第 3 章平面静定梁和静定刚架

结构力学结构力学

第第 33 章平面静定梁和静定刚架章平面静定梁和静定刚架

静定结构特性静定结构特性几何特性：无多余联系的几何不变体系几何特性：无多余联系的几何不变体系静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力

静定结构分类静定结构分类11 、静定梁；、静定梁； 22 、静定刚架；、静定刚架； 33 、三铰、三铰拱；拱；

44 、静定桁架；、静定桁架； 55 、静定组合结构；、静定组合结构；


3.1 3.1 单跨静定梁受力分析单跨静定梁受力分析

5. 叠加法作弯矩图

1. 单跨梁支反力2. 截面法求指定截面内力3. 作内力图的基本方法4. 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系

6. 分段叠加法作弯矩图

单跨梁受力分析方法


1. 单跨梁支座反力

FX

MFY

L/2 L/2

FP例 . 求图示梁支反力

A

解 :

)(2/

)(

0

LFM

FF

F

P

PY

X

0

0

0

A

Y

X

M

F

F


内力符号规定内力符号规定 ::弯矩以使下侧受拉为正剪力绕作用截面顺时针转为正轴力拉力为正

2. 截面法求指定截面内力

K

AyF ByF

AxF

q

A B

lC

例例 :: 求跨中截面内力)(2/

),(2/,0

qlF

qlFF

By

AyAx解解 ::

8/,0

0,0

0,0

2qlMM

FF

FF

Cc

CQy

Nx C

( 下侧受拉 )


AyF

3. 作内力图的基本方法

ByF

AxF

q

A B

l

例例 :: 作图示粱内力图

22

1)(,0

2

1)(,0

0)(,0

xqxqlxxMM

qxqxxFF

xFF

Qy

Nx

内力方程式内力方程式 ::

)(

)(

)(

xFF

xFF

xMM

NN

QQ

弯矩方程式弯矩方程式

剪力方程式剪力方程式轴力方程式轴力方程式

)(2/

),(2/,0

qlF

qlFF

By

AyAx解解 ::

2

8

1ql

ql2

1ql2

1

MM

FFQQ


4. 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系

1.1. 无荷载分布段无荷载分布段 (q=0),F(q=0),FQQ 图图为水平线为水平线 ,M,M 图为斜直线图为斜直线 ..

)(/)(

)(/)(

)(/)(

22 xqdxxMd

xFdxxdM

xqdxxdF

Q

Q

q

A B

lx

)(xM

)(xFN

xd)(xFQ

MM d

NN dFF

QdFQF

xqd

微分关系微分关系 ::

MM 图图FPl

自由端无外力偶自由端无外力偶则无弯矩则无弯矩 ..

截面弯矩等于该截面一侧的所有外力对该截面的力矩之和

FFQQ 图图 FFPP


例例 : : 作内力图作内力图

铰支端无外力偶铰支端无外力偶则该截面无弯矩则该截面无弯矩 ..

MM 图图

FFQQ 图图

FP

FP

FP

FP


2.2. 均布荷载段均布荷载段 (q=(q= 常数常数 ),F),FQQ 图为斜直线图为斜直线 ,M,M 图为抛物线图为抛物线 ,,

且凸向与荷载指向相同且凸向与荷载指向相同 ..

FFQQ=0=0 的截面为抛的截面为抛物线的顶点物线的顶点 ..

1.1. 无荷载分布段无荷载分布段 (q=0),F(q=0),FQQ 图为水平线图为水平线 ,M,M 图为斜直线图为斜直线 ..

MM 图图

FFQQ 图图ql

2/2ql

2/2ql



MM 图图

FFQQ 图图

2/2ql





3.3. 集中力作用处集中力作用处 ,F,FQQ 图有突变图有突变 ,, 且突变量等于力值且突变量等于力值 ; M; M

图有尖点图有尖点 ,, 且指向与荷载相同且指向与荷载相同 ..

