поскольку Ур.1 – второго порядка. Это общее решение используют для проверки принятых граничных условий, что позволяет определить частные решения и число независимых переменных. 1.1 Частные решения Подставляя (2) в (1) получим: g f D g f ′ ′ = ′ . (3) Так как переменные x и t являются независимыми, то: a f f g g D = ′ ′ = ′ 1 , (4) где a – произвольная постоянная. Решение Ур.4 является классическим: ( . cos ; ϕ + = = x a i c f be g aDt ) (5) Примечание : Первое уравнение системы (5) аналогично закону радиоактивного распада: Dat be g Dat g Dat g g Da t g g = = = ∂ = ∂ ∂ ; lg ; ; 1 . Второе уравнение образовано только тригонометрическими функциями sin или cos, т.к. только у этих функций вторая производная равна самой функции, умноженной на константу. Действительно: x a a x a a a x a x a x a x − = − − − − = − ∂ ∂ − − = − ∂ ∂ sin sin cos sin 2 2 . Коэффициенты a не могут быть положительными, т.к. при положительных значениях этих коэффициентов решение является расходящимся во времени. Чтобы удовлетворить условию сходимости, примем: 2 ω − = a . (6)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
1
Лекция 4. РЕШЕНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
В математической физике разработаны различные способы решения дифференциального уравнения в частных производных параболического типа. 1. Метод Фурье
Одним из распространенных методов решения уравнения диффузии является метод разделения переменных - метод Фурье. В данной лекции мы изложим основные положения этого метода и применим его для решения дифференциального уравнения параболического типа с постоянным коэффициентом диффузии.
Рассмотрим уравнение нестационарной диффузии в плоской неограниченной пластине:
2
2
xCD
tC
∂
∂=
∂∂ . (1)
Нужно найти решение (для конечного твердого тела), в котором переменные x и t разделены, т.е. функцию вида:
( ) ( )tgxfC mmmm α= . (2) Легко показать, что всегда можно найти общее решение Ур.1 в виде суммы бесконечного
ряда членов вида (2), . ∑=
=n
mmCC
1Для этого достаточно ввести в Ур.2 две произвольные независимые постоянные,
поскольку Ур.1 – второго порядка. Это общее решение используют для проверки принятых граничных условий, что позволяет определить частные решения и число независимых переменных. 1.1 Частные решения
Подставляя (2) в (1) получим: gfDgf ′′=′ . (3)
Так как переменные x и t являются независимыми, то:
aff
gg
D=
′′=
′1 , (4)
где a – произвольная постоянная. Решение Ур.4 является классическим:
( .cos
;
ϕ+=
=
xaicf
beg aDt
) (5)
Примечание: Первое уравнение системы (5) аналогично закону радиоактивного распада: DatbegDatgDat
ggDa
tg
g===
∂=
∂∂ ;lg;;1
.
Второе уравнение образовано только тригонометрическими функциями sin или cos, т.к. только у этих функций вторая производная равна самой функции, умноженной на константу. Действительно:
xaaxaaaxax
axax
−=−−−−=−∂∂
−−=−∂
∂ sinsincossin2
2.
Коэффициенты a не могут быть положительными, т.к. при положительных значениях этих коэффициентов решение является расходящимся во времени. Чтобы удовлетворить условию сходимости, примем:
2ω−=a . (6)
2
2
Подставляя (5) в (2) видим, что на самом деле b и c не являются независимыми постоянными: их произведение образует произвольную постоянную α. В результате частное решение Ур.1 имеет вид:
( ) tDmmmm
mexC2
cos ωϕωα −+= . (7) Если сумма членов Cm – действительное число (это так, поскольку она – скаляр), и если x
и t – независимые переменные, то ω также должно быть действительным числом. Окончательно C выражается как сумма частных решений, каждое из которых содержит две произвольные постоянные и которые связаны между собой любым законом суммирования. Общее решение:
∑∞
==
0mmCC . (8)
Обычно Ур.7 приводится в виде суммы двух простых тригонометрических рядов:
( ) ( ) tDmm
tDmmm
mm exBexAC22
cossin ωω ωω −− += . (9) В дальнейшем по необходимости будем использовать то или иное выражение.
BABA arctg;22 =+= ϕα . (10)
Частоты (для конечного тела они дискретны) находим из граничных условий. Константы mm BA и,α – из начальных условий.
