เฉลย กสพท. คณิตศาสตร์ 2555

เฉลยละเอยด

ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2555

วธทา จากโจทย |3 − 2𝑥𝑥| − |3𝑥𝑥 − 7| ≥ 0

จะไดวา |3 − 2𝑥𝑥| ≥ |3𝑥𝑥 − 7|

เนองจากเปนบวกทง 2 ขาง จงสามารถยกกาลงสองทง 2 ขางได

จะไดวา (3 − 2𝑥𝑥)2 ≥ (3𝑥𝑥 − 7)2

(3 − 2𝑥𝑥)2 − (3𝑥𝑥 − 7)2 ≥ 0

(𝑥𝑥 − 4)(10 − 5𝑥𝑥) ≥ 0

5(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 2) ≤ 0

จะไดวา เซตคาตอบของสมการ คอ [2,4] ตอบ

สวนคาถามนน ไมมสาระสาคญอะไร

วธทา จะแยกตวประกอบของ 720 และ 10800

จะไดวา 720 = 24 × 32 × 5

10800 = 24 × 33 × 52

จากหลกการหา ค.ร.น. แบบแยกตวประกอบ

จะไดวา 𝑛𝑛min = 33 × 52 = 675 ตอบ

เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2555 Page 1

วธทา ให θ = arctan√2

จะไดวา cos 2𝜃𝜃 = 1−tan 2 θ1+tan 2 θ

= 1−21+2

= − 13

เพราะฉะนน sec2�2 arctan√2� = 1cos 2 2𝜃𝜃

= 9 ตอบ

วธทา ลองคดเปนระนาบ 2 มตดกอน

จากรป จะไดวา 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 cos 𝜃𝜃

A แสดงวา เราตองหามมระหวางเวกเตอรกอน

จงจะสามารถหา 𝑂𝑂𝑂𝑂 ได

B

C

O

จากโจทย จะไดวา 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = �1−4−3

� และ 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = �3−62�

ดงนน 𝑂𝑂𝑂𝑂�� ∙ 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = �𝑂𝑂𝑂𝑂�� 𝑂𝑂𝑂𝑂�� cos 𝜃𝜃

3 + 24 − 6 = 7√26 cos 𝜃𝜃

จะไดวา cos 𝜃𝜃 = 3√26

เพราะฉะนน 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 cos 𝜃𝜃 = 3 ตอบ

θ


วธทา จากโจทย 3𝑥𝑥 + 32−𝑥𝑥 = 4√3

จะไดวา 3𝑥𝑥 + 93𝑥𝑥

= 4√3

มองให 𝑂𝑂 = 3𝑥𝑥

จะไดวา 𝑂𝑂2 − 4√3𝑂𝑂 + 9 = 0

แสดงวา 𝑂𝑂 = 4√3±√48−362

𝑂𝑂 = 4√3±2√32

จะไดวา 3𝑥𝑥 = 3√3 หรอ 3𝑥𝑥 = √3

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 12

, 32

ตอบ

สวนคาถามนน ไมมสาระสาคญอะไร

วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑥𝑥 + 27log 3 2 = 10

𝑥𝑥 + �3log 3 2�3 = 10

𝑥𝑥 + 23 = 10

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 2 ตอบ


วธทา จากสตรการกระจายทวนาม 𝑇𝑇𝑟𝑟+1 = �𝑛𝑛𝑟𝑟�น𝑛𝑛−𝑟𝑟ล𝑟𝑟

พจนททาใหเกดคาคงตว คอพจนททาให น𝑛𝑛−𝑟𝑟ล𝑟𝑟 คณกน แลวตวแปรตดกนหมด

จะไดวาสาหรบพหนามน 𝑇𝑇𝑟𝑟+1 = �10𝑟𝑟 �(𝑥𝑥2)10−𝑟𝑟 � 2

𝑥𝑥3�𝑟𝑟

จะหาไดพจนคาคงท กตอเมอ 3𝑟𝑟 = 2(10 − 𝑟𝑟)

𝑟𝑟 = 4

ลองแทน 𝑟𝑟 = 4

จะไดวา 𝑇𝑇5 = �104 �24 = 10×9×8×7

4×3×2×1× 16

เพราะฉะนน พจนคาคงตว มคาเทากบ 3360 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2+𝑥𝑥3+𝑥𝑥4