MM 图图

FFQQ 图图FPl/4

FP/2

FP/2


MM 图图

FFQQ 图图

2/2ql

A 支座的反力大小为多少 ,方向怎样 ?

MM 图图

FFQQ 图图

FPl/2 FP

FP

FP/2






图有尖点图有尖点 ,, 且指向与荷载相同且指向与荷载相同 ..4.4. 集中力偶作用处集中力偶作用处 , M, M 图有突变图有突变 ,, 且突变量等于力偶且突变量等于力偶值值 ; F; FQQ 图无变化图无变化 ..

MM 图图

FFQQ 图图



MM 图图

FFQQ 图图

MM 图图

FFQQ 图图

铰支座有外铰支座有外力偶力偶 ,, 该截面弯矩该截面弯矩等于外力偶等于外力偶 ..

无剪力杆的无剪力杆的弯矩为常数弯矩为常数 ..

自由端有外自由端有外力偶力偶 ,, 弯矩等于外弯矩等于外力偶力偶


练习练习 : : 利用上述关系作弯矩图利用上述关系作弯矩图 ,, 剪力图剪力图

FP FP

FP FP

FP

FP

FP

FP

FP

FP

FPFP

FP


练习练习 : : 利用上述关系作弯矩图利用上述关系作弯矩图 ,, 剪力图剪力图

FPFP

FP FP


5. 叠加法作弯矩图

注意注意 ::是竖标相加 , 不是图形的简单拼合 .


练习 :

q

l

2ql

2ql

2

16

1ql

2

16

1ql

q

l


6. 分段叠加法作弯矩图q

A B

l/2 l/2C

ql8

1

2

16

1ql

q

2

16

1ql

q

l/2

2

16

1ql

q

l/2

2

16

1ql

q

2

16

1ql


练习 : 分段叠加法作弯矩图q

A

Bl

C

2

4

1ql

q

lql

l l

ql2

1


1. 多跨静定梁的组成

附属部分附属部分 ---- 不能独不能独立承载的部分立承载的部分。。

基本部分基本部分 ---- 能独立能独立承载的部分。承载的部分。

基、附关系层叠图基、附关系层叠图

3.2 3.2 多跨静定梁受力分析多跨静定梁受力分析


练习 : 区分基本部分和附属部分并画出关系图


2. 多跨静定梁的内力计算

拆成单个杆计算拆成单个杆计算 ,, 先算附属部分先算附属部分 ,, 后算基本部分后算基本部分 ..


例例 : : 作内力图作内力图 qql

l ll l 2l 4l 2l

ql

ql

ql

q ql2

1

ql

ql

ql2

1

q22ql 2ql

ABQF BAQFA B

4/50

4/110

qlFF

qlFM

ABQY

BAQA


例例 : : 作内力图作内力图 qql

l ll l 2l 4l 2l

ql

ql

ql

q ql2

1

ql

ql

ql2

1

2ql2ql

ql

ql

4/5ql 4/11ql

2/ql

2/ql

内力计算的关键在于内力计算的关键在于 :: 正确区分基本部分和附正确区分基本部分和附属部分属部分 .. 熟练掌握单跨梁的计算熟练掌握单跨梁的计算 ..


3. 多跨静定梁的受力特点

简支梁 ( 两个并列 )

多跨静定梁

连续梁

为何采用多跨静定梁这种结构型式 ?


例例 . 对图示静定梁 , 欲使 AB 跨的最大正弯矩与支座B 截面的负弯矩的绝对值相等 , 确定铰 D 的位置 .

q

CB

l

AD

lx

DR8/)( 2xlq

qDR

B

解 : )(2/)( xlqRD2/)(2/2 xxlqqxM B

2/)(2/8/)( 22 xxlqqxxlq

lx 172.02086.0 qlM B


q

l lx

lx 172.02086.0 ql 2086.0 ql

2086.0 ql

2

8

1ql

q

22 125.08

1qlql

与简支梁相比 : 弯矩较小而且均匀 .

