- 399 - ANHÄNGE Anhang 1: Ableitung der Gleichungen 16l und 18l in Kapitel .IY Durch Einsetzen der Werte von a und [3 aus den Gleichungen (4) und (5) in Gleichung (1) Ct (ISt - [3e- d' erhält man: cued'-cved'-cuef'ev+cvef'eu (eu-ev)ef'e d' ed'-f'-ev ed'-f'-eu [( )c u - ( )c v ) e- d '. eU-ev eU-ev Definiert man den Term (ed'-f'-ev)/(eU-eV) := w, so gilt:
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ANHÄNGE
Anhang 1: Ableitung der Gleichungen 16l und 18l in Kapitel
.IY
Durch Einsetzen der Werte von a und [3 aus den Gleichungen
(4) und (5) in Gleichung (1) Ct (ISt - [3e-d ' erhält man:
cued'-cved'-cuef'ev+cvef'eu
(eu-ev)ef'ed '
ed'-f'-ev ed'-f'-eu [( )cu - ( )cv ) e-d '.
eU-ev eU-ev
Definiert man den Term (ed'-f'-ev)/(eU-eV ) := w, so gilt:
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Anhang 2: Ableitung der Gleichung (37) in Kapitel IV
In Gleichung (34) wird das folgende Glied umgeformt:
= (Term A) j (Term B)n-j,
mit Term A = wef'-d'eu und Term B (I-w)ef'-d'ev .
Es gilt dann:
1 - Term A = 1 - wef'-d'eu
mit w := (ed'-f'-ev)/(eU-eV )
[(-ed'-f'+eU)/(eU-eV )] ef'-d'ev (I-w)ef'-d'ev = Term B,
wobei I-w
wird.
(-ed'-f'+eU)/(eU-eV ), wie in Anhang 1 gezeigt
Definiert man nun Term A wef'-d'+u .- w', so gilt:
1 - Term A I-w' = Term B.
Für das erste Glied in Gleichung (34) ergibt sich schließ
lich:
(Term A)j . (Term B)n-j
w' j (l-w' ) n - j .
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Anhang 3: Ableitung der Gleichungen (56) und (58) in Kapitel
Durch Einsetzen der Werte von a und ß aus den Gleichungen
(54) und (55) in Gleichung (51) Pt = ße-d ' - aSt erhält man:
Pt
pvef'eu_puef'ev_pved'+pued'
(eu-ev)ed'ef '
ef'eu-ed ' ef'ev-ed ' [ " )Pv - [ )pu (eu-ev)ed e f (eu-ev)ed'e f '
eU-ed'-f' eV-ed'-f' [ ( ) Pv - ( ) Pu) e-d '.
eU-ev eU-ev
Definiert man den Term (eU-ed'-f')/(eU-eV) := w, so gilt:
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Anhang 4: Ableitung der Relation (61) in Kapitel IV
Gilt u > d'-f' > V, so erhält man durch Anwendung der Expo
nentialfunktion:
e U > ed'-f' > e V .
Subtrahiert man e V , so ergibt sich:
Da e U, e V und infolgedessen eU-ev positiv sind, erhält man
nach Dividieren durch eU-ev :
1 > (ed'-f'-ev}/(eU-eV ) > O.
Subtrahiert man 1, so gilt:
o > -(eu-ed'-f'}/(eu-eV ) > -1.
Multipliziert man mit -1, so ergibt sich:
o < (eu-ed'-f'}/(eu-eV ) < 1.
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Anhang 5: Ableitung der Gleichung (86) in Kapitel IV
In Gleichung (83) wird das folgende Glied umgeformt:
[wef'-d'ev]i . [(I-w)ef'-d'eu]n-i
(Term A)i . (Term B)n-i.
Es gilt dann:
1 - Term A = 1 - wef'-d'ev
= 1 - [(eu-ed'-f')/(eu-eV )] ef'-d'ev ,
mit w := (eu-ed'-f')/(eu-eV )
= [(-ev+ed'-f')/(eu-eV )] ef'-d'eu (I-w)ef'-d'eu = Term B,
wobei I-w
wird.
(-ev+ed'-f')/(eu-eV ), wie in Anhang 3 gezeigt
Definiert man nun Term A wef'-d'+v .- w', so gilt:
1 - Term A I-w' = Term B.
Für das erste Glied in Gleichung (83) ergibt sich schließ
lich:
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(Term A)i . (Term B)n-i
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Anhang 6: Ableitung der Gleichung (116) in Kapitel IV
Gleichung (106) ist die Formel der Lognormalverteilung des
Kassakurses der Basiswährung für ein kurzes Zeitintervall &1):
In(St+~t/St) = möt + ~(~t)z.
