ม 3-เทอม 1thaicadet.org/StudyOnline/Math/บทที่ 5... · คณิตศาสตร ม.3 - 36 - จากตัวอย างขางต น จะเห...

คณตศาสตร ม.3 - 35 -

บทท 5 จานวนจรง

1. จานวนจรง (Real Number) จานวนจรงประกอบดวยจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ แสดงไดดวยโครงสรางของระบบจานวนจรง (The Real Number System) ดงน

จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ จานวนเตม เศษสวน ทศนยม

จานวนเตมลบ จานวนเตมศนย จานวนเตมบวก

2. จานวนตรรกยะ (Rational Number)

จานวนตรรกยะ คอ จานวนทเขยนแทนไดในรปเศษสวน ba เมอ a และ b เปนจานวนเตมท b≠0 หรออยในรปทศนยมซา

เชน จานวนเตม – 3, 2, 5, 8

เศษสวน –59

, –32

, 83 ,

138

ทศนยม – 0.27, 7.403, 3.76 เปนตน การเขยนเศษสวนใหอยในรปทศนยม โดยทวไปใชวธการนาสวนไปหารเศษ โดยการหารยาวแบบธรรมดา ตวอยาง จงเขยนเศษสวนตอไปนใหอยในรปทศนยม

(1.) 85 (2.)

1613 (3.)

32

วธทา 0.625

_508 0.8125

_13016 0.66...

_203 48 128 18 20 _ 20 _ 20 16 16 18 40 _ 40 _ 20 40 32 18 0 80 _ 2 80 0

THAI CADET


จากตวอยางขางตน จะเหนวามทศนยมอย 2 แบบ คอ

1. ทศนยมรจบ ไดแก ทศนยมทจานวนตวเลขหลงจดทศนยมเปนจานวนรจบ หรอมศนยซา เชน 0.6250, 0.81250 , 0.3, 3.735 เปนตน

2. ทศนยมไมรจบ ไดแก ทศนยมทจานวนตวเลขหลงจดทศนยมเปนจานวนไมรจบ แบงไดเปน 2 ประเภท คอ

2.1 ทศนยมไมรจบแบบซา ไดแก ทศนยมทมตวเลขหลงจดทศนยมตวหนงหรอมากกวาซากนอยางเปนระบบ เชน

–2.3666... = –2 .36 0.757575… = 0.7 5

3.235353535… = 3.23 5 เปนตน

2.2 ทศนยมไมรจบแบบไมซา ไดแก ทศนยมทมตวเลขหลงจดทศนยมมากมายแบบไมเปนระบบ และไมซากนเลย เชน 1.4142135..., 2.3764853287... เปนตน (* ทศนยมแบบนอยในเซตของจานวนอตรรกยะนนเอง)

การเขยนทศนยมใหเปนเศษสวน ตองเปนทศนยมรจบ และทศนยมไมรจบแบบซากนเทานน

1. การเขยนทศนยมรจบ (ทศนยมซาศนย) ใหเปนเศษสวนนน ทาไดโดยการทาสวนใหเปนเลขพหคณของ 10 ขนอยกบวาจานวนนนมทศนยมกตาแหนง เชน

0.4 = 104

2.37 = 100237

0.067 = 000,167

2. การเขยนทศนยมแบบซา ใหเปนเศษสวน ทาไดดงวธตอไปน

ตวอยางท 1 จงเขยนทศนยมซาตอไปน ใหอยในรปเศษสวน

(1.) 0.7 วธทา ให N = 0.7 = 0.777… (1) คณสมการท (1) ดวย 10 จะได 10 N = 7.777… (2) (2)–(1) ; 10N – N = 7.777… – 0.777… 9N = 7

∴N = 97

ดงนน 0.7 จงมคาเทากบ 97 ตอบ

THAI CADET


(2.) 1.23 วธทา ให N = 1.23 = 0.1232323… (1) คณสมการท (1) ดวย 100 จะได 100N = 123.232323… (2) (2)–(1) ; 100N – N = 123.23… – 1.23… 99N = 122

∴N = 99

122

ดงนน 1.23 จงมคาเทากบ 99

122 ตอบ

จากตวอยางขางตนจะเหนไดวา การเขยนทศนยมไมรจบแบบซาใหเปนเศษสวนนน สามารถทาไดดวยวธลด โดยใชหลกการดงน