4= 86 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 = 344

เขาตองการใหคะแนนเฉลยเทากบ 90 คะแนน โดยครงสดทายใหน าหนกสองเทาของครงอน

ดงนน ��𝑥 = 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2+𝑥𝑥3+𝑥𝑥4+2𝑥𝑥56

90 = 344+2𝑥𝑥56

𝑥𝑥5 = 98

เพราะฉะนน ครงสดทายของทาคะแนนใหได 98 คะแนน ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดความชนของ 𝐿𝐿1 เทากบ 43

และเสนโคง จะมความชนขณะ 𝑥𝑥 เทากบ 2𝑥𝑥 − 83

เนองจาก 𝐿𝐿2 ขนานกบ 𝐿𝐿1

ดงนน 2𝑥𝑥 − 83

= 43

𝑥𝑥 = 2

แสดงวา ขณะทเสนโคง มคา 𝑥𝑥 = 2 จะทาให 𝐿𝐿2 ขนานกบ 𝐿𝐿1

เนองจาก 𝐿𝐿2 ผานจด (2,1)

จะไดวา ระยะหางระหวาง 𝐿𝐿1 และ 𝐿𝐿2 เทากบ ระยะจากจด (2,1) ไปยง 𝐿𝐿1

ดงนน ระยะจากจด (2,1) ไปยง 𝐿𝐿1 = 4(2)−3(1)+105

= 3

เพราะฉะนน ระยะหางระหวาง 𝐿𝐿1 และ 𝐿𝐿2 เทากบ 3 หนวย ตอบ


วธทา เนองจากชวงของการอนทเกรต ทาใหในแอบมคาเปนลบเสมอ

ดงนน ∫ 6𝑥𝑥|𝑥𝑥 − 2|𝑑𝑑𝑥𝑥20 = ∫ −6𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)𝑑𝑑𝑥𝑥2

0

= −6∫ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)𝑑𝑑𝑥𝑥20

= −6∫ (𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥20

= −6 × ��𝑥𝑥3

3− 𝑥𝑥2��

𝑥𝑥=0

𝑥𝑥=2

= −6 × �83− 4�

= −6 × − 43

เพราะฉะนน ∫ 6𝑥𝑥|𝑥𝑥 − 2|𝑑𝑑𝑥𝑥20 = 8 ตอบ


วธทา จากโจทย 𝑥𝑥 − 4 หาร 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ลงตว ดงนน 𝑃𝑃(4) = 0

จากโจทย 𝑥𝑥 − 1 , 𝑥𝑥 − 2 และ 𝑥𝑥 − 3 ตางกหาร 𝑃𝑃(𝑥𝑥) แลวเหลอเศษ 1

แสดงวา 𝑃𝑃(𝑥𝑥) − 1 กตองหาร 𝑥𝑥 − 1 , 𝑥𝑥 − 2 และ 𝑥𝑥 − 3 ลงตว

ดงนน 𝑃𝑃(𝑥𝑥) − 1 = 𝑂𝑂(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3)

แทนคา 𝑥𝑥 = 4

จะไดวา 𝑃𝑃(4) − 1 = 𝑂𝑂(3)(2)(1)

ดงนน 𝑂𝑂 = − 16

จะไดวา 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = − 16

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) + 1

เพราะฉะนน 𝑃𝑃(5) = −3 ตอบ


วธทา เนองจาก �𝑧𝑧 + √32�

2= − 1

4

จะไดวา 𝑧𝑧 + √32

= 12𝑖𝑖

เพราะฉะนน 𝑧𝑧 = −√32

+ 12𝑖𝑖

ทาอยในรปจานวนเชงขว

จะไดวา 𝑧𝑧 = cos 150° + 𝑖𝑖 sin 150°

เพราะฉะนน 𝑧𝑧8 = cos(8 × 150°) + 𝑖𝑖 sin(8 × 150°)

= cos(1200°) + 𝑖𝑖 sin(1200°)

= cos(7𝜋𝜋 − 60°) + 𝑖𝑖 sin(7𝜋𝜋 − 60°)

= − cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60°

เพราะฉะนน 𝑧𝑧8 = − 12

+ √32𝑖𝑖 ตอบ


วธทา จากโจทย 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 25𝑎𝑎 − 25𝑎𝑎 = 1575

