ΑΝΑΛΥΣΗΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ-2 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος Έξοδος 1. Το πριχόμνο ʐοʑ μαύροʑ

2019Κ7-1

ΑΝΑΛΥΣΗΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ

2019Κ7-2

ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ

ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ

Είσοδος Έξοδος

1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού(απλά ηλεκτρικά στοιχεία)

2. Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης3. Έξοδος: απόκριση

i. Κυκλώματα με πηγές και αντιστάσεις ΜΟΝΟii. Κυκλώματα με στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια

2019Κ7-3

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΥ

ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΥΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

2019Κ7-4

ΚΥΚΛΩΜΑ RLC

2019Κ7-5

ΚΥΚΛΩΜΑ RLCΑΜΔ

2019Κ7-6

ΑΜΔ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑ RLC—ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ

• Το παράλληλο κύκλωμα RLC χωρίς διέγερση αλλά με αρχικές συνθήκες ρεύμα Ι0 στον επαγωγό και τάση V0 στον πυκνωτή είναι:

LL

div L

dt

0

0

1t

L Li I v dL

R R R Rv Ri i Gv

0

0

1t

C Cv V i dC

CC

dvi C

dt

R C Lv v v 0R C Li i i

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όλα τα παρακάτω με πλήρη λεπτομέρεια εδώ

http://www.sml.ece.upatras.gr/UploadedFiles/RLClysh.pdf

2019Κ7-7


• Επιλέγουμε τους νόμους τού Kirchhoff και 4 ακόμα σχέσεις για να υπολογίσουμε τους 6 αγνώστους (τάσεις και ρεύματα)

• Με αλγεβρικούς χειρισμούς θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στην εξίσωση

• ή στην εξίσωση

• Θα προτιμήσουμε να δουλέψουμε με τη διαφορική εξίσωση

0 0

0

10, (0)

t

CC C C

dvC Gv I v d v V

dt L

2

002

0

0, (0) ,L L LL L

t

Vd i di diLC GL i i I

dt dt dt L

0

0

0

0

LL

t

C

vdi

dt L

v V

L L

2019Κ7-8


• Μετασχηματίζουμε ελαφρά τη διαφορική εξίσωση

• Και ακόμα περισσότερο για σύνδεση με φυσικές ποσότητες:

•α: O συντελεστής απόσβεσης

•ω0: Η συχνότητα συντονισμού

2

002

0

10, (0) ,L L L

L L

t

d i G di di Vi i I

dt C dt LC dt L

22 00 02

0

2 0, (0) ,L L LL L

t

d i di di Vi i I

dt dt dt L

1(2 )

2G C

RC

0 1 LC

2019Κ7-9


• Λύνουμε τη διαφορική εξίσωση:

• όπου s1 και s2 οι λύσεις τού χαρακτηριστικού πολυωνύμου

• Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

ΥΠΕΡΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α > ω0 (Overdamped)

ΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α = ω0 (Critically Damped)

ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α < ω0 (Underdamped)

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

2 2

02s s

2019Κ7-10


• ΥΠΕΡΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α > ω0:

• Οι λύσεις τού χαρακτηριστικού πολυωνύμου

• Οπότε:

2 2

1,2 0s

1 2 0

01 1 2 2

k k I

Vk s k s

L

01 2 0

1 2

02 1 0

2 1

1

1

Vk s I

s s L

Vk s I

s s L

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

1 2 2 10 0

1 2

1 2 1 2

( ) s t s t s t s t

L

V Ii t e e s e s e

L s s L s s

2019Κ7-11


• ΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α = ω0:

• Τότε

• Υπάρχει μια διπλή ρίζα τού χαρακτηριστικού πολυωνύμου που είναι πραγματική και αρνητική

• Οπότε:

• Και

1,2s

1 0

02 0

K I

VK I

L

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

00 0( ) t

L

Vi t I I t e

L

1 2( ) t

Li t K K t e

2019Κ7-12


• ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α < ω0:

• Οι λύσεις τού χαρακτηριστικού πολυωνύμου

• Όπου ωd είναι η αποσβεσμένη συχνότητα (damped frequency):

• Η λύση δίνεται πάλι σαν

αλλά τώρα οι ρίζες είναι μιγαδικές

2 2

1,2 0 ds j

2 2 2 2

0 0d

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

1 2

1 2( ) s t s t

Li t e e

2019Κ7-13



Επειδή το τελικό αποτέλεσμα πρέπει να είναι πραγματικό:

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

( )

cos sin cos sin

cos sin

d d

d d

j t j t

L

j t j tt

t

d d d d

t

d d

i t e e

e e M e

e t j t t j t

e t j t

1 2 1 2( ) cos sin

cos

t

L d d

t

d

i t e t j t

e t

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

2019Κ7-14



• Επειδή το τελικό αποτέλεσμα πρέπει να είναι πραγματικό:

• Και επιλέγουμε

Re Im( ) cos sin cost t

L d d di t e N t jN t e t

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

1 Re Im

2 Re Im

1

2

1

2

jN

jN

1 2 Re

1 2 ImjN

2019Κ7-15



• ΠΑΡΕΝΘΕΣΗ: Το θεώρημα της Αρμονικής Πρόσθεσης

1

2 2 2 2 2

1

2 2

cos sin cos cos sin sin

cos sin cos cos sin sin

tan tan

cos sin cos

cos sin cos tan

A x B x C x C x

A x B x C x C x

A B C

A x B x x

BA

C A B

B B

x B x Si

A

g

A

n xA

C

A A B

2019Κ7-16



• Επειδή το τελικό αποτέλεσμα πρέπει να είναι πραγματικό:

• Από τις αρχικές συνθήκες θα έχουμε ότι

• Και τελικά:

2 2 1 ImRe Im

Re

( ) cos tant

L d

Ni t e N N t

N

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

0 0Re 0 Im

d d

V IN I N

L

2

2 10 00 02

0

0 00

1 1( ) cos tan

cos sin

t

L d

d d

t

d d

d d

V Vi t e I I t

L LI

V Ie I t t

L

2019Κ7-17


• «ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΗ» ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α = 0:

• Με μηδενική απόσβεση το κύκλωμα γίνεται ένας καθαρός ταλαντωτής (ωd = ω0)

• Πρακτικά αυτό είναι αδύνατο—πάντα θα υπάρχει απόσβεση

1 2

1 2( ) s t s t

Li t k e k e

00 0 0

0

( ) cos sinL

Vi t I t t

L

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όλα τα παραπάνω με πλήρη λεπτομέρεια εδώ

http://www.sml.ece.upatras.gr/UploadedFiles/RLClysh.pdf

2019Κ7-18


ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ (s)

2019Κ7-19


ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α < ω0

Περιβάλλουσα

Περιβάλλουσα

Περίοδος =

2019Κ7-20


•ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ

ΥΠΕΡΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α > ω0

ΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α = ω0

ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: α < ω0

2019Κ7-21


•ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ

2019Κ7-22


ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Q• Με αρχικές συνθήκες I0 και V0, η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη

στο παράλληλο RLC είναι:

• Στην υποκρίσιμη περίπτωση, με την πάροδο του χρόνου η ενέργεια μεταβιβάζεται από τον πυκνωτή στο πηνίο και αντίστροφα (με γωνιακή συχνότητα ωd) ενώ η αντίσταση καταναλώνει σε θερμότητα («απόσβεση») μέρος τής ενέργειας αυτής

• Στις άλλες δυο περιπτώσεις δεν υπάρχει ολοκληρωμένη ανταλλαγή μεταξύ L και C

2 2

0 0

1 1

2 2LI CV

2019Κ7-23


ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Q• Ορίζουμε ένα νέο μέγεθος που συμβολίζουμε με Q και

αποκαλούμε συντελεστή ποιότητας (quality coefficient), που συνδέει την απόσβεση α με τη συχνότητα συντονισμού ω0

•Μικρότερη απόσβεση = καλύτερη ποιότητα• ΠΡΟΣΟΧΗ!: Στο παράλληλο RLC για μικρότερη απόσβεση,

αυξάνουμε την αντίσταση R: R = ∞ α = 0

0 0 00

02

C R R CQ CR

G L GL

C

LC: “Tank Circuit”

2019Κ7-24


ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ Q

• Υπερκρίσιμη: Q < ½

• Kρίσιμη: Q = 1/2

• Υπoκρίσιμη: Q > ½

• Χωρίς απώλειες: Q = ∞

• Q : Το «ταξίδι» των ριζών

Κύκλος ακτίνας ω0

2019Κ7-25

ΚΥΚΛΩΜΑ RLCΑΜΚ ΣΕ ΒΗΜΑΤΙΚΗ

2019Κ7-26

ΑΜΚ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑ RLC—ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ

• Το παράλληλο κύκλωμα RLC με διέγερση αλλά με μηδενικές αρχικές συνθήκες:

LL

div L

dt

0

0

1t

L Li I v dL

R R R Rv Ri i Gv

0

0

1t

C Cv V i dC

CC

dvi C

dt

R C Lv v v R C L si i i i

2

2

0

, (0 ) 0, 0L L LL s L

t

d i di diLC GL i i i

dt dt dt

( ) ( ) ( )L h pi t i t i t

2019Κ7-27

ΑΜΚ ΣΕ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑ RLC—ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ

• Εφαρμόζουμε μια μοναδιαία βηματική σε παράλληλο κύκλωμα RLC με μηδενικές αρχικές συνθήκες:

2

2

0

, (0 ) 0, 0L L LL L

t

d i di diLC GL i u t i

dt dt dt

1 2

1 2( ) ( ) ( ) 1

1

s t s t

L h p

t

i t i t i t k e k e

k k t e

211 2

1 2

1 1 2 2 120

1 2

(0) 1 0

0

L

L

t

ski k k

s sdi

k s k s skdt

s s

2019Κ7-28


• Τελικά:

1 2

2 1

1 2

ΥΠΕΡΚΡΙΣΙΜΗ

1( ) 1 ( )s t s t

Li t s e s e u ts s

0

ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ

( ) cos 1 ( )t

L d

d

i t e t u t

2019Κ7-29


• Και για την κοινή τάση:

0ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ: ( ) sin ( )t

C d

d

Lv t e t u t

C

2019Κ7-30

ΑΜΚ ΣΕ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑ RLC—ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ• ΠΟΙΟΤΙΚΑ:• Το πηνίο είναι χωρίς ενέργεια, άρα στο t = 0+ θα διατηρήσει το ρεύμα του

στα 0 Α (λόγω συνέχειας του ρεύματος επαγωγού)

• Ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, άρα στο t = 0+ θα διατηρήσει την τάση του στα 0 V (λόγω συνέχειας της τάσης πυκνωτή)

• Εφόσον η τάση είναι 0 και η αντίσταση αναγκαστικά θα έχει 0 ρεύμα (Ohm)

• Τι θα συμβεί με αυτές τις συνθήκες; Όλο το ρεύμα τής πηγής θα περάσει από τον πυκνωτή στο t = 0+ (ΝΡΚ) και ο πυκνωτής θα αρχίσει να φορτίζεται

• Εξαιτίας τής φόρτισης, η τάση v θα αυξηθεί όπως επίσης και το ρεύμα τής αντίστασης και το ρεύμα στο πηνίο

• Μετά την παρέλευση αρκετού χρόνου (άπειρου στη θεωρία), το πηνίο έχει καταστεί βραχυκύκλωμα

• Τότε, ο πυκνωτής και η αντίσταση είναι βραχυκυκλωμένοι και πρακτικά η τάση τους είναι ουσιαστικά 0 (τέλος μεταβατικού σταδίου = μόνιμη κατάσταση)

• Παρατηρήστε τη διαφορά με το RC!

2019Κ7-31

ΚΥΚΛΩΜΑ RLCΠΛΗΡΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗ

ΣΕ ΒΗΜΑΤΙΚΗ:= ΑΜΔ + ΑΜΚ

2019Κ7-32

ΚΥΚΛΩΜΑ RLCΑΜΚ ΣΕ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ

2019Κ7-33

ΚΥΚΛΩΜΑ RLCΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ

2019Κ7-34

ΚΥΚΛΩΜΑ RLC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ• Δεδομένου ότι εξετάζουμε κρουστική διέγερση, αυτόματα θεωρούμε ότι το

κύκλωμα είναι σε ηρεμία (μηδενικές αρχικές συνθήκες)

• Τότε:

• Ας περιοριστούμε στην υποκρίσιμη περίπτωση

• Ας ακολουθήσουμε την προσέγγιση με την ΑΜΔ για t 0+ μετά από τη δημιουργία μιας αρχικής συνθήκης στο t = 0 από τη δ

• Ο υπολογισμός τής αρχικής συνθήκης θα γίνει με ολοκλήρωση από 0 έως 0+

2

2

0

( ), (0 ) 0, 0L L LL L

t

d i di diLC GL i t i

dt dt dt

2019Κ7-35

ΚΥΚΛΩΜΑ RLC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ• Ολοκληρώνουμε για χρόνο 0 έως 0+:

• όπου εκμεταλλευθήκαμε τη συνέχεια της iL για να διαπιστώσουμε ότι το ολοκλήρωμα είναι ίσο με 0 και φυσικά το ότι iL (0+) = iL (0)

0

0

0 0 (0 ) (0 ) ( ) 1

0 0 0 0 0 1

10

L LL L L

L

L

di diLC LC GLi GLi i d

dt dt

diLC LC GL GL

dt

di

dt LC

2019Κ7-36

ΚΥΚΛΩΜΑ RLC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ• Οπότε το αρχικό πρόβλημα μετασχηματίστηκε στο

• που μας δίνει:

2

2

0

10, (0 ) 0,L L L

L L

t

d i di diLC GL i i

dt dt dt LC

2

0

ΥΠΟΚΡΙΣΙΜΗ

( ) sin ( )t

L d

d

i t e t u t

2019Κ7-37

ΑΜΔ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑ RLC—ΣΕΙΡΙΑΚΟ

• Το σειριακό κύκλωμα RLC χωρίς διέγερση αλλά με αρχικές συνθήκες ρεύμα Ι0

στον επαγωγό και τάση V0 στον πυκνωτή είναι:

• α: O συντελεστής απόσβεσης

• ω0: Η συχνότητα συντονισμού

22 00 02

0

2 0, (0) ,C C CC C

t

d v dv dv Iv v V

dt dt dt C

2

R

L

0 1 LC

2

2

10

d i R dii

dt L dt LC

2019Κ7-38

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ

2019Κ7-39

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ• Το κύκλωμα RLC είναι μια ειδική περίπτωση ενός κυκλώματος δεύτερης τάξης

• Το κύκλωμα RLC περιέχει δυο στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια (πυκνωτής και πηνίο) και μία μόνο αντίσταση

• Παραδείγματα κυκλωμάτων 2ης τάξης:

Κύκλωμα 2ης τάξης που ανάγεται σε RLC

Κύκλωμα 2ης τάξης που δεν ανάγεται σε RLC

Κύκλωμα 2ης τάξης που δεν απλοποιείται

2019Κ7-40

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ• Σε κάθε περίπτωση, η λύση για ένα κύκλωμα δεύτερης τάξης

συμπεριλαμβανομένων των RLC (παράλληλο και σειριακό) καταλήγει σε μια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης (x: τάση ή ρεύμα) τής μορφής:

• Η λύση αυτή θα είναι το άθροισμα της λύσης τής ομογενούς και μιας μερικής λύσης

• ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ: Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που η είσοδος περιέχει ημιτονοειδές σήμα ίδιας συχνότητας με τη συχνότητα συντονισμού ω0

• Βλ. Μάργαρη, υποκεφάλαια 19.4-1 έως και 3, σελ. 767-776

• (Το φαινόμενο του συντονισμού θα εξεταστεί λίγο αργότερα σε πιο πρακτικό πλαίσιο)

2

2

0 0 002

0

2 , (0) ,t

d x dx dxx f t x X X

dt dt dt

2019Κ7-41

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

2019Κ7-42

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

• Κυκλώματα ανώτερης τάξης θεωρούμε αυτά που έχουν τρία ή περισσότερα στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια

• Η εκτίμηση της πολυπλοκότητας με βάση την τάξη δεν είναι απόλυτη αλλά συνιστά μια καλή ένδειξη

• [Ας σκεφτούμε βέβαια πόσο πολύπλοκο είναι ένα κύκλωμα με δυο-τρεις πυκνωτές και 5000 αντιστάσεις…]

• Ένα κύκλωμα τάξης n θα απαιτήσει τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης n (το πολύ) τής μορφής:

( ) ( 1)

1 1 0

n n

n na y a y a y a y g t

2019Κ7-43

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ• Μπορούμε να καταστρώσουμε εξισώσεις για κυκλώματα

ανώτερης τάξης με τις γνωστές τεχνικές (ΚΤ και ΒΕ με το κατάλληλο είδος πηγής)

• Η μόνη διευκόλυνση που μπορούμε να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε μια συντομογραφία για τις διαφορικές και ολοκληρωτικές σχέσεις που περιγράφουν τις σχέσεις τάσης-ρεύματος

• Η συντομογραφία έχει το πλεονέκτημα ότι μπορούμε εύκολα να χειριστούμε αλγεβρικά τις εκφράσεις που προκύπτουν

• Ότι ακολουθεί υπάρχει στο http://www.sml.ece.upatras.gr/UploadedFiles/telestes.doc

http://www.sml.ece.upatras.gr/UploadedFiles/telestes.doc

2019Κ7-44

ΤΕΛΕΣΤΕΣ• Ορίζουμε:

Α. τον τελεστή παραγώγισης D:

Β. τον τελεστή ολοκλήρωσης D1:

και φυσικά θα ισχύει:

Οι τελεστές πρέπει ΠΑΝΤΑ να έχουν «στόχο»