สวนเศษ

= จบ)นยมไมรนเทากบทศซงมจานว 9 (เเล

จบเลขตวทร เลขทงหมด−

สาหรบทศนยมไมรจบลวน ๆ จากหลกการดงกลาว สามารถสรปงาย ๆ โดยใหเขยนจานวนทเปนเลขหลงจดทศนยมเปนเศษ แลวสวนเปน 9 ซงจานวนของเลข 9 ทเปนสวน จะเทากบจานวนตวเลขทอยหลงจดนน ตวอยางท 2 จงเขยนทศนยมซาตอไปนใหอยในรปเศษสวน

(1.) 0.57 = 9957

(2.) 13.268 = 13999268

(3.) 3.8609 = 399998609

ตอบ

* จะสามารถทาตวอยางตอไปนไดอยางงาย ๆ ดงน

0.9 = 99

= 1

6.99 = 69999

= 7

2.9 99 = 2999999

= 3

จะเหนวา ถาสวนทศนยมเปนรปแบบของ 0.9 , 0.99 , 0.9 99 คาของจานวนจะถกปดขนเปนจานวนเตมบวกตวแรก คอ เลข 1

THAI CADET


ทศนยมไมรจบแบบผสม คอ ทศนยมทมทงแบบรจบ และไมรจบอยในจานวนเดยวกน จากหลกการสามารถสรปงาย ๆ โดยการนาตวเลขหลงจดทศนยมทงหมดตง ลบดวยตวเลขทเปนทศนยมรจบ แลวหารดวย 9 ซงมจานวนเทากบตวเลขทเปนทศนยมไมรจบ แลวเตมศนยหลงเลข 9 ตามจานวนทศนยมทรจบ ตวอยางท 3 จงเขยนทศนยมซาตอไปนใหอยในรปเศษสวน

(1.) 0.25 = 90

2 - 25 =

9023

(2.) 1.274 = 1900

27 -274 = 1

900247

(3.) 14.235 = 14990

2 - 235 = 14

990233

ตอบ

3. จานวนอตรรกยะ (Irrational Number)

จานวนอตรรกยะ คอ จานวนทไมสามารถเขยนแทนไดดวยเศษสวน ba

เมอ a และ b เปนจานวนเตมท b≠0 หรอ

ไมสามารถเขยนใหอยในรปของทศนยมไมรจบแบบซาได แตสามารถหาคาประมาณในรปของทศนยมซา หรอเศษสวนได

ตวอยางเชน 2 , 3 , 5 , 7 , 133 , π, 0.676776777... เปนตน พจารณาจานวน 2 = 1.4142135… 3 = 1.7320508… 5 = 2.2360679…

π = 3.14159265… ดงนน ในการคานวณทศนยมใชจานวนตรรกยะเปนคาประมาณของจานวนอตรรกยะ เชน

7

22 หรอ 3.142 เปนคาประมาณของ π

1.414 เปนคาประมาณของ 2 1.732 เปนคาประมาณของ 3 เนองจากจานวนตรรกยะทกจานวนสามารถแทนไดดวยจดบนเสนจานวน สาหรบจานวนอตรรกยะกสามารถแทนไดโดยจดบนเสนจานวนเชนเดยว

การหาจดทแทนท π บนเสนจานวน

∵π = นยกลางเสนผานศความยาวของ

รปวงกลมความยาวรอบ

จะเหนไดวา เลขทกจานวนเปนทศนยมไมรจบแบบไมซา หมายถง ไมสามารถหาคาทแทจรงไดนนเอง

THAI CADET


เนองจากวงกลมทกวงจะมรปแบบอตราสวนขางตนนเหมอนกนหมด แตเศษสวนขางตนจะไมสามารถเขยนเปนจานวนตรรกยะได จงมการหาอตราสวนตาสดทเปนรปการหารของเลขจานวนเตมทงเศษและสวน และพบวาถากาหนดความยาว รอบรปวงกลมเปน 22 หนวย จะทาใหไดความยาวของเสนผานศนยกลางเปน 7 หนวยพอด (ซงถาความยาวรอบรปวงกลมเปน