从分析过程看 : 附属部分上若无外力 , 其上也无内力 .


练习练习 : : 利用微分关系等作弯矩图利用微分关系等作弯矩图

l l/2 l/2

FP

l lMM



ll/2 l/2

FP

l lMM

M2M

2

4

1ql2

2

1ql

l lM

l lM

M

MM

M

M



ll/2 l/2

FP

MM

M2M

2

4

1ql2

2

1ql

M

M

M

MM

M

M

l l

q

2

2

1ql

l lM

M

M


练习练习 : : 利用微分关系利用微分关系 ,, 叠加法等作弯矩图叠加法等作弯矩图

l/2 l/2

FP

l/2l/2l/2

FP lPF4

1

lP4

1

l/2 l/2l/2l/2l/2

q ql

lPF4

1

2q4

1l 2q

4

1l


刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构

l

2

8

1ql

2

8

1ql

刚架

梁桁架

弯矩分布均匀弯矩分布均匀可利用空间大可利用空间大

一一 . 刚架的受力特点

3.3 3.3 静定刚架受力分析静定刚架受力分析


静定刚架的分类 :

二二 . 刚架的支座反力计算

简支刚架

悬臂刚架

单体刚架( 联合结构 )

三铰刚架( 三铰结构 )

复合刚架( 主从结构 )


1. 单体刚架 ( 联合结构 ) 的支座反力 ( 约束力 )计算

例 1: 求图示刚架的支座反力

PF

A

C B

l

2l

2l PF

A

C B

AYAX

BY

方法 : 切断两个刚片之间的约束 ,取一个刚片为隔离体 ,假定约束力的方向 ,由隔离体的平衡建立三个平衡方程 .

解 : )(,0,0 PAPAx FXFXF

)(2

,0,0 PBABAy

FYYYYF

)(2

,02

,0 PBBPA

FYlY

lFM


例 2: 求图示刚架的支座反力解 :

)(,0,0 qlXqlXF AAx

)(,0,0 qlYqlYF AAy

)(2

,0,02

2

逆时针转qlM

qllqlMM

A

AA

Al

2l

2l

AY

AX AM

qlq 2ql


PFA

C B

AY

BX

BM

l

2l

2l解 : )(,0 PBx FXF

0,0 Ay YF

)(2/,0 顺时针转plMM BB


例 4: 求图示刚架的约束力

)(2

1,0 qlXFF CABNx

解 : 0,0 Cy YF

)(2

1,0

2,0 qlXlX

lqlM CCA

l

A

C

l

B

l

qlql

q

CY

ABNF

CX

ql

A

C


例 5: 求图示刚架的反力和约束力

解 : 1) 取整体)(,0 PAx FXF

)(2

1,0 PAy FYF

)(2

1,0 PBA FYM

lBY

l

l

E

PF

A

C

DB

AY

AXDANF

BY

E

DB

DCNFECNF

2) 取 DBE 部分

)(2

,0 PDANx

FFF

)(2

1,0 PDCNy FFF

)(2

1,0 PBCND FFM


2. 三铰刚架 ( 三铰结构 ) 的支座反力 ( 约束力 )计算


方法 : 取两次隔离体 ,每个隔离体包含一或两个刚片 ,建立六个平衡方程求解 --双截面法 .