𝑎𝑎𝑎𝑎 − 25𝑎𝑎 − 25𝑎𝑎 + 625 = 2200

𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 25) − 25(𝑎𝑎 − 25) = 2200

(𝑎𝑎 − 25)(𝑎𝑎 − 25) = 2200

เนองจาก ห.ร.ม.(𝑎𝑎, 𝑎𝑎) = 5

จงสมมตให 𝑎𝑎 = 5𝑘𝑘 , 𝑎𝑎 = 5𝑚𝑚 เมอ ห.ร.ม.(𝑘𝑘,𝑚𝑚) = 1

จะไดวา (5𝑘𝑘 − 25)(5𝑚𝑚 − 25) = 2200

(𝑘𝑘 − 5)(𝑚𝑚 − 5) = 88

1 88

2 44

4 22

8 11

ดงนน (𝑘𝑘,𝑚𝑚) = (6,93) , (7,49) , (9,27) , (13,16)

ซงมแคกรณเดยวททาให ห.ร.ม.(𝑘𝑘,𝑚𝑚) = 1

จะไดวา 𝑘𝑘 = 13 และ 𝑚𝑚 = 16

ดงนน 𝑎𝑎 = 65 และ 𝑎𝑎 = 80

เพราะฉะนน |𝑎𝑎 − 𝑎𝑎| = 15 ตอบ


วธทา เนองจากพนทสเหลยมดานขนานทประกอบจาก 𝑢𝑢� และ ��𝑣 เทากบ |𝑢𝑢� × ��𝑣|

จะไดวา |𝑢𝑢� × ��𝑣| = 3

|𝑢𝑢� ||��𝑣| sin 𝜃𝜃 = 3

1 × 5 sin𝜃𝜃 = 3

ดงนน sin𝜃𝜃 = 35

เนองจากโจทยบอกวา 𝜃𝜃 เปนมมปาน

จะไดวา cos 𝜃𝜃 = − 45

โจทยถามหา (2𝑢𝑢� + ��𝑣) ∙ (𝑢𝑢� − ��𝑣)

จะไดวา โจทย = 2|𝑢𝑢� |2 − 𝑢𝑢� ∙ ��𝑣 − |��𝑣|2

= 2(1)2 − |𝑢𝑢� ||��𝑣| cos 𝜃𝜃 − (5)2

= 2 − (1)(5) �− 45� − 25

เพราะฉะนน (2𝑢𝑢� + ��𝑣) ∙ (𝑢𝑢� − ��𝑣) = −19 ตอบ


วธทา จดสมการไฮเพอรโบลากอน

จะไดวา 9𝑥𝑥2 − 72𝑥𝑥 − 16𝑦𝑦2 − 32𝑦𝑦 = 16

9(𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 16) − 16(𝑦𝑦2 + 2𝑦𝑦 + 1) = 16 + 144 − 16

9(𝑥𝑥 − 4)2 − 16(𝑦𝑦 + 1)2 = 144

ดงนน สมการไฮเพอรโบลาในรปมาตรฐาน คอ (𝑥𝑥−4)2

16− (𝑦𝑦+1)2

9= 1

จะไดวา 𝐻𝐻 เปนไฮเพอรโบลานอน และ 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2 = √16 + 9 = 5

เพราะฉะนน จดโฟกสของ 𝐻𝐻 คอ (−1 ,−1) และ (9,−1)

F1 F2

จากรป จะไดวา วงร 𝐸𝐸 มความยาวแกนเอกเทากบ 10 หนวย 𝑎𝑎 = 5

และจากโจทย บอกวา 𝐸𝐸 มความเยองศนยกลางเทากบ 1√5

= 𝑐𝑐𝑎𝑎

𝑐𝑐 = √5

จะไดวา 𝑎𝑎 = √𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 = √20

จะไดวา สมการ 𝐸𝐸 คอ (𝑥𝑥−4)2

25+ (𝑦𝑦+1)2

20= 1 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา cos𝑂𝑂 − √2 cos𝑂𝑂 = 0

จะไดวา cos𝑂𝑂 = √2 cos𝑂𝑂 ------------------------- (๑)

จากโจทย บอกวา cos 2𝑂𝑂 + 3 cos 2𝑂𝑂 = −2

2 cos2 𝑂𝑂 − 1 + 3(2 cos2 𝑂𝑂 − 1) = −2

ดงนน 2 cos2 𝑂𝑂 + 6 cos2 𝑂𝑂 = 2 ------------------------- (๒)