เลขจานวนเตมตวอน กจะไมไดความยาวของเสนผานศนยกลางเปนจานวนเตม) ทาให 7

22 เปนเศษสวนอยางตาของคา π

โดยเราใช π เพอหาคาตอไปน

ความยาวรอบรปวงกลม = 2πr

พนทวงกลม = πr 2

พนทผวทรงกลม = 4πr 2

ปรมาตรทรงกลม = 34πr 2 เปนตน

การหาจดบนเสนจานวนทแทน 5 , – 5 ใชทฤษฎบทของพทาโกรสชวยหาจดบนเสนจานวน ดงน

นนคอ จานวนอตรรกยะทกจานวนแทนดวยจดบนเสนจานวนได เชนเดยวกบจานวนตรรกยะ จงเรยกเสนจานวนนนวา “เสนจานวนจรง”

4. สมบตของจานวนจรง

สมบตการบวกของจานวนจรง ให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ 1. a + b เปนจานวนจรง (สมบตปด) 2. a + b = b + a (สมบตการสลบท) 3. (a + b) + c = a + (b + c) (สมบตการเปลยนกลม) 4. a + 0 = a = 0 + a นนคอ 0 เปนเอกลกษณสาหรบการบวก 5. a + (-a) = 0 = (-a) + a นนคอ –a เปนอนเวอรสสาหรบการบวกของ a สมบตการคณของจานวนจรง ให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

1. a × b เปนจานวนจรง (สมบตปด)

2. a × b = b × a (สมบตการสลบท)

3. (a×b)× c = a×(b×c) (สมบตการเปลยนกลม)

4. a×1 = a = 1×a นนคอ 1 เปนเอกลกษณสาหรบการคณ

5. a×a1 = 1 เมอ a ≠ 0 นนคอ a หรอ

a1

เปนอนเวอรสสาหรบการคณซงกนและกน

6. a×(b + c) = (a×b) + (a×c) หรอ (b + c)×a = (b×a) + (c×a) (สมบตการแจกแจงบนการบวก)

-3 -2 -1 0 1 2 3 - 5 5

5 5 1 1

จากสามเหลยมมมฉากทมดานประกอบมมฉากยาว 2 หนวย และ 1 หนวย ใหหาดานตรงขามมมฉาก (แทนคาดวย x)

จะได x 2 = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 ดงนน x = 5± นนเอง

THAI CADET


5. รากทสอง (Square Root)

บทนยาม ให a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ หรอศนย รากทสองของ a คอ จานวนจรงทยกกาลงสองแลวได a

ขอสงเกต 1. ถา a = 0 รากทสองของ a คอ 0

2. รากทสองของจานวนจรงบวกใด ๆ ทเปนจานวนตรรกยะไมนยมเขยนรากทสองของจานวนนนในรปทใชเครองหมาย เชน เขยน 15 แทน 225 และเขยน -15 แทน – 225 เปนตน

3. รากทสองของจานวนจรงบวก จะเปนจานวนตรรกยะ หรอจานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนงเทานน ตวอยางท 4 1.) รากทสองของ 25 คอ 25 และ – 25

ดงนน 25 = 5 และ – 25 = -5

นนคอ รากทสองของ 25 คอ ± 5 2.) รากทสองของ 0.36 คอ 0.36 และ – 0.36

ดงนน 0.36 = 0.6 และ – 0.36 = -0.6

นนคอ รากทสองของ 0.36 คอ ± 0.6 3.) รากทสองของ 23 คอ 23 และ – 23

เนองจากไมสามารถหาจานวนเตม หรอเศษสวน หรอทศนยมซาทนามายกกาลงสองแลวได 23 ทาให 23 เปนจานวนอตรรกยะ ตอบ

บทนยาม

ถา a เปนจานวนจรงใด ๆ จะได aa2 = เมอ a แทนคาสมบรณของ a

ตวอยางท 5 จงหาคาของจานวนตอไปน

(1.) – 324 = – 218 = – 18

* (2.) 2)14(− = 14− = 14

** (3.) – 42dc = – ( )22cd = – 2cd ตอบ

ขอสงเกต ในรากคใด ๆ แลว (เชนในกรณรากท 2, 4, 6, ...) จานวนในรากนน ๆ ตองไมตดลบ

ดงนน *(ขอ 2) 2)14(− จะไมตอบ -14 และเราสามารถแกโจทยนอยางละเอยดไดดงน

2)14(− = 2(14)] (-1)[ = 22 (14) . (-1) = 2(14)1 = 14 ซงคาเปนบวกไมตดลบ

**(ขอ 3) – 42dc = – 2cd เพราะถาจานวนทอยภายใตรากทสองเปนตวแปร

จะไมถอดออกมานอก (นอกคาสมบรณ)