1.2 Определение частот, ωm Будем рассматривать ограниченное в направлении х тело, т.е. будем полагать, что
пластина имеет конечную толщину, Н. В этом случае частоты принимают только дискретные значения.
Условие I – I. Концентрации на граничных поверхностях тождественно равны нулю: 0;00 == == Hxx CC (пластинка толщиной H).
Следовательно, 0=B (только в этом случае при ( )10cos,0,0 ≡== Cx ) и α=A , при : Hx =
0sin == xC mm ωα , т.к. 0sinто,0 =≠ xmωα . Последнее условие может выполняться только если
,H
mm
πω = (11)
0sinт.к. =H
mπ . Для Ур.7 имеем: 2πϕ −= – сдвиг фазы (т.к. 0приtg =∞→= B
BAϕ ).
Действительно:
( )
.2
и0cosьноследовател,cossintg
;tg,где,cos
;cossin
22
πααααα
ϕαϕωα
ωω
==∞==
∞→=+=−=
+=
BABAty
tBtAy
Условие II – II. Так как диффузионный поток на двух граничных поверхностях равен нулю, градиент на этих поверхностях также равен нулю. Производная от C на этих поверхностях также равна нулю независимо от величины t. Это означает, что ряд C содержит только косинусы (поскольку иначе градиент в точке 0=x не будет равен нулю) и что все коэффициенты A в Ур.8 равны нулю.
С другой стороны, значения Hmωsin тождественно равны нулю, что приводит к:
3
3
Hmmπω = .
Условие II – I. Диффузионный поток на первой граничной поверхности равен нулю. Функция C содержит только косинусы. На второй граничной поверхности концентрация равна нулю, следовательно:
Hm
m 2)12( πω +
= . (12)
То же условие будет справедливо и для случая I – II. Таким же образом можно получить значения φ в Ур.7. Все результаты согласованных условий I – II рода приведены в Табл.1.
Условие II-II II-I I-II I-I A 0 0 α α B Α α 0 0 ω
Hmπ
Hm2
)12( π+H
m2
)12( π+H
mπ
φ 0 0 2π− 2π− Замечание. В качестве иллюстрации, приведем пример выбора частот, сдвигов фаз и амплитуд для метода проницаемости. В этом методе в ходе диффузионного эксперимента на входе мембраны (пластина толщиной Н), т.е. точке х=0, поддерживается концентрация газа С10, а на выходе мембраны, т.е. в точке с координатой х=Н, - концентрация газа С20. Естественно, что значение С10 или С20 может равняться нулю (одновременно С10 и С20 быть равными нулю не могут). В этом случае граничные условия С(0,t)=C10; 0, C(H,t)=C20; 0, φ=-π/4+π/4, ω=mπ/4+π/(4H)+π/(4H), где m=0, 1, 2…., А=0;α, В=α;0. 1.3 Определение амплитуды (коэффициентов α)
С этой целью воспользуемся начальными условиями. Для расчета коэффициентов α или эквивалентных коэффициентов Am и Bm используется метод Фурье. Начальное распределение концентрации в пластинке задается в виде С(0)=f(x).
Через пластинку устанавливается диффузионный поток. Результирующая концентрация задается в виде:
( ) ,cos0
2
∑∞
=
−+=
m
Dtmmm
mexCω
ϕωα (13)
с дополнительным условием, что в момент времени 0=t , )()0( xfC =что дает
)cos()0()( mmm xtCxf ϕωα +=== . (14) (Подставляли в Ур.13 условие 0=t ). Индексы m, n или p указывают на запись ряда, что позволяет опустить знак суммы. Теперь найдем величину определенного интеграла:
∫ +H
mm drxxf0
)cos()( ϕω ,
вычисляемого от начала до конца линии диффузионного тока с такой точностью, с какой желательно получить коэффициент αm. Будем рассматривать элементарные задачи, следовательно:
Hm
HHm
Hm
HHHm
2)12(
2;2
,0
44
44ππππω
πϕ
πππω
ππϕ
+=+=
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
±+=
±−= (15)
(см. Табл.1)
4
4
Умножим правую и левую части выражения (14) на )cos( nn x ϕω + и возьмем интеграл (тем самым мы незаметно применяем теорему Фурье):
( ) ( ) (∫ ∫ +⋅+=+H H
nnmmmnn dxxxdxxxf0 0
coscoscos)( ϕωϕωαϕω ) ,
где изменяется только n от нуля до бесконечности. Условия (11) делают систему функций ( )ϕω +xcos системой ортогональных функций на
отрезке , т.е. при : ),0( H mn ≠
∫ =H
00 .
