76 Ответы (§ 1—3) ОТВЕТЫ. § 1. 1. 1) Нет; нет; 2) да; да; нет. 2 . °2 р -. 3. 18,5 с м 2. 4. -|-/За 2 + 4ft2. 7. 1) 8 см; 2) а / 2. 8 . Окружность, центром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную пло- скость. 9. -Q- -f- а 2 . 10. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная к её плоскости. 11. Плоскость, перпендикулярная к отрезку, соединяющему данные точки, и делящая его пополам. 12. 26 дм2. 13. ft 2 + А- . 14. МА = ^ ^-; МВ = 4/2; МС = 8 . 15. ОА = О В = ОС = / / 2— ОМ2. 16. 9 см. 17. 4 см. 18. 1 см. 19. 1) 2 / 2 см; 2) Y 2 см; 3) 45°. 20. 6,5 см. 21. 2,5 сж; KB = Y 10,25 ^ 3 , 2 (см). 22. 1) Yf2 — а2; 2 ) 37 л. 3) 8 сж и 17 ел. 23. 3,5 дм2. 24. 2 сж. cib 25. , , , если С и D лежат по одну сторону от плоскости М, и aft a -f- ft (если а > ft) или aft b —а (если ft > а), если С и D лежат по разные стороны от плоскости М. При а = Ь в 1-м случае имеем , во 2 -м оэ. 26. / 2 ft2— а 2. 27. 1) 56; 2) 20. 28. 1) Указание. Из произвольной точки наклон- ной опустить перпендикуляр на плоскость угла и показать, что его основание лежит на биссектрисе угла. 2 ) 18 м; 12 м. § 2. 1. 5/2 см; 45°. 2. 241 см. 3. А /1 3 . 4. 1,5 Ь. 5. 1) 2) -J; 3) А р _ . 6. 1) 2Л; 2) А/ 2 ; 3) — р - 7. 30'. 8 . 60°. 9. 1) а / 2 ; 2) а / б . 10. За. 11. 35° или 115°. § 3. 1. 1) 2,6 м или ^ 5 , 5 м; 2) £Si3,9 м. 2. 1) 117 см, 2) 9 м. 3. 10,5 см. 4. 6 см. 5. 3 слт. 6 . 36 см или 44 см. 7. 14 дм. 8 . 2а. 9. 12 см. 10. Y ^+ b 2. И. 1) Через данную точку провести плоскость, пересекающую дан- ную плоскость, и в ней провести прямую, параллельную линии пересе- чения двух плоскостей. Задача имеет бесконечно много решений. 2) Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой, и через нее произвольную плоскость. Задача имеет бесконечно много решений.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
76 Ответы (§ 1—3)
ОТВЕТЫ.
§ 1.1. 1) Нет; нет; 2) да; да; нет.
2 . ° 2 р - . 3. 18,5 см 2. 4. - |- /З а 2 + 4ft2.7. 1) 8 см; 2) а / 2. 8 . Окружность, центром которой служит
основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. 9. -Q- -f- а2 . 10. Прямая, проходящая через центр окружностии перпендикулярная к её плоскости. 11. Плоскость, перпендикулярная к отрезку, соединяющему данные точки, и делящая его пополам.
15. О А = О В = ОС = / / 2 — ОМ2. 16. 9 см. 17. 4 см.18. 1 см. 19. 1) 2 / 2 см; 2) Y 2 см; 3) 45°. 20. 6,5 см.21. 2,5 сж; KB = Y 10,25 ^ 3 ,2 (см).22. 1) Y f 2 — а2; 2) 37 л. 3) 8 сж и 17 ел. 23. 3,5 дм2. 24. 2 сж.
cib25. , , , если С и D лежат по одну сторону от плоскости М, иaft
a -f- ft(если а > ft) или aft
b —а (если ft > а), если С и D лежат по
разные стороны от плоскости М. При а = Ь в 1-м случае имеем ,
во 2-м оэ. 26. / 2 ft2— а2.27. 1) 56; 2) 20. 28. 1) Указание. Из произвольной точки наклон
ной опустить перпендикуляр на плоскость угла и показать, что его основание лежит на биссектрисе угла. 2 ) 18 м; 12 м.