THAI CADET


ตวอยางท 6 จงหารากทสองของจานวนตอไปน (1.) 45 วธทา รากทสองของ 45 คอ 45 และ – 45 นนคอ 45 = 533 ×× = 53 = 53 – 45 = – 533 ×× = – 53 = – 53 ดงนน รากทสองของ 45 คอ 53 และ – 53

(2.) 0.0049 วธทา รากทสองของ 0.0049 คอ 0049.0 และ – 0049.0

นนคอ 0049.0 = 2)07.0( = 07.0 = 0.07

– 0049.0 = – 2)07.0( = – 07.0 = –0.07 ดงนน รากทสองของ 0.0049 คอ 0.07 และ –0.07 ตอบ ตวอยางท 7 จงหารากทสองทเปนบวกของจานวนตอไปน (1.) 1,024 วธทา รากทสองทเปนบวกของ 1,024 คอ 024,1

นนคอ 024,1 = 2)32( = 32 = 32 ดงนน รากทสองทเปนบวกของ 1,024 คอ 32

(2.) 0.0169 วธทา รากทสองทเปนบวกของ 0.0169 คอ 0169.0

นนคอ 0169.0 = 2)13.0( = 13.0 = 0.13 ดงนน รากทสองทเปนบวกของ 0.019 คอ 0.13 ตอบ ตวอยางท 8 จงหารากทสองทเปนลบของจานวนตอไปน (1.) 2,209 วธทา รากทสองทเปนลบของ 2,209 คอ – 209,2

นนคอ – 209,2 = – 2)47( = – 47 = –47 ดงนน รากทสองทเปนบวกของ 2,209 คอ -47

(2.) 0.0729 วธทา รากทสองทเปนลบของ 0.0729 คอ – 0729.0

นนคอ – 0729.0 = – 2)27.0( = – 27.0 = –0.27 ดงนน รากทสองทเปนลบของ 0.0729 คอ –0.27 ตอบ

ขอสงเกต 1. คาวารากทสองของจานวนใด ๆ จะมคา 2 คา คอ คาเปนบวกและคาเปนลบ สวนรากทสองทเปนบวกมคาเดยว เชนเดยวกบรากทสองทเปนลบกมคาเดยว

2. รากทสองของ 15 ≠ 15 แตรากทสองทเปนบวกของ 15 = 15 นนคอรากทสองของ 15 = ± 15

สมบตของ a เมอ a ≥ 0

1. ถา a ≥ 0, b ≥ 0 แลว ab = a b

2. ถา a ≥ 0, b ≥ 0 แลว ba

= ba

THAI CADET


การแกปญหาโจทยลกษณะน ใหพจารณาเรองตวประกอบเปนสาคญ หากแยกตวประกอบไดคลองกจะแกปญหาโจทยไดอยางรวดเรว ตวอยางท 9 จงหาผลลพธของจานวนตอไปน (1.) 328 + = 32222 +×× = 3222 + = ( )322 +

(2.) )133(3 − = ( )( ) ( )( )13333 −

= ( ) 333 2 − = ( ) 333 − = 39− (3.) )133(32 − = ( )( ) ( )( )1323332 −

= ( )( )( ) 32332 2 − = ( )( )( ) 32332 − = ( )392 −

(4.) 2

2472 − =

224

272−

= 2

32227

×××−

= 2

627 −

= 67 −

(5.) 43π−

เมอ π ≈3.14 = 4(3.14) 3)(−

= 2.355

(6.) 025,2

729 = 2

2

)45(

)27(

= 2

2

)45(

)27(

= 4527

= 0.6 ตอบ

THAI CADET


การหารากทสองของจานวนใด ๆ มวธทงหมด 4 แบบ ดงน

1. การหารากทสองโดยการแยกตวประกอบ ตวอยางท 10 จงหารากทสองของจานวนทกาหนดใหตอไปน

(1.) 4,096 วธทา รากทสองของ 4,096 = 096,4±

= 222222222222 ×××××××××××±

= 122±

= 26 )2(±

= 62± = 64±

(2.) 11,025 วธทา รากทสองของ 11,025 = 025,11±

= 775533 ×××××±

= 2)753( ××± = )753( ××± = 105± ตอบ

2. การหารากทสองโดยวธเฉลย พจารณาจากตวอยางตอไปน ตวอยางท 11 จงหาคาประมาณของ 19 เปนทศนยมสองตาแหนง

