测测测测测 测测测测测 测测测测测测测测测 测测测测测测测测测 测测测测测测测测测测 测测测测测测测测测测 测 《 25 测 测测测测测测测测测测》 测测测 测测测 :
测绘工程系测绘工程系误差理论与测量平差误差理论与测量平差
点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
《第 25 讲 点位真误差及点位误差》
主讲人:李海峰
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
提纲:
一、点位真误差
二、点位误差
三、任意方向上的位差
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
一、点位真误差一、点位真误差
点在坐标平面中的位置是用一对平面坐标来确定的,由于观测存在误差,所以表征点位的坐标也存在误差,如图所示,在一个确定的坐标系中, A 点
是已知点,假定坐标不带误差, P 为待定点真实位置, P′ 为平差值 位置,其真位置和平差值位置坐标 分别是 , 它们之间的差异 为 , ,P′ 与 P 间距 离△ P 称为 P 点的点位真误差 ( 真位差 ). 且 △ x△y 为真位差 在 x 轴和 y 轴方向上的两个位差分量。
)~,~( yx )ˆ,ˆ( yx
xxx ˆ~ yyy ˆ~
222 )()( yxP
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
一、点位真误差一、点位真误差
若△ x△y 的中误差分别为 且二者相互独立,则有上式中 就是点 P 的点位方差, 是点 P 的点位中误差。 若将坐标系旋转一个角度,得出另一个新坐标系,在新坐
标系中 P 点的点位真误差(真位差)是 , 仿照前面的公式 P 点的点位方差是
这说明,尽管点位真 误差△ P 在不同坐标系的两个坐 标轴上的投影长度不同,但点位 方差 总是两个互相垂直的方向 上的坐标方差之和,与坐标系的选 取无关。
yx 、 222yxP
2P P
222 )()( yxP
222yxP
2P
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
一、点位真误差一、点位真误差
考虑到坐标系变化是随意的,所以结论为:点位方差 等于点位真误差在任意两个相互垂直方向上投影的方差之和。若设 是△ P 在 AP 方向的连线方向的投影值 , 是与垂直方向的投影值 , 则有 , 根据误差传播定律可知
式中 分别称为纵向误差和横向误差。 工程实践中仅仅知道点位中误差是不够的,精密工程测量
有时要研究任意方向的位差大小,这一般通过求待定点误差椭圆来实现,分析待定点在任意方向的位差,可形象全面而精确的分析点位精度。
2P
s u222 )()( usP
222usP u 、s
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
二、点位误差二、点位误差
待定点的纵、横坐标的方差是按照下式计算的: 点位方差是 其中 表示未知 参数协因数阵 主对角线上第的 i 个元素 实际工作中,由于样本容量有限,只能求 的估值 ,所以公式为 。 可见,只要求出 Qxx 、 Qyy 及单位权方差,即可求出点位误差
。在间接平差法中,对于三角网通常以未知点坐标为参数,法方程系数矩阵的逆矩阵就是参数的协因数阵。例如有 s 个待定点时,未知数的协因数阵为:
ii
i
i
ii
i
i
yyy
y
xxx
x
Qp
Qp
20
20
2
20
20
2
1
1
)(202
iiiii yyxxP QQ iixx
Q
XXQ
20
20̂ )(ˆˆ 2
02
iiiii yyxxP QQ
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
二、点位误差二、点位误差
对角线上的元素是待定点坐标的权倒数,相关权倒数则在主权倒数连线的两侧。
ssssisisss
ssssisisss
ssii
ssii
yyxyyyxyyyxy
yxxxyxxxyxxx
yyxyyyxyyyxy
yxxxyxxxyxxx
ssXX
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
Q
......
......
........................
......
......
