第三章 图形的平移与旋转 3.4 简单的旋转作图

第三章 图形的平移与旋转第三章 图形的平移与旋转

3.4 3.4 简单的旋转作图简单的旋转作图福鼎市第五中学 数学组福鼎市第五中学 数学组

北师大版数学八年级上册北师大版数学八年级上册

旋 转旋 转 在平面内，将一个图形绕一个定点沿在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为称为旋转旋转。。

这个定点称为这个定点称为旋转中心旋转中心，， 转动的角称为转动的角称为旋转角旋转角。。

注意：注意：旋转不改变图形的大小和形状。旋转不改变图形的大小和形状。

旋转的基本性质旋转的基本性质

（１）（１）旋转不改变图形的大小和形状旋转不改变图形的大小和形状

（２）（２）图形上的每一点都绕旋转中心沿相图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度同方向转动了相同的角度

（３）（３）任意一对对应点与旋转中心的连线任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角所成的角度都是旋转角

（４）（４）对应点到旋转中心的距离相等对应点到旋转中心的距离相等

旋转的定义：图形绕一定点 沿顺时针或逆时针方向 转动一定角度 .

旋转的性质： 对应点与旋转中心的连线所成的角相等； 对应点到旋转中心的距离相等 .

旋转中心：旋转中心：用点表示；用点表示；

旋转方向：旋转方向：分为顺时针方向和逆时针方分为顺时针方向和逆时针方

向向 ..

旋转角度：旋转角度：用量角器度量，用量角器度量，

或通过画角度等于已知角或通过画角度等于已知角 ..

作图工具：作图工具： 直直尺尺、圆、圆规规、铅、铅笔笔 .. 基本作图技能：基本作图技能： 作一条直线平行于已知直线；作一条直线平行于已知直线； 作一线段等于已知线段；作一线段等于已知线段； 作一角等于已知角作一角等于已知角 ..

一、情境问题，引入课题一、情境问题，引入课题1. 下列一组图形变换属于旋转变换的是（ ）

2.2. 在方格纸上作出 “小旗子”绕 在方格纸上作出 “小旗子”绕 OO 点按顺时针点按顺时针

方向旋转方向旋转 90˚90˚ 后的图案 ，并简述理由。后的图案 ，并简述理由。

O

图 图 3—163—16

AA

BBCC

A’A’

B’B’

C’C’

2.2. 把这面小旗子绕旗杆底端旋转把这面小旗子绕旗杆底端旋转

9090 度后，这时小旗子的位置发生度后，这时小旗子的位置发生

了变化，形成了新的图案。了变化，形成了新的图案。

作图的一个要点：找图形的关键点。作图的一个要点：找图形的关键点。

二、观察操作、二、观察操作、

探索归纳探索归纳旋转的作法旋转的作法 ⑴ ⑴ 观察、作图观察、作图

项目 已知 未知 备注源图形 ● 点 A

源位置 ● 点 A

旋转中心 ● 点 O

旋转方向 ● 顺时针旋转角度 ● 60˚

目标图形 ● 点目标位置 ● 点 B ( 求作 )

AO

点的旋转作法点的旋转作法

例 1 将 A 点绕 O 点沿顺时针方向旋转 60˚.

分析：

作法：作法： 1. 1. 以点以点 OO 为圆心，为圆心， OAOA 长为半径画圆长为半径画圆 ;;

2. 2. 连接连接 OA, OA, 用量角器或三角板（限特殊用量角器或三角板（限特殊角）角）

作出作出∠∠ AOBAOB ，与圆周交于，与圆周交于 BB 点；点；

3. B3. B 点即为所求作点即为所求作 ..

B

议一议：议一议：你还有其他方法作吗？你还有其他方法作吗？

项目 已知 未知 备注源图形 ● 线段 AB

源位置 ● 线段 AB

旋转中心 ● 点 O

旋转方向 ● 顺时针旋转角度 ● 60˚

目标图形 ● 线段目标位置 ● 线段 CD ( 求作 )

AO

线段的旋转作法线段的旋转作法

例 2 将线段 AB 绕 O 点沿顺时针方向旋转60˚.

分析：

作法：1. 1. 将点将点 AA 绕点绕点 OO 顺时针旋转顺时针旋转 6060˚̊ ，得点，得点

CC;;

2. 2. 将点将点 BB 绕点绕点 OO 顺时针旋转顺时针旋转 60˚60˚ ，得点，得点D D ；；

3. 3. 连接连接 CD, CD, 则线段则线段 CDCD 即为所求作即为所求作 ..

C

B

D

议一议：议一议：你还有其他方法作吗？你还有其他方法作吗？

点的旋转作法： 以旋转中心为圆心，旋转 中心到待旋转点的距离为半径画圆，连接旋转中心到待旋转点的半径，过旋转中心按指定方向作另一半径，使与前一半径的夹角等于已知角，该半径交于圆上的点即为所求作 .

线段的旋转作法： 将线段两端点分别旋转，然后将两个旋转后的点连成线段，即为原线段旋转后的线段 .

项目 已知 未知 备注源图形 ● △ABC

源位置 ● △ABC

旋转中心 ● 点 C

旋转方向 ● 根据 A 与 D 的对应关系判断为顺时针

旋转角度 ● ∠ACD

目标图形 ● 三角形目标位置 ● △DEC ( 求作 )

图形的旋转作法图形的旋转作法例 3 如图，△ ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 得对应点为点 D. 试确定顶点B 对应点的位置以及旋转后的三角形 .