(๑) แทนใน (๒) จะไดวา 10 cos2 𝑂𝑂 = 2

เพราะฉะนน cos𝑂𝑂 = 1√5

sin𝑂𝑂 = 2√5

จะไดวา cos𝑂𝑂 = √2√5

sin𝑂𝑂 = √3√5

ดงนน cos 𝑂𝑂 = cos�𝜋𝜋 − (𝑂𝑂 + 𝑂𝑂)�

= − cos(𝑂𝑂 + 𝑂𝑂)

= − cos𝑂𝑂 cos𝑂𝑂 + sin𝑂𝑂 sin𝑂𝑂

= −�√2√5�� 1

√5�+ �√3

√5� � 2

√5�

เพราะฉะนน cos 𝑂𝑂 = 2√3−√25

ตอบ


วธทา จากกฎของเครเมอร

จะไดวา 𝑥𝑥 =�𝑎𝑎 1 2𝑎𝑎 1 −1𝑐𝑐 2 −2

�

�2 1 21 1 −13 2 −2

�=

�𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐1 1 22 −1 −2

�

−4−3+4−6+4+2=

−�2 −1 −21 1 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐

�

−3=

12�

2 −1 −22 2 4𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐

�

3

จะไดวา 𝑥𝑥 = 246

= 4 ตอบ


วธทา สมมตให 𝑂𝑂 = �𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

�

จะไดวา �𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

� �105� = �

100�

�𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

� �125� = �

010�

�𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

� �131� = �

001�

พจารณาการคณของเมตรกซ

จะสามารถเขยนไดวา �𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

� �1 1 10 2 35 5 1

� = �1 0 00 1 00 0 1

� --------------- (*)


ขอ 18 (ตอ) :

ซงสามารถเขยนไดเนองจาก

take det ทงสองขางของสมการ (*)

จะไดวา det𝑂𝑂 × �1 1 10 2 35 5 1

� = 1

det𝑂𝑂 × −8 = 1

เพราะฉะนน det𝑂𝑂 = − 18

ตอบ


วธทา จะหา 𝑆𝑆1

จะไดวา log2−1(𝑥𝑥 + 1) + 2 log2−2(𝑥𝑥 + 2) − log2−1(9𝑥𝑥 − 3) ≤ 0

− log2(𝑥𝑥 + 1) − log2(𝑥𝑥 + 2) + log2(9𝑥𝑥 − 3) ≤ 0

log29𝑥𝑥−3

(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) ≤ 0

9𝑥𝑥−3

(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) ≤ 1

เนองจาก หลง log > 0 ดงนน (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2) จงเปนบวกเสมอ

เพราะฉะนน จงสามารถคณไขวไดเลยโดยไมตองกลบเครองหมาย

ดงนน 9𝑥𝑥 − 3 ≤ (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2)

9𝑥𝑥 − 3 ≤ 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2

𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 5 ≥ 0

(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0

จะไดวา 𝑥𝑥 ∈ (−∞, 1] ∪ [5,∞)

แตวาจากโจทย หลง log > 0 𝑥𝑥 > 13

แสดงวา 𝑆𝑆1 = �− 13

, 1� ∪ [5,∞) ∴ 𝑛𝑛(𝑆𝑆1 ∩ 𝑆𝑆2) = 7 ตอบ


วธทา โดยปกต เราจะเรมการทางานจากขนทจจจกจกทสดกอน

ขนท ๑ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 7 ซงนงไดแคเดก 6,7 ขวบเทานน ได 2 วธ

ขนท ๒ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 6 ซงนงไดแคเดก 5,6,7 ขวบเทานน

แตวาเดก 6 ขวบ หรอ 7 ขวบ ถกใชในขนท ๑ ไปแลว จงเหลอ 2 วธ

ขนท ๓ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 5 ซงนงไดแคเดก 4,5,6,7 ขวบเทานน

แตวามเดก 2 คน ถกใชในขนท ๑,๒ ไปแลว จงเหลอ 2 วธ

ขนท ๔ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 4 ซงนงไดแคเดก 3,4,5,6,7 ขวบเทานน

แตวามเดก 3 คน ถกใชในขนท ๑,๒,๓ ไปแลว จงเหลอ 2 วธ

ขนท ๕ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 3 ซงนงไดแคเดก 2,3,4,5,6,7 ขวบเทานน