วธทา ขนท 1 หาจานวนเตมบวกสองจานวนเรยงกน → จานวนเตมบวกสองจานวนนนคอ 4 และ 5

ทกาลงสองของจานวนเตมทงคมากกวา ดงนน 42 < ( )219 < 52

และนอยกวากาลงสองของ 19 นนคอ 4 < 19 < 5

ขนท 2 นาจานวนเตมทงสองทหาไดในขนท 1 → เฉลย 4 และ 5 จะได 2

54+ = 4.5

มาหาคาเฉลย

ขนท 3 นาคาเฉลยจากขนท 2 ไปหาร 19 แลว → นาคาเฉลย 4.5 ไปหาร 19 จะได 5.4

19 ≈ 4.22

นามาเปรยบเทยบคา จะได 4.22 × 4.22 < 19 < 4.5 × 4.5

นนคอ (4.22)2 < 19 < (4.5)2

∴ 4.22 < 19 < 4.5

ขนท 4 หาคาเฉลยทงสองจานวนทหาไดจาก → เฉลย 4.22 และ 4.5 จะได 2

5.422.4 + = 4.36

ขนท 2 และขนท 3 อกครง แลวนา นาคาเฉลย 4.36 ไปหาร 19 จะได 36.4

19≈ 4.358

คาเฉลยทไดไปหาร 19 นามาเปรยบเทยบ จะได 4.358 × 4.358 < 19 < 4.36 × 4.36

คาเชนเดยวกบขนท 3 อกครงหนง นนคอ (4.358)2 < 2)19( < (4.36)2 เนองจาก 4.358 ≈ 4.36 ดงนน คาประมาณของ 19 เปนทศนยมสองตาแหนง คอ 4.36 ตอบ

THAI CADET


3. การหารากทสองจากตาราง (ดตารางไดจากหนงสอเรยนของตวเองครบ)

ตวอยางท 12 จงหาคารากทสองทเปนบวกของ 33 ใหถกตองถงทศนยมตาแหนงทสามโดยใชตาราง

วธทา ขนท 1 ดคา n ในตารางทตรงกบ 33 ขนท 2 ดคาของ n ในตารางทตรงกบ 33 นนคอ n = 33 n = 5.745 หมายความวา 33 มคาเทากบ 5.745 ดงนน 33 = 5.745 ตอบ 4. การหารากทสองโดยวธตงหาร มหลกการทาดงน

ขนท 1 นาจานวนทตองการหารากทสองมาแบงออกเปนชด ชดละ 2 ตว โดยจานวนเตมเรมนบจากหลกหนวยไปทางซาย สวนทศนยมเรมนบจากตาแหนงท 1 ไปทางขวา เชน แบงเลข 23071.465 ไดเปน 2, 30, 71.46, 5

ขนท 2 นาจานวนทตองการหารากทสองมาตงหารยาว หาจานวน 2 จานวนทเทากนมาคณกน ไดผลลพธเทากบจานวนชดแรก หรอนอยกวาแตเกอบเทากน แลวใสเปนตวหารและผลลพธดาเนนตามวธการหารยาว

ขนท 3 ยกจานวนชดตอไปลงมาเปนตวตงชดใหมตอไป ถาตวตงหมดหรอตวตงถงจดทศนยมใหใสจดทศนยมทผลลพธ แลวเตม 0 ทตวตงชดละ 2 ตว หรอยกเลขหลงจดทศนยมคตอไปลงมา

ขนท 4 นา 2 ไปคณกบผลลพธ แลวนาผลมาใสไวเปนตวหารตวใหม จากนนหาจานวนทเหมอนกนมาเตมใสทผลลพธ และตวหารตวหลงสด แลวดาเนนการตามวธหารยาวตอไป