分析：

作法一：作法一：1. 1. 连接连接 CDCD;;

2. 2. 以以 CBCB 为一边，作为一边，作∠∠ BCE,BCE, 使得使得∠∠ BCE=∠ACDBCE=∠ACD ；；3. 3. 在射线在射线 CBCB 上截取上截取 CE,CE, 使得使得 CE=CB;CE=CB;

4. 4. 连接连接 DEDE ，则，则△△ DECDEC 即为所求作即为所求作 ..

C

A

B

D

E

议一议：议一议：你还有其他方法作吗？你还有其他方法作吗？

项目 已知 未知 备注源图形 ● △ABC

源位置 ● △ABC

旋转中心 ● 点 C

旋转方向 ● 根据 A 与 D 的对应关系判断为顺时

针旋转角度 ● ∠ACD

目标图形 ● 三角形目标位置 ● △DEC ( 求作 )

例 3 如图，△ ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 得对应点为点 D. 试确定顶点B 对应点的位置以及旋转后的三角形 .

分析：

作法二：作法二：1. 1. 连接连接 CDCD;;

2. 2. 以以 CC 为圆心，为圆心， CBCB 长为半径画圆 ；长为半径画圆 ；3. 3. 延长延长 CA,CA, 交交⊙⊙ CC 与与 MM ，延长，延长 CDCD ，交，交⊙⊙ CC 与与 N;N;

4. 4. 在在⊙⊙ CC 上截取上截取 BE=MNBE=MN ，则，则 EE 点为点为 BB点的 点的 对应点；对应点；5. 5. 连接连接 CE, DECE, DE ，则，则△△ DECDEC 即为所求作即为所求作 ..

C

A

B

D

E

M N

图形的旋转作法图形的旋转作法

小结：小结：确定一个三角形旋转后的位置的条件为：(1)三角形原来的位置 .

(2)旋转中心 .

(3)旋转角 .

想一想想一想 在旋转过程中，确定一个三角形旋转后的位置，除在旋转过程中，确定一个三角形旋转后的位置，除

需要此三角形原来的位置外，还需要什么条件？需要此三角形原来的位置外，还需要什么条件？

开始开始

旋转要素分析旋转要素分析

控制点选择控制点选择

控制点旋转控制点旋转

旋转后控制点连线旋转后控制点连线（旋转后作图）（旋转后作图）

结束结束

有时，旋转中心以及旋转有时，旋转中心以及旋转方向与角度不是显式告知的，方向与角度不是显式告知的，需要化未知为已知需要化未知为已知 ..

线段的端点、多边形顶点、线段的端点、多边形顶点、折线的连接点、线段与曲线折线的连接点、线段与曲线的连接点、圆或圆弧或扇形的连接点、圆或圆弧或扇形的圆心的圆心 ..

注意连接顺序，有时需要注意连接顺序，有时需要用圆规进行作图（根据圆心用圆规进行作图（根据圆心控制点以及已知半径）控制点以及已知半径） ..

练习 1 将下图中大写字母N 绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90˚ ，作出旋转后的图案 .

三、随堂练习三、随堂练习

练习 2.2. 小明和妈妈在广场游玩时小明和妈妈在广场游玩时 ,, 看见许多看见许多喷水嘴正在给草坪浇水。 喷水嘴不停地旋转喷水嘴正在给草坪浇水。 喷水嘴不停地旋转着着 , , 但每时每刻喷出的水雾总是四分之一圆。但每时每刻喷出的水雾总是四分之一圆。

妈妈问：“小明妈妈问：“小明 ,, 如果喷出如果喷出 水雾的范围内有一正方形水雾的范围内有一正方形 ,,

喷水嘴位于它的中心喷水嘴位于它的中心 , ,

你知道喷水嘴在旋转的你知道喷水嘴在旋转的 过程中瞬时浇过正方形过程中瞬时浇过正方形 区域的面积是多少吗区域的面积是多少吗 ?? ” ”

同学们，请你替小明做出回答。同学们，请你替小明做出回答。

三、随堂练习三、随堂练习

OO

AA

BB CC

DD

EE

FF

OO

AA

BB CC

DD

EE

FF

旋转的性质有哪些？旋转的性质有哪些？ 如何利用旋转的性质作图？ 如何利用旋转的性质作图？ 确定一个三角形旋转后的位置，需确定一个三角形旋转后的位置，需

要哪几个条件？要哪几个条件？

四、四、课时小结课时小结

旋转作图的步骤旋转作图的步骤：：（（ 11 ）确定旋转中心、旋转方向及旋转角的大小）确定旋转中心、旋转方向及旋转角的大小

（（ 22 ）确定已知图形的关键点）确定已知图形的关键点 (( 比如线段的两个比如线段的两个端点、三角形的三个顶点等端点、三角形的三个顶点等 ))

（（ 33 ）确定各关键点的对应点）确定各关键点的对应点 .(.( 将图形的各关将图形的各关键点与旋转中心连接，按规定方向旋转规定角键点与旋转中心连接，按规定方向旋转规定角度，找到该点的对应点度，找到该点的对应点 ))

（（ 44 ）按原图顶点的顺序连接各对应点，即得旋）按原图顶点的顺序连接各对应点，即得旋转后的图形。转后的图形。

如图，∠如图，∠ ADC =∠ABC=90°ADC =∠ABC=90° ，， AD AD

= CD= CD 。四边形。四边形 PBFDPBFD 是正方形，若是正方形，若四边形四边形 ABCDABCD 的面积为的面积为 1818 ，求，求 DPDP

的长。的长。

AA BB

CC

DDFF

PP

五、五、拓展练习拓展练习