แตวามเดก 4 คน ถกใชในขนท ๑,๒,๓,๔ ไปแลว จงเหลอ 2 วธ

ขนท ๖ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 2 ซงเดกทกคนนงได

แตวามเดก 5 คน ถกใชในขนท ๑,๒,๓,๔,๕ ไปแลว จงเหลอ 2 วธ

ขนท ๗ : เลอกคนทนงเกาอหมายเลข 1 ซงเดกทกคนนงได

แตวามเดก 6 คน ถกใชในขนท ๑,๒,๓,๔,๕,๖ ไปแลว จงเหลอ 1 วธ

เพราะฉะนน จงสามารถจดทนงไดทงหมด 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1 วธ

ซงกคอ จดไดทงหมด 64 วธ ตอบ


วธทา จากสมบตของคากลางและคาการกระจาย

1) การเพมคะแนน ทาใหคากลางของขอมลเพมขนเทากบคาทบวกเขาไป

เพราะฉะนน คาเฉลยเลขคณตและมธยฐาน จงมคาเพมขน

2) คาการกระจายสมบรณจะคงทอย ถงแมจะเพมหรอลดขอมลไป

เพราะฉะนน M.D. และ S.D. จะคงท

จากสตร สมประสทธของพสย = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 −𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

จะไดวา สปส. พสยใหม = (𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 +3)−(𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛+3)(𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 +3)+(𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛+3) = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 −𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛+6< 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 −𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛

เพราะฉะนน สปส. พสยใหม จะมคาลดลง


วธทา ลองวาดเสนโคงปกตด จะไดวา

จะไดวา −0.44 = 117.8−𝑥𝑥𝑆𝑆.𝐷𝐷.

------- (๑) และ 1.34 = 126.7−𝑥𝑥𝑆𝑆.𝐷𝐷.

-------- (๒)

(๒)-(๑) ; 1.78 = 8.9𝑆𝑆.𝐷𝐷.

𝑆𝑆.𝐷𝐷. = 5 , ��𝑥 = 120

จะหาคะแนนมาตรฐานของ 125 เทากบ 125−120

5= 1

จะไดพนทเทากบ 0.3413 อยทางขวาเทยบกบตรงกลาง

รวมกบครงซายของเสนโคงปกต

จะไดวา มถงอาหารทมน าหนกนอยกวา 125 กรมอย 84.13 % ตอบ


วธทา จากโจทย บอกวา พาราโบลามแกนสมมาตรขนานกบแกน Y

แสดงวาเปนพาราโบลาหงายหรอคว า

สมมตใหพาราโบลา มสมการเปน (𝑥𝑥 − 3)2 = 4𝑐𝑐(𝑦𝑦 − 9)

แทนคาจดผาน (1,5)

จะไดวา (1 − 3)2 = 4𝑐𝑐(5 − 9)

แกสมการ จะไดวา 𝑐𝑐 = − 14

จะไดวา พาราโบลาในโจทย มสมการ คอ (𝑥𝑥 − 3)2 = −(𝑦𝑦 − 9)

𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 9 − 𝑦𝑦

เพราะฉะนน พาราโบลาในโจทย มสมการ คอ 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2

จะหาพนทปดลอมของกราฟกบแกน 𝑋𝑋

เนองจากกราฟนน ตดแกน 𝑋𝑋 ท 𝑥𝑥 = 0,6

ดงนน พนทปดลอมกราฟกบแกน 𝑋𝑋 = �∫ (6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥60 �

= �� 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3

3��𝑥𝑥=0

𝑥𝑥=6 �

= |108 − 72|

เพราะฉะนน พนทปดลอมของกราฟกบแกน 𝑋𝑋 เทากบ 36 ตารางหนวย ตอบ


วธทา ถา 𝑓𝑓 ตอเนองทจด 𝑥𝑥 = 1

เพราะฉะนน lim𝑥𝑥→1− 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(1)

2(1) + 10 = (𝑐𝑐 + 1) × g(1)

(𝑐𝑐 + 1)(4) = 12

𝑐𝑐 = 2

จะไดวา 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � (2𝑥𝑥2 + 1)𝑔𝑔(𝑥𝑥) เมอ 𝑥𝑥 ≥ 1 2𝑥𝑥 + 10 เมอ 𝑥𝑥 < 1