Действительно: для , mn ≠ [ ])cos()cos(21coscos βαβαβα ++−=⋅ ;
[ ]
ч.т.д.,0)(sin)(2
1
)(cos21)(cos)(cos
21
; то
II,-II или I-I задачи решаем мы т.к.)cos()cos(
21
0
0 0
≡±
⋅±
⋅=
=±
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
===++−
∫ ∫
∫
H
H H
mnmnmn
Hmn
mnH
dxxHmndxxnm
Hxnm
H
Hm
Hndxxx
ππ
πππ
πωπωωωωω
При , напротив: nm =
∫ =+H
mmmmHdxx
0
22
)(cos αϕωα ;
∫ =+H
mmmHdxxxf
0 2)cos()( αϕω . (16)
Эти выражения позволяют рассчитать mα , если известен . ∫ +H
mm dxxxf0
)cos()( ϕω
Действительно:
24
2sin24
2sin2
)(cos
0
0000
2 HxxxxdxxH
Hn
HnHHH
n
nmm =+=+=
=
∫4434421
π
π
ωω
ωα , ч.т.д.
Согласно (16) имеем:
∫ +=H
mmm dxxxfH 0
)cos()(2 ϕωα . (17)
Расчет коэффициентов α требует предосторожности в случае стенки с граничными условиями II-II (отражающие поверхности), когда функция C содержит только косинусы )0( =ϕ . Действительно, это разложение может включать как решение 0=ω . В этом случае концентрация представляется в виде:
K++= − DtexC21)cos( 110
ωωαα Можно рассчитать 0α тем же методом:
5
5
K++=
= ∫∫)cos()(
;)()cos()(
110
000
xxf
dxxfdxxxfHH
ωαα
ω
Легко видеть, что все интегралы, за исключением первого, равны нулю, что дает:
HdxxxfH
00
0 )cos()( αω =∫
и, следовательно,
∫=H
dxxfH 0
0 )(1α . (18)
Итак, полное решение для функции распределения концентрации по толщине мембраны:
∑ ∫∞
=
− ++⋅=0 0
)cos()0,()cos(2),(2
m
H
mmmmtD dxxxCxe
HtxC m ϕωϕωω (19)
или
[ ] [∑ ∫∞
=
− ++=0 0
cossin)0,(cossin2),(2
m
H
mmmnmmtD dxxBxAxCxBxAe
HtxC m ωωωωω ] . (20)
Мы рассмотрели здесь решения диффузионных уравнений, записанных в декартовых координатах. В Табл.2 представлены функции, входящие в решения диффузионных задач для различных систем координат. Табл.2 Система координат Вид функций, входящих в решение Декартова Круговая цилиндрическая Парабола-цилиндрическая Эллиптико-цилиндрическая Сферическая Вытянутого сфероида Сплющенного сфероида Параболическая Коническая Эллипсоидальная Параболоидальная
2. Примеры решения диффузионных задач методом Фурье Пример. Задача на дегазацию пластины с произвольным начальным распределением
концентрации. Концентрация на поверхностях пластины поддерживается равной нулю в течение всего
эксперимента, т.е. имеем условие I-I. Как мы уже показали, в этом случае ,0; == BA mm α поэтому:
∫∑ ⋅=∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− H
m
tDHm
dxxH
mxCxH
meH
txC00
π
sin)0,(sin2),(
2
ππ . (21)
В частном случае, при равномерном начальном распределении примеси по толщине образца, т.е. при , constCxC == )0()0,(
6
6
xH
mem
CtxCm
tDHmm π
πsin)1(12),(
0
π
)0(
2
⋅−−
= ∑∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
. (22)
Действительно:
( ) ( )mHH
mHm
mHx
Hm
mHdxx
Hm )1(1cos1cossin
00
−−=−=−=∫ ππ
ππ
ππ ;
если m – четное, то . 0),( =txC
xH
kk
CtxCk
HtDk π
ππ )12(sinexp
1214),(
0
)12()0( 2
22 +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
+= ∑
∞
=
+ . (23)
При больших временах ряд быстро сходится и можно ограничиться одним первым членом:
xH
eCtxC HtD
ππ
sin4),( 2
2π
0 ⋅=−
. (23а)
Если необходима точность 1%, ограничиться первым членом ряда можно при временах DHt 22105,4 −⋅> .