解 :1) 取整体为隔离体

0,0 BPAx XFXF

)(2

,0,0 PBABAy

FYYYYF

)(2

,02

,0 PBBPA

FYlY

lFM

PF

A

C2l

2l

B

AY

AX

BY2l

2l BX

2) 取右部分为隔离体

)(4

,0,0 PCCBx

FXXXF

)(2

,0,0 PBCBCy

FYYYYF

)(4

,02

,0 PBBBC

FX

lYlXM

B

C

BY

CYCX

BX


例 2: 求图示刚架的支座反力和约束力

解 :1) 取整体为隔离体 )(,0 PBx FXF

)(,0,0 PBABAy FYYYYF

)(2

1

,02

,0

顺时针转lFM

lYl

FMM

PA

BPAA

2) 取右部分为隔离体

)(,0,0 PCCBx FXXXF

)(2,0,0 PBCBCy FYYYYF

)(2,02

,0 PBBBC FYl

YlXM

B

C

BY

CYCX

BX

PF

A

C2l

2l

B

AYAM BY

2l

2l BX

3) 取整体为隔离体


例 3: 求图示刚架的约束力

解 :1) 取 AB 为隔离体

0,0 qlYYF ACy

)(,02,0 qlYqlYYF ABAy

)(,02

2,0 qlYlYl

qlM BBA

l

A

C

l

B

l

ql2

q A

ql2

B

AY

AX

BY

BX

CY

CXC

AX

AYA

2) 取 AC 为隔离体

3) 取 AB 为隔离体

)(2/,02

,0 qlXlYl

qllXM ABAC

)(2/,0 qlXXF BCx

)(2/,0 qlXXF ABx


例 4: 求图示刚架的反力和约束力

l

BX

l

lE

PF

A

C

D

B

AY

AX

BY

Fl

解 :1) 取 BCE 为隔离体

0,0 Ax XF

CDNF EFNFECB

BX

BY

PF

2) 取整体为隔离体 )(3,03,0 PBBPA FYlYlFM

0,0 Bx XF

)(2,0,0 PAPBAy FYFYYF

3) 取 BCE 为隔离体

)(4

,0,0

PEFN

EFNBPC

FF

lFlYlFM

)(6,0 PCDNy FFF


3. 复合刚架 ( 主从结构 ) 的支座反力 ( 约束力 )计算方法 : 先算附属部分 ,后算基

本部分 ,计算顺序与几何组成顺序相反 .

解 :1) 取附属部分

2) 取基本部分


PF

A C

2/l

4/l

B

AY

AX

BY

D

CY

4/l

l l

DX

DY

PF

A CB

AY

AX

BY

D

CY

DY

DX

)(4/ PD FY

)(4/ PC FY

)( PD FX

)(4/ PB FY

)( PA FY

)( PA FX

若附属部分上无若附属部分上无外力外力 ,, 附属部分上的附属部分上的约束力是否为零约束力是否为零 ??


PF

思考题 : 图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的 ?

PF

lFP PF

PF

PF

PF

PF

PF

lFP

PF

PF

PF

PF


习题 : 求图示体系约束力 .

MM

l

l

A

C D

B

lM /

lM /

lM /

lM /

lM /lM /

M


习题 : 求图示体系约束力 .

M

l l l

l

l

0

lM /

lM /

M


三三 . 刚架指定截面内力计算与梁的指定截面内力计算方法相同 .

例 1: 求图示刚架 1,2 截面的弯矩

解 :

PF

A

C2l

2l

B

AY

AX

BY2l

2l BX

1 2

)(4/ PB FX

)(2/ PA FY)(2/ PB FY

)(4/ PA FX

2M

4/PF

1M

4/PF

)(4/1 上侧受拉lFM P

)(4/2 右侧受拉lFM P

)(21 外侧受拉MM

M

M

连接两个杆端的刚结点 ,若结点上无外力偶作用 ,则两个杆端的弯矩值相等 ,方向相反 .


四四 . 刚架弯矩图的绘制做法 :拆成单个杆 ,求出杆两端的弯矩 ,按与单跨梁相同的方法画弯矩图 .





图有尖点图有尖点 ,, 且指向与荷载相同且指向与荷载相同 ..

4.4. 集中力偶作用处集中力偶作用处 , M, M 图有突变图有突变 ,, 且突变量等于力偶且突变量等于力偶值值 ; F; FQQ 图无变化图无变化 ..