ขนท 5 ดาเนนตามหลกการขนท 3 และขนท 4 ตอไปเรอย ๆ จนกระทงไดจานวนตามตองการ ตวอยางวธหารยาว จงหารากทสองทเปนบวกของ 31,275.9225 ใหคาตอบเปนทศนยมสองตาแหนง 76 . 85 . 1 3 , 12 , 75 . 92 , 25 , 00 ผลลพธทไดเตมหลงตวหารทาใหเกดผลลพธใหม 1 × 2 1 . 1 × <-- ผลลพธ 7 2 1 2 1 8 9 . 27 × ⑦ 17 × 2 34 6 2 3 7 5 2 0 7 6 . 346 × ⑥ 176 × 2 352 8 2 9 9 9 2 2 8 2 2 4 . 3528 × 1768 × 2 3536 5 1 7 6 8 2 5 1 7 6 8 2 5 35365 ×⑤ 0 ดงนน 9225.275,31 = 176.85 ตอบ

THAI CADET


6. รากทสาม (Cuberoot)

บทนยาม ให a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ รากทสามของ a คอ จานวนจรงทยกกาลงสามแลวได a เขยนแทนดวยสญลกษณ 3 a

สญลกษณ 3 a อานวา รากทสามของ a

จากบทนยามจะได ( 3 a )3 = a

การหารากทสามในทนจะกลาวถงวธหา 2 แบบ คอ

1. การหารากทสามโดยการแยกตวแยกตวประกอบ ตวอยางท 13 จงหาคารากทสามของจานวนทกาหนดใหตอไปน

(1.) 2,744 วธทา เนองจาก (14)3 = 2,744 ดงนน รากทสามของ 2,744 คอ 14

นนคอ 3 314 = 14 (2.) -9,261 วธทา เนองจาก (–21)3 = –9,261

ดงนน รากทสามของ -9,261 คอ –21

นนคอ 3 321)(− = –21 ขอสงเกต 1. รากทสามของจานวนจรงใด ๆ มรากเดยวเทานน 2. จานวนจรงลบเมอยกกาลงสามไมเทากบจานวนบวก แตเปนจานวนลบเชนเดม 3. รากทสามของจานวนจรงใด ๆ จะเปนจานวนตรรกยะหรอจานวนอตรรกยะอยางใดอยางหนงเทานน

สาหรบจานวนจรงใด ๆ เนองจาก a เปนรากทสามของ a3 และ 3 3a เปนรากทสามของ a3

ดงนน 3 3a = a เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ ตวอยางท 14 จงหาคาของจานวนทกาหนดใหตอไปน

(1.) 3 963 )cb(a− = 3 332 )cab(− = –ab2c3

(2.) 3 343169 + = 3 32 7)13( + = 13 + 7 = 20

(3.) 3

3

512331.1

81−

× = 3 3

3 32

)8(

)1.1(9

−× = 9 ×

)8(1.1−

= –1.2375 ตอบ

THAI CADET


2. การหารากทสามจากตาราง เชนเดยวกบการหารากทสอง สามารถดตารางเพอหาคารากทสามไดในหนงสอเรยน

ตวอยางท 15 จงหารากทสามของจานวนทกาหนดใหถกตองถงทศนยมตาแหนงทสามโดยใชตาราง

(1.) 43 วธทา รากทสามของ 43 คอ 3 43

ใชตารางดคา n = 43 แลวไปดตารางชอง 3 n ในบรรทดเดยวกน

นนคอ 3 43 = 3.503

(2.) –65 วธทา รากทสามของ –65 คอ 3 65−

นนคอ 3 65− = –4.021 ตอบ

7. รากท n

บทนยาม เมอ a แทนจานวนจรงบวกใด ๆ รากท n ของ a คอ จานวนจรงทยกกาลง n แลวได a

เขยนแทนดวยสญลกษณ n a

ดงนน n na = a เมอ n เปนจานวนค

n na = a เมอ n เปนจานวนค

สมบตของรากท n เมอ a ≥ 0, b ≥ 0

1. n na = a 2. n ab = n a . n b 3. nba

= n

n

ba

4. m n a = mn a

ตวอยางท 16 จงทาใหเปนผลสาเรจ

(1.) 9 9

3618

z

y512x⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− = 9

9

949299

z

]).(y).(x2 [1)(−

= (–1) . (2) . z.yx 42

= zyx

242

−

(2.) 7 2114 .y2,187x = 7 73727 ).(y).(x3

= 32y3x

(3.) ( )55

5 75 33 23

7

7733

×+× =

55

57

53

32

31

7

.77.33 +

= 7

73

510

33

+

= 7

73

2+

= 10 ตอบ

THAI CADET

ถงนองๆ ทกคนครบ ทกเดอนมนาคม เดอนททกโรงเรยนปดเทอม หลายๆ คนหยดอยบานอยางสบายใจ หลายคน