Durch Anwendung der Exponentialfunktion folgt nach der Um
formung:
Aus der Exponentialentwicklung erhält man2 ) :
~ [möt+~(~t)zJk 1: -------
k=O k!
Ist ~t sehr klein bzw. mAt+~(~t)z « 1, so lassen sich die
Glieder von möt+~(~t)z mit Ordnungen größer als zwei ver
nachlässigen:
Für den Erwartungswert von St+~t gilt nun wegen konstantem
St:
1) In Anlehnung an R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 88-90.
2) Aus der Exponentialreihe von e X ergibt sich:
eX = ~ xkjk! = 1 + x + x 2 j2! + x 3 j3! + ..... k=O
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Daraus entsteht durch Ausmultiplizieren und Umformungen:
+ maAtV (llt) z] .
Vernachlässigt man die Glieder mit höheren Ordnungen von At,
so ergibt sich wegen E[l] = 1, E[z] = 0, Var[z] = 1 und
E [z2] = 1 3):
Für (m+a2 /2)At « 1 gilt 4 ):
Daraus folgt:
Da der Ausdruck auf der rechten Seite unabhängig von der Zu
fallsvariable z ist, erhält man:
Hier tritt noch einmal die risikoneutrale Modellwelt zutage,
da bei allen Finanztiteln für ein Zeitintervall der risiko
lose Heimwährungszinssatz d' verlangt wird5 ). Ist der Fi
nanztitel die Basiswährung einer Option, so ergibt sich:
3) Var[z] = E[ (z-E[z]) 2] = E[z2_2zE[z]+E2 [z]] = E[z2] - 2E[z]E[z] + E2[z] = ·E[z2] - 2E2[z] + E2[z] = E[z2] - E2[z] = E[z2] = 1, wobei E[z] = Mittelwert = 0 (Standardnorma1verteilung) gilt. Bei den Formelableitungen gilt folgendes: E[a+bz+cz 2 ] = E[a] + E[bz] + E[cz 2 ] = a + E[b]E[z] + E[c]E[z2] a + bE[z] + cE[z2], mit a, b, c = konstant.
4) Für lxi « 1 gilt e X = 1+x. Siehe hierzu Fußnote 2) .
5) Siehe risikoneutrale Welt auf S. 182 und S. 214 in Kapitel IV.
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Daraus folgt angenähert:
Gemäß Gleichung (100) gilt mit d
rungszinssatz:
(100) d' = d~/n dAt.
Man erhält dann:
Schließlich ergibt sich:
Nach der Umformung gilt:
(116) m = d-a2 /2.
kontinuierlicher Heimwäh-
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Anhang 7: Computerprograrrqne fÜr die Binomialmodelle zur Be
rechnung der Werte yon Deyisenoptionen
Die Computerprogramme werden mit der Sprache Fortran77 ge
schrieben. Um die Berechnungen zu ermöglichen bzw. zu er
leichtern, werden in den Programmen gewisse analytische Aus
drÜcke der Modelle durch ihre IdentitAtsgleichungen ersetzt:
Der Ausdruck xk(l-x)n-k, wobei x = w,w' und k die Form ek.ln(x)+(n-k)ln(l-x) gebracht 6 ).
n
i,j, wird in
FÜr den Ausdruck (k)' wobei k i,j, wird die folgende Iden-
titAt benutzt7 ) :
n n-l n-2 n-k+2 n-k+l (-) (-) (-) .... (--) (--). k k-l k-2 2 1
Das Symbol df wird in den Programmen weder als das Differen
tial von f noch als d·f, sondern wie folgt definiert:
df .- (d-f)t/n d' -f' .
6) Setzt man A = xk(l-x)n-k, so erhält man: ln(A) = ln[xk(l-x)n-k]
= ln(xk)+ln[(l-x)n-k] = k·ln(x)+(n-k)ln(l-x).
Gemäß der Definition des Logarithmus gilt: A = eln(A). Daraus folgt: xk(l_x)n-k = ek.ln(x)+(n-k)ln(l-x).