§ 2.
1. 5 / 2 см; 45°. 2. 241 см. 3. А /13 . 4. 1,5Ь.
5. 1) 2) -J; 3) А р _ . 6. 1) 2Л; 2) А/ 2 ; 3) — р -
7. 30'. 8 . 60°. 9. 1) а / 2 ; 2) а / б . 10. За. 11. 35° или 115°.
§ 3.1. 1) 2,6 м или ^ 5 ,5 м; 2) £Si3,9 м. 2. 1) 117 см, 2) 9 м.
3. 10,5 см. 4. 6 см. 5. 3 слт. 6 . 36 см или 44 см. 7. 14 дм. 8 . 2а.9. 12 см. 10. Y ^ + b 2.
И. 1) Через данную точку провести плоскость, пересекающую данную плоскость, и в ней провести прямую, параллельную линии пересечения двух плоскостей. Задача имеет бесконечно много решений. 2) Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой, и через нее произвольную плоскость. Задача имеет бесконечно много решений.
Ответы <§ 3—7) 77
12. У казание, Задача имеет бесконечно много решений. 13. — ^— . 14. 28 см. 15. £ < * + £ !. ,6 з сМ ,7 35 см ,8 19 см и 17 см
О19. 5 см н 3 см. 20. 6 дм. 21. 25 см и 39 см. 22. У с2— 62 + л2.
6. 1) 7 см; 2) 2а; 4. 7. 5 дм. 8. 8 см 2; 4 см. 9. 13 см. 10. 1) 3,36 см; 2) 4.11. 2а. 12. 7,3 см. 13. 1. 14. Плоскость, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную прямую. 15. 1) Указание. См. учебн. Киселёва, ч. II, § 43 и 36. 2) Или одна, нлн бесконечно много плоскостей. 16. 109 см.17. 1) У а2 + 62 + с2; У а 2 + с2; У Ъ2 + с2; 2) ~ . 18. 3 дм 2.
19. 460,8 см2.§ 5.
1. а) 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) нет. b) 1) Нет; 2) нет; 3) да. 3. 5 5 ° 9 5 ® . 4. У & . 5. 1) 7. 60°.8. 90°. 9. 45е. 10. У ?. 11. 3 дм. 12. 7 см.
§ 6.
1. а У 2 . 2. D A = D B = D C = СВ = С А = АВ = аУ2.3. а2У З ; i . 4. 1) 3; 2) 6. 5. ^ а2.
6. 1) ; 2) уТ . 7. а ( У $ — 2)?»0,45я. 8. а (2 —/2)й=!0,6а.
§ 7.1. 1) 3; 2) 7; 3) 11; 4)J7; 5) 29.
,2. 1) 13 м и 9 м; 2) У"277 16,6 (см) н 15 см. 3. 8 см н 10 см.4. 7 см н 5 см. 5. а У2 и 2а.
7 8 Ответы (§ 7—9)
6 . 1) 5 см и 7 см; 2) 4 м и /1 2 «3,464 (ж). 7. s/ б
8 . “ f . .0 . 1) 2 м 1. 2) 40 СМ и 9 СМ.11. 2 л 1 и 3 л 1'. 12. 273 с м 2 и[ 175 с м 1. 13. 1872 с м 1.
: 2.8 (м); b) 1) 2/2; 2) 3 Q /2 .4. 124 д м 1.7. 1416 с м 1.9. 288 см 1.
12. 4 м .
; 2) 4ab + 2а1; 3) 6аЬ + За 1 / 314. 192 + 32 / 6 « 270 (см 1).15. 6 см и 3 см или 4 см и 7 см.17. 4980 см 1. 18. 9 м 1 и 1. м .20. 25 см , 25 см , 30 см, 24 см.22. 3 м 1. 23. 10Я2.25. 1) 144 см 1; 2) 2016 см 1.27. 1) 2а2 + 2 а /4 5 2 —а2; 2) Ь, / б 2 + 2а2, У 4а2 + Ь1 .