,ˆˆ
11
11
11111111
11111111
22
)(ˆˆ 20
2
iiiii yyxxP QQ
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
三、任意方向的位差三、任意方向的位差
平差时,一般只求待定点坐标的中误差和点位中误差。点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度,但是它却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。而前面提到的也都是在某些特定方向上的位差,不具有普遍性,在工程上经常关心任意方向上的位差问题。
(1) 用方位角表示任意方向的位差 如图所示 P 为待定点的真实位置, P′ 为点经过平差所得到的位置, 为了求 P 点在某一方向 上的位 差,需要先找出待定点在该方向
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
三、任意方向的位差三、任意方向的位差
的真误差 与纵坐标和横坐标的真误差△ x 、△ y 之间的函数关系,然后在求该方向上的位差。由图可知点位真误差PP′ 在 方向上的投影为 且有下式存在:
应用协因数传播律得:
待定点 P 在该方向上的位差为
若将上式的 用 来替换
PP
y
xyxPPPPPP sincossincos
2sinsincossin
cossincos 22
xyyyxxyyyx
xyxxQQQ
QQQ
2sinsincos 2220
20
2xyyyxx QQQQ
90 2sincossin 222
0290 xyyyxx QQQ
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
三、任意方向的位差三、任意方向的位差 将以上两个式子相加,得
这再一次证明,任何一点的点位方差总等于两个互相垂直方向上的分量之和。注意到位置误差是相对其真实位置的,由于已知点间假定没有误差,所以 P 点真误差是 P 点相对已知点的真误差。
在众多位差权倒数 (Qxx 、 Qyy…) 必定存在极大值和极小值分别设为 QEE 、 QFF, 而相应的方向分别为 , 其中在 方向上的位差具有极大值,而在 方向上具有极小值,显然二者之差为 90° 。
利用线性代数中特征方程求特征根的方法求 QEE 、 QFF
等参数如下。
220
290
2pyyxx QQ
FE 、E
F
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
三、任意方向的位差三、任意方向的位差
E 、 F 分别代表位差的极大值和极小值, QEE 、 QFF 分别代表极大值和极小值方向。
1( )2EE XX YYQ Q Q K
1( )2FF XX YYQ Q Q K
2 2( ) 4XX YY XYK Q Q Q
tan EE XX XYE
XY EE YY
Q Q Q
Q Q Q
tan FF XX XYF
XY FF YY
Q Q Q
Q Q Q
0 EEE Q0 FFF Q
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
三、任意方向的位差三、任意方向的位差
(2) 用极值 EF 表示任意方向的位差利用极值 EF 也可以表示任意方向的位差,若以E 轴为坐标轴,计算任意方向 的位差,必须先找出 之间的关系 , 再利用协因数传播定律求 。仿照前面的求法可得
为两个极值方向的互协因数 , 其值为 0. 所以22 sincos FFEE QQQ
EFQ
QE
FE 、与 E
F
E
F
X
sincos FE
2sinsincos 22EFFFEE QQQQ
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
三、任意方向的位差三、任意方向的位差
用 E 、 F 表示任意方向 的位差公式为
2222222
020
2 sincossincos FEQQQ FFEE
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点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差
【例 25-1 】
已知某平面控制网平差后点 P 的坐标协因数阵为:
单位权方差 ,试求 E 、 F 和解 :
22ˆˆ /
20.125.0
25.040.2秒dmQ
XX
22
00.1 秒σ FE tantan 、
3.125.044.1 K
2.45)1.31.2(2.42
1EEQ
1.15)1.3-1.24.2(2
1FFQ
dmFdmE 07.115.11;57.145.21
0.22.4)/0.25-(2.45tan E
-52.4)/0.25-(1.15tan F
1( )2EE XX YYQ Q Q K
1( )2FF XX YYQ Q Q K
2 2( ) 4XX YY XYK Q Q Q
tan EE XX XYE
XY EE YY
Q Q Q
Q Q Q
tan FF XX XYF
XY FF YY
Q Q Q
Q Q Q
0 EEE Q 0 FFF Q
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谢 谢!