�

จะหา 𝑓𝑓′(2)

เนองจาก 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (2𝑥𝑥2 + 1)𝑔𝑔(𝑥𝑥) เมอ 𝑥𝑥 ≥ 1

ดงนน 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (4𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) + (2𝑥𝑥2 + 1)𝑔𝑔′(𝑥𝑥)

แทนคา 𝑥𝑥 = 2

จะไดวา 𝑓𝑓′(2) = (8)𝑔𝑔(2) + (9)𝑔𝑔′(2)

= (8)(−1) + 9(0)

เพราะฉะนน 𝑓𝑓′(2) = −8 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา

∑ 𝑎𝑎𝑘𝑘40𝑘𝑘=1 = (𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑎39) + (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎4 + ⋯+ 𝑎𝑎40)

= (1 + 3 + 5 + ⋯+ 39) + (4 + 8 + 12 + ⋯+ 80)

= 202

(1 + 39) + 4(1 + 2 + ⋯+ 20)

= 400 + 4 × 202

(21)

= 400 + 840

เพราะฉะนน ∑ 𝑎𝑎𝑘𝑘40𝑘𝑘=1 = 1240 ตอบ


วธทา พจารณา det(𝑂𝑂 − 𝑘𝑘𝑘𝑘)

จะไดวา 𝑂𝑂 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 = � 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎 −𝑎𝑎 � − 𝑘𝑘 �1 0

0 1�

= �𝑎𝑎 − 𝑘𝑘 1 − 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎 −𝑎𝑎 − 𝑘𝑘�

ดงนน det(𝑂𝑂 − 𝑘𝑘𝑘𝑘) = −(𝑎𝑎 − 𝑘𝑘)(𝑎𝑎 + 𝑘𝑘) − (1 + 𝑎𝑎)(1 − 𝑎𝑎)

= −𝑎𝑎2 + 𝑘𝑘2 − 1 + 𝑎𝑎2

เพราะฉะนน det(𝑂𝑂 − 𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝑘𝑘2 − 1

จะไดวา โจทย = (2 − 1)(3 − 1)(5 − 1)(7 − 1)

= 1 × 2 × 4 × 6

เพราะฉะนน โจทย = 48 ตอบ


วธทา จากโจทย เปนการบอกวา จดยอดของวงรรปถดไป จะเปนจดโฟกสของวงรรปเดม

สามารถเขยนความสมพนธไดวา 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = 𝑐𝑐𝑛𝑛

และ 𝑐𝑐𝑛𝑛 = �𝑎𝑎𝑛𝑛2 − 𝑎𝑎𝑛𝑛2 = �𝑎𝑎𝑛𝑛2 − �𝑎𝑎𝑛𝑛

2�

2= �3𝑎𝑎𝑛𝑛 2

4

จะไดวา 𝑐𝑐𝑛𝑛 = √32𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = √3

2𝑎𝑎𝑛𝑛

จะไดวา 𝑎𝑎2 = √32𝑎𝑎1

𝑎𝑎3 = √32𝑎𝑎2 = �√3

2�

2𝑎𝑎1

𝑎𝑎4 = √32𝑎𝑎3 = �√3

2�

3𝑎𝑎1

เพราะฉะนน 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2 �√32�𝑛𝑛−1

จะไดวา ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = 2 �1 + �√3

2�+ �√3

2�

2+ �√3

2�

3+ ⋯�

= 2 × 1

1−√32

= 42−√3

= 4�2 + √3�

เพราะฉะนน ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = 8 + 4√3 ตอบ


วธทา เนองจากขอ 1, 2, 4 จด 𝑥𝑥 = 0 ไมไดเปนชวงรอยตอของฟงกชนคาสมบรณ จงสามารถหาดฟได

พจารณาขอ 5

จะไดวา 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥2 เมอ 𝑥𝑥 > 0−𝑥𝑥2 เมอ 𝑥𝑥 < 0

�

ดงนน 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = � 2𝑥𝑥 เมอ 𝑥𝑥 > 0−2𝑥𝑥 เมอ 𝑥𝑥 < 0