а /26» — я2, а & /2 .28. аЬ ( У 2 + 1). 29. 492 см 1.
16. ЭЯ У З .19. 34 см, 20 см, 18 см. 21. 906 см 1 и 240 с м 1. 24. 5 см.26. 1) 2 см; 2) 576 см 1.
§ 9.
1. 1) £ ; 2 ) Ь1-------; 3) / & 2- а 2.
2. 1) у j A f t 2 + £ ■ 2) 1у4А* + в*, 3) -у /4Л 2 + За2.3. 9 сл<. 4. 5 сж и 6 сл<. 5. 12 см . 6 . 3 см.
7. 12 см. 8 . 9. 14 ж2.a + /г
Ответы (§ 9— I I ) 49
10. aft; - j a У 12ft2 + 3a2. 11. ~ а У362 — a2. 12. ~ Q.
13. 25 кв. ед.; 100 кв. ед.; 225 кв. ед.14. 0 40 90
п 2 ’ п 2 ’ п 2 *15. 245 см 2. 16.
17. 1) 11 м ; 2) 35 см.
V 2 ' Уз ; У5 ; УЪ ‘3a2ft 3
4 У a 3 + ЗА2 719. а2 У ?
и 1) 4ft2+ - f -
3) -^У 4А 2 + Зй2 +
§ Ю.
, <*2У З .+ 4 •За2 у з
3. 2г(А + г)УЗ.2 . 288 с м 2.
5. 1,8 ж и 4 м . 6 . а 2 У 15.
2) а У4А2 а* + в2;
4. 2 в.
7. За2.
8 . К —2А2 + У4А< + Р2. 10. У2 г» 1,4 (см ).
13. f а2.
9. 16 см и 6 см или 12 см н 8 см .
И. За2. 12. 5Л2.14. 26 м 2. 15. 768 см 2.
16. 22 У 136 33,66 (л2). 17. 540 см 2.18. 448 с м 2. 19. 6 д м 2. 20. 10 м 2.
21. 6 + У 7 )» 4 ,З в 2 2 2 . а2 (УЗ + У 15) яа 1,40а3.
§ И.1. 9 см. 2 . 1 д м .
3. | / с2 — у (а — 6 )2 ; V е2- ! < а— Ь)2 ; Ус2 —(а — 6)2.4. 56 сл* и 24 см. 5. 10; п ( п — 3). 6 . 6 см.
7. 2 с.и и 10 см . 8 . У 2”. 8 29. 1 -g-см ; 6 -д- см; 5
10. а — 6. 11. 2 см. 12. 2 0 У 2 я» 28. 15. j ( Q - q ) .13. 1 ( а 2 — 62). 14. 12 с м 2.
16. 24 м 2, 30°. 17. 14 см 2. 18. 39 м и 51 м .19. 16 см 2. 21. 32 м 2.
„ 1 л (262 — а2) „ ../«■11. -g-y — 26 4- д ~~ • Задача имеет решение, если а < Ь у 2 .12. 5:9.
§ 13.
1. 5 ж 2. icQ~1Г ' 3. 36 см1.
4. 3 дм. 5. 40 У з да 70 (см1).в. 90°. 7. > 8. 3 дм.
9. 10 м. 10. 1 ж н 3 м. 11. Около 912 т.12. 4 см и 14 см. 13. Около 40 ж2. 14. Около 116 м1.15. Около 77 м. 16. 2каЬ. 17. 1C2.18. left2. 19. R. 20. icQ.
21. 1) ic; 2) Я = | Л. 22. 75 см1. 23. 1) 6 см; 2) Я
24. 1) 75 сл<; 2) да 26,2 (см). 25. пМ 4- 2 Q.26. 1) Я = 2 Д ( 2 ± / 3 ) ; 2) Я = 2R ( 2 4 - /5 ) . 27. я : 3.28, Расстояние секущей плоскости от плоскости оснонания ранно:
(Я ± V Я 2 — R1); должно быть H ^ R .29. па1 ( / 2 4-1). 30. 2яд2да 628 (сж2).