Рис.1 Аппроксимация концентрационного профиля суммой синусоид с кратными частотами Количество примеси, оставшееся в образце ко времени t:
( ) ∫ ∑∞
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +−
+==
H
k HDtk
kHCdxtxCtq
0 02
22
2)0(2)12(exp
)12(18),( π
π. (24)
Поток диффузанта из пластины описывается первым законом Фика:
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=== Hxx x
CDSxCDSJ
0потоки в разные стороны из образца одинаковы.
Отсюда получаем выражение для потока диффузанта, выходящего из одной из плоскостей пластины:
( ) ∑∞
=
+−
±=0
)12()0( 2
22
4
k
HDtk
eH
SDCtJ
π
. (25)
Если концентрация диффузанта на ограничивающих поверхностях , то: )0(0 )0,(а,),(),0( CxCCtHCtC ===
7
7
( ),expcos)1(1
expcos)1(2),(~
10
21
12
221
0)0(
0
∑
∑∞
=
+
∞
=
+
−−=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧−−=
−−
=
nnn
n
n
n
n
FHx
HDtn
Hxn
nCCCtxC
C
µµµ
πππ
(26)
где tHDFnn 20; == πµ – безразмерное время.
Пример 2. Дегазация пластинки, одна из поверхностей которой – отражающая поверхность, т.е. граничные условия II-I (такое же решение будет и в случае дегазации пластинки, но тогда вместо H следует ввести параметр 2/HR = ).
В этом случае 0=ϕ и распределение концентрации диффузанта:
xdxH
kxCHH
DtkH
ktxCH
n 2)12(cos)0,(2
4)12(exp
2)12(cos),(
002
22 πππ +⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−
+= ∫∑
∞
=. (27)
Пример 3. Диффузия в сфере радиуса R с равномерным начальным распределением концентрации C и концентрацией на поверхности )0(),0( Ct = 0),( CtRC = .
Распределение концентрации диффузанта:
( )( )
∑∞
=
−
−−
=1
02
0)0(
0exp)sin(),(,~
n n
n
n r
FRrR
ACCCtrCtrC
µ
µ, (28)
где r – текущая координата, r0 – радиус шарика, , 1)1(2 +−⋅= nnA πµ nn = , критерий Фурье
– 20 RtDF = .
3. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в ограниченное твердое тело
Рассмотрим пластинку, в центре которой расположен бесконечно тонкий источник диффундирующего вещества. Таким образом, источник расположен в плоскости 2/Hx = .
Воспользуемся общей формулой для расчета распределения концентрации:
∑ ∫∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=0 0
sin)0,(sin2),(
2
m
HtDH
m
dH
mCxH
meH
txC ααπαππ
. (29)
8
8
Рассмотрим окрестность плоскости 2H с границами hH −2 и hH +2 . Пусть в этом
интервале при при )0(,0 CCt == consthCqh ==→ 02,02 ; т.к. для всех hHx +>2
и
0)0,(,2
=+< αChHx , то:
2sinsin
2limsin)0,(
2
2
00
πααπααπα mqdH
mh
qdH
mC
hH
hHh
H== ∫∫
+
−→
.
Напомним, что для четных значений 02
sin, =πmm , а для нечетных m
kxH
k )1()12(sin −=+ π . Имеем:
₣F ∑∞
= ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−−
+==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
02
22)12(exp)1()12(sin2),(,2
,k
kR
HtDk
Hxk
HqtxCHxG ππτ . (30)
Полученное выражение играет основополагающую роль в импульсной теории диффузии – где решение получается как сумма подобных импульсных функций. Приведенное выражение часто называется функцией «тэта». Разложение в ряд Фурье обозначается как ₣),( txC F. Позднее мы покажем, как путем простого суммирования можно получить общее уравнение диффузии на основе импульсного уравнения, записанного в виде функций «тэта» (См. Приложение).
При больших временах, при DHt 22106 −⋅≥ можно ограничиться одним членом ряда
(точность 1%). Если импульс действует бесконечно малое время в произвольной точке ξ (т.е. бесконечно
тонкий слой примеси расположен в точке ξ), то распределение концентрации:
Рис.2 Диффузия из бесконечно тонкого слоя в тело конечных размеров
4. Диффузия из постоянного источника (сорбция) Рассмотрим поглощение примеси из газовой фазы пластинкой толщиной H.