�

พจารณารอยตอท 𝑥𝑥 = 0

จะไดวา 𝑓𝑓′(0) = � 0 เมอ 𝑥𝑥 > 0 0 เมอ 𝑥𝑥 < 0

�

เนองจาก 𝑓𝑓′(0) = 0 ทงสองกรณ

ดงนน 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥|𝑥𝑥| จงมอนพนธท 𝑥𝑥 = 0


ขอ 28 (ตอ) :

พจารณาขอ 3

จะไดวา 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 เมอ 𝑥𝑥 > 0

−𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 เมอ 𝑥𝑥 < 0�

ดงนน 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = � 2𝑥𝑥 + 1 เมอ 𝑥𝑥 > 0−2𝑥𝑥 − 1 เมอ 𝑥𝑥 < 0

�

พจารณารอยตอท 𝑥𝑥 = 0

จะไดวา 𝑓𝑓′(0) = � 1 เมอ 𝑥𝑥 > 0−1 เมอ 𝑥𝑥 < 0

�

เนองจาก 𝑓𝑓′(0) ทงสองกรณไมเทากน

ดงนน 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥|(𝑥𝑥 + 1) ไมมอนพนธท 𝑥𝑥 = 0

เนองจากขอนถามขอทผด จงตอบขอ 3


วธทา จะหามธยฐานของขอมล

จะไดวา มธยฐานของขอมลชดน จะอยตรงตาแหนงท 46 เมอเรยงจากนอยไปมาก

แตวา 𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎2 ,𝑎𝑎3 , … ,𝑎𝑎91 ไมไดเรยงจากนอยไปมาก มธยฐานจงไมใช 𝑎𝑎46

จากสตรทโจทยให 𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎3 ,𝑎𝑎5 , … คอ 7 , 15 , 23 , …

และ 𝑎𝑎2 ,𝑎𝑎4 ,𝑎𝑎6 , … คอ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …

จะเหนรปแบบการเรยงตวเลข ดงน

2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , …

7 15 23

ดงนน ขอมลตาแหนงท 46 จะตองอย ตวแรกของกลองท 10

จะเหนวา ลาดบของตวแรกของกลองท 𝑛𝑛 คอ 8𝑛𝑛 − 6

เพราะฉะนน ลาดบของตวแรกของกลองท 10 คอ 74

เพราะฉะนน มธยฐานของขอมลชดน เทากบ 74 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา จานวนวธการสรางเมตรกซทงหมด = 34 = 81 วธ

เมตรกซจะมอนเวอรสการคณ กตอเมอ 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑎𝑎𝑐𝑐 ≠ 0

แสดงวา เมตรกซจะไมมอนเวอรสการคณ กตอเมอ 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑐𝑐

จะหาจานวนเมตรกซทไมมอนเวอรสการคณ

กรณท 1 : 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 1

จะเกดขนได กตอเมอ แตละคเปน 1,1 หรอ −1,−1 เกดได 2 × 2 = 4 วธ

กรณท 2 : 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 = −1

จะเกดขนได กตอเมอ แตละคเปน −1,1 หรอ 1,−1 เกดได 2 × 2 = 4 วธ

กรณท 3 : 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 0

จะเกดขนได กตอเมอ แตละคเปน −1,0 หรอ 1,0 หรอ 0,−1 หรอ 0,1 หรอ 0,0

∴ เกดได 5 × 5 = 25 วธ

เพราะฉะนน จานวนเมตรกซทมอนเวอรสการคณ = 34 − (4 + 4 + 25)

= 81 − 33 = 48 ตว

∴ หากสมเมตรกซในเซต 𝑀𝑀 มา ความนาจะเปนทไดเมตรกซทมอนเวอรสการคณ เทากบ 4881

ตอบ


เฉลยไมละเอยด

ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2555

1. 6 16. ตอบขอ 3

2. 675 17. ตอบขอ 5

3. 9 18. ตอบขอ 2

4. 3 19. ตอบขอ 3

5. 2 20. ตอบขอ 3

6. 2 21. ตอบขอ 2

7. 3360 22. ตอบขอ 1

8. 98 23. ตอบขอ 4

9. 3 24. ตอบขอ 1

10. 8 25. ตอบขอ 4

11. ตอบขอ 1 26. ตอบขอ 5





ขอขอบคณภาพประกอบเฉลยจาก https://www.opendurian.com/exercises/7ord_math_55/18/

https://www.opendurian.com/exercises/7ord_math_55/22/




เฉลย กสพท. คณิตศาสตร์ 2555

Education