ไปเทยวตางจ งหวด ในขณะท เดกผชายมฝนอกหลายๆ คนเกบกระเปาและหอบหนงสอกองโตไปฝงต ว

ทโรงเรยนกวดวชาเตรยมทหารตามทแตละคนไดไปสมครเรยนไว เพอวงตามความฝนของแตละคน จรงๆ แลว

การเตรยมตวสอบเขาเตรยมทหารนนไมใชเรองงายๆ เพราะในแตละปจะมเดกๆ ม.3 หรอเทยบเทา (จบ ม.3 แลว

แตอายยงไมเกน 17 ป) จากท วประเทศลงสนามสอบแขงขนรวมกบนองๆ เหลาละประมาณ 20,000 – 25,000 คน

แตมคนทพรอมสาหรบการสอบจรงๆ เพยงเหลาละไมเกน 1,000 – 1,500 คนเทานน สงเกตไดอยางชดเจนถงผลสอบ

รอบแรกของทกๆ เหลา (เนองจากแตละเหลาทพเปดโอกาสใหคน 1 คน สามารถสมครและเขาสอบไดมากกวา 1 เหลา) วา

คนทสอบตดเหลาหนงแลว มกจะสอบตดเหลาอนๆ ดวย แนนอนมคนสอบตดรอบแรก 4 เหลา ในขณะทอกมมหนง

เปนมมทใหญมากๆ นนคอคนทสอบไมตดกจะสอบไมตดสกเหลา ซงมเยอะมากๆ คดเปนประมาณ 92% - 95%

ของผสมครสอบเลยทเดยว คาถามคอ สอบเตรยมทหารมนยากขนาดนนเลยหรอ ??? ใชครบ สาหรบคนทไมเคยสมผสสนามสอบระดบประเทศลกษณะน จะยงไมเขาใจความรสกของการทา

ขอสอบวชาหลกท ง 5 วชา ทมท งความยากและจานวนขอทมากมาย ภายใตระยะเวลาทจากด แลวเราตองทาใหได

มากกวาคนอนๆ ดวย มนใหความรสกกดดนขนาดไหน และยงกวานน เมอประกาศผลสอบแลว ถาคนทเรารจก หรอ

เพอนของเราสอบตดแตเราสอบไมตด เมอเพอนเรากาวเดนตอไปในเสนทางทท งเขาและเราเลอกทจะฝาฟนแลว

ท งเขาและเรากอยากทาใหได แตเราทาไมได ความรสกทเกดขนมนเปนอยางไร ??? ดงนน การจะเรยนกวดวชา เฉพาะเพยงไมก ว น ก เดอน แลวจะมาคาดหว งว า เราจะทา ไดน น

มนเปนไปไมไดครบ ยกเวนนองๆ จะเรยนเกงโครตๆ เกงจรงๆ ประเภทเหนโจทยป บแลวสามารถตความและแกปญหา

โจทยขอนนๆ ไดอยางรวดเรวและไมมขอผดพลาด แตการจะไปใหถงจดนนไดเราตองอาศยการฝกฝนอยางตอเนอง

ตงแตการทาความเขาใจความรพนฐานในวชาทใชในการทาการสอบ การทาแบบฝกหดใหมากทสดเทาทจะทาได และ

การตะลยทาโจทยขอสอบเกา รวมท งขอสอบจากแหลงอนๆ ทมความยากในระดบทใกลเคยงกนใหเยอะทสดเทาท

จะทาได เพอใหเราเชยวชาญและมความม นใจวา เราสามารถทาขอสอบจรงไดดไมแพกบสงทเราฝกฝนเชนกน

เพราะคาวา อยากได กบ ทาได มน “สะกดตางกนนดเดยว”

แตเมอตองทาจรง ๆ แลว … “ไมใชทกคนทจะทาได”

THAI CADET

thaicadet จงใหความสาคญกบการเตรยมตวต งแตแรกๆ เปนอยางมาก เปรยบเสมอนเรามเวลา 1 ป สาหรบ

การสรางบานหลงเลกๆ หลงหนง หลายคนคดวา เดยวคอยทา เดยวคอยทา ไปทาเอาตอนเดอนตลาคม 2555 และ