9
9
Рис.3 Диффузия из постоянного источника в тело конечных размеров Будем искать решение в виде ),(),(~
0 txCCtxC −= :
ααπαππ
dH
mCxH
meH
txCm
HtDH
m
∑ ∫∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=0 0
sin)0,(~sin2),(~2
. (31)
Т.к. 0)0,(~ CC =α , то:
( )ππ
ααπααπα mm
HCd
HmCd
HmC
HHcos1sinsin)0,(~ 0
00
0
−== ∫∫ ;
.)12(sin12
12
sincos12),(~
0
)12(0
0
0
2
22
2
∑
∑
∞
=
+−
∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
++
=
=−
=
k
HtDk
m
tDH
m
xH
kek
C
xH
mem
mCtxC
ππ
πππ
π
π
(32)
Действительно 0cos1 =− πm для четных m. Окончательное решение для распределения концентрации имеет вид:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−
++= ∑
∞
=02
22
0)12(sin)12(exp
12141),(
kx
Hk
HtDk
kCtxC ππ
π. (33)
В пределе при −→∞→ 0, CCt равновесная растворимость газа в твердом теле. Количество вещества поглощенное пластиной ко времени t:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +−
+−== ∑∫
∞
=2
22
0220
0
)12(exp)12(
181),(H
tDkk
HCdxtxCqk
H ππ
. (34)
При больших временах DHt 22105,4 −⋅> можно ограничиться одним членом ряда.
Для случая десорбции соответствующие выражения, как уже было показано, имеют вид:
xH
kk
CtxCk
HtDk π
ππ )12(sinexp
1214),(
0
)12()0( 2
22 +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
+= ∑
∞
=
+ ; (35)
∑∞
=
+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
+=
0
)12(202 2
22exp
)12(18)(
kH
tDk
kHCtq π
π. (36)
10
10
]
]
5. Диффузия в тело неограниченных размеров Существенная разница между ограниченным и бесконечным телом заключается в том, что
если решение для конечного тела содержит набор дискретных частот, то в бесконечном теле – участвуют все частоты (непрерывный спектр частот).
Напомним, что для ограниченного тела ряд Фурье:
[ ]∑∞
=
− +=0
cos)(sin)(),(2
mmmmmmm
tD xBxAetxC m ωωωωω . (37)
Для бесконечного тела:
[∫+∞
∞−
− += ωωωωωω dxBxAetxC tDm cos)(sin)(),(2
. (38)
С начальным условием:
[∫+∞
∞−
+== ωωωωω dxBxAxfxC cos)(sin)()()0,( . (39)
Воспользуемся интегральной теоремой Фурье, т.е. тем фактом, что практически любую функцию можно разложить на систему ортогональных функций синусов и косинусов:
ωωξωξξπ
ωξωξξπ
ωξξωξπ
dxdf
xdfddxfxf
⎭⎬⎫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∫
∫ ∫∫ ∫
∞+
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
sinsin)(21
coscos)(21)(cos)(
21)(
(40)
Сравнивая (39) и (40) имеем:
∫+∞
∞−
= ξωξξπ
ω dfA sin)(21)( ; (41а)
∫+∞
∞−
= ξωξξπ
ω dfB cos)(21)( . (41б)
Подставив в общее решение (39) получим:
[ ]
.)(cos)(21
sinsincoscos)(21),(
2
2
∫ ∫
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
−
+∞
∞−
+∞
∞−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
ξωξωξπ
ωξωωξωωξξπ
ω
ω
ddxef
ddxxfetxC
tD
tD
(42)
Т.к. интеграл в квадратных скобках tDx
tD etD
dxe 4)( 2
2)(cos
−−∞+
∞−
− ⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−∫
ξω πωξω , то общее
решение для бесконечного твердого тела:
∫∞+
∞−
−−
= ξξπ
ξ
deCtD
txC tDx
4)( 2
)0,(2
1),( (43)
или в трехмерном случае:
.4
)()()(exp),,()2(
1),,,(222
3 ςηξτ
ςηξςηξπ
τ dddD
zyxftD
zyxC ∫ ∫ ∫+∞
∞− ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −+−+−−⋅= (44)
11
11
6. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в бесконечное пространство
Выделим точку a и окрестности haha +− , . Пусть в этом интервале концентрацию можно считать равномерно распределенной constCxfxC === )0()()0,( . Тогда hCq 2)0(= за пределами интервала 0)( =ξf .