Ответы 4§ 14—IS) 81
§ И.
1 .5 л . 2. 3. R 1. 4.45°.
5. ^ ф - « 0 . 7 Н . 6. 1) 2) 7. 500
8 . R 2. 9. 2/R Ю. 1) 2) 100/2 «141,4 (с*»).
11.
14.
17.
h r Y зя + л / 3« 25,3 м 1.
12. 3 см. 13 H R V 2 _Я + Я / 2
15. 80л. 16. 24л.
18. « 3 8 листов. 19. «17,1 м.20. 1) 240л см 1; 2) 286,72л м 1. 21. 11 сл; 11 см; 8 см 22. 2:1. 23. 1) 1:2:3; 2) лН 1. 24. 2:3.25. Радиус основания равен большей части образующей, разделённой
в среднем и крайнем отношении.26. 1) Образующая равна диаметру основания (равносторонний конус);
2 ) радиус основания равен большей части образующей, разделённойв среднем и крайнем отношении.р27. 1) 216°; 2) 360° • ; в случае равностороннего конуса ISO3;
3) а) «255°; Ь) «312°.28. 1) 30°; 2) 1 м . 29. 1) 25 см 1; 2) 11 с м 1; 3)31. л: УУ « 5 1,2. 32. 20 см.
„„ п Н ± Y п 2Н 2 — 2 n H L 3 „ 1 „33. 2п ' 4 ’ 4
л m V is з
1. 5 м .
5. а и 2а.
8 . 9 и 16.
§ 15.2. R — г. 3. 20 см. 4. 2Я.6 . 30 д м 1. 7. 1) 9 м 1; 2) i ( /М + Y~m )2-
9. -i-, считая от большего основания.10. 4сл. 11. 3 5 л « 110 д м 1. 12.2л (Д! —г2). 14. 1) 15 м; 2) 28 д м и 12 дм . 15. «1 ,04 м 2.17. Около 4,3 к г . 18. «7025 см 1. 19. 1) 5 см;
S R 1 т 2 R r20. 2лF . 21.R 1 — г 1
22. Я + г
13. 100л см 1.16. « 0,942 м 1.2) а) 5 см; Ь) 9 см .
6 . 1:8; 1: 27; 1:64; 1: п3.9. £«0,11 м м . 10. £«0,46 т.
0,67 м . 12. 1^2 -«1,26; f"3£«1,44; у'н. 14. 1) 30 ж; 2) 3 см.
т 2 -f- п2
18. a b S4 (а + ЬУ
21. 780 см 3.
16. 1) 6 м3; 2)
19. 1) 360 см3; 2) 36 м 3.
22. 1) 3 .«з; 2) | / ~
24. 10 см; 144 см 2;
1
135 У 3 : 116,9 (с м 3) .
26. 1) j a ? b Y 3; 2) а 2Ь; 3) 1,5а26 ]/~3.
! 192,72 к г £« 190 к г .28. Около 930 к г . 29. ^■i 11,3 (с м 3) или 32 см 3.
32. 2 33. 6 ж3. 3 4 . l ^ e .36. 105 м 3.
1
3S. 12 с м 3.41. 7320 см 3. 44. 200 д м 3.
46. ~ а 3 V 2 .
У?6048 м 3.1) 48 см 3; 2) 3,4 м; 3,4 м и 3,2 м .35 200 м 3. 40. 3 человека.R 3. 43. яг! 305 м 3.
1) V~2 м 3; 2) 'а2 Y 2сг — Ьг = 450.