เดอนมนาคม 2556 กทน ในขณะทถาเราเรมทา ณ วนน เดอนน แลวทาไปเรอยๆ เตรยมพนดน ตงเสาเอก เทพน

กอผนง เดนสายไฟฟา นบจากวนน, กลางเดอนมถนายน 2555, จนถงเดอนตลาคม, พฤศจกายน 2555 เรากไดสราง

บานเลก ๆ ของเราไปไดมากแลว เราไดเจอปญหาตางๆ และแกปญหาทเราไมเขาใจนนๆ ไปมากมาย ทาใหม

ประสบการณในการแกโจทยปญหาตางๆ ไมวาจะเปนรปแบบใดกตาม นองๆ ลองคดงายๆ วา เมอถงปลายเดอน

พฤศจกายน 2555 ทมการสอบโครงการชางเผอกของโรงเรยนนายเรออากาศแลว คนทเตรยมตวต งแตวนน กบคนท

ไมไดเตรยมตวอะไรเลย ใครจะทาผลสอบไดดกวากน ??? และเพราะเวลาเดนไวมาก เมอถงเดอนมนาคม 2556 บานหลงเลกๆ ทเราพยายามสรางต งแตวนน กเสรจ

สมบรณ เปรยบเสมอนความร ความคด ประสบการณในการแกโจทยปญหาของเรานนมมากมายเตมเปยม เราจงพรอม

สาหรบการสอบเตรยมทหารจรง ในชวงปลายเดอนมนาคม 2556 เปนตนไป ในขณะทคนอก 95% ทเพงจะมาขยน

ในเดอนมนาคม 2556 เขาเหลานนจงไมมทางทสรางบาน, ทตองใชเวลาทาจรงๆ 1 ปเตม, ใหเสรจภายในเวลา

1 เดอนได จรงไหมครบ ??? สทธพเศษ : สาหรบนองๆ ทเรยนพเศษกบ thaicadet.org 1. พวกเราจะเปนทปรกษา แนะแนวทาง และรวมกนวางแผนการเตรยมตวสอบ รวมทงแผนการอานหนงสอตลอดทงป 2. ไดรบสวนลดคาเรยนพเศษลดลง 2,000 บาท ในคอรสเรยนตอ ๆ ไป 3. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนตลาคม : ลดคาเรยน 50% ใหแกนอง ๆ ทผานการสอบคดเลอกเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ภาควชาการ

ในปทผานมา 4. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนมนาคม : ลดคาเรยน 50% ใหแกนอง ๆ ทผานการสอบคดเลอกเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ภาควชาการ

ในปทผานมา หรอนองทสอบผานเกณฑไดรบคดเลอกเขาเปนนกเรยนโครงการชางเผอก โรงเรยนนายเรออากาศ ประจาป 2556 5. สาหรบคอรสเรยนปดเทอมเดอนมนาคม : นอง ๆ ทสามารถสอบตดเปนนกเรยนเตรยมทหารได “thaicadet คนเงนคาเรยนใหท งหมด” หมายเหต : ทกคอรสเปดรบสมครตลอดเวลา ... ทงนเพอเปนการลดภาระของทานผปกครอง thaicadet จะคดคาเรยนลดหลนตามจานวนวนท

เหลออยเทานน และยนดทบทวนเนอหาวชาใหกบนองๆ ทมาเรยนทหลงดวยครบ

คอรสตวเขมปดเทอมเดอนตลาคม 2555 ราคา 17,000 บาท (หนงหมนเจดพนบาทถวน) เรมเรยน วนอาทตยท 7 ตลาคม ถง วนอาทตยท 28 ตลาคม 2555 (รวม 22 วน)

“เกดมาชวตหนง จะมโอกาสสกกคร ง” ตวนองเทานน ทจะตอบคาถามนไดครบ

เวบไซตนายรอยไทย : บนไดขนแรกสรวโรงเรยนเตรยมทหาร “เราจะปนเดกธรรมดาคนหนง ใหเปนนกเรยนเตรยมทหาร”

www.thaicadet.org www.facebook.com/thaicadet www.youtube.com/thaicadet

e-mail : [email protected] โทร. 087 561 2511 และ 086 571 4623

THAI CADET

THAI CADET

THAI CADET

THAI CADET

ม 3-เทอม 1thaicadet.org/StudyOnline/Math/บทที่ 5... · คณิตศาสตร ม.3 - 36 - จากตัวอย างขางต น จะเห...

Documents