k(k-1) (k-2)··· ·3.2·1 Von k bis 1 sind k Glieder vorhanden. Von n bis n-k+l sind ebenfalls n(n-k+1)+1 = k Glieder vorhanden. Daraus ergibt sich: n n n-1 n-2 n-k+2 n-k+l
(k) (k) (k-l) (k-2)···· (-2-) (-1-)'
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Zur Berechnung der Werte yon europäischen und amerikanischen
Deyisencalls
DVSCAL PROGRAMS IN FORTRAN 77 C
01900 02000
C====67=PARAMETERS VIA COMMON BLOCK================================02100 C 02200
COMMON 1 PARM1 1 S, 0, F, SIGMA, TAU, X 02300 COMMON 1 PARM2 ION, DF, U, V, W 02400 COMMON 1 ZTINT 1 NZTINT 02500
C 02600 C====67=DEFINITIONS================================================02700 C 02800
NZTINT 200 02900 C 03000
ON REAL (NZTINT) 03100 0 9.0/100.0 03200 F 9.0/100.0 03300 SIGMA 10.0/100.0 03400 TAU 270.0/360.0 03500 S 0.5 03600 X 0.5 03700
C 03800 C====67=DERlVED PARAMETERS=========================================03900 C
C====67=OUTPUT=====================================================05200 C 05300
WRITE(*,200) AMC, EUC 05400 C 05500 C====67=FORMAT=====================================================05600 C 05700
200 FORMAT ( lH , 5X, 'AMC = " 1F8.4, 5X, 'EUC = " 1F8.4 ) 05800 C 05900 C====67=STOP/END===================================================06000 C 06100
STOP END
06200 06300
C 06400 C====67============================================================06500 C 06600 C BERECHNUNG DES WERTS EINES EUROPAEISCHEN DEVISENCALL 06700 C 06800 C====67============================================================06900
C
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SUBROUTINE EUCALL( RESULT ) COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W
WSTR W*EXP(-DF+U) JA INT( ( LOG(X/S) - DN*V )/(U-V) ) + 1 RESULT S*EXP(-F*TAU)*CUMBIN(JA,INT(DN),WSTR)
C 11500 C====67============================================================11600 C 11700 C BERECHNUNG DES WERTS EINES AMERIKANISCHEN DEVISENCALL 11800 C 11900 C====67============================================================12000 C 12100
SUBROUTINE AMCALL( RESULT 12200 PARAMETER ( MAXI = 500 ) 12300 COMMON / ZTINT / NZTINT 12400 COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X 12500 COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W 12600
20 10
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COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI ) DSTR = D*TAU/REAL(NZTINT) NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 JNDEX = NZTPKT, 2, -1
DO 20 INDEX = 0, JNDEX-2, 1 NX1 NY1 NX2 NY2
1 + INDEX JNDEX - INDEX NX1 + 1 NYl - 1
UP G( l+INDEX, JNDEX-INDEX ) DOWN G( 1+ (INDEX+1), JNDEX-(INDEX+1) ALIVE (W*UP + (l-W)*DOWN )*EXP(-DSTR) DEAD G( NX1, NY2 ) IF( ALIVE .GE. DEAD ) THEN
C 15000 C====67============================================================15100 C 15200 C BESETZUNG DER MATRIX G MIT DEN AUSUEBUNGSWERTEN 15300 C 15400
C====67============================================================15500 C
SUBROUTINE FILL( U, V ) PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI
NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 INDEX = I, NZTPKT, 1
DO 20 JNDEX = I, NZTPKT-(INDEX-1), DI REAL ( INDEX-1 ) DJ = REAL ( JNDEX-1 ) AUBWT = S*EXP( DJ*U + DI*V ) - X IF( AUBWT .LE. 0.0 ) THEN
C 11500 C====67============================================================11600 C 11700 C BERECHNUNG DES WERTS EINES AMERIKANISCHEN DEVISENPUT 11800 C 11900 C====67============================================================12000 C
SUBROUTINE AMPUT( RESULT PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON COMMON
PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X PARM2 / ON, DF, U, V, W
12100 12200 12300 12400 12500 12600
20 10
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COMMON / MATRI / G( 1:MAXI, l:MAXI ) DSTR = D*TAU/REAL(NZTINT) NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 JNDEX = NZTPKT, 2, -1
DO 20 INDEX = 0, JNDEX-2, 1 NX1 NY1 NX2 NY2
1 + INDEX JNDEX - INDEX NX1 + 1 NYl - 1
UP G( l+INDEX, JNDEX-INDEX ) DOWN G( 1+ (INDEX+1), JNDEX-(INDEX+1) ALIVE (W*DOWN + (1-W)*UP )*EXP(-DSTR) DEAD G( NX1, NY2 ) IF( ALIVE .GE. DEAD ) THEN
C 15000 C====67============================================================15100 C 15200 C BESETZUNG DER MATRIX G MIT DEN AUSUEBUNGSWERTEN 15300 C 15400 c====67============================================================15500 C
20 10
SUBROUTINE FILL( U, V ) PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI
NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 INDEX = I, NZTPKT, 1
DO 20 JNDEX = 1, NZTPKT-(INDEX-1), 1 DI REAL ( INDEX-1 ) DJ = REAL( JNDEX-1 ) AUBWT = -S*EXP( DJ*U + DI*V ) + X IF( AUBWT .LE. 0.0 ) THEN