1 a b c Y 2 ; (a + b )c / 3 ; 45э.2 см.
j a 3Y 2; ± a 2(2+ V 2).1) 3060 ж3; 2) 1 м 3. 54. 2 ж3. 55. а/я2.Около 0,75 м м . 57. Около 0,95. 58. £«2,45 м м 2.£«8,4 м м . 60. £«4500 л . 61. £«630 с м 3.ла3. 63. 4л У" 2 ?« 18.1) 1:8; 1:27; ...; 1: п 3; 2) как квадраты радиусов; как высоты;3) в 2 раза; в п раз; 4) в У~2 £« 1,4 (раза); в Y п раз; 5) 4 лин. ед. 1) v 2 : Vi = 1 :2 ; 2) v 2 ■ v t = 1 : 8 .4 ; , « . £ .
K„ = l:2 ; S ,:S „ = 1:1.71. £« 200 кг.
4S. T a3.50. 1) 45 cm3; 2) 100 ж3. 52. a c Y 12a2 —3c2.
О
V\ :3
4л
т лг,4; 61 кг. 74. £«4,0 кг.
72. £«39 кг. 75. 240 г.
Ответы (§ 17) 83
§ 17.1. 1) ^ У З Ь * ~ а2, 2) ] r a2 Y 4ft2 — 2а2; 3) - i а2 / 3 (ft2— а2).
28. 1:7:19:37.61. 29. 1: (f~2 - l): ( ^ 3 — V % ) я«50:13:9.30. 27:98. 31. 1:9; 1:27. 32. 16л ЯК 50.33. Около 10 т . 34. 72 воза. 35. як 1,6 т .35. ЯК 0,35 м. 37. 9я м 3як 28 м 3. 3S. 12л сж3 ЯК 38 см3.
39. 96л сж2як300 см 1. 40. V W 1 — С 1. 41. - j / "
42. 200л ж2 ЯК 628 ж2. 43. 24л см 3 :75 см 3. 44. -я- т.13.
7 445. 27 К. 46. 1)1^2: ^ЗякО.в; 2) у 'З : у '2 як 1,145.
4 7 .1 ) -^ - ; 2) — M Y яС?, / зШ г + Q2. 43.25:36. 54 * 56 57 58
49. лз 2,9 д м 3. 50. ^ R 4 як 0,8/?.
52. яд2 Y 3; лд3. 53. лb h 1.
55. 1) 4800л см 3 як 15 д м 3; 1320л сж2
i лд2 (3 + У 1 )я к 7,4д2.
54.
лд2 лд251- T 0 8 ^ 6’ Т *
лд2й2 _ ядб (д 4 - Ь) 3 / а2 + ft2 ' y V + f t 2
;41 д м 1; 2 ) | л д 3
56. 1) 448л сж3як 1,4 6ж3; 216л сж2 як 6,8 д м 2; 2) 800л с ж3 як 2,5 д м 3;1080л см 2 як 34 д м 1. _
57. 240л сж3 як 0,75 д м 3, 84л V 3 сж2 як 4,6 аж2.58. 4-™3: -75- лд2 (3 + У"3) ~ 7,4д2.
84 Ответы <& 18—19)
§ >8.1. 1) 1520 л; 2) 10 м . 2. « 5 5 т . 3. iO-i-л».
4 . 2325 м 3. 5. 1) 20 м 3 и 45 м 3; 2) 5 м .б . 1) 8 м 2; 2) 2 см 3 и 8 см 3. 7. 128 м % и 50 м 2.8 . 1900 м 3.
в. 1) 1 (а* + аЬ + Ь3) Y 312 — (а — Ь)2;
2 ) ^ { а 3 + аЬ + Ь2) у 13- ± ( а - Ь ) 3;
3) (а3 + аЬ + Ь2) Y l2- ( a - b ) 2.
10. 1) 10 у ж»; 2) 1900 л 3. 11. 109 см 3. 12. 1 (а9 — ft3).13. Объём средней части равен 28 см 3, объём боковой части равен 12 см 3.
14. 3:4. 15. a b h . 16. -у abh .
17. 4 / 2 м; 37 м 3; 152 м 3. 18.
19. 20.
Q h V Q q h \ q
QV"Q - g V T2 2 . « 1 м 3.