таким образом, для мгновенного источника вещества, действующего в точке a:
₣F )(4)(
04
)(2
22
)(21),,,(;
2),,( τ
ξ
τπτξ
πτ −
−−−
−
−=== ta
xtD
xa
etD
txGetD
qaxG . (47)
Это и есть фундаментальное решение уравнения диффузии для бесконечного тела (функция источника на бесконечной прямой, бесконечно короткий импульс в бесконечной среде).
Значение максимума концентрации изменяется во времени согласно выражению:
( )tD
qtCπ2max = . (48)
7. Диффузия из слоя конечной толщины в бесконечную среду Пусть в начальный момент времени концентрация примеси распределена равномерно в слое толщиной h.
+∞<<+−<<∞−= xhhxxC приипри0)0,( . Рассмотрим решение для распределения концентрации:
12
12
.222
2;
2
:анияинтегрировпределыИзменим
221),(
2
0
2
0
)0(2
2
)0(
4)(
)0(4)(
)0(
222
22
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+==
=
+<<−
−=
−====
∫∫∫
∫∫
−
−
+
−
−
+−
−
+
−
−−∞+
∞−
−−
tDxh
ztD
xh
ztD
xh
tDxh
z
h
h
tDx
tDx
dzedzeC
dzeC
hhtDxdz
tDxzde
tD
CdeC
tDtxC
πππ
ξ
ξξξπ
ξπ
ξξ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+=
tDxherf
tDxherf
CtxC
222),( )0( , (49)
где ∫ −=y
z dzeyerf0
22π
– функция ошибок, широко используемая в математической статистике.
Напомним ее основные свойства: 1;00;)( =∞=−=− erferfyerfyerf .
Таким образом, уравнение теплопроводности генерирует целый класс функций, причем известная функция ошибок – частный случай, генерируемый уравнением теплопроводности (т.е. дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа).
Рис. 4 Графики дифференциальной и интегральной форм функции ошибок Рис.5 Диффузия из слоя конечной толщины в неограниченное тело
8. Диффузия из полубесконечного пространства Решим диффузионное уравнение при граничном условии IV-рода
Пусть диффузионный образец составлен из двух толстых пластин соединенных вместе. В начальный момент времени в одном образце было равномерно распределена примесь, во втором – примеси не было.
Начальное условие:
.0для0)0,(;0для)0,( )0(
>=<=
xxCxCxC
Общее решение:
.0)(,0при)()(2
1),(0
4)(0
4)( 22
=>⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+= ∫∫
∞+ −−
∞−
−−
ξξξξπ
ξξ
fefeftD
txC tDx
tDx
(50)
13
13
Проведем соответствующие выкладки:
( )
.2
12
222
),(
)0(2
00
)0(
2)0(
04
)()0(
22
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
=−==
∫∫
∫∫
−∞+
−
∞−
−
∞−
−−
tDxerf
Cdzedze
C
tDdzetD
Cde
tD
CtxC
tDx
zz
tDx
ztDx
π
πξ
π
ξ
Напомним, что π=∫∞
−
0
2dze z .
Рис.6 Диффузия из полубесконечного пространства
9. Диффузия в полуограниченное тело Воспользуемся решением для бесконечного тела:
∫∞+
∞−
−−
= ξξπ
ξ
deftD
txC tDx
4)( 2
)(2
1),( . (51)
Разобьем бесконечное тело на два полубесконечных, так что:
⎩⎨⎧
<>
=.0для)0,(;0для)0,(
)(1 ξξ
ξξξ
CC
f
Тогда, распределение концентрации диффузанта:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+= ∫∫
∞+ −−
∞−
−−
0
4)(0
4)(
1
22
)0,()0,(2
1),( ξξξξπ
ξξ
deCdeCtD
txC tDx
tDx
. (52)
Замещая ξ−=y , имеем:
;)0,()0,()0,(0
4)(
1
04
)(
1
04
)(
1
222
∫∫∫∞ +
−
∞−
−−−
∞−
−−
−=−−= dyeyCdyeyCdeC tDyx
tDxy
tDx
ξξξ
14
14
.)0,()0,(2
1
)0,()0,(2
1),(
0
4)(
14
)(
0
4)(
0
4)(
1
22
22
ξξξπ
ξξξξπ
ξξ
ξξ
deCeCtD
deCdeCtD
txC
tDx
tDx
tDx
tDx
∫
∫∫
∞ +−
−−
∞ −−∞ +
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+=
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+−=
(53)
Полученное выражение представляет собой общее решение диффузионного уравнения для полуограниченного тела. Функция )0,(1 ξ−C – неизвестна, ее можно определить из граничных условий.