• Με βάση τα παραπάνω, οι σχέσεις τάσης-ρεύματος για τα βασικά στοιχεία γίνονται:

d d

f t f t f tdt dt

D D

1 1( ) ( ) ( )f x f x f x dx D

D

1 1( ) ( ) ( )f x f x f x DD D D

2019Κ7-45

ΤΕΛΕΣΤΕΣ

2019Κ7-46

ΤΕΛΕΣΤΕΣ• Οι νέες αυτές συμπαγείς ποσότητες που εμφανίζονται πιο πάνω,

συνδέουν τάση και ρεύμα για κάθε στοιχείο

• Από τεχνική λοιπόν άποψη αντιστοιχούν σε μια μορφή αντίστασης (ή αγωγιμότητας)

• Επειδή όμως τους όρους «αντίσταση» και «αγωγιμότητα» τους συνδέουμε αποκλειστικά με το στοιχείο της (ωμικής) αντίστασης, για τη γενική περίπτωση έχουμε υιοθετήσει τους όρους «τελεστής εμπέδησης» και «τελεστής δεκτικότητας»

• Άρα, έχουμε τώρα:

2019Κ7-47

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΜΠΕΔΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

2019Κ7-48

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΜΠΕΔΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ• ΕΦΑΡΜΟΓΗ

• Πώς μπορούμε να βρούμε εύκολα, γρήγορα και σίγουρα τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το παράλληλο κύκλωμα RLC;

• Απάντηση: απλά χρησιμοποιώντας τους τελεστές δεκτικότητας των στοιχείων και προσθέτοντάς τους (επειδή η σύνδεση είναι παράλληλη)

2019Κ7-49

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΜΠΕΔΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ• Έτσι, με τον Νόμο Ρευμάτων του Kirchhoff:

• Ή, φυσικά:

2

2

1 1 10 0

0

LC GLv Gv C v G C v v

L L LD

LC v GL v v

D DD D

D D

D D

2

2

( ) ( )( ) 0

d v t dv tLC GL v t

dt dt

2019Κ7-50

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΜΠΕΔΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙΓΕΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (ΠΡΟΗΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ)• Οι μέθοδοι ΚΤ κα ΒΕ θα έχουν την ίδια ακριβώς δομή και τον

ίδιο τρόπο κατασκευής

• Μόνο που τώρα η «(ωμική) αντίσταση κλάδου» θα αντικατασταθεί από τον «τελεστή εμπέδησης κλάδου» και

• η «(ωμική) αγωγιμότητα κλάδου» θα αντικατασταθεί από τον «τελεστή δεκτικότητας κλάδου»

ίήA

2019Κ7-51

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΜΠΕΔΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙΓΕΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (ΠΡΟΗΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ)

• Η επίλυση του γραμμικού συστήματος θα καταλήξει σε μια διαφορική εξίσωση που θα εμφανιστεί σαν πολυώνυμο του D

• Αυτή η διαφορική εξίσωση πρέπει να επιλυθεί και αυτό ακριβώς θα θέλαμε να αποφύγουμε…

• Η συνέχεια στο επόμενο εξάμηνο (ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΙΙ)

2019Κ7-52

ΠΡΙΝ ΠΡΟΧΩΡΗΣΟΥΜΕ:ΔΥΟ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

2019Κ7-53

ΔΥΑΔΙΚΟΤΗΤΑ(DUALITY)

2019Κ7-54

ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙΑ: ΒΡΕΙΤΕ ΤΙΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ!!

22 00 02

0

2 0, (0) ,C C CC C

t

d v dv dv Iv v V

dt dt dt C

2

R

L

0 1 LC

2

2

10L L

L

d i G dii

dt C dt LC

22 00 02

0

2 0, (0) ,L L LL L

t

d i di di Vi i I

dt dt dt L

1(2 )

2G C

RC

0 1 LC

2

2

10C C

C

d v R dvv

dt L dt LC

2019Κ7-55

ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ• Μπορούμε να περάσουμε από τη μία μορφή στην άλλη

ακολουθώντας τις παρακάτω («δυαδικές») σχέσεις:

2019Κ7-56

ΔΥΑΔΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

22 00 02

0

2 0, (0) ,C C CC C

t

d v dv dv Iv v V

dt dt dt C

2

R

L

0 1 LC

2

2

10L L

L

d i G dii

dt C dt LC

22 00 02

0

2 0, (0) ,L L LL L

t

d i di di Vi i I

dt dt dt L

1(2 )

2G C

RC

0 1 LC

2

2

10C C

C

d v R dvv

dt L dt LC

2019Κ7-57

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ

2019Κ7-58

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ• Μπορούμε να θεμελιώσουμε τις παρακάτω σχέσεις ανάμεσα σε

μηχανικά και ηλεκτρικά συστήματα:

ΑΝΑΛΥΣΗΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ-2 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος Έξοδος 1. Το πριχόμνο ʐοʑ μαύροʑ

Documents