3(Y Q - V J ) ' з (V q —У «г) ‘7m>±*mn + n*_ T 3 ' 2,
7. 12 см.12. 1) л / ? / 3; 2 ) 4л ж. 15. 36 д м 2.
8 . 12 см. 13. 3 см.
16. У г Я +
3 . :5 s 4,8 см.
6 . 1) я /? ; 2 « 7 8 5 км .
9. 24л « 75 ж.14. 8 см.17. 5 сж. 18. « 6 7 см.
§ 21.4
1. 1) -у л як 4,2 (ж3); 2) в 27 раз; в 64 раза. 2. Около 14 сж.3. 1) Около 39 сж; 2) 6 сж. 4. « ; 168. 5. 1) 1000; 20 сж; 2) 216.6 . Прибавка в весе у свинцового шара 0,0012 г, у стеклянного 2,8 г.
Следовательно, опустится стеклянный шар.7. 1)-ЗЗу%; 2) «47,6%. 9. :5s 2148 сж3. 10. 1866 г « 1 ,9 кг.
11. 10 сж и 7 сж. 12. Л |/~ 37124 - • 13. /? у 15 «2,5Д. 14. « 2 9 0 сж.1315. 4 5 я сж3 и 243л сж3. 16. 0,028. 17. jg.
29 2каЦ2— ; 4- Д* ■ 30. nab У а 2 + Ь2; 2п (а + *)/ а 2 + 6 2./ а 2 + й2 V а2 + ft2
31. 9 сл, 10 сл н 17 смг, меньшая. 32. ~ bh (а + 6).
33. 3:7.
37. 256я7
34. ] / "
115 (сл3).
а4 + 64 а2 + 62 ‘
38. i яа3 (15 — 8 / 2)
^ ( 2 + / 6 ) .
як 0,97а3. 39. За2.40. 1) 7 л; 2) 5:4, 3) в призме 5:4; в усечённой пирамиде 5:8.41. В 4 раза. 42. 864я см 3 яг 2700 см 3; 326л / 3 см 2 як 1800 см 2.
С О Д Е Р Ж А Н И Е .Стр.
§ 1. Перпендикуляр н наклонные к плоскости........................ 3§ 2. Угол прямой линии с плоскостью.................................. 6§ 3. Параллельные прямые и плоскости.................................. 8§ 4. Двугранные углы и перпендикулярные плоскости . . . . 13§ 5. Многогранные у гл ы ......................................................... 15§ 6. Пранильные многогранники ........................................... 17§ 7. Параллелепипеды и призмы........................................... 18§ 8. Поверхность параллелепипеда и призмы....................... 21§ 9. Пирамида.......................................................................... 24§ 10. Поверхность пирамиды................................................... 26§11. Усечённая пирамида......................................................... 28§ 12. Поверхность усечённой пирамиды................................. 30§ 13. Цилиндр (прямой круговой)............................................ 31§ 14. Конус (прямой круговой) ............................................... 34§ 15. Усечённый конус............................................................... 37§ J6. Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра................ 39§ 17. Объём пирамиды н конуса............................................... 47§ 18. Объём усечённой пирамиды и усечённого конуса . . . . . 52§ 19. Объём призматоида (клина) н усечённой призмы . . . . 56§ 20. Шар и его свойства......................................................... 58§ 21. Объём шара и его частей............................................... 60§ 22. Поверхность шара н его частей..................................... 63§ 23. Вписанный и описанный шары........................................ 65§ 24. Тела вращения ................................................................ 68§ 25. Смешанный отдел ............................................................ 72О т в е т ы ..................................................................................... 76
Н. Рыбкин. Сборник задач по геометрии, ч. II
Редактор С, В Па зелье кий. 'Гехн. редактор М. И, Смирнова.
Сдано в набор ‘28/1 1961 г. Подписано к печати 31/111 1961 г.84 X W f n - Печ. я. 5,5 (4,51). Уч.-иэд. л. 5,93.
Тираж 300 тыс. (300001—600000) вкз. Цена 7 коп, Заказ № 2176. Учпедгиз. Москва, ?-й проезд Марьиной рощи, 41.