例题 1: 作图示结构弯矩图

2/lFP l

2/lP

2/l

2/lFP2/lFP

l l

l

PF PF练习 : 作弯矩图

PF l

llFPlFP

lFP2



2/Pl l

2/lP

2/l

2/Pl2/Pl

P l

lPlPl

Pl2

练习 : 作弯矩图

l l

l

P P

2/l

2/l

l

P


练习 : 作图示结构弯矩图PF

l

l

PF

l

l

l l

PF l

l


练习 : 作图示结构弯矩图


ll

l

PF 2/lFP4/lFP

4/3 lFP4/3 lFP

4/lFP

2/lFP

PF

l

l2

l

l2PF

2/lFP

2/lFP

lFP

0

lFP


练习 : 作图示结构弯矩图例题 3: 作图示结构弯矩图

ql

2/2ql

2/ql

l

lq ql

l

2/l

q

2/l

l l

l

q

q


练习 : 作图示结构弯矩图

l l

ql l

l

q4/5ql

4/5ql

4/5 2ql

4/5 2ql

2ql 2/3 2ql

ql

l

2/l

q

2/l

ql


例四 : 作图示结构弯矩图

0

PF

PFlM 4/

l l

M

2/M

4/M

2/M

4/3M

ll

lFPPF l

l

2ql

l

q l

ql

2/2ql

ql2


练习 : 试找出图示结构弯矩图的错误


练习 : 试找出图示结构弯矩图的错误


做法 : 逐个杆作剪力图 ,利用杆的平衡条件 ,由已知的杆端弯矩和杆上的荷载求杆端剪力，再由杆端剪力画剪力图 .

五五 . 由做出的弯矩图作剪力图

注意 : 剪力图画在杆件任一侧均可 ,必须注明符号和控制点竖标 .


PF

a2

a a a

/4FP /4FP

2/FPa

2/aFP

2/aFP aFP

M

2/PF

/4FP 4/PF

PF

Q

PF

l

l2

l

l2

lFP

lFP

lFP

练习 : 作剪力图

2/PF

PF

QM

2/PF

由做出的弯矩图作剪力图


l

l

2ql

ql

q

例 : 作剪力图

M

2/P

qlFFABQBAQ ,0

Q

2/2ql

2ql

2/3 2ql

ql

A B

2ql2/3 2ql

ABQF BAQF

A B

ql

0BAQF

ql

qlFABQ ql


做法 : 逐个杆作轴力图 ,利用结点的平衡条件 ,由已知的杆端剪力和求杆端轴力 ,再由杆端轴力画轴力图 .

六六 . 由做出的剪力图作轴力图

注意 : 轴力图画在杆件那一侧均可 ,必须注明符号和控制点竖标 .


N

2/3 PF2/PF

4/PF

由做出的剪力图作轴力图PF

a2

a a a

/4FP /4FP

2/FPa

2/aF P

2/aFP aFP

M

2/PF

/4FP 4/PF

PF

Q

A B

A

2/PF

4/PF B2/PF

4/PF

4/PF

2/PF


PF

l

l2

l

l2

lFP

lFP

lFP

练习 : 作轴力图

2/PF

PF

QM

2/PF

A

B

2/PF

PF

A

2/PF

PF

BPF

2/PF

PF

2/PF

2/PFN

PF


kN2 m5.1

m4

例 : 作图示结构的 M,Q,N 图

m5.1A

C

BkN/m4

x

q

A

B

l

2/ql

2/ql

x

A

)(xM

x2/ql

)(2

1

22)( xlqx

xqxx

qlxM

8/2ql

8/2ql

q

4/2ql

4/2ql


kN2 m5.1

m4

例 : 作图示结构的 M,FQ,FN 图

m5.1A

C

BkN/m4mkN3

M kN7FkN,8.5 BCQCBQF

AC

B

BCQF

CBQFC

B

FQ

kN2

7kN

5.8kN

B

BANFBCNF CY

CCBNFkN2

kNF

kNF

kNF

CBN

BCN

BAN

85.6

75.2

25.7

kN75.2

kN85.6

AC

B

kN5.7 FN

第 3 章 平面静定梁和静定刚架

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第 3 章平面静定梁和静定刚架