10. Диффузия в полуограниченном теле с отражающей границей (x = 0)
Начальное условие: )0()0,0( CC = Граничное условие:
.0),(0
0 =∂∂
−==
=x
x xCDtxj
Записав общее решение для концентрации, вычислив с его помощью поток, найдем из граничного условия 0 . Тогда окончательно имеем: ),( =txj
∫∞+ +
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+=
0
4)(
4)( 22
)0,(2
1),( ξξπ
ξξ
deeCtD
txC tDx
tDx
(54)
11. Диффузия из слоя конечной толщины в полуограниченное тело с отражающей границей.
Начальное условие:
⎩⎨⎧
∞≤≤≤≤
=.для0;0для
)0,( )0(
xhhxC
xC
Граничное условие: .0),0( =tj Рис.7 Изменение со временем концентрационного профиля при диффузии из слоя конечной толщины в полуограниченное тело с отражающей границей Общее решение диффузионного уравнения:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
−=
tDxherf
tDxherf
CtxC
222),( )0( . (55)
12. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в полуограниченное тело с отражающей границей.
Пусть в бесконечно тонком слое толщиной в начальный момент времени сосредоточено количество вещества q
0→h
)0( hC= .
15
15
Рис.8 Диффузия из бесконечно тонкого слоя в полуограниченное тело Окончательное решение для изменения распределения концентрации имеет вид:
tDx
etD
qC 4
2−
=π
. (56)
13. Диффузия в полуограниченном теле со связывающей границей (граничное условие I-IV).
Начальное условие: . )0,(xCC =Граничное условие: 0при0),0( >= ttC . Общее решение имеет вид:
∫∞+ +
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
0
4)(
4)( 22
)0,(2
1),( ξξπ
ξξ
deeCtD
txC tDx
tDx
. (57)
А) Частный случай начального равномерного распределения )0()0,( CxC = .
Рис.9 Диффузия из полуораниченного тела со
связывающей границей Распределение концентрации:
.2
2),(
)0(
0
4)(
4)(
)0(
22
tDxerfC
deetD
CtxC tD
xtD
x
=
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−= ∫
∞ +−
−−
ξπ
ξξ
(58)
Полученное решение описывает распределение концентрации в процессе односторонней дегазации полуограниченного твердого тела.
Б) Частный случай диффузии из постоянного источника (сорбция). 0)0,(;),0( 0 == xCCtC .
Распределение концентрации:
( )Dt
xerfcCDt
xerfCtxC22
1, 00 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (59)
Поток диффузанта:
( )t
DCx
tD
π00
2
==
etD
DSCtxJx
x π40
0, =−
=
( ) ( )
. (60)
Общее количество диффузанта, поступившее в образец ко времени t:
∫ ==t C
dttxJtq0
0,π
tD2 . (61)
Рис.10 Диффузия из постоянного источника в полуограниченное тело
16
16
* * * Мы продемонстрировали преимущества метода Фурье при решении диффузионных задач. Метод довольно просто справляется с ограниченными областями, в которых задано произвольное начальное распределение концентрации диффузанта. Следует однако предупредить о значительных трудностях, которые могут возникнуть при применении метода разделения переменных при неоднородных граничных условиях и при граничный условиях сопряжения (4-го рода). Метод Фурье может быть использован для решения задач диффузии в неограниченной области, если вместо суммирования частных решений по индексу, пробегающему целые значения, провести интегрирование по непрерывно изменяющемуся параметру. Непосредственное решение краевых задач методом Фурье в полуограниченных областях невозможно, за исключением тех случаев, когда спектр собственных значений µn является дискретным. Отметим, что при решении задач стационарной диффузии основная идея метода Фурье состоит в том, что исходная краевая задача для уравнения в частных производных сводится к двум или трем (в зависимости от числа пространственных независимых переменных) обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых не вызывает особых затруднений.